MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnmbllem 25649
Description: Lemma for opnmbl 25650. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
Assertion
Ref Expression
opnmbllem (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem opnmbllem
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 𝑛 𝑤 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ([,]‘𝑧) = ([,]‘𝑤))
21sseq1d 4026 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
32elrab 3694 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
4 simprr 773 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
5 fvex 6919 . . . . . . . . 9 ([,]‘𝑤) ∈ V
65elpw 4608 . . . . . . . 8 (([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
74, 6sylibr 234 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
83, 7sylan2b 594 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
98ralrimiva 3143 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
10 iccf 13484 . . . . . . 7 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11 ffun 6739 . . . . . . 7 ([,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,])
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 Fun [,]
13 ssrab2 4089 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ ran 𝐹
14 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
1514dyadf 25639 . . . . . . . . . 10 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
16 frn 6743 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran 𝐹 ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran 𝐹 ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
18 inss2 4245 . . . . . . . . . 10 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
19 rexpssxrxp 11303 . . . . . . . . . 10 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2018, 19sstri 4004 . . . . . . . . 9 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2117, 20sstri 4004 . . . . . . . 8 ran 𝐹 ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2213, 21sstri 4004 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2310fdmi 6747 . . . . . . 7 dom [,] = (ℝ* × ℝ*)
2422, 23sseqtrri 4032 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]
25 funimass4 6972 . . . . . 6 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴))
2612, 24, 25mp2an 692 . . . . 5 (([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
279, 26sylibr 234 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴)
28 sspwuni 5104 . . . 4 (([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
2927, 28sylib 218 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
30 eqid 2734 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3130rexmet 24826 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
32 eqid 2734 . . . . . . 7 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
3330, 32tgioo 24831 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
3433mopni2 24521 . . . . 5 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
3531, 34mp3an1 1447 . . . 4 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
36 elssuni 4941 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 (topGen‘ran (,)))
37 uniretop 24798 . . . . . . . . . 10 ℝ = (topGen‘ran (,))
3836, 37sseqtrrdi 4046 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3938sselda 3994 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
40 rpre 13040 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
4130bl2ioo 24827 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
4239, 40, 41syl2an 596 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
4342sseq1d 4026 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴))
44 2re 12337 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 1lt2 12434 . . . . . . . . . 10 1 < 2
46 expnlbnd 14268 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
4744, 45, 46mp3an23 1452 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
4847ad2antrl 728 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
4939ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ℝ)
50 2nn 12336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ
51 nnnn0 12530 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
5251ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
53 nnexpcl 14111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
5450, 52, 53sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
5554nnred 12278 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
5649, 55remulcld 11288 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
57 fllelt 13833 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
5958simpld 494 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)))
60 reflcl 13832 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6254nngt0d 12312 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 0 < (2↑𝑛))
63 ledivmul2 12144 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
6461, 49, 55, 62, 63syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
6559, 64mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤)
66 peano2re 11431 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
6761, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
6867, 54nndivred 12317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
6958simprd 495 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1))
70 ltmuldiv 12138 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7149, 67, 55, 62, 70syl112anc 1373 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7269, 71mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
7349, 68, 72ltled 11406 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
7461, 54nndivred 12317 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
75 elicc2 13448 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
7674, 68, 75syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
7749, 65, 73, 76mpbir3and 1341 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7856flcld 13834 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ)
7914dyadval 25640 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8078, 52, 79syl2anc 584 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8180fveq2d 6910 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩))
82 df-ov 7433 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8381, 82eqtr4di 2792 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
8477, 83eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)))
85 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) → ([,]‘𝑧) = ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)))
8685sseq1d 4026 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴))
