Theorem iccdil 13470

Description: Membership in a dilated interval. (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.)

Hypotheses

Ref	Expression
iccdil.1	⊢ (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
iccdil.2	⊢ (𝐵 · 𝑅) = 𝐷

Assertion

Ref	Expression
iccdil	⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Proof of Theorem iccdil

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → 𝑋 ∈ ℝ)
2		rpre 12985	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ → 𝑅 ∈ ℝ)
3		remulcl 11194	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ)
4	2, 3	sylan2 592	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ)
5	1, 4	2thd 265	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ))
6	5	adantl 481	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ ℝ ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ))
7		elrp 12979	. . . . . . 7 ⊢ (𝑅 ∈ ℝ+ ↔ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅))
8		lemul1 12067	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
9	7, 8	syl3an3b 1402	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
10	9	3expb 1117	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
11	10	adantlr 712	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅)))
12		iccdil.1	. . . . 5 ⊢ (𝐴 · 𝑅) = 𝐶
13	12	breq1i 5148	. . . 4 ⊢ ((𝐴 · 𝑅) ≤ (𝑋 · 𝑅) ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅))
14	11, 13	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅)))
15		lemul1 12067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑅 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑅)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
16	7, 15	syl3an3b 1402	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
17	16	3expb 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
18	17	an12s 646	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
19	18	adantll 711	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅)))
20		iccdil.2	. . . . 5 ⊢ (𝐵 · 𝑅) = 𝐷
21	20	breq2i 5149	. . . 4 ⊢ ((𝑋 · 𝑅) ≤ (𝐵 · 𝑅) ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)
22	19, 21	bitrdi 287	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ≤ 𝐵 ↔ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷))
23	6, 14, 22	3anbi123d 1432	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
24		elicc2 13392	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
25	24	adantr 480	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝐵)))
26		remulcl 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝑅) ∈ ℝ)
27	12, 26	eqeltrrid 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐶 ∈ ℝ)
28		remulcl 11194	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝑅) ∈ ℝ)
29	20, 28	eqeltrrid 2832	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → 𝐷 ∈ ℝ)
30		elicc2 13392	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
31	27, 29, 30	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ)) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
32	31	anandirs 676	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
33	2, 32	sylan2 592	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ 𝑅 ∈ ℝ+) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
34	33	adantrl 713	. 2 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → ((𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷) ↔ ((𝑋 · 𝑅) ∈ ℝ ∧ 𝐶 ≤ (𝑋 · 𝑅) ∧ (𝑋 · 𝑅) ≤ 𝐷)))
35	23, 25, 34	3bitr4d 311	1 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑅 ∈ ℝ+)) → (𝑋 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝑋 · 𝑅) ∈ (𝐶[,]𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  ℝcr 11108  0cc0 11109   · cmul 11114   < clt 11249   ≤ cle 11250  ℝ⁺crp 12977  [,]cicc 13330

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-rp 12978  df-icc 13334

This theorem is referenced by:  iccdili  13471  lincmb01cmp  13475  iccf1o  13476