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Theorem dvfsumlem2 25391

Description: Lemma for dvfsumrlim 25395. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
dvfsum.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsum.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
dvfsumlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsumlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsumlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsumlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))

**Assertion**
Ref	Expression
dvfsumlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋) ∧ ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))

Distinct variable groups: 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑘,𝐷 𝜑,𝑘,𝑥 𝑆,𝑘,𝑥 𝑘,𝑀,𝑥 𝑥,𝑇 𝑘,𝑌,𝑥 𝑥,𝑍 𝑈,𝑘,𝑥 𝑘,𝑋,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑘) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑇(𝑘) 𝐻(𝑥,𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘) 𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem2 Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13325	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3978	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sselid 3942	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7	6, 1	eleqtrdi 2848	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
8		dvfsum.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ^*)
10		elioopnf 13360	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
12	7, 11	mpbid 231	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
13	12	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
14		reflcl 13701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
16	5, 15	resubcld 11583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
17		csbeq1 3858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
18	17	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
19	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
20		dvfsum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		dvfsum.b1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
22		dvfsum.b3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
23	19, 20, 21, 22	dvmptrecl 25388	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	23	fmpttd 7063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
25		nfcv 2907	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
26		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
27		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
28	25, 26, 27	cbvmpt 5216	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
29	28	fmpt 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
30	24, 29	sylibr 233	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
31	18, 30, 4	rspcdva 3582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
32	16, 31	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
33		csbeq1 3858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
34	33	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
35	20	fmpttd 7063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
36		nfcv 2907	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
37		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
38		csbeq1a 3869	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
39	36, 37, 38	cbvmpt 5216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
40	39	fmpt 7058	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
41	35, 40	sylibr 233	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
42	34, 41, 4	rspcdva 3582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
43	32, 42	resubcld 11583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
44	13, 15	resubcld 11583	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
45		csbeq1 3858	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
46	45	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
47	46, 30, 6	rspcdva 3582	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
48	44, 47	remulcld 11185	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
49		csbeq1 3858	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
50	49	eleq1d 2822	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
51	50, 41, 6	rspcdva 3582	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
52	48, 51	resubcld 11583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
53		fzfid 13878	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
54		dvfsum.b2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	54	ralrimiva 3143	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
56		elfzuz 13437	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
57		dvfsum.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
58	56, 57	eleqtrrdi 2849	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
59		dvfsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
60	59	eleq1d 2822	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
61	60	rspccva 3580	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	55, 58, 61	syl2an 596	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
63	53, 62	fsumrecl 15619	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
64	44, 31	remulcld 11185	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
65	64, 51	resubcld 11583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
66	5, 13	resubcld 11583	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
67	31, 66	remulcld 11185	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
68	31	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
69	5	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
70	13	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	subdid 11611	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) = ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
72		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
73	72	mulcn 24230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ · ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
74		pnfxr 11209	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
75	74	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
76	12	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 𝑋)
77	5	ltpnfd 13042	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < +∞)
78		iccssioo 13333	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑇 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) ∧ (𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑌 < +∞)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
79	9, 75, 76, 77, 78	syl22anc 837	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
80	79, 2	sstrdi 3956	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
81		ax-resscn 11108	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
