Theorem opnreen 24807

Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
opnreen	⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)

Proof of Theorem opnreen

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reex 11120	. . . 4 ⊢ ℝ ∈ V
2		elssuni 4882	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ∪ (topGen‘ran (,)))
3		uniretop 24737	. . . . 5 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
4	2, 3	sseqtrrdi 3964	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5		ssdomg 8940	. . . 4 ⊢ (ℝ ∈ V → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ≼ ℝ))
6	1, 4, 5	mpsyl 68	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ ℝ)
7		rpnnen 16185	. . 3 ⊢ ℝ ≈ 𝒫 ℕ
8		domentr 8953	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ 𝒫 ℕ) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
9	6, 7, 8	sylancl 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
10		n0 4294	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴)
11	4	sselda 3922	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
12		rpnnen2 16184	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
13		rphalfcl 12962	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
14	13	rpred 12977	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
15		resubcl 11449	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
16	14, 15	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
17		readdcl 11112	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
18	14, 17	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
19		simpl 482	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
20		ltsubrp 12971	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
21	13, 20	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
22		ltaddrp 12972	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
23	13, 22	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
24	16, 19, 18, 21, 23	lttrd 11298	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
25		iccen 13441	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2))) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
26	16, 18, 24, 25	syl3anc 1374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
27		domentr 8953	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2)))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
28	12, 26, 27	sylancr 588	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
29		ovex 7393	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
30		rpre 12942	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ+ → 𝑦 ∈ ℝ)
31		resubcl 11449	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
32	30, 31	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ)
33	32	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ*)
34		readdcl 11112	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
35	30, 34	sylan2 594	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
36	35	rexrd 11186	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
37	19	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
38	14	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
39	38	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
40	37, 39, 39	subsub4d 11527	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
41	30	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
42	41	recnd 11164	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
43	42	2halvesd 12414	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
44	43	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥 − 𝑦))
45	40, 44	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥 − 𝑦))
46	13	adantl 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
47	16, 46	ltsubrpd 13009	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
48	45, 47	eqbrtrrd 5110	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
49	18, 46	ltaddrpd 13010	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
50	37, 39, 39	addassd 11158	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
51	43	oveq2d 7376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥 + 𝑦))
52	50, 51	eqtrd 2772	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + 𝑦))
53	49, 52	breqtrd 5112	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))
54		iccssioo 13359	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑥 − 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥 − 𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
55	33, 36, 48, 53, 54	syl22anc 839	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
56		ssdomg 8940	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V → (((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))))
57	29, 55, 56	mpsyl 68	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
58		domtr 8947	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ∧ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
59	28, 57, 58	syl2anc 585	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
60		eqid 2737	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
61	60	bl2ioo 24767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
62	30, 61	sylan2 594	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥 − 𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
63	59, 62	breqtrrd 5114	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
64	11, 63	sylan 581	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
65		simplll 775	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
66		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
67		ssdomg 8940	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴))
68	65, 66, 67	sylc 65	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴)
69		domtr 8947	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
70	64, 68, 69	syl2an2r 686	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
71		eqid 2737	. . . . . . . . . 10 ⊢ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
72	60, 71	tgioo 24771	. . . . . . . . 9 ⊢ (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
73	72	eleq2i 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
74	60	rexmet 24766	. . . . . . . . 9 ⊢ ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
75	71	mopni2 24468	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
76	74, 75	mp3an1 1451	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
77	73, 76	sylanb 582	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
78	70, 77	r19.29a 3146	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
79	78	ex 412	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
80	79	exlimdv 1935	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (∃𝑥 𝑥 ∈ 𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
81	10, 80	biimtrid 242	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
82	81	imp 406	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
83		sbth 9028	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)
84	9, 82, 83	syl2an2r 686	1 ⊢ ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542  ∃wex 1781   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933  ∃wrex 3062  Vcvv 3430   ⊆ wss 3890  ∅c0 4274  𝒫 cpw 4542  ∪ cuni 4851   class class class wbr 5086   × cxp 5622  ran crn 5625   ↾ cres 5626   ∘ ccom 5628  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ≈ cen 8883   ≼ cdom 8884  ℝcr 11028  0cc0 11029  1c1 11030   + caddc 11032  ℝ^*cxr 11169   < clt 11170   − cmin 11368   / cdiv 11798  ℕcn 12165  2c2 12227  ℝ⁺crp 12933  (,)cioo 13289  [,]cicc 13292  abscabs 15187  topGenctg 17391  ∞Metcxmet 21329  ballcbl 21331  MetOpencmopn 21334

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-inf2 9553  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106  ax-pre-sup 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-2o 8399  df-oadd 8402  df-omul 8403  df-er 8636  df-map 8768  df-pm 8769  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-sup 9348  df-inf 9349  df-oi 9418  df-card 9854  df-acn 9857  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-div 11799  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-n0 12429  df-z 12516  df-uz 12780  df-q 12890  df-rp 12934  df-xneg 13054  df-xadd 13055  df-xmul 13056  df-ioo 13293  df-ico 13295  df-icc 13296  df-fz 13453  df-fzo 13600  df-fl 13742  df-seq 13955  df-exp 14015  df-hash 14284  df-cj 15052  df-re 15053  df-im 15054  df-sqrt 15188  df-abs 15189  df-limsup 15424  df-clim 15441  df-rlim 15442  df-sum 15640  df-topgen 17397  df-psmet 21336  df-xmet 21337  df-met 21338  df-bl 21339  df-mopn 21340  df-top 22869  df-topon 22886  df-bases 22921

This theorem is referenced by:  rectbntr0  24808