87 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0))
8815, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0)
89 fnovrn 7607 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) ∧ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹)
9088, 78, 52, 89mp3an2i 1465 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹)
91 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
9291rpred 13074 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9349, 92resubcld 11688 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ)
9493rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ*)
9549, 92readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ)
9695rexrd 11308 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*)
9774, 92readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟) ∈ ℝ)
9861recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℂ)
99 1cnd 11253 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 1 ∈ ℂ)
10055recnd 11286 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
10154nnne0d 12313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
10298, 99, 100, 101divdird 12078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))))
10354nnrecred 12314 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
104 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
105103, 92, 74, 104ltadd2dd 11417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
106102, 105eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
10749, 68, 97, 72, 106lttrd 11419 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
10849, 92, 74ltsubaddd 11856 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟)))
109107, 108mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
11049, 103readdcld 11287 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
11174, 49, 103, 65leadd1dd 11874 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
112102, 111eqbrtrd 5169 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
113103, 92, 49, 104ltadd2dd 11417 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) < (𝑤 + 𝑟))
11468, 110, 95, 112, 113lelttrd 11416 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))
115 iccssioo 13452 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
11694, 96, 109, 114, 115syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
11783, 116eqsstrd 4033 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
118 simplrr 778 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)
119117, 118sstrd 4005 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
12086, 90, 119elrabd 3696 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})
121 funfvima2 7250 . . . . . . . . . . 11 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
12212, 24, 121mp2an 692 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
123120, 122syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
124 elunii 4916 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∧ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
12584, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
12648, 125rexlimddv 3158 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
127126expr 456 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
12843, 127sylbid 240 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
129128rexlimdva 3152 . . . 4 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
13035, 129mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
13129, 130eqelssd 4016 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
132 fveq2 6906 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑎 → ([,]‘𝑐) = ([,]‘𝑎))
133132sseq1d 4026 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑎 → (([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) ↔ ([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏)))
134 equequ1 2021 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 = 𝑏𝑎 = 𝑏))
135133, 134imbi12d 344 . . . . 5 (𝑐 = 𝑎 → ((([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑐 = 𝑏) ↔ (([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
136135ralbidv 3175 . . . 4 (𝑐 = 𝑎 → (∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑐 = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
137136cbvrabv 3443 . . 3 {𝑐 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ∣ ∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑐 = 𝑏)} = {𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ∣ ∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)}
13813a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ ran 𝐹)
13914, 137, 138dyadmbl 25648 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ∈ dom vol)
140131, 139eqeltrrd 2839 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  wrex 3067  {crab 3432  cin 3961  wss 3962  𝒫 cpw 4604  cop 4636   cuni 4911   class class class wbr 5147   × cxp 5686  dom cdm 5688  ran crn 5689  cres 5690  cima 5691  ccom 5692  Fun wfun 6556   Fn wfn 6557  wf 6558  cfv 6562  (class class class)co 7430  cmpo 7432  cr 11151  0cc0 11152  1c1 11153   + caddc 11155   · cmul 11157  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  cmin 11489   / cdiv 11917  cn 12263  2c2 12318  0cn0 12523  cz 12610  +crp 13031  (,)cioo 13383  [,]cicc 13386  cfl 13826  cexp 14098  abscabs 15269  topGenctg 17483  ∞Metcxmet 21366  ballcbl 21368  MetOpencmopn 21371  volcvol 25511
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-inf2 9678  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-int 4951  df-iun 4997  df-disj 5115  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-se 5641  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-isom 6571  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-of 7696  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-2o 8505  df-oadd 8508  df-omul 8509  df-er 8743  df-map 8866  df-pm 8867  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-fi 9448  df-sup 9479  df-inf 9480  df-oi 9547  df-dju 9938  df-card 9976  df-acn 9979  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-rp 13032  df-xneg 13151  df-xadd 13152  df-xmul 13153  df-ioo 13387  df-ico 13389  df-icc 13390  df-fz 13544  df-fzo 13691  df-fl 13828  df-seq 14039  df-exp 14099  df-hash 14366  df-cj 15134  df-re 15135  df-im 15136  df-sqrt 15270  df-abs 15271  df-clim 15520  df-rlim 15521  df-sum 15719  df-rest 17468  df-topgen 17489  df-psmet 21373  df-xmet 21374  df-met 21375  df-bl 21376  df-mopn 21377  df-top 22915  df-topon 22932  df-bases 22968  df-cmp 23410  df-ovol 25512  df-vol 25513
This theorem is referenced by:  opnmbl  25650
  Copyright terms: Public domain W3C validator