82	80, 81	sstrdi 3956	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ)
83	81	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
84		cncfmptc 24275	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
85	31, 82, 83, 84	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
86		cncfmptid 24276	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
87	80, 81, 86	sylancl 586	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
88		remulcl 11136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
89	72, 73, 85, 87, 81, 88	cncfmpt2ss 24279	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
90		reelprrecn 11143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
91	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
92		ioossicc 13350	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
93	92, 80	sstrid 3955	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
94	93	sselda 3944	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
95	94	recnd 11183	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
96		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 1 ∈ ℂ)
97		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
98	97	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
99		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
100	91	dvmptid 25321	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
101	72	tgioo2 24166	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
102		iooretop 24129	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,))
103	102	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,)))
104	91, 98, 99, 100, 93, 101, 72, 103	dvmptres 25327	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 1))
105	91, 95, 96, 104, 68	dvmptcmul 25328	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1)))
106	68	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
107	106	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
108	105, 107	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
109	79, 1	sseqtrrdi 3995	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆)
110	109	resmptd 5994	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
111	20	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
112	111	fmpttd 7063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
113	22	dmeqd 5861	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
114	21	ralrimiva 3143	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉)
115		dmmptg 6194	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
116	114, 115	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
117	113, 116	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆)
118		dvcn 25285	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
119	83, 112, 19, 117, 118	syl31anc 1373	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
120		cncfcdm 24261	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ))
121	81, 119, 120	sylancr 587	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ))
122	35, 121	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
123	39, 122	eqeltrrid 2843	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
124		rescncf 24260	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
125	109, 123, 124	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
126	110, 125	eqeltrrd 2839	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
127	41	r19.21bi 3234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
128	127	recnd 11183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
129	30	r19.21bi 3234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
130	39	oveq2i 7368	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
131	22, 130, 28	3eqtr3g 2799	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
132	92, 109	sstrid 3955	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝑆)
133	91, 128, 129, 131, 132, 101, 72, 103	dvmptres 25327	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
134	92	sseli 3940	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))
135		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝜑)
136	109	sselda 3944	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
137	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑆)
138		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
139	138	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ∈ ℝ)
140	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
141		elicc2 13329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌)))
142	13, 5, 141	syl2anc 584	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌)))
143	142	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌))
144	143	simp1d 1142	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
145		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
146	145	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
147	143	simp2d 1143	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑦)
148	139, 140, 144, 146, 147	letrd 11312	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ≤ 𝑦)
149	143	simp3d 1144	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ≤ 𝑌)
150		dvfsumlem1.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
151	150	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑈)
152		simp2r 1200	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑆)
153		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↔ 𝑌 ∈ 𝑆))
154	153	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)))
155		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑦 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑌))
156		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑘 ≤ 𝑈 ↔ 𝑌 ≤ 𝑈))
157	155, 156	3anbi23d 1439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)))
158	154, 157	3anbi23d 1439	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈))))
159		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑘 ∈ V
160	159, 59	csbie 3891	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐶
161		csbeq1 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
162	160, 161	eqtr3id 2790	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → 𝐶 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
163	162	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
164	158, 163	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
165		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))
166		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
167		nfcv 2907	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
168	166, 167, 26	nfbr 5152	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
169	165, 168	nfim 1899	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
170		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
171	170	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)))
