dvfsumlem2 - Metamath Proof Explorer

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Theorem dvfsumlem2 26019

Description: Lemma for dvfsumrlim 26023. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) Avoid ax-mulf 11116. (Revised by GG, 16-Mar-2025.)

**Hypotheses**
Ref	Expression
dvfsum.s	⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z	⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
dvfsum.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md	⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t	⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2	⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3	⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
dvfsum.c	⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u	⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
dvfsum.l	⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
dvfsum.h	⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
dvfsumlem1.1	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.2	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
dvfsumlem1.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
dvfsumlem1.5	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
dvfsumlem1.6	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))

**Assertion**
Ref	Expression
dvfsumlem2	⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋) ∧ ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))

Distinct variable groups: 𝐵,𝑘 𝑥,𝐶 𝑥,𝑘,𝐷 𝜑,𝑘,𝑥 𝑆,𝑘,𝑥 𝑘,𝑀,𝑥 𝑥,𝑇 𝑘,𝑌,𝑥 𝑥,𝑍 𝑈,𝑘,𝑥 𝑘,𝑋,𝑥 Allowed substitution hints: 𝐴(𝑥,𝑘) 𝐵(𝑥) 𝐶(𝑘) 𝑇(𝑘) 𝐻(𝑥,𝑘) 𝑉(𝑥,𝑘) 𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem2 Dummy variables 𝑦 𝑧 𝑚 𝑢 𝑣 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dvfsum.s	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2		ioossre 13358	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
3	1, 2	eqsstri 3968	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑆 ⊆ ℝ
4		dvfsumlem1.2	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑆)
5	3, 4	sselid 3920	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
6		dvfsumlem1.1	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑆)
7	6, 1	eleqtrdi 2850	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
8		dvfsum.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ)
9	8	rexrd 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ∈ ℝ^*)
10		elioopnf 13394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑇 ∈ ℝ^* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
11	9, 10	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
12	7, 11	mpbid 233	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
13	12	simpld 495	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
14		reflcl 13753	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
15	13, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
16	5, 15	resubcld 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
17		csbeq1 3841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
18	17	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
19	3	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ℝ)
20		dvfsum.a	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
21		dvfsum.b1	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ 𝑉)
22		dvfsum.b3	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
23	19, 20, 21, 22	dvmptrecl 26016	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
24	23	fmpttd 7063	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
25		nfcv 2902	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑦𝐵
26		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . 10 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
27		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
28	25, 26, 27	cbvmpt 5181	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
29	28	fmpt 7058	. . . . . . . 8 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
30	24, 29	sylibr 235	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
31	18, 30, 4	rspcdva 3568	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
32	16, 31	remulcld 11173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
33		csbeq1 3841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)
34	33	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
35	20	fmpttd 7063	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
36		nfcv 2902	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑦𝐴
37		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴
38		csbeq1a 3852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → 𝐴 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
39	36, 37, 38	cbvmpt 5181	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)
40	39	fmpt 7058	. . . . . . 7 ⊢ (∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ)
41	35, 40	sylibr 235	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
42	34, 41, 4	rspcdva 3568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
43	32, 42	resubcld 11576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
44	13, 15	resubcld 11576	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
45		csbeq1 3841	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
46	45	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
47	46, 30, 6	rspcdva 3568	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
48	44, 47	remulcld 11173	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
49		csbeq1 3841	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
50	49	eleq1d 2825	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ))
51	50, 41, 6	rspcdva 3568	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
52	48, 51	resubcld 11576	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
53		fzfid 13933	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
54		dvfsum.b2	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
55	54	ralrimiva 3132	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
56		elfzuz 13472	. . . . . . 7 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ_≥‘𝑀))
57		dvfsum.z	. . . . . . 7 ⊢ 𝑍 = (ℤ_≥‘𝑀)
