MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnmbllem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnmbllem 24981
Description: Lemma for opnmbl 24982. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Mar-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
dyadmbl.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
Assertion
Ref Expression
opnmbllem (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
Distinct variable groups:   π‘₯,𝑦,𝐴   π‘₯,𝐹,𝑦

Proof of Theorem opnmbllem
Dummy variables 𝑐 π‘Ž 𝑏 𝑛 𝑀 𝑧 π‘Ÿ are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6847 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 𝑀 β†’ ([,]β€˜π‘§) = ([,]β€˜π‘€))
21sseq1d 3980 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑀 β†’ (([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴 ↔ ([,]β€˜π‘€) βŠ† 𝐴))
32elrab 3650 . . . . . . 7 (𝑀 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} ↔ (𝑀 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]β€˜π‘€) βŠ† 𝐴))
4 simprr 772 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (𝑀 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]β€˜π‘€) βŠ† 𝐴)) β†’ ([,]β€˜π‘€) βŠ† 𝐴)
5 fvex 6860 . . . . . . . . 9 ([,]β€˜π‘€) ∈ V
65elpw 4569 . . . . . . . 8 (([,]β€˜π‘€) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ([,]β€˜π‘€) βŠ† 𝐴)
74, 6sylibr 233 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ (𝑀 ∈ ran 𝐹 ∧ ([,]β€˜π‘€) βŠ† 𝐴)) β†’ ([,]β€˜π‘€) ∈ 𝒫 𝐴)
83, 7sylan2b 595 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}) β†’ ([,]β€˜π‘€) ∈ 𝒫 𝐴)
98ralrimiva 3144 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ βˆ€π‘€ ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} ([,]β€˜π‘€) ∈ 𝒫 𝐴)
10 iccf 13372 . . . . . . 7 [,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ*
11 ffun 6676 . . . . . . 7 ([,]:(ℝ* Γ— ℝ*)βŸΆπ’« ℝ* β†’ Fun [,])
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6 Fun [,]
13 ssrab2 4042 . . . . . . . 8 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} βŠ† ran 𝐹
14 dyadmbl.1 . . . . . . . . . . 11 𝐹 = (π‘₯ ∈ β„€, 𝑦 ∈ β„•0 ↦ ⟨(π‘₯ / (2↑𝑦)), ((π‘₯ + 1) / (2↑𝑦))⟩)
1514dyadf 24971 . . . . . . . . . 10 𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
16 frn 6680 . . . . . . . . . 10 (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)))
1715, 16ax-mp 5 . . . . . . . . 9 ran 𝐹 βŠ† ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ))
18 inss2 4194 . . . . . . . . . 10 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ Γ— ℝ)
19 rexpssxrxp 11207 . . . . . . . . . 10 (ℝ Γ— ℝ) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
2018, 19sstri 3958 . . . . . . . . 9 ( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
2117, 20sstri 3958 . . . . . . . 8 ran 𝐹 βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
2213, 21sstri 3958 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} βŠ† (ℝ* Γ— ℝ*)
2310fdmi 6685 . . . . . . 7 dom [,] = (ℝ* Γ— ℝ*)
2422, 23sseqtrri 3986 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} βŠ† dom [,]
25 funimass4 6912 . . . . . 6 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} βŠ† dom [,]) β†’ (([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}) βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆ€π‘€ ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} ([,]β€˜π‘€) ∈ 𝒫 𝐴))
2612, 24, 25mp2an 691 . . . . 5 (([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}) βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆ€π‘€ ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} ([,]β€˜π‘€) ∈ 𝒫 𝐴)
279, 26sylibr 233 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}) βŠ† 𝒫 𝐴)
28 sspwuni 5065 . . . 4 (([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}) βŠ† 𝒫 𝐴 ↔ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}) βŠ† 𝐴)
2927, 28sylib 217 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}) βŠ† 𝐴)
30 eqid 2737 . . . . . 6 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
3130rexmet 24170 . . . . 5 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
32 eqid 2737 . . . . . . 7 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
3330, 32tgioo 24175 . . . . . 6 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
3433mopni2 23865 . . . . 5 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑀(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐴)
3531, 34mp3an1 1449 . . . 4 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑀(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐴)
36 elssuni 4903 . . . . . . . . . 10 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
37 uniretop 24142 . . . . . . . . . 10 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
3836, 37sseqtrrdi 4000 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
3938sselda 3949 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
