Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnmbllem 24209
 Description: Lemma for opnmbl 24210. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
Assertion
Ref Expression
opnmbllem (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝐴   𝑥,𝐹,𝑦

Proof of Theorem opnmbllem
Dummy variables 𝑐 𝑎 𝑏 𝑛 𝑤 𝑧 𝑟 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6649 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑤 → ([,]‘𝑧) = ([,]‘𝑤))
21sseq1d 3949 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
32elrab 3631 . . . . . . 7 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
4 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
5 fvex 6662 . . . . . . . . 9 ([,]‘𝑤) ∈ V
65elpw 4504 . . . . . . . 8 (([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
74, 6sylibr 237 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
83, 7sylan2b 596 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
98ralrimiva 3152 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
10 iccf 12830 . . . . . . 7 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11 ffun 6494 . . . . . . 7 ([,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,])
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 Fun [,]
13 ssrab2 4010 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ ran 𝐹
14 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
1514dyadf 24199 . . . . . . . . . 10 𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
16 frn 6497 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran 𝐹 ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran 𝐹 ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
18 inss2 4159 . . . . . . . . . 10 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
19 rexpssxrxp 10679 . . . . . . . . . 10 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2018, 19sstri 3927 . . . . . . . . 9 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2117, 20sstri 3927 . . . . . . . 8 ran 𝐹 ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2213, 21sstri 3927 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2310fdmi 6502 . . . . . . 7 dom [,] = (ℝ* × ℝ*)
2422, 23sseqtrri 3955 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]
25 funimass4 6709 . . . . . 6 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴))
2612, 24, 25mp2an 691 . . . . 5 (([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
279, 26sylibr 237 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴)
28 sspwuni 4988 . . . 4 (([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
2927, 28sylib 221 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
30 eqid 2801 . . . . . 6 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3130rexmet 23400 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
32 eqid 2801 . . . . . . 7 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
3330, 32tgioo 23405 . . . . . 6 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
3433mopni2 23104 . . . . 5 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
3531, 34mp3an1 1445 . . . 4 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
36 elssuni 4833 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 (topGen‘ran (,)))
37 uniretop 23372 . . . . . . . . . 10 ℝ = (topGen‘ran (,))
3836, 37sseqtrrdi 3969 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
3938sselda 3918 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
40 rpre 12389 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
4130bl2ioo 23401 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
4239, 40, 41syl2an 598 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
4342sseq1d 3949 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴))
44 2re 11703 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 1lt2 11800 . . . . . . . . . 10 1 < 2
46 expnlbnd 13594 . . . . . . . . . 10 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
4744, 45, 46mp3an23 1450 . . . . . . . . 9 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
4847ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
4939ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ℝ)
50 2nn 11702 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ ℕ
51 nnnn0 11896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
53 nnexpcl 13442 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
5450, 52, 53sylancr 590 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
5554nnred 11644 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
5649, 55remulcld 10664 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
57 fllelt 13166 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
5958simpld 498 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)))
60 reflcl 13165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6254nngt0d 11678 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 0 < (2↑𝑛))
63 ledivmul2 11512 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
6461, 49, 55, 62, 63syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
6559, 64mpbird 260 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤)
66 peano2re 10806 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
6761, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
6867, 54nndivred 11683 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
6958simprd 499 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1))
70 ltmuldiv 11506 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7149, 67, 55, 62, 70syl112anc 1371 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7269, 71mpbid 235 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
7349, 68, 72ltled 10781 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
7461, 54nndivred 11683 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
75 elicc2 12794 . . . . . . . . . . . 12 ((((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
7674, 68, 75syl2anc 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
7749, 65, 73, 76mpbir3and 1339 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7856flcld 13167 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ)
7914dyadval 24200 . . . . . . . . . . . . 13 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8078, 52, 79syl2anc 587 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8180fveq2d 6653 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩))
82 df-ov 7142 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8381, 82eqtr4di 2854 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
8477, 83eleqtrrd 2896 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)))
85 fveq2 6649 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) → ([,]‘𝑧) = ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)))
8685sseq1d 3949 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴))
87 ffn 6491 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0))
8815, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 Fn (ℤ × ℕ0)
