Theorem iccshftli 13621

Description: Membership in a shifted interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccshftli.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
iccshftli.2	⊢ 𝐵 ∈ ℝ
iccshftli.3	⊢ 𝑅 ∈ ℝ
iccshftli.4	⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
iccshftli.5	⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccshftli	⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

Proof of Theorem iccshftli

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iccshftli.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		iccshftli.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ ℝ
3		iccssre 13561	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ)
4	1, 2, 3	mp2an 705	. . 3 ⊢ (𝐴[,]𝐵) ⊆ ℝ
5	4	sseli 3904	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → 𝑋 ∈ ℝ)
6		iccshftli.3	. . . 4 ⊢ 𝑅 ∈ ℝ
7		iccshftli.4	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 − 𝑅) = 𝐶
8		iccshftli.5	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 − 𝑅) = 𝐷
9	7, 8	iccshftl 13620	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
10	1, 2, 9	mpanl12 715	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
11	6, 10	mpan2 704	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
12	11	biimpd 232	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
13	5, 12	mpcom 39	1 ⊢ (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) → (𝑋 − 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  (class class class)co 7420  ℝcr 11200   − cmin 11542  [,]cicc 13480

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5545  df-po 5558  df-so 5559  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-icc 13484

This theorem is used by:  pcoass  25346