58	56, 57	eleqtrrdi 2851	. . . . . 6 ⊢ (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ 𝑍)
59		dvfsum.c	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = 𝐶)
60	59	eleq1d 2825	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
61	60	rspccva 3566	. . . . . 6 ⊢ ((∀𝑥 ∈ 𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ 𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
62	55, 58, 61	syl2an 602	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
63	53, 62	fsumrecl 15694	. . . 4 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
64	44, 31	remulcld 11173	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
65	64, 51	resubcld 11576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
66	5, 13	resubcld 11576	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℝ)
67	31, 66	remulcld 11173	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
68	31	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
69	5	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℂ)
70	13	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℂ)
71	68, 69, 70	subdid 11604	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) = ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
72		eqid 2740	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (TopOpen‘ℂ_fld) = (TopOpen‘ℂ_fld)
73	72	mpomulcn 24859	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣)) ∈ (((TopOpen‘ℂ_fld) ×_t (TopOpen‘ℂ_fld)) Cn (TopOpen‘ℂ_fld))
74		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
75	74	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 = 𝑌 → (⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
76		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑧𝐵
77		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵
78		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑧 → 𝐵 = ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
79	76, 77, 78	cbvmpt 5181	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑧 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵)
80	79	fmpt 7058	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (∀𝑧 ∈ 𝑆 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
81	24, 80	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ∀𝑧 ∈ 𝑆 ⦋𝑧 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
82	75, 81, 4	rspcdva 3568	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
83		pnfxr 11197	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ +∞ ∈ ℝ^*
84	83	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → +∞ ∈ ℝ^*)
85	12	simprd 496	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑇 < 𝑋)
86	5	ltpnfd 13070	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝑌 < +∞)
87		iccssioo 13366	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((𝑇 ∈ ℝ^* ∧ +∞ ∈ ℝ^*) ∧ (𝑇 < 𝑋 ∧ 𝑌 < +∞)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
88	9, 84, 85, 86, 87	syl22anc 844	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
89	88, 2	sstrdi 3934	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
90		ax-resscn 11093	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ℝ ⊆ ℂ
91	89, 90	sstrdi 3934	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ)
92	90	a1i 11	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
93		cncfmptc 24904	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
94	82, 91, 92, 93	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
95		cncfmptid 24905	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
96	89, 90, 95	sylancl 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
97		remulcl 11121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
98		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
99	98	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
100		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
101	100	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
102	99, 101	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
103		ovmpot 7524	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
104	103	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
105	102, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
106	105	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ ↔ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ))
107	106	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ))
108	97, 107	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ)
109	72, 73, 94, 96, 90, 108	cncfmpt2ss 24908	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
110		df-mpt 5161	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))}
111	110	eleq1i 2831	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) ↔ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
112	111	biimpi 217	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
113	109, 112	syl 17	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
114		idd 24	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
115	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))))
116	115	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
117		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
118	117	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑚 = 𝑌 → (⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
119		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑚𝐵
120		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵
121		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 𝑚 → 𝐵 = ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵)
122	119, 120, 121	cbvmpt 5181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑚 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵)
123	122	fmpt 7058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
124	24, 123	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑚 ∈ 𝑆 ⦋𝑚 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
125	118, 124, 4	rspcdva 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
126	125	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
127	126	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