89 fnovrn 7307 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn (ℤ × ℕ0) ∧ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹)
9088, 78, 52, 89mp3an2i 1463 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹)
91 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
9291rpred 12423 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
9349, 92resubcld 11061 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ)
9493rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ*)
9549, 92readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ)
9695rexrd 10684 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*)
9774, 92readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟) ∈ ℝ)
9861recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℂ)
99 1cnd 10629 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 1 ∈ ℂ)
10055recnd 10662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
10154nnne0d 11679 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
10298, 99, 100, 101divdird 11447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))))
10354nnrecred 11680 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
104 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
105103, 92, 74, 104ltadd2dd 10792 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
106102, 105eqbrtrd 5055 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
10749, 68, 97, 72, 106lttrd 10794 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
10849, 92, 74ltsubaddd 11229 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟)))
109107, 108mpbird 260 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
11049, 103readdcld 10663 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
11174, 49, 103, 65leadd1dd 11247 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
112102, 111eqbrtrd 5055 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
113103, 92, 49, 104ltadd2dd 10792 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) < (𝑤 + 𝑟))
11468, 110, 95, 112, 113lelttrd 10791 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))
115 iccssioo 12798 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑤𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
11694, 96, 109, 114, 115syl22anc 837 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
11783, 116eqsstrd 3956 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
118 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)
119117, 118sstrd 3928 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ⊆ 𝐴)
12086, 90, 119elrabd 3633 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})
121 funfvima2 6975 . . . . . . . . . . 11 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
12212, 24, 121mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
123120, 122syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
124 elunii 4808 . . . . . . . . 9 ((𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∧ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
12584, 123, 124syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
12648, 125rexlimddv 3253 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
127126expr 460 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
12843, 127sylbid 243 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
129128rexlimdva 3246 . . . 4 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
13035, 129mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
13129, 130eqelssd 3939 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
132 fveq2 6649 . . . . . . 7 (𝑐 = 𝑎 → ([,]‘𝑐) = ([,]‘𝑎))
133132sseq1d 3949 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑎 → (([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) ↔ ([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏)))
134 equequ1 2032 . . . . . 6 (𝑐 = 𝑎 → (𝑐 = 𝑏𝑎 = 𝑏))
135133, 134imbi12d 348 . . . . 5 (𝑐 = 𝑎 → ((([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑐 = 𝑏) ↔ (([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
136135ralbidv 3165 . . . 4 (𝑐 = 𝑎 → (∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑐 = 𝑏) ↔ ∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)))
137136cbvrabv 3442 . . 3 {𝑐 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ∣ ∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑐) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑐 = 𝑏)} = {𝑎 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ∣ ∀𝑏 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} (([,]‘𝑎) ⊆ ([,]‘𝑏) → 𝑎 = 𝑏)}
13813a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ ran 𝐹)
13914, 137, 138dyadmbl 24208 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ∈ dom vol)
140131, 139eqeltrrd 2894 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ∈ dom vol)
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2112  ∀wral 3109  ∃wrex 3110  {crab 3113   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  𝒫 cpw 4500  ⟨cop 4534  ∪ cuni 4803   class class class wbr 5033   × cxp 5521  dom cdm 5523  ran crn 5524   ↾ cres 5525   “ cima 5526   ∘ ccom 5527  Fun wfun 6322   Fn wfn 6323  ⟶wf 6324  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139   ∈ cmpo 7141  ℝcr 10529  0cc0 10530  1c1 10531   + caddc 10533   · cmul 10535  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669   − cmin 10863   / cdiv 11290  ℕcn 11629  2c2 11684  ℕ0cn0 11889  ℤcz 11973  ℝ+crp 12381  (,)cioo 12730  [,]cicc 12733  ⌊cfl 13159  ↑cexp 13429  abscabs 14589  topGenctg 16707  ∞Metcxmet 20080  ballcbl 20082  MetOpencmopn 20085  volcvol 24071 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-rep 5157  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-inf2 9092  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-int 4842  df-iun 4886  df-disj 4999  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-se 5483  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-isom 6337  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-of 7393  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-1o 8089  df-2o 8090  df-oadd 8093  df-omul 8094  df-er 8276  df-map 8395  df-pm 8396  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-fin 8500  df-fi 8863  df-sup 8894  df-inf 8895  df-oi 8962  df-dju 9318  df-card 9356  df-acn 9359  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-2 11692  df-3 11693  df-4 11694  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-rp 12382  df-xneg 12499  df-xadd 12500  df-xmul 12501  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-icc 12737  df-fz 12890  df-fzo 13033  df-fl 13161  df-seq 13369  df-exp 13430  df-hash 13691  df-cj 14454  df-re 14455  df-im 14456  df-sqrt 14590  df-abs 14591  df-clim 14841  df-rlim 14842  df-sum 15039  df-rest 16692  df-topgen 16713  df-psmet 20087  df-xmet 20088  df-met 20089  df-bl 20090  df-mopn 20091  df-top 21503  df-topon 21520  df-bases 21555  df-cmp 21996  df-ovol 24072  df-vol 24073 This theorem is referenced by:  opnmbl  24210
 Copyright terms: Public domain W3C validator