MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  opnreen Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnreen 24346
Description: Every nonempty open set is uncountable. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jul-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
opnreen ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝒫 β„•)

Proof of Theorem opnreen
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reex 11200 . . . 4 ℝ ∈ V
2 elssuni 4941 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† βˆͺ (topGenβ€˜ran (,)))
3 uniretop 24278 . . . . 5 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
42, 3sseqtrrdi 4033 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 βŠ† ℝ)
5 ssdomg 8995 . . . 4 (ℝ ∈ V β†’ (𝐴 βŠ† ℝ β†’ 𝐴 β‰Ό ℝ))
61, 4, 5mpsyl 68 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 β‰Ό ℝ)
7 rpnnen 16169 . . 3 ℝ β‰ˆ 𝒫 β„•
8 domentr 9008 . . 3 ((𝐴 β‰Ό ℝ ∧ ℝ β‰ˆ 𝒫 β„•) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 β„•)
96, 7, 8sylancl 586 . 2 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ 𝐴 β‰Ό 𝒫 β„•)
10 n0 4346 . . . 4 (𝐴 β‰  βˆ… ↔ βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴)
114sselda 3982 . . . . . . . . 9 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
12 rpnnen2 16168 . . . . . . . . . . . 12 𝒫 β„• β‰Ό (0[,]1)
13 rphalfcl 13000 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
1413rpred 13015 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
15 resubcl 11523 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1614, 15sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
17 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
1814, 17sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ)
19 simpl 483 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ ℝ)
20 ltsubrp 13009 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < π‘₯)
2113, 20sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < π‘₯)
22 ltaddrp 13010 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + (𝑦 / 2)))
2313, 22sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ < (π‘₯ + (𝑦 / 2)))
2416, 19, 18, 21, 23lttrd 11374 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + (𝑦 / 2)))
25 iccen 13473 . . . . . . . . . . . . 13 (((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) ∈ ℝ ∧ (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + (𝑦 / 2))) β†’ (0[,]1) β‰ˆ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
2616, 18, 24, 25syl3anc 1371 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (0[,]1) β‰ˆ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
27 domentr 9008 . . . . . . . . . . . 12 ((𝒫 β„• β‰Ό (0[,]1) ∧ (0[,]1) β‰ˆ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2)))) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
2812, 26, 27sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))))
29 ovex 7441 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) ∈ V
30 rpre 12981 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑦 ∈ ℝ+ β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
31 resubcl 11523 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
3230, 31sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ)
3332rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ*)
34 readdcl 11192 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3530, 34sylan2 593 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ)
3635rexrd 11263 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ*)
3719recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
3814adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ)
3938recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ β„‚)
4037, 39, 39subsub4d 11601 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) βˆ’ (𝑦 / 2)) = (π‘₯ βˆ’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
4130adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
4241recnd 11241 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
43422halvesd 12457 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2)) = 𝑦)
4443oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
4540, 44eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) βˆ’ (𝑦 / 2)) = (π‘₯ βˆ’ 𝑦))
4613adantl 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (𝑦 / 2) ∈ ℝ+)
4716, 46ltsubrpd 13047 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) βˆ’ (𝑦 / 2)) < (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)))
4845, 47eqbrtrrd 5172 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ βˆ’ 𝑦) < (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)))
4918, 46ltaddrpd 13048 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) < ((π‘₯ + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)))
5037, 39, 39addassd 11235 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (π‘₯ + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))))
5143oveq2d 7424 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + ((𝑦 / 2) + (𝑦 / 2))) = (π‘₯ + 𝑦))
5250, 51eqtrd 2772 . . . . . . . . . . . . . 14 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ + (𝑦 / 2)) + (𝑦 / 2)) = (π‘₯ + 𝑦))
5349, 52breqtrd 5174 . . . . . . . . . . . . 13 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + 𝑦))
54 iccssioo 13392 . . . . . . . . . . . . 13 ((((π‘₯ βˆ’ 𝑦) ∈ ℝ* ∧ (π‘₯ + 𝑦) ∈ ℝ*) ∧ ((π‘₯ βˆ’ 𝑦) < (π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2)) ∧ (π‘₯ + (𝑦 / 2)) < (π‘₯ + 𝑦))) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
