MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnreen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnreen 22851
Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnreen ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)

Proof of Theorem opnreen
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 10315 . . . . 5 ℝ ∈ V
2 elssuni 4668 . . . . . 6 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 (topGen‘ran (,)))
3 uniretop 22783 . . . . . 6 ℝ = (topGen‘ran (,))
42, 3syl6sseqr 3856 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
5 ssdomg 8241 . . . . 5 (ℝ ∈ V → (𝐴 ⊆ ℝ → 𝐴 ≼ ℝ))
61, 4, 5mpsyl 68 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ ℝ)
7 rpnnen 15179 . . . 4 ℝ ≈ 𝒫 ℕ
8 domentr 8254 . . . 4 ((𝐴 ≼ ℝ ∧ ℝ ≈ 𝒫 ℕ) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
96, 7, 8sylancl 576 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
109adantr 468 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≼ 𝒫 ℕ)
11 n0 4139 . . . 4 (𝐴 ≠ ∅ ↔ ∃𝑥 𝑥𝐴)
124sselda 3805 . . . . . . . . . 10 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝑥 ∈ ℝ)
13 rpnnen2 15178 . . . . . . . . . . . . 13 𝒫 ℕ ≼ (0[,]1)
14 rphalfcl 12075 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
1514rpred 12089 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
16 resubcl 10633 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1715, 16sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
18 readdcl 10307 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1915, 18sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
20 simpl 470 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℝ)
21 ltsubrp 12083 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
2214, 21sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < 𝑥)
23 ltaddrp 12084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
2414, 23sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
2517, 20, 19, 22, 24lttrd 10486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2)))
26 iccen 12543 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝑥 − (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑥 − (𝑦 / 2)) < (𝑥 + (𝑦 / 2))) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
2717, 19, 25, 26syl3anc 1483 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
28 domentr 8254 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝒫 ℕ ≼ (0[,]1) ∧ (0[,]1) ≈ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2)))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
2913, 27, 28sylancr 577 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))))
30 ovex 6909 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V
31 rpre 12056 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑦 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ)
32 resubcl 10633 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3331, 32sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ)
3433rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦) ∈ ℝ*)
35 readdcl 10307 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3631, 35sylan2 582 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ)
3736rexrd 10377 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*)
3820recnd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑥 ∈ ℂ)
3915adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
4039recnd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℂ)
4138, 40, 40subsub4d 10711 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
4231adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℝ)
4342recnd 10356 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝑦 ∈ ℂ)
44432halvesd 11548 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
4544oveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 − ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥𝑦))
4641, 45eqtrd 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) = (𝑥𝑦))
4714adantl 469 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
4817, 47ltsubrpd 12121 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2)) − (𝑦 / 2)) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
4946, 48eqbrtrrd 4875 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)))
50 ltaddrp 12084 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝑥 + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
5119, 47, 50syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
5238, 40, 40addassd 10350 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
5344oveq2d 6893 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (𝑥 + 𝑦))
5452, 53eqtrd 2847 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (𝑥 + 𝑦))
5551, 54breqtrd 4877 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))
56 iccssioo 12463 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝑥𝑦) ∈ ℝ* ∧ (𝑥 + 𝑦) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑥𝑦) < (𝑥 − (𝑦 / 2)) ∧ (𝑥 + (𝑦 / 2)) < (𝑥 + 𝑦))) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
5734, 37, 49, 55, 56syl22anc 858 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
58 ssdomg 8241 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) ∈ V → (((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ⊆ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))))
5930, 57, 58mpsyl 68 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