128		elicc2 13362	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌)))
129	13, 5, 128	syl2anc 590	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌)))
130	129	biimpa 477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌))
131	130	simp1d 1148	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
132	131	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
133	127, 132	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
134	133, 103	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
135	134	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ↔ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
136	135	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
137	136	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
138	137	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
139	116, 138	jcad 517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
140	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))))
141	140	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
142		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
143	142	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ))
144		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑘𝐵
145		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵
146		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 ⊢ (𝑥 = 𝑘 → 𝐵 = ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
147	144, 145, 146	cbvmpt 5181	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 ⊢ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = (𝑘 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵)
148	147	fmpt 7058	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 ⊢ (∀𝑘 ∈ 𝑆 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵):𝑆⟶ℝ)
149	24, 148	sylibr 235	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ (𝜑 → ∀𝑘 ∈ 𝑆 ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
150	143, 149, 4	rspcdva 3568	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
151	150	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
152	151	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
153	152, 132	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
154	153, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
155	154	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
156	155	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
157	156	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))))
158	157	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
159	141, 158	jcad 517	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))))
160	139, 159	impbid 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
161	160	opabbidv 5145	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))})
162		df-mpt 5161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))}
163	162	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
164	163	eqeq2i 2753	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} ↔ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
165	164	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
166	161, 165	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
167	166	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
168	167	biimpd 230	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
169	113, 168	mpd 15	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
170		reelprrecn 11128	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
171	170	a1i 11	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
172		ioossicc 13384	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
173	172, 89	sstrid 3933	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
174	173	sselda 3922	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
175	174	recnd 11171	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
176		1cnd 11137	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 1 ∈ ℂ)
177		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
178	177	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
179		1cnd 11137	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
180	171	dvmptid 25949	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
181		tgioo4 24795	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂ_fld) ↾_t ℝ)
182		iooretop 24755	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,))
183	182	a1i 11	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,)))
184	171, 178, 179, 180, 173, 181, 72, 183	dvmptres 25955	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 1))
185	171, 175, 176, 184, 68	dvmptcmul 25956	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1)))
186	68	mulridd 11160	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
187	186	mpteq2dv 5173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
188	185, 187	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
189	88, 1	sseqtrrdi 3963	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆)
190	189	resmptd 5999	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
191	20	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
192	191	fmpttd 7063	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ)
193	22	dmeqd 5854	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵))
194	21	ralrimiva 3132	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉)
195		dmmptg 6200	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑆 𝐵 ∈ 𝑉 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
196	194, 195	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → dom (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐵) = 𝑆)
197	193, 196	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆)
198		dvcn 25913	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆) → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
199	92, 192, 19, 197, 198	syl31anc 1381	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ))
200		cncfcdm 24890	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℂ)) → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ))
201	90, 199, 200	sylancr 593	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):𝑆⟶ℝ))
