Theorem opnreen 24872

Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opnreen	⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)

Proof of Theorem opnreen

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11275	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2		elssuni 4961	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
3		uniretop 24804	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
4	2, 3	sseqtrrdi 4060	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		ssdomg 9060	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ≼ ℝ))
6	1, 4, 5	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ ℝ)
7		rpnnen 16275	. . 3 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
8		domentr 9073	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ 𝒫 ℕ) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
9	6, 7, 8	sylancl 585	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
10		n0 4376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
11	4	sselda 4008	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		rpnnen2 16274	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
13		rphalfcl 13084	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
14	13	rpred 13099	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
15		resubcl 11600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
16	14, 15	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
17		readdcl 11267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
18	14, 17	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
19		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		ltsubrp 13093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
21	13, 20	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
22		ltaddrp 13094	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
23	13, 22	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
24	16, 19, 18, 21, 23	lttrd 11451	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
25		iccen 13557	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2))) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
26	16, 18, 24, 25	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
27		domentr 9073	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2)))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
28	12, 26, 27	sylancr 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
29		ovex 7481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
30		rpre 13065	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
31		resubcl 11600	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
32	30, 31	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ*)
34		readdcl 11267	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
35	30, 34	sylan2 592	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
36	35	rexrd 11340	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
37	19	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
38	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
40	37, 39, 39	subsub4d 11678	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
41	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
42	41	recnd 11318	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	2halvesd 12539	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
44	43	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥 − 𝑦))
45	40, 44	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥 − 𝑦))
46	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
47	16, 46	ltsubrpd 13131	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
48	45, 47	eqbrtrrd 5190	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
49	18, 46	ltaddrpd 13132	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
50	37, 39, 39	addassd 11312	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
51	43	oveq2d 7464	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥 + 𝑦))
52	50, 51	eqtrd 2780	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + 𝑦))
53	49, 52	breqtrd 5192	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))
54		iccssioo 13476	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
55	33, 36, 48, 53, 54	syl22anc 838	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
56		ssdomg 9060	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V → (((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))))
57	29, 55, 56	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
58		domtr 9067	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ∧ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
59	28, 57, 58	syl2anc 583	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
60		eqid 2740	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
61	60	bl2ioo 24833	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
62	30, 61	sylan2 592	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
63	59, 62	breqtrrd 5194	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
64	11, 63	sylan 579	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
65		simplll 774	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
66		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
67		ssdomg 9060	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴))
68	65, 66, 67	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴)
69		domtr 9067	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
70	64, 68, 69	syl2an2r 684	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
71		eqid 2740	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
72	60, 71	tgioo 24837	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
73	72	eleq2i 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
74	60	rexmet 24832	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
75	71	mopni2 24527	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
76	74, 75	mp3an1 1448	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
77	73, 76	sylanb 580	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
78	70, 77	r19.29a 3168	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
79	78	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
80	79	exlimdv 1932	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
81	10, 80	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
82	81	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
83		sbth 9159	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)
84	9, 82, 83	syl2an2r 684	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537  ∃wex 1777   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∃wrex 3076  Vcvv 3488   ⊆ wss 3976  ∅c0 4352  𝒫 cpw 4622  ∪ cuni 4931   class class class wbr 5166   × cxp 5698  ran crn 5701   ↾ cres 5702   ∘ ccom 5704  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448   ≈ cen 9000   ≼ cdom 9001  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   + caddc 11187  ℝ^*cxr 11323   < clt 11324   − cmin 11520   / cdiv 11947  ℕcn 12293  2c2 12348  ℝ⁺crp 13057  (,)cioo 13407  [,]cicc 13410  abscabs 15283  topGenctg 17497  ∞Metcxmet 21372  ballcbl 21374  MetOpencmopn 21377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-inf2 9710  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261  ax-pre-sup 11262

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-se 5653  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-isom 6582  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-2o 8523  df-oadd 8526  df-omul 8527  df-er 8763  df-map 8886  df-pm 8887  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-sup 9511  df-inf 9512  df-oi 9579  df-card 10008  df-acn 10011  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-div 11948  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-n0 12554  df-z 12640  df-uz 12904  df-q 13014  df-rp 13058  df-xneg 13175  df-xadd 13176  df-xmul 13177  df-ioo 13411  df-ico 13413  df-icc 13414  df-fz 13568  df-fzo 13712  df-fl 13843  df-seq 14053  df-exp 14113  df-hash 14380  df-cj 15148  df-re 15149  df-im 15150  df-sqrt 15284  df-abs 15285  df-limsup 15517  df-clim 15534  df-rlim 15535  df-sum 15735  df-topgen 17503  df-psmet 21379  df-xmet 21380  df-met 21381  df-bl 21382  df-mopn 21383  df-top 22921  df-topon 22938  df-bases 22974

This theorem is referenced by:  rectbntr0  24873