MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnreen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnreen 24347
Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnreen ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝒫 β„•)

Proof of Theorem opnreen
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11201 . . . 4 ℝ ∈ V
2 elssuni 4942 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
3 uniretop 24279 . . . . 5 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
42, 3sseqtrrdi 4034 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5 ssdomg 8996 . . . 4 (ℝ ∈ V β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ 𝐴 β‰Ό ℝ))
61, 4, 5mpsyl 68 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 β‰Ό ℝ)
7 rpnnen 16170 . . 3 ℝ β‰ˆ 𝒫 β„•
8 domentr 9009 . . 3 ((𝐴 β‰Ό ℝ ∧ ℝ β‰ˆ 𝒫 β„•) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 β„•)
96, 7, 8sylancl 587 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 β„•)
10 n0 4347 . . . 4 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
114sselda 3983 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
12 rpnnen2 16169 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 β„• β‰Ό (0[,]1)
13 rphalfcl 13001 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
1413rpred 13016 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
15 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1614, 15sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
17 readdcl 11193 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1814, 17sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
19 simpl 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
20 ltsubrp 13010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < π‘₯)
2113, 20sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < π‘₯)
22 ltaddrp 13011 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + (𝑦 / 2)))
2313, 22sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + (𝑦 / 2)))
2416, 19, 18, 21, 23lttrd 11375 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + (𝑦 / 2)))
25 iccen 13474 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + (𝑦 / 2))) β†’ (0[,]1) β‰ˆ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
2616, 18, 24, 25syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (0[,]1) β‰ˆ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
27 domentr 9009 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 β„• β‰Ό (0[,]1) ∧ (0[,]1) β‰ˆ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2)))) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
2812, 26, 27sylancr 588 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
29 ovex 7442 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) ∈ V
30 rpre 12982 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
31 resubcl 11524 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
3230, 31sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
3332rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ*)
34 readdcl 11193 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3530, 34sylan2 594 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3635rexrd 11264 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ*)
3719recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3814adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
3938recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
4037, 39, 39subsub4d 11602 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) βˆ’ (𝑦 / 2)) = (π‘₯ βˆ’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
4130adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4241recnd 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
43422halvesd 12458 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
4443oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
4540, 44eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) βˆ’ (𝑦 / 2)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
4613adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
4716, 46ltsubrpd 13048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) βˆ’ (𝑦 / 2)) < (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)))
4845, 47eqbrtrrd 5173 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) < (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)))
4918, 46ltaddrpd 13049 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) < ((π‘₯ + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
5037, 39, 39addassd 11236 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (π‘₯ + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
5143oveq2d 7425 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (π‘₯ + 𝑦))
5250, 51eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (π‘₯ + 𝑦))
5349, 52breqtrd 5175 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + 𝑦))
54 iccssioo 13393 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦) < (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∧ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + 𝑦))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
5533, 36, 48, 53, 54syl22anc 838 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
56 ssdomg 8996 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) ∈ V β†’ (((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦))))
5729, 55, 56mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
58 domtr 9003 . . . . . . . . . . 11 ((𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) ∧ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦))) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
5928, 57, 58syl2anc 585 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
60 eqid 2733 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
6160bl2ioo 24308 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
6230, 61sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
6359, 62breqtrrd 5177 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦))
6411, 63sylan 581 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦))
65 simplll 774 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
66 simpr 486 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
67 ssdomg 8996 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) β‰Ό 𝐴))
6865, 66, 67sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) β‰Ό 𝐴)
69 domtr 9003 . . . . . . . 8 ((𝒫 β„• β‰Ό (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) β‰Ό 𝐴) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
7064, 68, 69syl2an2r 684 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
71 eqid 2733 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7260, 71tgioo 24312 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7372eleq2i 2826 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ 𝐴 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))))
7460rexmet 24307 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
7571mopni2 24002 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
7674, 75mp3an1 1449 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
7773, 76sylanb 582 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
7870, 77r19.29a 3163 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
7978ex 414 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴))
8079exlimdv 1937 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴))
8110, 80biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴))
8281imp 408 . 2 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
83 sbth 9093 . 2 ((𝐴 β‰Ό 𝒫 β„• ∧ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝒫 β„•)
849, 82, 83syl2an2r 684 1 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝒫 β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542  βˆƒwex 1782   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2941  βˆƒwrex 3071  Vcvv 3475   βŠ† wss 3949  βˆ…c0 4323  π’« cpw 4603  βˆͺ cuni 4909   class class class wbr 5149   Γ— cxp 5675  ran crn 5678   β†Ύ cres 5679   ∘ ccom 5681  β€˜cfv 6544  (class class class)co 7409   β‰ˆ cen 8936   β‰Ό cdom 8937  β„cr 11109  0cc0 11110  1c1 11111   + caddc 11113  β„*cxr 11247   < clt 11248   βˆ’ cmin 11444   / cdiv 11871  β„•cn 12212  2c2 12267  β„+crp 12974  (,)cioo 13324  [,]cicc 13327  abscabs 15181  topGenctg 17383  βˆžMetcxmet 20929  ballcbl 20931  MetOpencmopn 20934
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-inf2 9636  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-pre-sup 11188
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-isom 6553  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-2o 8467  df-oadd 8470  df-omul 8471  df-er 8703  df-map 8822  df-pm 8823  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-sup 9437  df-inf 9438  df-oi 9505  df-card 9934  df-acn 9937  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-div 11872  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-q 12933  df-rp 12975  df-xneg 13092  df-xadd 13093  df-xmul 13094  df-ioo 13328  df-ico 13330  df-icc 13331  df-fz 13485  df-fzo 13628  df-fl 13757  df-seq 13967  df-exp 14028  df-hash 14291  df-cj 15046  df-re 15047  df-im 15048  df-sqrt 15182  df-abs 15183  df-limsup 15415  df-clim 15432  df-rlim 15433  df-sum 15633  df-topgen 17389  df-psmet 20936  df-xmet 20937  df-met 20938  df-bl 20939  df-mopn 20940  df-top 22396  df-topon 22413  df-bases 22449
This theorem is referenced by:  rectbntr0  24348
  Copyright terms: Public domain W3C validator