Theorem hlatexch4 40296

Description: Exchange 2 atoms. (Contributed by NM, 13-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
hlatexch4.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
hlatexch4.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
hlatexch4	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑆))

Proof of Theorem hlatexch4

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp11 1222	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
2		simp2l 1218	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ 𝐴)
3		simp2r 1219	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆 ∈ 𝐴)
4		eqid 2766	. . . . . . . 8 ⊢ (le‘𝐾) = (le‘𝐾)
5		hlatexch4.j	. . . . . . . 8 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
6		hlatexch4.a	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
7	4, 5, 6	hlatlej2 40191	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → 𝑆(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
8	1, 2, 3, 7	syl3anc 1398	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
9		simp33 1230	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))
10	8, 9	breqtrrd 5144	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
11		simp12 1223	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑃 ∈ 𝐴)
12		simp13 1224	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ∈ 𝐴)
13		simp32 1229	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄 ≠ 𝑆)
14	13	necomd 3016	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑆 ≠ 𝑄)
15	4, 5, 6	hlatexch2 40211	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑆 ≠ 𝑄) → (𝑆(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑆 ∨ 𝑄)))
16	1, 3, 11, 12, 14, 15	syl131anc 1410	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑆 ∨ 𝑄)))
17	10, 16	mpd 16	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑆 ∨ 𝑄))
18	5, 6	hlatjcom 40183	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑆))
19	1, 3, 12, 18	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑆 ∨ 𝑄) = (𝑄 ∨ 𝑆))
20	17, 19	breqtrd 5142	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
21	4, 5, 6	hlatlej2 40191	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
22	1, 11, 12, 21	syl3anc 1398	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑃 ∨ 𝑄))
23	22, 9	breqtrd 5142	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆))
24	4, 5, 6	hlatexch2 40211	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ 𝑄 ≠ 𝑆) → (𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆)))
25	1, 12, 2, 3, 13, 24	syl131anc 1410	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄(le‘𝐾)(𝑅 ∨ 𝑆) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆)))
26	23, 25	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
27	1	hllatd 40179	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝐾 ∈ Lat)
28		eqid 2766	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
29	28, 6	atbase 40104	. . . . 5 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
30	11, 29	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
31	28, 6	atbase 40104	. . . . 5 ⊢ (𝑅 ∈ 𝐴 → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
32	2, 31	syl 18	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
33	28, 5, 6	hlatjcl 40182	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) → (𝑄 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
34	1, 12, 3, 33	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑄 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
35	28, 4, 5	latjle12 18531	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑄 ∨ 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆)))
36	27, 30, 32, 34, 35	syl13anc 1399	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → ((𝑃(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆) ∧ 𝑅(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆)) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆)))
37	20, 26, 36	mpbi2and 725	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆))
38		simp31 1228	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → 𝑃 ≠ 𝑅)
39	4, 5, 6	ps-1 40292	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑃 ≠ 𝑅) ∧ (𝑄 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴)) → ((𝑃 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑆)))
40	1, 11, 2, 38, 12, 3, 39	syl132anc 1415	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → ((𝑃 ∨ 𝑅)(le‘𝐾)(𝑄 ∨ 𝑆) ↔ (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑆)))
41	37, 40	mpbid 235	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ (𝑅 ∈ 𝐴 ∧ 𝑆 ∈ 𝐴) ∧ (𝑃 ≠ 𝑅 ∧ 𝑄 ≠ 𝑆 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) = (𝑅 ∨ 𝑆))) → (𝑃 ∨ 𝑅) = (𝑄 ∨ 𝑆))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2961   class class class wbr 5114  ‘cfv 6543  (class class class)co 7423  Basecbs 17294  lecple 17342  joincjn 18392  Latclat 18512  Atomscatm 40078  HLchlt 40165

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-proset 18375  df-poset 18394  df-plt 18409  df-lub 18425  df-glb 18426  df-join 18427  df-meet 18428  df-p0 18504  df-lat 18513  df-covers 40081  df-ats 40082  df-atl 40113  df-cvlat 40137  df-hlat 40166

This theorem is used by:  cdlemg18a  41493