40 rpre 12930 . . . . . . . 8 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
4130bl2ioo 24171 . . . . . . . 8 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ) β†’ (𝑀(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)))
4239, 40, 41syl2an 597 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (𝑀(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) = ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)))
4342sseq1d 3980 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑀(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐴 ↔ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴))
44 2re 12234 . . . . . . . . . 10 2 ∈ ℝ
45 1lt2 12331 . . . . . . . . . 10 1 < 2
46 expnlbnd 14143 . . . . . . . . . 10 ((π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)
4744, 45, 46mp3an23 1454 . . . . . . . . 9 (π‘Ÿ ∈ ℝ+ β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)
4847ad2antrl 727 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) β†’ βˆƒπ‘› ∈ β„• (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)
4939ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ ℝ)
50 2nn 12233 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2 ∈ β„•
51 nnnn0 12427 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑛 ∈ β„• β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
5251ad2antrl 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑛 ∈ β„•0)
53 nnexpcl 13987 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((2 ∈ β„• ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
5450, 52, 53sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„•)
5554nnred 12175 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (2↑𝑛) ∈ ℝ)
5649, 55remulcld 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
57 fllelt 13709 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ≀ (𝑀 Β· (2↑𝑛)) ∧ (𝑀 Β· (2↑𝑛)) < ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1)))
5856, 57syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ≀ (𝑀 Β· (2↑𝑛)) ∧ (𝑀 Β· (2↑𝑛)) < ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1)))
5958simpld 496 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ≀ (𝑀 Β· (2↑𝑛)))
60 reflcl 13708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 Β· (2↑𝑛)) ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6156, 60syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6254nngt0d 12209 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 0 < (2↑𝑛))
63 ledivmul2 12041 . . . . . . . . . . . . 13 (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 𝑀 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≀ 𝑀 ↔ (βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ≀ (𝑀 Β· (2↑𝑛))))
6461, 49, 55, 62, 63syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≀ 𝑀 ↔ (βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ≀ (𝑀 Β· (2↑𝑛))))
6559, 64mpbird 257 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≀ 𝑀)
66 peano2re 11335 . . . . . . . . . . . . . 14 ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ∈ ℝ β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
6761, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
6867, 54nndivred 12214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
6958simprd 497 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 Β· (2↑𝑛)) < ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1))
70 ltmuldiv 12035 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) β†’ ((𝑀 Β· (2↑𝑛)) < ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑀 < (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7149, 67, 55, 62, 70syl112anc 1375 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((𝑀 Β· (2↑𝑛)) < ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑀 < (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7269, 71mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 < (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
7349, 68, 72ltled 11310 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ≀ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
7461, 54nndivred 12214 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
75 elicc2 13336 . . . . . . . . . . . 12 ((((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ) β†’ (𝑀 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
7674, 68, 75syl2anc 585 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑀 ∈ ℝ ∧ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≀ 𝑀 ∧ 𝑀 ≀ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
7749, 65, 73, 76mpbir3and 1343 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7856flcld 13710 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ∈ β„€)
