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Theorem dvfsumlem2 25414
Description: Lemma for dvfsumrlim 25418. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
dvfsum.m (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
dvfsum.d (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
dvfsum.b2 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
dvfsum.c (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
dvfsum.u (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
dvfsum.h 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (((π‘₯ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘₯)) Β· 𝐡) + (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴)))
dvfsumlem1.1 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.2 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
dvfsumlem1.3 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
dvfsumlem1.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
dvfsumlem1.5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ π‘ˆ)
dvfsumlem1.6 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem2 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜π‘‹) ∧ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
Distinct variable groups:   𝐡,π‘˜   π‘₯,𝐢   π‘₯,π‘˜,𝐷   πœ‘,π‘˜,π‘₯   𝑆,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑀,π‘₯   π‘₯,𝑇   π‘˜,π‘Œ,π‘₯   π‘₯,𝑍   π‘ˆ,π‘˜,π‘₯   π‘˜,𝑋,π‘₯
Allowed substitution hints:   𝐴(π‘₯,π‘˜)   𝐡(π‘₯)   𝐢(π‘˜)   𝑇(π‘˜)   𝐻(π‘₯,π‘˜)   𝑉(π‘₯,π‘˜)   𝑍(π‘˜)

Proof of Theorem dvfsumlem2
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13334 . . . . . . . . 9 (𝑇(,)+∞) βŠ† ℝ
31, 2eqsstri 3982 . . . . . . . 8 𝑆 βŠ† ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
53, 4sselid 3946 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
76, 1eleqtrdi 2844 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
8 dvfsum.t . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ)
98rexrd 11213 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑇 ∈ ℝ*)
10 elioopnf 13369 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℝ* β†’ (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
127, 11mpbid 231 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
1312simpld 496 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
14 reflcl 13710 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π‘‹) ∈ ℝ)
165, 15resubcld 11591 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
17 csbeq1 3862 . . . . . . . 8 (𝑦 = π‘Œ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)
1817eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ↔ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
193a1i 11 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑆 βŠ† ℝ)
20 dvfsum.a . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ ℝ)
21 dvfsum.b1 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ 𝑉)
22 dvfsum.b3 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
2319, 20, 21, 22dvmptrecl 25411 . . . . . . . . 9 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
2423fmpttd 7067 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡):π‘†βŸΆβ„)
25 nfcv 2904 . . . . . . . . . 10 Ⅎ𝑦𝐡
26 nfcsb1v 3884 . . . . . . . . . 10 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
27 csbeq1a 3873 . . . . . . . . . 10 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐡 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
2825, 26, 27cbvmpt 5220 . . . . . . . . 9 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
2928fmpt 7062 . . . . . . . 8 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡):π‘†βŸΆβ„)
3024, 29sylibr 233 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
3118, 30, 4rspcdva 3584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
3216, 31remulcld 11193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
33 csbeq1 3862 . . . . . . 7 (𝑦 = π‘Œ β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴)
3433eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑦 = π‘Œ β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
3520fmpttd 7067 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„)
36 nfcv 2904 . . . . . . . . 9 Ⅎ𝑦𝐴
37 nfcsb1v 3884 . . . . . . . . 9 β„²π‘₯⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴
38 csbeq1a 3873 . . . . . . . . 9 (π‘₯ = 𝑦 β†’ 𝐴 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
3936, 37, 38cbvmpt 5220 . . . . . . . 8 (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)
4039fmpt 7062 . . . . . . 7 (βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„)
4135, 40sylibr 233 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
4234, 41, 4rspcdva 3584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
4332, 42resubcld 11591 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) ∈ ℝ)
4413, 15resubcld 11591 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ)
45 csbeq1 3862 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
4645eleq1d 2819 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ))
4746, 30, 6rspcdva 3584 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
4844, 47remulcld 11193 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
49 csbeq1 3862 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 = ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴)
5049eleq1d 2819 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 β†’ (⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ ↔ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ))
5150, 41, 6rspcdva 3584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
5248, 51resubcld 11591 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ∈ ℝ)
53 fzfid 13887 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹)) ∈ Fin)
54 dvfsum.b2 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑍) β†’ 𝐡 ∈ ℝ)
5554ralrimiva 3140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ ℝ)
56 elfzuz 13446 . . . . . . 7 (π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹)) β†’ π‘˜ ∈ (β„€β‰₯β€˜π‘€))
57 dvfsum.z . . . . . . 7 𝑍 = (β„€β‰₯β€˜π‘€)
5856, 57eleqtrrdi 2845 . . . . . 6 (π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹)) β†’ π‘˜ ∈ 𝑍)
59 dvfsum.c . . . . . . . 8 (π‘₯ = π‘˜ β†’ 𝐡 = 𝐢)
6059eleq1d 2819 . . . . . . 7 (π‘₯ = π‘˜ β†’ (𝐡 ∈ ℝ ↔ 𝐢 ∈ ℝ))
6160rspccva 3582 . . . . . 6 ((βˆ€π‘₯ ∈ 𝑍 𝐡 ∈ ℝ ∧ π‘˜ ∈ 𝑍) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6255, 58, 61syl2an 597 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))) β†’ 𝐢 ∈ ℝ)
6353, 62fsumrecl 15627 . . . 4 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢 ∈ ℝ)
6444, 31remulcld 11193 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
6564, 51resubcld 11591 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ∈ ℝ)
665, 13resubcld 11591 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) ∈ ℝ)