202	35, 201	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
203	39, 202	eqeltrrid 2845	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
204		rescncf 24889	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
205	189, 203, 204	sylc 65	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
206	190, 205	eqeltrrd 2841	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
207	41	r19.21bi 3232	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℝ)
208	207	recnd 11171	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
209	30	r19.21bi 3232	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
210	39	oveq2i 7374	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (ℝ D (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴))
211	22, 210, 28	3eqtr3g 2798	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
212	172, 189	sstrid 3933	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝑆)
213	171, 208, 209, 211, 212, 181, 72, 183	dvmptres 25955	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
214	172	sseli 3918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))
215		simpl 483	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝜑)
216	189	sselda 3922	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ 𝑆)
217	4	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ 𝑆)
218		dvfsum.d	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
219	218	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ∈ ℝ)
220	13	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
221		dvfsumlem1.3	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ≤ 𝑋)
222	221	adantr 481	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ≤ 𝑋)
223	130	simp2d 1149	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ≤ 𝑦)
224	219, 220, 131, 222, 223	letrd 11301	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ≤ 𝑦)
225	130	simp3d 1150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ≤ 𝑌)
226		dvfsumlem1.5	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ 𝑈)
227	226	adantr 481	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ≤ 𝑈)
228		simp2r 1207	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → 𝑌 ∈ 𝑆)
229		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↔ 𝑌 ∈ 𝑆))
230	229	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆)))
231		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑦 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑌))
232		breq1 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝑘 ≤ 𝑈 ↔ 𝑌 ≤ 𝑈))
233	231, 232	3anbi23d 1447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)))
234	230, 233	3anbi23d 1447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈))))
235		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝑘 ∈ V
236	235, 59	csbie 3873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = 𝐶
237	236, 142	eqtr3id 2789	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → 𝐶 = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
238	237	breq1d 5089	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
239	234, 238	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑘 = 𝑌 → (((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
240		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))
241		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥𝐶
242		nfcv 2902	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ Ⅎ𝑥 ≤
243	241, 242, 26	nfbr 5126	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵
244	240, 243	nfim 1903	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
245		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
246	245	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)))
247		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑦))
248		breq1 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 ≤ 𝑘 ↔ 𝑦 ≤ 𝑘))
249	247, 248	3anbi12d 1445	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)))
250	246, 249	3anbi23d 1447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))))
251	27	breq2d 5091	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
252	250, 251	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)))
253		dvfsum.l	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵)
254	244, 252, 253	chvarfv 2252	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
255	239, 254	vtoclg 3502	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑌 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵))
256	228, 255	mpcom 38	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ 𝑌 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑌 ∧ 𝑌 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
257	215, 216, 217, 224, 225, 227, 256	syl123anc 1395	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
258	214, 257	sylan2 599	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
259	13	rexrd 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ^*)
260	5	rexrd 11193	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ^*)
261		dvfsumlem1.4	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑌)
262		lbicc2 13415	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑌 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
263	259, 260, 261, 262	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
264		ubicc2 13416	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ^* ∧ 𝑌 ∈ ℝ^* ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
265	259, 260, 261, 264	syl3anc 1379	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
266		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋))
267		oveq2 7371	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌))
268	13, 5, 169, 188, 206, 213, 258, 263, 265, 261, 266, 49, 267, 33	dvle 25999	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)) ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
269	71, 268	eqbrtrd 5101	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
270	67, 42, 51, 269	lesubd 11752	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ≤ (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
271	64	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