172		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑦))
173		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑘))
174	172, 173	3anbi12d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)))
175	171, 174	3anbi23d 1439	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))))
176	27	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
177	175, 176	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
178		dvfsum.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
179	169, 177, 178	chvarfv 2233	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
180	164, 179	vtoclg 3525	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
181	152, 180	mpcom 38	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
182	135, 136, 137, 148, 149, 151, 181	syl123anc 1387	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
183	134, 182	sylan2 593	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
184	13	rexrd 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
185	5	rexrd 11205	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ^*)
186		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
187		lbicc2 13381	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑌 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
188	184, 185, 186, 187	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
189		ubicc2 13382	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑌 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
190	184, 185, 186, 189	syl3anc 1371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
191		oveq2 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋))
192		oveq2 7365	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌))
193	13, 5, 89, 108, 126, 133, 183, 188, 190, 186, 191, 49, 192, 33	dvle 25371	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)) ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
194	71, 193	eqbrtrd 5127	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
195	67, 42, 51, 194	lesubd 11759	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
196	64	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
197	32	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
198	42	recnd 11183	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
199	196, 197, 198	subsubd 11540	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
200	197, 196	negsubdi2d 11528	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
201	15	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
202	69, 70, 201	nnncan2d 11547	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) = (𝑌 − 𝑋))
203	202	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
204	16	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
205	44	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
206	204, 205, 68	subdird 11612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
207	66	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
208	207, 68	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
209	203, 206, 208	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
210	209	negeqd 11395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = -(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
211	200, 210	eqtr3d 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = -(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
212	211	oveq1d 7372	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
213	67	recnd 11183	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
214	213, 198	negsubdid 11527	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
215	212, 214	eqtr4d 2779	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
216	213, 198	negsubdi2d 11528	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
217	199, 215, 216	3eqtrd 2780	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
218	195, 217	breqtrrd 5133	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
219	51, 64, 43, 218	lesubd 11759	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
220		flle 13704	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
221	13, 220	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
222	13, 15	subge0d 11745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ↔ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋))
223	221, 222	mpbird 256	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
224	45	breq2d 5117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
225	182	ralrimiva 3143	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
226	224, 225, 188	rspcdva 3582	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
227	31, 47, 44, 223, 226	lemul2ad 12095	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
228	64, 48, 51, 227	lesub1dd 11771	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
229	43, 65, 52, 219, 228	letrd 11312	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
230	43, 52, 63, 229	leadd1dd 11769	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
231		dvfsum.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
232		dvfsum.md	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
233		dvfsum.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
234		dvfsum.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
235		dvfsumlem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
236	1, 57, 231, 138, 232, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 233, 178, 234, 6, 4, 145, 186, 150, 235	dvfsumlem1 25390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
237	13	leidd 11721	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
238	184, 185, 233, 186, 150	xrletrd 13081	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑈)
239		fllep1 13706	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
240	13, 239	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
241	1, 57, 231, 138, 232, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 233, 178, 234, 6, 6, 145, 237, 238, 240	dvfsumlem1 25390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
242	230, 236, 241	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋))
243	52, 47	resubcld 11583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
244	43, 31	resubcld 11583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
245		peano2rem 11468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
246	44, 245	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
247	246, 47	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
248	247, 51	resubcld 11583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
249		peano2rem 11468	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
250	16, 249	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
251	250, 47	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
