MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnreen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnreen 22854
Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnreen ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)

Proof of Theorem opnreen
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10229 . . . . 5 ℝ ∈ V
2 elssuni 4603 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 (topGen‘ran (,)))
3 uniretop 22786 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
42, 3syl6sseqr 3801 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 ssdomg 8155 . . . . 5 (ℝ ∈ V → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ≼ ℝ))
61, 4, 5mpsyl 68 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ ℝ)
7 rpnnen 15162 . . . 4 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
8 domentr 8168 . . . 4 ((𝐴 ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ 𝒫 ℕ) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
96, 7, 8sylancl 566 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
109adantr 466 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
11 n0 4078 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
124sselda 3752 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 rpnnen2 15161 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
14 rphalfcl 12061 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
1514rpred 12075 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
16 resubcl 10547 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1715, 16sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
18 readdcl 10221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1915, 18sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
20 simpl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 ltsubrp 12069 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
2214, 21sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
23 ltaddrp 12070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
2414, 23sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
2517, 20, 19, 22, 24lttrd 10400 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
26 iccen 12524 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2))) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
2717, 19, 25, 26syl3anc 1476 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
28 domentr 8168 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2)))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
2913, 27, 28sylancr 567 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
30 ovex 6823 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
31 rpre 12042 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
32 resubcl 10547 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3331, 32sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3433rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ*)
35 readdcl 10221 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3631, 35sylan2 572 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3736rexrd 10291 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
3820recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
3915adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
4039recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
4138, 40, 40subsub4d 10625 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
4231adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
4342recnd 10270 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
44432halvesd 11480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
4544oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥𝑦))
4641, 45eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥𝑦))
4714adantl 467 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
4817, 47ltsubrpd 12107 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
4946, 48eqbrtrrd 4810 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
50 ltaddrp 12070 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
5119, 47, 50syl2anc 565 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
5238, 40, 40addassd 10264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
5344oveq2d 6809 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥 + 𝑦))
5452, 53eqtrd 2805 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + 𝑦))
5551, 54breqtrd 4812 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))
56 iccssioo 12447 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
5734, 37, 49, 55, 56syl22anc 1477 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
58 ssdomg 8155 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V → (((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))))
5930, 57, 58mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
60 domtr 8162 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ∧ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
6129, 59, 60syl2anc 565 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
62 eqid 2771 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
6362bl2ioo 22815 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
6431, 63sylan2 572 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
6561, 64breqtrrd 4814 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
6612, 65sylan 561 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
6766adantr 466 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
68 simplll 750 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
69 simpr 471 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
70 ssdomg 8155 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴))
7168, 69, 70sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴)
72 domtr 8162 . . . . . . . 8 ((𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
7367, 71, 72syl2anc 565 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
74 eqid 2771 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7562, 74tgioo 22819 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7675eleq2i 2842 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
7762rexmet 22814 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
7874mopni2 22518 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
7977, 78mp3an1 1559 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
8076, 79sylanb 562 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
8173, 80r19.29a 3226 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
8281ex 397 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑥𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
8382exlimdv 2013 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (∃𝑥 𝑥𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
8411, 83syl5bi 232 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
8584imp 393 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
86 sbth 8236 . 2 ((𝐴 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)
8710, 85, 86syl2anc 565 1 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 382   = wceq 1631  wex 1852  wcel 2145  wne 2943  wrex 3062  Vcvv 3351  wss 3723  c0 4063  𝒫 cpw 4297   cuni 4574   class class class wbr 4786   × cxp 5247  ran crn 5250  cres 5251  ccom 5253  cfv 6031  (class class class)co 6793  cen 8106  cdom 8107  cr 10137  0cc0 10138  1c1 10139   + caddc 10141  *cxr 10275   < clt 10276  cmin 10468   / cdiv 10886  cn 11222  2c2 11272  +crp 12035  (,)cioo 12380  [,]cicc 12383  abscabs 14182  topGenctg 16306  ∞Metcxmt 19946  ballcbl 19948  MetOpencmopn 19951
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1870  ax-4 1885  ax-5 1991  ax-6 2057  ax-7 2093  ax-8 2147  ax-9 2154  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2203  ax-13 2408  ax-ext 2751  ax-rep 4904  ax-sep 4915  ax-nul 4923  ax-pow 4974  ax-pr 5034  ax-un 7096  ax-inf2 8702  ax-cnex 10194  ax-resscn 10195  ax-1cn 10196  ax-icn 10197  ax-addcl 10198  ax-addrcl 10199  ax-mulcl 10200  ax-mulrcl 10201  ax-mulcom 10202  ax-addass 10203  ax-mulass 10204  ax-distr 10205  ax-i2m1 10206  ax-1ne0 10207  ax-1rid 10208  ax-rnegex 10209  ax-rrecex 10210  ax-cnre 10211  ax-pre-lttri 10212  ax-pre-lttrn 10213  ax-pre-ltadd 10214  ax-pre-mulgt0 10215  ax-pre-sup 10216
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1634  df-fal 1637  df-ex 1853  df-nf 1858  df-sb 2050  df-eu 2622  df-mo 2623  df-clab 2758  df-cleq 2764  df-clel 2767  df-nfc 2902  df-ne 2944  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3353  df-sbc 3588  df-csb 3683  df-dif 3726  df-un 3728  df-in 3730  df-ss 3737  df-pss 3739  df-nul 4064  df-if 4226  df-pw 4299  df-sn 4317  df-pr 4319  df-tp 4321  df-op 4323  df-uni 4575  df-int 4612  df-iun 4656  df-br 4787  df-opab 4847  df-mpt 4864  df-tr 4887  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-se 5209  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-isom 6040  df-riota 6754  df-ov 6796  df-oprab 6797  df-mpt2 6798  df-om 7213  df-1st 7315  df-2nd 7316  df-wrecs 7559  df-recs 7621  df-rdg 7659  df-1o 7713  df-2o 7714  df-oadd 7717  df-omul 7718  df-er 7896  df-map 8011  df-pm 8012  df-en 8110  df-dom 8111  df-sdom 8112  df-fin 8113  df-sup 8504  df-inf 8505  df-oi 8571  df-card 8965  df-acn 8968  df-pnf 10278  df-mnf 10279  df-xr 10280  df-ltxr 10281  df-le 10282  df-sub 10470  df-neg 10471  df-div 10887  df-nn 11223  df-2 11281  df-3 11282  df-n0 11495  df-z 11580  df-uz 11889  df-q 11992  df-rp 12036  df-xneg 12151  df-xadd 12152  df-xmul 12153  df-ioo 12384  df-ico 12386  df-icc 12387  df-fz 12534  df-fzo 12674  df-fl 12801  df-seq 13009  df-exp 13068  df-hash 13322  df-cj 14047  df-re 14048  df-im 14049  df-sqrt 14183  df-abs 14184  df-limsup 14410  df-clim 14427  df-rlim 14428  df-sum 14625  df-topgen 16312  df-psmet 19953  df-xmet 19954  df-met 19955  df-bl 19956  df-mopn 19957  df-top 20919  df-topon 20936  df-bases 20971
This theorem is referenced by:  rectbntr0  22855
  Copyright terms: Public domain W3C validator