MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccdil Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccdil 13512
Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)
Hypotheses
Ref Expression
iccdil.1 (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
iccdil.2 (𝐵 · 𝑅) = 𝐷
Assertion
Ref Expression
iccdil (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccdil
StepHypRef Expression
1 simpl 481 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
2 rpre 13027 . . . . . 6 (𝑅 ∈ ℝ+𝑅 ∈ ℝ)
3 remulcl 11231 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ)
42, 3sylan2 591 . . . . 5 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ)
51, 42thd 264 . . . 4 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ))
65adantl 480 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ))
7 elrp 13021 . . . . . . 7 (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅))
8 lemul1 12108 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
97, 8syl3an3b 1402 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
1093expb 1117 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
1110adantlr 713 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
12 iccdil.1 . . . . 5 (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
1312breq1i 5150 . . . 4 ((𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅))
1411, 13bitrdi 286 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴𝑋𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅)))
15 lemul1 12108 . . . . . . . 8 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
167, 15syl3an3b 1402 . . . . . . 7 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
17163expb 1117 . . . . . 6 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
1817an12s 647 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
1918adantll 712 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
20 iccdil.2 . . . . 5 (𝐵 · 𝑅) = 𝐷
2120breq2i 5151 . . . 4 ((𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅) ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)
2219, 21bitrdi 286 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷))
236, 14, 223anbi123d 1433 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
24 elicc2 13434 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
2524adantr 479 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝑋𝑋𝐵)))
26 remulcl 11231 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
2712, 26eqeltrrid 2831 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
28 remulcl 11231 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑅) ∈ ℝ)
2920, 28eqeltrrid 2831 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
30 elicc2 13434 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
3127, 29, 30syl2an 594 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
3231anandirs 677 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
332, 32sylan2 591 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
3433adantrl 714 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
3523, 25, 343bitr4d 310 1 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 394  w3a 1084   = wceq 1534  wcel 2099   class class class wbr 5143  (class class class)co 7413  cr 11145  0cc0 11146   · cmul 11151   < clt 11286  cle 11287  +crp 13019  [,]cicc 13372
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7735  ax-cnex 11202  ax-resscn 11203  ax-1cn 11204  ax-icn 11205  ax-addcl 11206  ax-addrcl 11207  ax-mulcl 11208  ax-mulrcl 11209  ax-mulcom 11210  ax-addass 11211  ax-mulass 11212  ax-distr 11213  ax-i2m1 11214  ax-1ne0 11215  ax-1rid 11216  ax-rnegex 11217  ax-rrecex 11218  ax-cnre 11219  ax-pre-lttri 11220  ax-pre-lttrn 11221  ax-pre-ltadd 11222  ax-pre-mulgt0 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-po 5584  df-so 5585  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7369  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-er 8723  df-en 8964  df-dom 8965  df-sdom 8966  df-pnf 11288  df-mnf 11289  df-xr 11290  df-ltxr 11291  df-le 11292  df-sub 11484  df-neg 11485  df-rp 13020  df-icc 13376
This theorem is referenced by:  iccdili  13513  lincmb01cmp  13517  iccf1o  13518
  Copyright terms: Public domain W3C validator