252	251, 42	resubcld 11583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
253	250, 31	remulcld 11185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
254	253, 42	resubcld 11583	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
255	247	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
256	251	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
257	255, 256	subcld 11512	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℂ)
258	257, 198	addcomd 11357	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
259	255, 256, 198	subsubd 11540	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
260	198, 256, 255	subsub2d 11541	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
261	258, 259, 260	3eqtr4d 2786	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
262		1cnd 11150	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
263	204, 205, 262	nnncan2d 11547	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))))
264	263, 202	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = (𝑌 − 𝑋))
265	264	oveq1d 7372	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
266	250	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
267	246	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
268	47	recnd 11183	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
269	266, 267, 268	subdird 11612	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
270	207, 268	mulcomd 11176	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
271	265, 269, 270	3eqtr3d 2784	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
272	271	oveq2d 7373	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
273	261, 272	eqtrd 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
274	47, 66	remulcld 11185	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
275		cncfmptc 24275	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
276	47, 82, 83, 275	syl3anc 1371	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
277		remulcl 11136	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
278	72, 73, 276, 87, 81, 277	cncfmpt2ss 24279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
279	91, 95, 96, 104, 268	dvmptcmul 25328	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1)))
280	268	mulid1d 11172	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
281	280	mpteq2dv 5207	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
282	279, 281	eqtrd 2776	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
283	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
284	144	rexrd 11205	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
285	185	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ^*)
286	233	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑈 ∈ ℝ^*)
287	284, 285, 286, 149, 151	xrletrd 13081	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ≤ 𝑈)
288		vex 3449	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑦 ∈ V
289		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
290	289	anbi2d 629	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)))
291		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ≤ 𝑘 ↔ 𝑋 ≤ 𝑦))
292		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ≤ 𝑈 ↔ 𝑦 ≤ 𝑈))
293	291, 292	3anbi23d 1439	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)))
294	290, 293	3anbi23d 1439	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈))))
295		csbeq1 3858	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
296	160, 295	eqtr3id 2790	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
297	296	breq1d 5115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
298	294, 297	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
299		simp2l 1199	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
300		nfv 1917	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))
301		nfcsb1v 3880	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
302	166, 167, 301	nfbr 5152	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
303	300, 302	nfim 1899	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
304		eleq1 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
305	304	anbi1d 630	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)))
306		breq2 5109	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑋))
307		breq1 5108	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ 𝑘 ↔ 𝑋 ≤ 𝑘))
308	306, 307	3anbi12d 1437	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)))
309	305, 308	3anbi23d 1439	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))))
310		csbeq1a 3869	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
311	310	breq2d 5117	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
312	309, 311	imbi12d 344	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
313	303, 312, 178	vtoclg1f 3524	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
314	299, 313	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
315	288, 298, 314	vtocl 3518	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
316	135, 283, 136, 146, 147, 287, 315	syl123anc 1387	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
317	134, 316	sylan2 593	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
318		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋))
319		oveq2 7365	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌))
320	13, 5, 126, 133, 278, 282, 317, 188, 190, 186, 49, 318, 33, 319	dvle 25371	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
321	268, 69, 70	subdid 11611	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) = ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
322	320, 321	breqtrrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
323	42, 51, 274, 322	subled 11758	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
324	273, 323	eqbrtrd 5127	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
325	247, 252, 51, 324	subled 11758	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
326	250	renegcld 11582	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
327		1red 11156	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
328	5, 15, 327	lesubadd2d 11754	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1 ↔ 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
329	235, 328	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
330	16, 327	suble0d 11746	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1))
331	329, 330	mpbird 256	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0)
332	250	le0neg1d 11726	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1)))
333	331, 332	mpbid 231	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1))
334	31, 47, 326, 333, 226	lemul2ad 12095	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
335	266, 68	mulneg1d 11608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
