Theorem hfpw 34483

Description: The power class of an HF set is hereditarily finite. (Contributed by Scott Fenton, 16-Jul-2015.)

Assertion

Ref	Expression
hfpw	⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝒫 𝐴 ∈ Hf )

Proof of Theorem hfpw

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rankpwg 34467	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝒫 𝐴) = suc (rank‘𝐴))
2		elhf2g 34474	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝐴) ∈ ω))
3	2	ibi 266	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝐴) ∈ ω)
4		peano2 7731	. . . 4 ⊢ ((rank‘𝐴) ∈ ω → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
5	3, 4	syl 17	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → suc (rank‘𝐴) ∈ ω)
6	1, 5	eqeltrd 2841	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (rank‘𝒫 𝐴) ∈ ω)
7		pwexg 5305	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝒫 𝐴 ∈ V)
8		elhf2g 34474	. . 3 ⊢ (𝒫 𝐴 ∈ V → (𝒫 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝒫 𝐴) ∈ ω))
9	7, 8	syl 17	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → (𝒫 𝐴 ∈ Hf ↔ (rank‘𝒫 𝐴) ∈ ω))
10	6, 9	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ Hf → 𝒫 𝐴 ∈ Hf )

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2110  Vcvv 3431  𝒫 cpw 4539  suc csuc 6267  ‘cfv 6432  ωcom 7706  rankcrnk 9522   Hf chf 34470

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-reg 9329  ax-inf2 9377

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-ov 7274  df-om 7707  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-er 8481  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-r1 9523  df-rank 9524  df-hf 34471

This theorem is referenced by: (None)