MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccdil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccdil 13505
Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccdil.1 (๐ด ยท ๐‘…) = ๐ถ
iccdil.2 (๐ต ยท ๐‘…) = ๐ท
Assertion
Ref Expression
iccdil (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท)))

Proof of Theorem iccdil
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+) โ†’ ๐‘‹ โˆˆ โ„)
2 rpre 13020 . . . . . 6 (๐‘… โˆˆ โ„+ โ†’ ๐‘… โˆˆ โ„)
3 remulcl 11229 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„)
42, 3sylan2 591 . . . . 5 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„)
51, 42thd 264 . . . 4 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„))
65adantl 480 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ โ„ โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„))
7 elrp 13014 . . . . . . 7 (๐‘… โˆˆ โ„+ โ†” (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘…))
8 lemul1 12102 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘…)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐ด ยท ๐‘…) โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…)))
97, 8syl3an3b 1402 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐ด ยท ๐‘…) โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…)))
1093expb 1117 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐ด ยท ๐‘…) โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…)))
1110adantlr 713 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘‹ โ†” (๐ด ยท ๐‘…) โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…)))
12 iccdil.1 . . . . 5 (๐ด ยท ๐‘…) = ๐ถ
1312breq1i 5157 . . . 4 ((๐ด ยท ๐‘…) โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ†” ๐ถ โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…))
1411, 13bitrdi 286 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐‘‹ โ†” ๐ถ โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…)))
15 lemul1 12102 . . . . . . . 8 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐‘… โˆˆ โ„ โˆง 0 < ๐‘…)) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค (๐ต ยท ๐‘…)))
167, 15syl3an3b 1402 . . . . . . 7 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค (๐ต ยท ๐‘…)))
17163expb 1117 . . . . . 6 ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค (๐ต ยท ๐‘…)))
1817an12s 647 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค (๐ต ยท ๐‘…)))
1918adantll 712 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค (๐ต ยท ๐‘…)))
20 iccdil.2 . . . . 5 (๐ต ยท ๐‘…) = ๐ท
2120breq2i 5158 . . . 4 ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค (๐ต ยท ๐‘…) โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค ๐ท)
2219, 21bitrdi 286 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘‹ โ‰ค ๐ต โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค ๐ท))
236, 14, 223anbi123d 1432 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐ต) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค ๐ท)))
24 elicc2 13427 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐ต)))
2524adantr 479 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†” (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โ‰ค ๐‘‹ โˆง ๐‘‹ โ‰ค ๐ต)))
26 remulcl 11229 . . . . . . 7 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐‘…) โˆˆ โ„)
2712, 26eqeltrrid 2833 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
28 remulcl 11229 . . . . . . 7 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐‘…) โˆˆ โ„)
2920, 28eqeltrrid 2833 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
30 elicc2 13427 . . . . . 6 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค ๐ท)))
3127, 29, 30syl2an 594 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โˆง (๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค ๐ท)))
3231anandirs 677 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค ๐ท)))
332, 32sylan2 591 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค ๐ท)))
3433adantrl 714 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท) โ†” ((๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โ‰ค (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆง (๐‘‹ ยท ๐‘…) โ‰ค ๐ท)))
3523, 25, 343bitr4d 310 1 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐‘‹ โˆˆ โ„ โˆง ๐‘… โˆˆ โ„+)) โ†’ (๐‘‹ โˆˆ (๐ด[,]๐ต) โ†” (๐‘‹ ยท ๐‘…) โˆˆ (๐ถ[,]๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 394   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5150  (class class class)co 7424  โ„cr 11143  0cc0 11144   ยท cmul 11149   < clt 11284   โ‰ค cle 11285  โ„+crp 13012  [,]cicc 13365
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-rp 13013  df-icc 13369
This theorem is referenced by:  iccdili  13506  lincmb01cmp  13510  iccf1o  13511
  Copyright terms: Public domain W3C validator