272	32	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
273	42	recnd 11171	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
274	271, 272, 273	subsubd 11531	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
275	272, 271	negsubdi2d 11519	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
276	15	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
277	69, 70, 276	nnncan2d 11538	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) = (𝑌 − 𝑋))
278	277	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
279	16	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
280	44	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
281	279, 280, 68	subdird 11605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
282	66	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − 𝑋) ∈ ℂ)
283	282, 68	mulcomd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
284	278, 281, 283	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
285	284	negeqd 11385	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = -(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
286	275, 285	eqtr3d 2777	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = -(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
287	286	oveq1d 7378	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
288	67	recnd 11171	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℂ)
289	288, 273	negsubdid 11518	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (-(⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
290	287, 289	eqtr4d 2778	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
291	288, 273	negsubdi2d 11519	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → -((⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
292	274, 290, 291	3eqtrd 2779	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
293	270, 292	breqtrrd 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)))
294	51, 64, 43, 293	lesubd 11752	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
295		flle 13756	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
296	13, 295	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
297	13, 15	subge0d 11738	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ↔ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋))
298	296, 297	mpbird 258	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
299	45	breq2d 5091	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
300	257	ralrimiva 3132	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
301	299, 300, 263	rspcdva 3568	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
302	31, 47, 44, 298, 301	lemul2ad 12094	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
303	64, 48, 51, 302	lesub1dd 11764	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
304	43, 65, 52, 294, 303	letrd 11301	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
305	43, 52, 63, 304	leadd1dd 11762	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
306		dvfsum.m	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℤ)
307		dvfsum.md	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
308		dvfsum.u	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ ℝ^*)
309		dvfsum.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (𝑥 ∈ 𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶 − 𝐴)))
310		dvfsumlem1.6	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
311	1, 57, 306, 218, 307, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 308, 253, 309, 6, 4, 221, 261, 226, 310	dvfsumlem1 26018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
312	13	leidd 11714	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑋)
313	259, 260, 308, 261, 226	xrletrd 13111	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ 𝑈)
314		fllep1 13758	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
315	13, 314	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
316	1, 57, 306, 218, 307, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 308, 253, 309, 6, 6, 221, 312, 313, 315	dvfsumlem1 26018	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑋) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
317	305, 311, 316	3brtr4d 5111	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋))
318	52, 47	resubcld 11576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
319	43, 31	resubcld 11576	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
320		peano2rem 11459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
321	44, 320	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
322	321, 47	remulcld 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
323	322, 51	resubcld 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
324		peano2rem 11459	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
325	16, 324	syl 17	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
326	325, 47	remulcld 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
327	326, 42	resubcld 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
328	325, 31	remulcld 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℝ)
329	328, 42	resubcld 11576	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℝ)
330	322	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
331	326	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
332	330, 331	subcld 11503	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) ∈ ℂ)
333	332, 273	addcomd 11346	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
334	330, 331, 273	subsubd 11531	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) + ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
335	273, 331, 330	subsub2d 11532	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
336	333, 334, 335	3eqtr4d 2785	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))))
337		1cnd 11137	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
338	279, 280, 337	nnncan2d 11538	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))))
339	338, 277	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = (𝑌 − 𝑋))