5533, 36, 48, 53, 54syl22anc 837 . . . . . . . . . . . 12 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
56 ssdomg 8995 . . . . . . . . . . . 12 (((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) ∈ V β†’ (((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) βŠ† ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦))))
5729, 55, 56mpsyl 68 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
58 domtr 9002 . . . . . . . . . . 11 ((𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) ∧ ((π‘₯ βˆ’ (𝑦 / 2))[,](π‘₯ + (𝑦 / 2))) β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦))) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
5928, 57, 58syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
60 eqid 2732 . . . . . . . . . . . 12 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) = ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))
6160bl2ioo 24307 . . . . . . . . . . 11 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
6230, 61sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) = ((π‘₯ βˆ’ 𝑦)(,)(π‘₯ + 𝑦)))
6359, 62breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 ((π‘₯ ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦))
6411, 63sylan 580 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦))
65 simplll 773 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
66 simpr 485 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
67 ssdomg 8995 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ ((π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴 β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) β‰Ό 𝐴))
6865, 66, 67sylc 65 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) β‰Ό 𝐴)
69 domtr 9002 . . . . . . . 8 ((𝒫 β„• β‰Ό (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) β‰Ό 𝐴) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
7064, 68, 69syl2an2r 683 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ ℝ+) ∧ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
71 eqid 2732 . . . . . . . . . 10 (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7260, 71tgioo 24311 . . . . . . . . 9 (topGenβ€˜ran (,)) = (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))
7372eleq2i 2825 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ↔ 𝐴 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))))
7460rexmet 24306 . . . . . . . . 9 ((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„)
7571mopni2 24001 . . . . . . . . 9 ((((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)) ∈ (∞Metβ€˜β„) ∧ 𝐴 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
7674, 75mp3an1 1448 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ (MetOpenβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ))) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
7773, 76sylanb 581 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ βˆƒπ‘¦ ∈ ℝ+ (π‘₯(ballβ€˜((abs ∘ βˆ’ ) β†Ύ (ℝ Γ— ℝ)))𝑦) βŠ† 𝐴)
7870, 77r19.29a 3162 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ π‘₯ ∈ 𝐴) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
7978ex 413 . . . . 5 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴))
8079exlimdv 1936 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (βˆƒπ‘₯ π‘₯ ∈ 𝐴 β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴))
8110, 80biimtrid 241 . . 3 (𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) β†’ (𝐴 β‰  βˆ… β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴))
8281imp 407 . 2 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴)
83 sbth 9092 . 2 ((𝐴 β‰Ό 𝒫 β„• ∧ 𝒫 β„• β‰Ό 𝐴) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝒫 β„•)
849, 82, 83syl2an2r 683 1 ((𝐴 ∈ (topGenβ€˜ran (,)) ∧ 𝐴 β‰  βˆ…) β†’ 𝐴 β‰ˆ 𝒫 β„•)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541  βˆƒwex 1781   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940  βˆƒwrex 3070  Vcvv 3474   βŠ† wss 3948  βˆ…c0 4322  π’« cpw 4602  βˆͺ cuni 4908   class class class wbr 5148   Γ— cxp 5674  ran crn 5677   β†Ύ cres 5678   ∘ ccom 5680  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408   β‰ˆ cen 8935   β‰Ό cdom 8936  β„cr 11108  0cc0 11109  1c1 11110   + caddc 11112  β„*cxr 11246   < clt 11247   βˆ’ cmin 11443   / cdiv 11870  β„•cn 12211  2c2 12266  β„+crp 12973  (,)cioo 13323  [,]cicc 13326  abscabs 15180  topGenctg 17382  βˆžMetcxmet 20928  ballcbl 20930  MetOpencmopn 20933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-1o 8465  df-2o 8466  df-oadd 8469  df-omul 8470  df-er 8702  df-map 8821  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-acn 9936  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-div 11871  df-nn 12212  df-2 12274  df-3 12275  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-q 12932  df-rp 12974  df-xneg 13091  df-xadd 13092  df-xmul 13093  df-ioo 13327  df-ico 13329  df-icc 13330  df-fz 13484  df-fzo 13627  df-fl 13756  df-seq 13966  df-exp 14027  df-hash 14290  df-cj 15045  df-re 15046  df-im 15047  df-sqrt 15181  df-abs 15182  df-limsup 15414  df-clim 15431  df-rlim 15432  df-sum 15632  df-topgen 17388  df-psmet 20935  df-xmet 20936  df-met 20937  df-bl 20938  df-mopn 20939  df-top 22395  df-topon 22412  df-bases 22448
This theorem is referenced by:  rectbntr0  24347
  Copyright terms: Public domain W3C validator