7914dyadval 24972 . . . . . . . . . . . . 13 (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛) = ⟨((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8078, 52, 79syl2anc 585 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛) = ⟨((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8180fveq2d 6851 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) = ([,]β€˜βŸ¨((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩))
82 df-ov 7365 . . . . . . . . . . 11 (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) = ([,]β€˜βŸ¨((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8381, 82eqtr4di 2795 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) = (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
8477, 83eleqtrrd 2841 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)))
85 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛) β†’ ([,]β€˜π‘§) = ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)))
8685sseq1d 3980 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛) β†’ (([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴 ↔ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) βŠ† 𝐴))
87 ffn 6673 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐹:(β„€ Γ— β„•0)⟢( ≀ ∩ (ℝ Γ— ℝ)) β†’ 𝐹 Fn (β„€ Γ— β„•0))
8815, 87ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 𝐹 Fn (β„€ Γ— β„•0)
89 fnovrn 7534 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐹 Fn (β„€ Γ— β„•0) ∧ (βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ∈ β„€ ∧ 𝑛 ∈ β„•0) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹)
9088, 78, 52, 89mp3an2i 1467 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ ran 𝐹)
91 simplrl 776 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ+)
9291rpred 12964 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ π‘Ÿ ∈ ℝ)
9349, 92resubcld 11590 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ)
9493rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
9549, 92readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
9695rexrd 11212 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*)
9774, 92readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + π‘Ÿ) ∈ ℝ)
9861recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) ∈ β„‚)
99 1cnd 11157 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 1 ∈ β„‚)
10055recnd 11190 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (2↑𝑛) ∈ β„‚)
10154nnne0d 12210 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (2↑𝑛) β‰  0)
10298, 99, 100, 101divdird 11976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) = (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))))
10354nnrecred 12211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
104 simprr 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)
105103, 92, 74, 104ltadd2dd 11321 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) < (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + π‘Ÿ))
106102, 105eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + π‘Ÿ))
10749, 68, 97, 72, 106lttrd 11323 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 < (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + π‘Ÿ))
10849, 92, 74ltsubaddd 11758 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ↔ 𝑀 < (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + π‘Ÿ)))
109107, 108mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 βˆ’ π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
11049, 103readdcld 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
11174, 49, 103, 65leadd1dd 11776 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) ≀ (𝑀 + (1 / (2↑𝑛))))
112102, 111eqbrtrd 5132 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ≀ (𝑀 + (1 / (2↑𝑛))))
113103, 92, 49, 104ltadd2dd 11321 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (𝑀 + (1 / (2↑𝑛))) < (𝑀 + π‘Ÿ))
11468, 110, 95, 112, 113lelttrd 11320 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑀 + π‘Ÿ))
115 iccssioo 13340 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ) ∈ ℝ* ∧ (𝑀 + π‘Ÿ) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ) < ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∧ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑀 + π‘Ÿ))) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) βŠ† ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)))
11694, 96, 109, 114, 115syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) βŠ† ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)))
11783, 116eqsstrd 3987 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) βŠ† ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)))
118 simplrr 777 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)
119117, 118sstrd 3959 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) βŠ† 𝐴)
12086, 90, 119elrabd 3652 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴})
