Theorem hfpw 34414

Description: The power class of an HF set is hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfpw	⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝒫 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankpwg 34398	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴))
2		elhf2g 34405	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
3	2	ibi 266	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
4		peano2 7711	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
6	1, 5	eqeltrd 2839	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝒫 𝐴) ∈ ω)
7		pwexg 5296	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝒫 𝐴 ∈ V)
8		elhf2g 34405	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝒫 𝐴) ∈ ω))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝒫 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝒫 𝐴) ∈ ω))
10	6, 9	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝒫 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2108  Vcvv 3422  𝒫 cpw 4530  suc csuc 6253  ‘cfv 6418  ωcom 7687  rankcrnk 9452   Hf chf 34401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-reg 9281  ax-inf2 9329

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-r1 9453  df-rank 9454  df-hf 34402

This theorem is referenced by: (None)