336	266, 268	mulneg1d 11608	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
337	334, 335, 336	3brtr3d 5136	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
338	251, 253	lenegd 11734	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
339	337, 338	mpbird 256	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
340	251, 253, 42, 339	lesub1dd 11771	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
341	248, 252, 254, 325, 340	letrd 11312	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
342	205, 262, 268	subdird 11612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
343	268	mulid2d 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
344	343	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
345	342, 344	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
346	345	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
347	204, 262, 68	subdird 11612	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
348	68	mulid2d 11173	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
349	348	oveq2d 7373	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
350	347, 349	eqtrd 2776	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
351	350	oveq1d 7372	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
352	341, 346, 351	3brtr3d 5136	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
353	48	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
354	51	recnd 11183	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
355	353, 354, 268	sub32d 11544	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
356	197, 198, 68	sub32d 11544	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
357	352, 355, 356	3brtr4d 5137	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
358	243, 244, 63, 357	leadd1dd 11769	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
359	52	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
360	63	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
361	359, 360, 268	addsubd 11533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
362	43	recnd 11183	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
363	362, 360, 68	addsubd 11533	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
364	358, 361, 363	3brtr4d 5137	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
365	241	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
366	236	oveq1d 7372	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
367	364, 365, 366	3brtr4d 5137	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
368	242, 367	jca 512	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋) ∧ ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 205 ∧ wa 396 ∧ w3a 1087 = wceq 1541 ∈ wcel 2106 ∀wral 3064 ⦋csb 3855 ⊆ wss 3910 {cpr 4588 class class class wbr 5105 ↦ cmpt 5188 dom cdm 5633 ran crn 5634 ↾ cres 5635 ⟶wf 6492 ‘cfv 6496 (class class class)co 7357 ℂcc 11049 ℝcr 11050 0cc0 11051 1c1 11052 + caddc 11054 · cmul 11056 +∞cpnf 11186 ℝ^*cxr 11188 < clt 11189 ≤ cle 11190 − cmin 11385 -cneg 11386 ℤcz 12499 ℤ_≥cuz 12763 (,)cioo 13264 [,]cicc 13267 ...cfz 13424 ⌊cfl 13695 Σcsu 15570 TopOpenctopn 17303 topGenctg 17319 ℂ_fldccnfld 20796 –cn→ccncf 24239 D cdv 25227

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1797 ax-4 1811 ax-5 1913 ax-6 1971 ax-7 2011 ax-8 2108 ax-9 2116 ax-10 2137 ax-11 2154 ax-12 2171 ax-ext 2707 ax-rep 5242 ax-sep 5256 ax-nul 5263 ax-pow 5320 ax-pr 5384 ax-un 7672 ax-inf2 9577 ax-cnex 11107 ax-resscn 11108 ax-1cn 11109 ax-icn 11110 ax-addcl 11111 ax-addrcl 11112 ax-mulcl 11113 ax-mulrcl 11114 ax-mulcom 11115 ax-addass 11116 ax-mulass 11117 ax-distr 11118 ax-i2m1 11119 ax-1ne0 11120 ax-1rid 11121 ax-rnegex 11122 ax-rrecex 11123 ax-cnre 11124 ax-pre-lttri 11125 ax-pre-lttrn 11126 ax-pre-ltadd 11127 ax-pre-mulgt0 11128 ax-pre-sup 11129 ax-addf 11130 ax-mulf 11131

This theorem depends on definitions: df-bi 206 df-an 397 df-or 846 df-3or 1088 df-3an 1089 df-tru 1544 df-fal 1554 df-ex 1782 df-nf 1786 df-sb 2068 df-mo 2538 df-eu 2567 df-clab 2714 df-cleq 2728 df-clel 2814 df-nfc 2889 df-ne 2944 df-nel 3050 df-ral 3065 df-rex 3074 df-rmo 3353 df-reu 3354 df-rab 3408 df-v 3447 df-sbc 3740 df-csb 3856 df-dif 3913 df-un 3915 df-in 3917 df-ss 3927 df-pss 3929 df-nul 4283 df-if 4487 df-pw 4562 df-sn 4587 df-pr 4589 df-tp 4591 df-op 4593 df-uni 4866 df-int 4908 df-iun 4956 df-iin 4957 df-br 5106 df-opab 5168 df-mpt 5189 df-tr 5223 df-id 5531 df-eprel 5537 df-po 5545 df-so 5546 df-fr 5588 df-se 5589 df-we 5590 df-xp 5639 df-rel 5640 df-cnv 5641 df-co 5642 df-dm 5643 df-rn 5644 df-res 5645 df-ima 5646 df-pred 6253 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6498 df-fn 6499 df-f 6500 df-f1 6501 df-fo 6502 df-f1o 6503 df-fv 6504 df-isom 6505 df-riota 7313 df-ov 7360 df-oprab 7361 df-mpo 7362 df-of 7617 df-om 7803 df-1st 7921 df-2nd 7922 df-supp 8093 df-frecs 8212 df-wrecs 8243 df-recs 8317 df-rdg 8356 df-1o 8412 df-2o 8413 df-er 8648 df-map 8767 df-pm 8768 df-ixp 8836 df-en 8884 df-dom 8885 df-sdom 8886 df-fin 8887 df-fsupp 9306 df-fi 9347 df-sup 9378 df-inf 9379 df-oi 9446 df-card 9875 df-pnf 11191 df-mnf 11192 df-xr 11193 df-ltxr 11194 df-le 11195 df-sub 11387 df-neg 11388 df-div 11813 df-nn 12154 df-2 12216 df-3 12217 df-4 12218 df-5 12219 df-6 12220 df-7 12221 df-8 12222 df-9 12223 df-n0 12414 df-z 12500 df-dec 12619 df-uz 12764 df-q 12874 df-rp 12916 df-xneg 13033 df-xadd 13034 df-xmul 13035 df-ioo 13268 df-ico 13270 df-icc 13271 df-fz 13425 df-fzo 13568 df-fl 13697 df-seq 13907 df-exp 13968 df-hash 14231 df-cj 14984 df-re 14985 df-im 14986 df-sqrt 15120 df-abs 15121 df-clim 15370 df-sum 15571 df-struct 17019 df-sets 17036 df-slot 17054 df-ndx 17066 df-base 17084 df-ress 17113 df-plusg 17146 df-mulr 17147 df-starv 17148 df-sca 17149 df-vsca 17150 df-ip 17151 df-tset 17152 df-ple 17153 df-ds 17155 df-unif 17156 df-hom 17157 df-cco 17158 df-rest 17304 df-topn 17305 df-0g 17323 df-gsum 17324 df-topgen 17325 df-pt 17326 df-prds 17329 df-xrs 17384 df-qtop 17389 df-imas 17390 df-xps 17392 df-mre 17466 df-mrc 17467 df-acs 17469 df-mgm 18497 df-sgrp 18546 df-mnd 18557 df-submnd 18602 df-mulg 18873 df-cntz 19097 df-cmn 19564 df-psmet 20788 df-xmet 20789 df-met 20790 df-bl 20791 df-mopn 20792 df-fbas 20793 df-fg 20794 df-cnfld 20797 df-top 22243 df-topon 22260 df-topsp 22282 df-bases 22296 df-cld 22370 df-ntr 22371 df-cls 22372 df-nei 22449 df-lp 22487 df-perf 22488 df-cn 22578 df-cnp 22579 df-haus 22666 df-cmp 22738 df-tx 22913 df-hmeo 23106 df-fil 23197 df-fm 23289 df-flim 23290 df-flf 23291 df-xms 23673 df-ms 23674 df-tms 23675 df-cncf 24241 df-limc 25230 df-dv 25231

This theorem is referenced by: dvfsumlem3 25392

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