60 domtr 8248 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 ℕ ≼ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ∧ ((𝑥 − (𝑦 / 2))[,](𝑥 + (𝑦 / 2))) ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦))) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
6129, 59, 60syl2anc 575 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
62 eqid 2813 . . . . . . . . . . . . 13 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
6362bl2ioo 22812 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
6431, 63sylan2 582 . . . . . . . . . . 11 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) = ((𝑥𝑦)(,)(𝑥 + 𝑦)))
6561, 64breqtrrd 4879 . . . . . . . . . 10 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
6612, 65sylan 571 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
6766adantr 468 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦))
68 simplll 782 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)))
69 simpr 473 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
70 ssdomg 8241 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ((𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴 → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴))
7168, 69, 70sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴)
72 domtr 8248 . . . . . . . 8 ((𝒫 ℕ ≼ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ≼ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
7367, 71, 72syl2anc 575 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
74 eqid 2813 . . . . . . . . . 10 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7562, 74tgioo 22816 . . . . . . . . 9 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
7675eleq2i 2884 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ↔ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))))
7762rexmet 22811 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
7874mopni2 22515 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
7977, 78mp3an1 1565 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
8076, 79sylanb 572 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → ∃𝑦 ∈ ℝ+ (𝑥(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑦) ⊆ 𝐴)
8173, 80r19.29a 3273 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑥𝐴) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
8281ex 399 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝑥𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
8382exlimdv 2024 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (∃𝑥 𝑥𝐴 → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
8411, 83syl5bi 233 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → (𝐴 ≠ ∅ → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴))
8584imp 395 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝒫 ℕ ≼ 𝐴)
86 sbth 8322 . 2 ((𝐴 ≼ 𝒫 ℕ ∧ 𝒫 ℕ ≼ 𝐴) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)
8710, 85, 86syl2anc 575 1 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝐴 ≠ ∅) → 𝐴 ≈ 𝒫 ℕ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2157  wne 2985  wrex 3104  Vcvv 3398  wss 3776  c0 4123  𝒫 cpw 4358   cuni 4637   class class class wbr 4851   × cxp 5316  ran crn 5319  cres 5320  ccom 5322  cfv 6104  (class class class)co 6877  cen 8192  cdom 8193  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   + caddc 10227  *cxr 10361   < clt 10362  cmin 10554   / cdiv 10972  cn 11308  2c2 11359  +crp 12049  (,)cioo 12396  [,]cicc 12399  abscabs 14200  topGenctg 16306  ∞Metcxmt 19942  ballcbl 19944  MetOpencmopn 19947
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2186  ax-11 2202  ax-12 2215  ax-13 2422  ax-ext 2791  ax-rep 4971  ax-sep 4982  ax-nul 4990  ax-pow 5042  ax-pr 5103  ax-un 7182  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2062  df-mo 2635  df-eu 2638  df-clab 2800  df-cleq 2806  df-clel 2809  df-nfc 2944  df-ne 2986  df-nel 3089  df-ral 3108  df-rex 3109  df-reu 3110  df-rmo 3111  df-rab 3112  df-v 3400  df-sbc 3641  df-csb 3736  df-dif 3779  df-un 3781  df-in 3783  df-ss 3790  df-pss 3792  df-nul 4124  df-if 4287  df-pw 4360  df-sn 4378  df-pr 4380  df-tp 4382  df-op 4384  df-uni 4638  df-int 4677  df-iun 4721  df-br 4852  df-opab 4914  df-mpt 4931  df-tr 4954  df-id 5226  df-eprel 5231  df-po 5239  df-so 5240  df-fr 5277  df-se 5278  df-we 5279  df-xp 5324  df-rel 5325  df-cnv 5326  df-co 5327  df-dm 5328  df-rn 5329  df-res 5330  df-ima 5331  df-pred 5900  df-ord 5946  df-on 5947  df-lim 5948  df-suc 5949  df-iota 6067  df-fun 6106  df-fn 6107  df-f 6108  df-f1 6109  df-fo 6110  df-f1o 6111  df-fv 6112  df-isom 6113  df-riota 6838  df-ov 6880  df-oprab 6881  df-mpt2 6882  df-om 7299  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-omul 7804  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-acn 9054  df-pnf 10364  df-mnf 10365  df-xr 10366  df-ltxr 10367  df-le 10368  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10973  df-nn 11309  df-2 11367  df-3 11368  df-n0 11563  df-z 11647  df-uz 11908  df-q 12011  df-rp 12050  df-xneg 12165  df-xadd 12166  df-xmul 12167  df-ioo 12400  df-ico 12402  df-icc 12403  df-fz 12553  df-fzo 12693  df-fl 12820  df-seq 13028  df-exp 13087  df-hash 13341  df-cj 14065  df-re 14066  df-im 14067  df-sqrt 14201  df-abs 14202  df-limsup 14428  df-clim 14445  df-rlim 14446  df-sum 14643  df-topgen 16312  df-psmet 19949  df-xmet 19950  df-met 19951  df-bl 19952  df-mopn 19953  df-top 20916  df-topon 20933  df-bases 20968
This theorem is referenced by:  rectbntr0  22852
  Copyright terms: Public domain W3C validator