121 funfvima2 7186 . . . . . . . . . . 11 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} βŠ† dom [,]) β†’ (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} β†’ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴})))
12212, 24, 121mp2an 691 . . . . . . . . . 10 (((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} β†’ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}))
123120, 122syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}))
124 elunii 4875 . . . . . . . . 9 ((𝑀 ∈ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∧ ([,]β€˜((βŒŠβ€˜(𝑀 Β· (2↑𝑛)))𝐹𝑛)) ∈ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴})) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}))
12584, 123, 124syl2anc 585 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ β„• ∧ (1 / (2↑𝑛)) < π‘Ÿ)) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}))
12648, 125rexlimddv 3159 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ (π‘Ÿ ∈ ℝ+ ∧ ((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴)) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}))
127126expr 458 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ (((𝑀 βˆ’ π‘Ÿ)(,)(𝑀 + π‘Ÿ)) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴})))
12843, 127sylbid 239 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) ∧ π‘Ÿ ∈ ℝ+) β†’ ((𝑀(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴})))
129128rexlimdva 3153 . . . 4 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ (βˆƒπ‘Ÿ ∈ ℝ+ (𝑀(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))π‘Ÿ) βŠ† 𝐴 β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴})))
13035, 129mpd 15 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝑀 ∈ 𝐴) β†’ 𝑀 ∈ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}))
13129, 130eqelssd 3970 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}) = 𝐴)
132 fveq2 6847 . . . . . . 7 (𝑐 = π‘Ž β†’ ([,]β€˜π‘) = ([,]β€˜π‘Ž))
133132sseq1d 3980 . . . . . 6 (𝑐 = π‘Ž β†’ (([,]β€˜π‘) βŠ† ([,]β€˜π‘) ↔ ([,]β€˜π‘Ž) βŠ† ([,]β€˜π‘)))
134 equequ1 2029 . . . . . 6 (𝑐 = π‘Ž β†’ (𝑐 = 𝑏 ↔ π‘Ž = 𝑏))
135133, 134imbi12d 345 . . . . 5 (𝑐 = π‘Ž β†’ ((([,]β€˜π‘) βŠ† ([,]β€˜π‘) β†’ 𝑐 = 𝑏) ↔ (([,]β€˜π‘Ž) βŠ† ([,]β€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏)))
136135ralbidv 3175 . . . 4 (𝑐 = π‘Ž β†’ (βˆ€π‘ ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} (([,]β€˜π‘) βŠ† ([,]β€˜π‘) β†’ 𝑐 = 𝑏) ↔ βˆ€π‘ ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} (([,]β€˜π‘Ž) βŠ† ([,]β€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏)))
137136cbvrabv 3420 . . 3 {𝑐 ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} ∣ βˆ€π‘ ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} (([,]β€˜π‘) βŠ† ([,]β€˜π‘) β†’ 𝑐 = 𝑏)} = {π‘Ž ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} ∣ βˆ€π‘ ∈ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} (([,]β€˜π‘Ž) βŠ† ([,]β€˜π‘) β†’ π‘Ž = 𝑏)}
13813a1i 11 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴} βŠ† ran 𝐹)
13914, 137, 138dyadmbl 24980 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ βˆͺ ([,] β€œ {𝑧 ∈ ran 𝐹 ∣ ([,]β€˜π‘§) βŠ† 𝐴}) ∈ dom vol)
140131, 139eqeltrrd 2839 1 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 ∈ dom vol)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3065  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   ∩ cin 3914   βŠ† wss 3915  π’« cpw 4565  βŸ¨cop 4597  βˆͺ cuni 4870   class class class wbr 5110   Γ— cxp 5636  dom cdm 5638  ran crn 5639   β†Ύ cres 5640   β€œ cima 5641   ∘ ccom 5642  Fun wfun 6495   Fn wfn 6496  βŸΆwf 6497  β€˜cfv 6501  (class class class)co 7362   ∈ cmpo 7364  β„cr 11057  0cc0 11058  1c1 11059   + caddc 11061   Β· cmul 11063  β„*cxr 11195   < clt 11196   ≀ cle 11197   βˆ’ cmin 11392   / cdiv 11819  β„•cn 12160  2c2 12215  β„•0cn0 12420  β„€cz 12506  β„+crp 12922  (,)cioo 13271  [,]cicc 13274  βŒŠcfl 13702  β†‘cexp 13974  abscabs 15126  topGenctg 17326  βˆžMetcxmet 20797  ballcbl 20799  MetOpencmopn 20802  volcvol 24843
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-disj 5076  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-2o 8418  df-oadd 8421  df-omul 8422  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-fi 9354  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-dju 9844  df-card 9882  df-acn 9885  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-4 12225  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-xneg 13040  df-xadd 13041  df-xmul 13042  df-ioo 13275  df-ico 13277  df-icc 13278  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-rest 17311  df-topgen 17332  df-psmet 20804  df-xmet 20805  df-met 20806  df-bl 20807  df-mopn 20808  df-top 22259  df-topon 22276  df-bases 22312  df-cmp 22754  df-ovol 24844  df-vol 24845
This theorem is referenced by:  opnmbl  24982
  Copyright terms: Public domain W3C validator