340	339	oveq1d 7378	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
341	325	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
342	321	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
343	47	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
344	341, 342, 343	subdird 11605	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
345	282, 343	mulcomd 11164	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − 𝑋) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
346	340, 344, 345	3eqtr3d 2783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
347	346	oveq2d 7379	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
348	336, 347	eqtrd 2775	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) = (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))))
349	47, 66	remulcld 11173	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) ∈ ℝ)
350		cncfmptc 24904	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
351	47, 91, 92, 350	syl3anc 1379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
352		remulcl 11121	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
353		simpl 483	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ)
354	353	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
355		simpr 485	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
356	355	recnd 11171	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
357	354, 356	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
358		ovmpot 7524	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
359	358	eqcomd 2746	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
360	357, 359	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
361	360	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ ↔ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ))
362	361	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ))
363	352, 362	mpd 15	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ∈ ℝ)
364	72, 73, 351, 96, 90, 363	cncfmpt2ss 24908	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
365		df-mpt 5161	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))}
366	365	eleq1i 2831	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) ↔ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
367	366	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
368	364, 367	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
369	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))))
370	369	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
371	343	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ)
372	371, 132	jca 516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
373	372, 358	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
374	373	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) ↔ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
375	374	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
376	375	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
377	376	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
378	370, 377	jcad 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
379	114	a1dd 50	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))))
380	379	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)))
381	372, 359	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))
382	381	eqeq2d 2751	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) ↔ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
383	382	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
384	383	ex 413	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) → (𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))))
385	384	impd 411	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)))
386	380, 385	jcad 517	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))))
387	378, 386	impbid 213	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → ((𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦)) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))))
388	387	opabbidv 5145	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))})
389		df-mpt 5161	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))}
390	389	eqcomi 2749	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))
391	390	eqeq2i 2753	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} ↔ {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
392	391	biimpi 217	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))} → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
393	388, 392	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → {⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)))
394	393	eleq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) ↔ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
395	394	biimpd 230	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → ({⟨𝑦, 𝑤⟩ ∣ (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ∧ 𝑤 = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵(𝑢 ∈ ℂ, 𝑣 ∈ ℂ ↦ (𝑢 · 𝑣))𝑦))} ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
396	368, 395	mpd 15	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
397	171, 175, 176, 184, 343	dvmptcmul 25956	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1)))
398	343	mulridd 11160	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
399	398	mpteq2dv 5173	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
400	397, 399	eqtrd 2775	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
401	6	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
402	131	rexrd 11193	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ^*)
403	260	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ^*)
404	308	adantr 481	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑈 ∈ ℝ^*)
405	402, 403, 404, 225, 227	xrletrd 13111	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ≤ 𝑈)
406		vex 3436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑦 ∈ V
407		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
408	407	anbi2d 636	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)))