6731, 66remulcld 11193 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ)
6831recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
695recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ β„‚)
7013recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ β„‚)
7168, 69, 70subdid 11619 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = ((β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· π‘Œ) βˆ’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑋)))
72 eqid 2733 . . . . . . . . . . 11 (TopOpenβ€˜β„‚fld) = (TopOpenβ€˜β„‚fld)
7372mulcn 24253 . . . . . . . . . . 11 Β· ∈ (((TopOpenβ€˜β„‚fld) Γ—t (TopOpenβ€˜β„‚fld)) Cn (TopOpenβ€˜β„‚fld))
74 pnfxr 11217 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
7612simprd 497 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ 𝑇 < 𝑋)
775ltpnfd 13050 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ π‘Œ < +∞)
78 iccssioo 13342 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝑇 < 𝑋 ∧ π‘Œ < +∞)) β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝑇(,)+∞))
799, 75, 76, 77, 78syl22anc 838 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† (𝑇(,)+∞))
8079, 2sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ)
81 ax-resscn 11116 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ βŠ† β„‚
8280, 81sstrdi 3960 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† β„‚)
8381a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ βŠ† β„‚)
84 cncfmptc 24298 . . . . . . . . . . . 12 ((β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
8531, 82, 83, 84syl3anc 1372 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
86 cncfmptid 24299 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋[,]π‘Œ) βŠ† ℝ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
8780, 81, 86sylancl 587 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
88 remulcl 11144 . . . . . . . . . . 11 ((β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
8972, 73, 85, 87, 81, 88cncfmpt2ss 24302 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
90 reelprrecn 11151 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, β„‚}
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ℝ ∈ {ℝ, β„‚})
92 ioossicc 13359 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† (𝑋[,]π‘Œ)
9392, 80sstrid 3959 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† ℝ)
9493sselda 3948 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9594recnd 11191 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
96 1cnd 11158 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ 1 ∈ β„‚)
97 simpr 486 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
9897recnd 11191 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 𝑦 ∈ β„‚)
99 1cnd 11158 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ 1 ∈ β„‚)
10091dvmptid 25344 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
10172tgioo2 24189 . . . . . . . . . . . . 13 (topGenβ€˜ran (,)) = ((TopOpenβ€˜β„‚fld) β†Ύt ℝ)
102 iooretop 24152 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)π‘Œ) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
10491, 98, 99, 100, 93, 101, 72, 103dvmptres 25350 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ 1))
10591, 95, 96, 104, 68dvmptcmul 25351 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 1)))
10668mulridd 11180 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 1) = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)
107106mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
108105, 107eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
10979, 1sseqtrrdi 3999 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† 𝑆)
110109resmptd 5998 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴) β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)) = (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴))
11120recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑆) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
112111fmpttd 7067 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„‚)
11322dmeqd 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡))
11421ralrimiva 3140 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝐡 ∈ 𝑉)
115 dmmptg 6198 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 𝐡 ∈ 𝑉 β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) = 𝑆)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (πœ‘ β†’ dom (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐡) = 𝑆)
117113, 116eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆)
118 dvcn 25308 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„‚ ∧ 𝑆 βŠ† ℝ) ∧ dom (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = 𝑆) β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
11983, 112, 19, 117, 118syl31anc 1374 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚))
120 cncfcdm 24284 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ βŠ† β„‚ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cnβ†’β„‚)) β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„))
12181, 119, 120sylancr 588 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) ↔ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴):π‘†βŸΆβ„))
12235, 121mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
12339, 122eqeltrrid 2839 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ))
124 rescncf 24283 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋[,]π‘Œ) βŠ† 𝑆 β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴) ∈ (𝑆–cn→ℝ) β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴) β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ)))
125109, 123, 124sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴) β†Ύ (𝑋[,]π‘Œ)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
126110, 125eqeltrrd 2835 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
12741r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ ℝ)
128127recnd 11191 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
12930r19.21bi 3233 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ)
13039oveq2i 7372 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ 𝐴)) = (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴))
13122, 130, 283eqtr3g 2796 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ 𝑆 ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
13292, 109sstrid 3959 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (𝑋(,)π‘Œ) βŠ† 𝑆)
13391, 128, 129, 131, 132, 101, 72, 103dvmptres 25350 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
13492sseli 3944 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) β†’ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
135 simpl 484 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ πœ‘)
136109sselda 3948 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝑦 ∈ 𝑆)
