MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnreen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnreen 24217
Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnreen ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝒫 β„•)

Proof of Theorem opnreen
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11150 . . . 4 ℝ ∈ V
2 elssuni 4902 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
3 uniretop 24149 . . . . 5 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
42, 3sseqtrrdi 3999 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5 ssdomg 8946 . . . 4 (ℝ ∈ V β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ 𝐴 β‰Ό ℝ))
61, 4, 5mpsyl 68 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 β‰Ό ℝ)
7 rpnnen 16117 . . 3 ℝ β‰ˆ 𝒫 β„•
8 domentr 8959 . . 3 ((𝐴 β‰Ό ℝ ∧ ℝ β‰ˆ 𝒫 β„•) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 β„•)
96, 7, 8sylancl 587 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 β„•)
10 n0 4310 . . . 4 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
114sselda 3948 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
12 rpnnen2 16116 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 β„• β‰Ό (0[,]1)
13 rphalfcl 12950 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
1413rpred 12965 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
15 resubcl 11473 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1614, 15sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
17 readdcl 11142 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1814, 17sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
19 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
20 ltsubrp 12959 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < π‘₯)
2113, 20sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < π‘₯)
22 ltaddrp 12960 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + (𝑦 / 2)))
2313, 22sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + (𝑦 / 2)))
2416, 19, 18, 21, 23lttrd 11324 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + (𝑦 / 2)))
25 iccen 13423 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + (𝑦 / 2))) β†’ (0[,]1) β‰ˆ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
2616, 18, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (0[,]1) β‰ˆ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
27 domentr 8959 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 β„• β‰Ό (0[,]1) ∧ (0[,]1) β‰ˆ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2)))) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
2812, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
29 ovex 7394 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) ∈ V
30 rpre 12931 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
31 resubcl 11473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
3230, 31sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
3332rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ*)
34 readdcl 11142 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3530, 34sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3635rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ*)
3719recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3814adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
3938recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
4037, 39, 39subsub4d 11551 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) βˆ’ (𝑦 / 2)) = (π‘₯ βˆ’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
4130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4241recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
43422halvesd 12407 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
4443oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
4540, 44eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) βˆ’ (𝑦 / 2)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
4613adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
4716, 46ltsubrpd 12997 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) βˆ’ (𝑦 / 2)) < (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)))
4845, 47eqbrtrrd 5133 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) < (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)))
4918, 46ltaddrpd 12998 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) < ((π‘₯ + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
5037, 39, 39addassd 11185 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (π‘₯ + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
5143oveq2d 7377 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (π‘₯ + 𝑦))
5250, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (π‘₯ + 𝑦))
5349, 52breqtrd 5135 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + 𝑦))
54 iccssioo 13342 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦) < (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∧ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + 𝑦))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
5533, 36, 48, 53, 54syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
56 ssdomg 8946 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) ∈ V β†’ (((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦))))
5729, 55, 56mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
58 domtr 8953 . . . . . . . . . . 11 ((𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) ∧ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦))) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
5928, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
60 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
6160bl2ioo 24178 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
6230, 61sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
6359, 62breqtrrd 5137 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦))
6411, 63sylan 581 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦))
65 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
66 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
67 ssdomg 8946 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) β‰Ό 𝐴))
6865, 66, 67sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) β‰Ό 𝐴)
69 domtr 8953 . . . . . . . 8 ((𝒫 β„• β‰Ό (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) β‰Ό 𝐴) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
7064, 68, 69syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
71 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7260, 71tgioo 24182 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7372eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ 𝐴 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))))
7460rexmet 24177 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
7571mopni2 23872 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
7674, 75mp3an1 1449 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
7773, 76sylanb 582 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
7870, 77r19.29a 3156 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
7978ex 414 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴))
8079exlimdv 1937 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴))
8110, 80biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴))
8281imp 408 . 2 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
83 sbth 9043 . 2 ((𝐴 β‰Ό 𝒫 β„• ∧ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝒫 β„•)
849, 82, 83syl2an2r 684 1 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝒫 β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3447   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4286  π’« cpw 4564  βˆͺ cuni 4869   class class class wbr 5109   Γ— cxp 5635  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639   ∘ ccom 5641  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361   β‰ˆ cen 8886   β‰Ό cdom 8887  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062  β„*cxr 11196   < clt 11197   βˆ’ cmin 11393   / cdiv 11820  β„•cn 12161  2c2 12216  β„+crp 12923  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  abscabs 15128  topGenctg 17327  βˆžMetcxmet 20804  ballcbl 20806  MetOpencmopn 20809
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-oadd 8420  df-omul 8421  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-acn 9886  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-n0 12422  df-z 12508  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-limsup 15362  df-clim 15379  df-rlim 15380  df-sum 15580  df-topgen 17333  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-top 22266  df-topon 22283  df-bases 22319
This theorem is referenced by:  rectbntr0  24218
  Copyright terms: Public domain W3C validator