409		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑋 ≤ 𝑘 ↔ 𝑋 ≤ 𝑦))
410		breq1 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝑘 ≤ 𝑈 ↔ 𝑦 ≤ 𝑈))
411	409, 410	3anbi23d 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)))
412	408, 411	3anbi23d 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈))))
413		csbeq1 3841	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → ⦋𝑘 / 𝑥⦌𝐵 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
414	236, 413	eqtr3id 2789	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → 𝐶 = ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵)
415	414	breq1d 5089	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 ↔ ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
416	412, 415	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
417		simp2l 1206	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝑋 ∈ 𝑆)
418		nfv 1921	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥(𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))
419		nfcsb1v 3862	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ Ⅎ𝑥⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
420	241, 242, 419	nfbr 5126	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ Ⅎ𝑥 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵
421	418, 420	nfim 1903	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ Ⅎ𝑥((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
422		eleq1 2828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ∈ 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
423	422	anbi1d 637	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆)))
424		breq2 5083	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐷 ≤ 𝑥 ↔ 𝐷 ≤ 𝑋))
425		breq1 5082	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝑥 ≤ 𝑘 ↔ 𝑋 ≤ 𝑘))
426	424, 425	3anbi12d 1445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈) ↔ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)))
427	423, 426	3anbi23d 1447	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈))))
428		csbeq1a 3852	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → 𝐵 = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
429	428	breq2d 5091	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
430	427, 429	imbi12d 345	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑥 = 𝑋 → (((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑥 ∧ 𝑥 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
431	421, 430, 253	vtoclg1f 3517	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
432	417, 431	mpcom 38	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑘 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑘 ∧ 𝑘 ≤ 𝑈)) → 𝐶 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
433	406, 416, 432	vtocl 3506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 ≤ 𝑦 ∧ 𝑦 ≤ 𝑈)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
434	215, 401, 216, 222, 223, 405, 433	syl123anc 1395	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
435	214, 434	sylan2 599	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → ⦋𝑦 / 𝑥⦌𝐵 ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
436		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑋 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋))
437		oveq2 7371	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 = 𝑌 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑦) = (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌))
438	13, 5, 206, 213, 396, 400, 435, 263, 265, 261, 49, 436, 33, 437	dvle 25999	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
439	343, 69, 70	subdid 11604	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)) = ((⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑌) − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · 𝑋)))
440	438, 439	breqtrrd 5107	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋)))
441	42, 51, 349, 440	subled 11751	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴 − (⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵 · (𝑌 − 𝑋))) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
442	348, 441	eqbrtrd 5101	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴)) ≤ ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴)
443	322, 327, 51, 442	subled 11751	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
444	325	renegcld 11575	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
445		1red 11143	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
446	5, 15, 445	lesubadd2d 11747	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1 ↔ 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
447	310, 446	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
448	16, 445	suble0d 11739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1))
449	447, 448	mpbird 258	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0)
450	325	le0neg1d 11719	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1)))
451	449, 450	mpbid 233	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1))
452	31, 47, 444, 451, 301	lemul2ad 12094	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
453	341, 68	mulneg1d 11601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
454	341, 343	mulneg1d 11601	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
455	452, 453, 454	3brtr3d 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
456	326, 328	lenegd 11727	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
457	455, 456	mpbird 258	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
458	326, 328, 42, 457	lesub1dd 11764	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
459	323, 327, 329, 443, 458	letrd 11301	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
460	280, 337, 343	subdird 11605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)))
461	343	mullidd 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)
462	461	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
463	460, 462	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
464	463	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