1374adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
138 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
139138adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐷 ∈ ℝ)
14013adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ ℝ)
141 elicc2 13338 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ π‘Œ ∈ ℝ) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ)))
14213, 5, 141syl2anc 585 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ)))
143142biimpa 478 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ))
144143simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ)
145 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
146145adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐷 ≀ 𝑋)
147143simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝑋 ≀ 𝑦)
148139, 140, 144, 146, 147letrd 11320 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝐷 ≀ 𝑦)
149143simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝑦 ≀ π‘Œ)
150 dvfsumlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ π‘ˆ)
151150adantr 482 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ π‘Œ ≀ π‘ˆ)
152 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘ˆ)) β†’ π‘Œ ∈ 𝑆)
153 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘Œ β†’ (π‘˜ ∈ 𝑆 ↔ π‘Œ ∈ 𝑆))
154153anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘Œ β†’ ((𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆)))
155 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘Œ β†’ (𝑦 ≀ π‘˜ ↔ 𝑦 ≀ π‘Œ))
156 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘Œ β†’ (π‘˜ ≀ π‘ˆ ↔ π‘Œ ≀ π‘ˆ))
157155, 1563anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘Œ β†’ ((𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ) ↔ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘ˆ)))
158154, 1573anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘Œ β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘ˆ))))
159 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 π‘˜ ∈ V
160159, 59csbie 3895 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡 = 𝐢
161 csbeq1 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = π‘Œ β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡 = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)
162160, 161eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = π‘Œ β†’ 𝐢 = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)
163162breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘˜ = π‘Œ β†’ (𝐢 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ↔ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
164158, 163imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . 14 (π‘˜ = π‘Œ β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘ˆ)) β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)))
165 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ))
166 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯𝐢
167 nfcv 2904 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 β„²π‘₯ ≀
168166, 167, 26nfbr 5156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 β„²π‘₯ 𝐢 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡
169165, 168nfim 1900 . . . . . . . . . . . . . . 15 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
170 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
171170anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ↔ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆)))
172 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐷 ≀ π‘₯ ↔ 𝐷 ≀ 𝑦))
173 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (π‘₯ ≀ π‘˜ ↔ 𝑦 ≀ π‘˜))
174172, 1733anbi12d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ) ↔ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)))
175171, 1743anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ))))
17627breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (𝐢 ≀ 𝐡 ↔ 𝐢 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
177175, 176imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . 15 (π‘₯ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)))
178 dvfsum.l . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡)
179169, 177, 178chvarfv 2234 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
180164, 179vtoclg 3527 . . . . . . . . . . . . 13 (π‘Œ ∈ 𝑆 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘ˆ)) β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡))
181152, 180mpcom 38 . . . . . . . . . . . 12 ((πœ‘ ∧ (𝑦 ∈ 𝑆 ∧ π‘Œ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘Œ ∧ π‘Œ ≀ π‘ˆ)) β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
182135, 136, 137, 148, 149, 151, 181syl123anc 1388 . . . . . . . . . . 11 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
183134, 182sylan2 594 . . . . . . . . . 10 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
18413rexrd 11213 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ ℝ*)
1855rexrd 11213 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
186 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘Œ)
187 lbicc2 13390 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
188184, 185, 186, 187syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
189 ubicc2 13391 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ* ∧ π‘Œ ∈ ℝ* ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
190184, 185, 186, 189syl3anc 1372 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑋[,]π‘Œ))
191 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑋 β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑋))
192 oveq2 7369 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = π‘Œ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· π‘Œ))
19313, 5, 89, 108, 126, 133, 183, 188, 190, 186, 191, 49, 192, 33dvle 25394 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· π‘Œ) βˆ’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑋)) ≀ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴))
19471, 193eqbrtrd 5131 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ≀ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴))
19567, 42, 51, 194lesubd 11767 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴 ≀ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
19664recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ∈ β„‚)
19732recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ∈ β„‚)
19842recnd 11191 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
199196, 197, 198subsubd 11548 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴)) = ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)) + β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
200197, 196negsubdi2d 11536 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -(((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)) = (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
20115recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π‘‹) ∈ β„‚)
20269, 70, 201nnncan2d 11555 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ (𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹))) = (π‘Œ βˆ’ 𝑋))
203202oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ (𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹))) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = ((π‘Œ βˆ’ 𝑋) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
20416recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ∈ β„‚)
20544recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ∈ β„‚)
206204, 205, 68subdird 11620 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ (𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹))) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
20766recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ 𝑋) ∈ β„‚)
208207, 68mulcomd 11184 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑋) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
209203, 206, 2083eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
210209negeqd 11403 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ -(((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)) = -(β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
211200, 210eqtr3d 2775 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)) = -(β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
212211oveq1d 7376 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)) + β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) = (-(β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) + β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
21367recnd 11191 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ β„‚)
214213, 198negsubdid 11535 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ -((β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) = (-(β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) + β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
215212, 214eqtr4d 2776 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)) + β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) = -((β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
216213, 198negsubdi2d 11536 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ -((β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
217199, 215, 2163eqtrd 2777 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴)) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
218195, 217breqtrrd 5137 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴 ≀ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴)))
21951, 64, 43, 218lesubd 11767 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) ≀ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴))
220 flle 13713 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ β†’ (βŒŠβ€˜π‘‹) ≀ 𝑋)
22113, 220syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (βŒŠβ€˜π‘‹) ≀ 𝑋)
22213, 15subge0d 11753 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (0 ≀ (𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ↔ (βŒŠβ€˜π‘‹) ≀ 𝑋))
223221, 222mpbird 257 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 0 ≀ (𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)))
22445breq2d 5121 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ↔ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
225182ralrimiva 3140 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘¦ ∈ (𝑋[,]π‘Œ)β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
226224, 225, 188rspcdva 3584 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
22731, 47, 44, 223, 226lemul2ad 12103 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
22864, 48, 51, 227lesub1dd 11779 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ≀ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴))
22943, 65, 52, 219, 228letrd 11320 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) ≀ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴))
23043, 52, 63, 229leadd1dd 11777 . . 3 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢) ≀ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢))
231 dvfsum.m . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ∈ β„€)
232 dvfsum.md . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑀 ≀ (𝐷 + 1))
233 dvfsum.u . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
234 dvfsum.h . . . 4 𝐻 = (π‘₯ ∈ 𝑆 ↦ (((π‘₯ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘₯)) Β· 𝐡) + (Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘₯))𝐢 βˆ’ 𝐴)))
235 dvfsumlem1.6 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
2361, 57, 231, 138, 232, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 233, 178, 234, 6, 4, 145, 186, 150, 235dvfsumlem1 25413 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘Œ) = ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢))
23713leidd 11729 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ 𝑋)
238184, 185, 233, 186, 150xrletrd 13090 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ π‘ˆ)
239 fllep1 13715 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ β†’ 𝑋 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
24013, 239syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1))
2411, 57, 231, 138, 232, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 233, 178, 234, 6, 6, 145, 237, 238, 240dvfsumlem1 25413 . . 3 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘‹) = ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢))
242230, 236, 2413brtr4d 5141 . 2 (πœ‘ β†’ (π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜π‘‹))
24352, 47resubcld 11591 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
24443, 31resubcld 11591 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
245 peano2rem 11476 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ β†’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
24644, 245syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
247246, 47remulcld 11193 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
248247, 51resubcld 11591 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ∈ ℝ)
249 peano2rem 11476 . . . . . . . . . . 11 ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ∈ ℝ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
25016, 249syl 17 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
251250, 47remulcld 11193 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
252251, 42resubcld 11591 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) ∈ ℝ)
253250, 31remulcld 11193 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ∈ ℝ)
254253, 42resubcld 11591 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) ∈ ℝ)