465	279, 337, 68	subdird 11605	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))
466	68	mullidd 11161	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)
467	466	oveq2d 7379	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − (1 · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
468	465, 467	eqtrd 2775	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
469	468	oveq1d 7378	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
470	459, 464, 469	3brtr3d 5110	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
471	48	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ∈ ℂ)
472	51	recnd 11171	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴 ∈ ℂ)
473	471, 472, 343	sub32d 11535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴))
474	272, 273, 68	sub32d 11535	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴))
475	470, 473, 474	3brtr4d 5111	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
476	318, 319, 63, 475	leadd1dd 11762	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
477	52	recnd 11171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
478	63	recnd 11171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
479	477, 478, 343	addsubd 11524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
480	43	recnd 11171	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) ∈ ℂ)
481	480, 478, 68	addsubd 11524	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
482	476, 479, 481	3brtr4d 5111	. . 3 ⊢ (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
483	316	oveq1d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵))
484	311	oveq1d 7378	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
485	482, 483, 484	3brtr4d 5111	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵))
486	317, 485	jca 516	1 ⊢ (𝜑 → ((𝐻‘𝑌) ≤ (𝐻‘𝑋) ∧ ((𝐻‘𝑋) − ⦋𝑋 / 𝑥⦌𝐵) ≤ ((𝐻‘𝑌) − ⦋𝑌 / 𝑥⦌𝐵)))

Colors of variables: wff setvar class

Syntax hints: → wi 4 ↔ wb 207 ∧ wa 396 ∧ w3a 1092 = wceq 1547 ∈ wcel 2119 ∀wral 3054 ⦋csb 3838 ⊆ wss 3890 {cpr 4564 class class class wbr 5079 {copab 5141 ↦ cmpt 5160 dom cdm 5625 ran crn 5626 ↾ cres 5627 ⟶wf 6488 ‘cfv 6492 (class class class)co 7363 ∈ cmpo 7365 ℂcc 11034 ℝcr 11035 0cc0 11036 1c1 11037 + caddc 11039 · cmul 11041 +∞cpnf 11174 ℝ^*cxr 11176 < clt 11177 ≤ cle 11178 − cmin 11375 -cneg 11376 ℤcz 12522 ℤ_≥cuz 12786 (,)cioo 13296 [,]cicc 13299 ...cfz 13459 ⌊cfl 13747 Σcsu 15646 TopOpenctopn 17382 topGenctg 17398 ℂ_fldccnfld 21354 –cn→ccncf 24868 D cdv 25855

This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1802 ax-4 1816 ax-5 1917 ax-6 1974 ax-7 2015 ax-8 2121 ax-9 2129 ax-10 2152 ax-11 2168 ax-12 2189 ax-ext 2712 ax-rep 5206 ax-sep 5225 ax-nul 5235 ax-pow 5301 ax-pr 5369 ax-un 7685 ax-inf2 9560 ax-cnex 11092 ax-resscn 11093 ax-1cn 11094 ax-icn 11095 ax-addcl 11096 ax-addrcl 11097 ax-mulcl 11098 ax-mulrcl 11099 ax-mulcom 11100 ax-addass 11101 ax-mulass 11102 ax-distr 11103 ax-i2m1 11104 ax-1ne0 11105 ax-1rid 11106 ax-rnegex 11107 ax-rrecex 11108 ax-cnre 11109 ax-pre-lttri 11110 ax-pre-lttrn 11111 ax-pre-ltadd 11112 ax-pre-mulgt0 11113 ax-pre-sup 11114 ax-addf 11115

This theorem depends on definitions: df-bi 208 df-an 397 df-or 854 df-3or 1093 df-3an 1094 df-tru 1550 df-fal 1560 df-ex 1787 df-nf 1791 df-sb 2074 df-mo 2543 df-eu 2573 df-clab 2719 df-cleq 2732 df-clel 2815 df-nfc 2889 df-ne 2936 df-nel 3040 df-ral 3055 df-rex 3065 df-rmo 3345 df-reu 3346 df-rab 3393 df-v 3434 df-sbc 3731 df-csb 3839 df-dif 3893 df-un 3895 df-in 3897 df-ss 3907 df-pss 3910 df-nul 4269 df-if 4462 df-pw 4538 df-sn 4563 df-pr 4565 df-tp 4567 df-op 4569 df-uni 4846 df-int 4885 df-iun 4930 df-iin 4931 df-br 5080 df-opab 5142 df-mpt 5161 df-tr 5187 df-id 5520 df-eprel 5525 df-po 5533 df-so 5534 df-fr 5578 df-se 5579 df-we 5580 df-xp 5631 df-rel 5632 df-cnv 5633 df-co 5634 df-dm 5635 df-rn 5636 df-res 5637 df-ima 5638 df-pred 6259 df-ord 6320 df-on 6321 df-lim 6322 df-suc 6323 df-iota 6448 df-fun 6494 df-fn 6495 df-f 6496 df-f1 6497 df-fo 6498 df-f1o 6499 df-fv 6500 df-isom 6501 df-riota 7320 df-ov 7366 df-oprab 7367 df-mpo 7368 df-of 7627 df-om 7814 df-1st 7938 df-2nd 7939 df-supp 8108 df-frecs 8228 df-wrecs 8259 df-recs 8308 df-rdg 8346 df-1o 8402 df-2o 8403 df-er 8640 df-map 8772 df-pm 8773 df-ixp 8843 df-en 8891 df-dom 8892 df-sdom 8893 df-fin 8894 df-fsupp 9272 df-fi 9321 df-sup 9352 df-inf 9353 df-oi 9422 df-card 9861 df-pnf 11179 df-mnf 11180 df-xr 11181 df-ltxr 11182 df-le 11183 df-sub 11377 df-neg 11378 df-div 11806 df-nn 12173 df-2 12242 df-3 12243 df-4 12244 df-5 12245 df-6 12246 df-7 12247 df-8 12248 df-9 12249 df-n0 12436 df-z 12523 df-dec 12643 df-uz 12787 df-q 12897 df-rp 12941 df-xneg 13061 df-xadd 13062 df-xmul 13063 df-ioo 13300 df-ico 13302 df-icc 13303 df-fz 13460 df-fzo 13607 df-fl 13749 df-seq 13962 df-exp 14022 df-hash 14291 df-cj 15059 df-re 15060 df-im 15061 df-sqrt 15195 df-abs 15196 df-clim 15448 df-sum 15647 df-struct 17115 df-sets 17132 df-slot 17150 df-ndx 17162 df-base 17178 df-ress 17199 df-plusg 17231 df-mulr 17232 df-starv 17233 df-sca 17234 df-vsca 17235 df-ip 17236 df-tset 17237 df-ple 17238 df-ds 17240 df-unif 17241 df-hom 17242 df-cco 17243 df-rest 17383 df-topn 17384 df-0g 17402 df-gsum 17403 df-topgen 17404 df-pt 17405 df-prds 17408 df-xrs 17464 df-qtop 17469 df-imas 17470 df-xps 17472 df-mre 17546 df-mrc 17547 df-acs 17549 df-mgm 18606 df-sgrp 18685 df-mnd 18701 df-submnd 18750 df-mulg 19042 df-cntz 19290 df-cmn 19755 df-psmet 21346 df-xmet 21347 df-met 21348 df-bl 21349 df-mopn 21350 df-fbas 21351 df-fg 21352 df-cnfld 21355 df-top 22884 df-topon 22901 df-topsp 22923 df-bases 22936 df-cld 23009 df-ntr 23010 df-cls 23011 df-nei 23088 df-lp 23126 df-perf 23127 df-cn 23217 df-cnp 23218 df-haus 23305 df-cmp 23377 df-tx 23552 df-hmeo 23745 df-fil 23836 df-fm 23928 df-flim 23929 df-flf 23930 df-xms 24310 df-ms 24311 df-tms 24312 df-cncf 24870 df-limc 25858 df-dv 25859

This theorem is referenced by: dvfsumlem3 26020

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