255247recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ β„‚)
256251recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ β„‚)
257255, 256subcld 11520 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)) ∈ β„‚)
258257, 198addcomd 11365 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)) + β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 + ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))))
259255, 256, 198subsubd 11548 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴)) = (((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)) + β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
260198, 256, 255subsub2d 11549 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 + ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))))
261258, 259, 2603eqtr4d 2783 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴)) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))))
262 1cnd 11158 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 1 ∈ β„‚)
263204, 205, 262nnncan2d 11555 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1)) = ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ (𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹))))
264263, 202eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1)) = (π‘Œ βˆ’ 𝑋))
265264oveq1d 7376 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = ((π‘Œ βˆ’ 𝑋) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
266250recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
267246recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ∈ β„‚)
26847recnd 11191 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ β„‚)
269266, 267, 268subdird 11620 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) βˆ’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)))
270207, 268mulcomd 11184 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ 𝑋) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
271265, 269, 2703eqtr3d 2781 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)) = (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
272271oveq2d 7377 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
273261, 272eqtrd 2773 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴)) = (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))))
27447, 66remulcld 11193 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) ∈ ℝ)
275 cncfmptc 24298 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]π‘Œ) βŠ† β„‚ ∧ ℝ βŠ† β„‚) β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
27647, 82, 83, 275syl3anc 1372 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
277 remulcl 11144 . . . . . . . . . . . . . 14 ((⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) β†’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦) ∈ ℝ)
27872, 73, 276, 87, 81, 277cncfmpt2ss 24302 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ) ↦ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]π‘Œ)–cn→ℝ))
27991, 95, 96, 104, 268dvmptcmul 25351 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 1)))
280268mulridd 11180 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 1) = ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
281280mpteq2dv 5211 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
282279, 281eqtrd 2773 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ) ↦ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
2836adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
284144rexrd 11213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝑦 ∈ ℝ*)
285185adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ π‘Œ ∈ ℝ*)
286233adantr 482 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ π‘ˆ ∈ ℝ*)
287284, 285, 286, 149, 151xrletrd 13090 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ 𝑦 ≀ π‘ˆ)
288 vex 3451 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
289 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘˜ ∈ 𝑆 ↔ 𝑦 ∈ 𝑆))
290289anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆)))
291 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (𝑋 ≀ π‘˜ ↔ 𝑋 ≀ 𝑦))
292 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (π‘˜ ≀ π‘ˆ ↔ 𝑦 ≀ π‘ˆ))
293291, 2923anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ) ↔ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘ˆ)))
294290, 2933anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑦 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘ˆ))))
295 csbeq1 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘˜ = 𝑦 β†’ β¦‹π‘˜ / π‘₯⦌𝐡 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
296160, 295eqtr3id 2787 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘˜ = 𝑦 β†’ 𝐢 = ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡)
297296breq1d 5119 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (𝐢 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 ↔ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
298294, 297imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (π‘˜ = 𝑦 β†’ (((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘ˆ)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)))
299 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝑋 ∈ 𝑆)
300 nfv 1918 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯(πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ))
301 nfcsb1v 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 β„²π‘₯⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡
302166, 167, 301nfbr 5156 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 β„²π‘₯ 𝐢 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡
303300, 302nfim 1900 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 β„²π‘₯((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
304 eleq1 2822 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ∈ 𝑆 ↔ 𝑋 ∈ 𝑆))
305304anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ↔ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆)))
306 breq2 5113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐷 ≀ π‘₯ ↔ 𝐷 ≀ 𝑋))
307 breq1 5112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (π‘₯ ≀ π‘˜ ↔ 𝑋 ≀ π‘˜))
308306, 3073anbi12d 1438 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ) ↔ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)))
309305, 3083anbi23d 1440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑋 β†’ ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) ↔ (πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ))))
310 csbeq1a 3873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (π‘₯ = 𝑋 β†’ 𝐡 = ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
311310breq2d 5121 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (𝐢 ≀ 𝐡 ↔ 𝐢 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
312309, 311imbi12d 345 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (π‘₯ = 𝑋 β†’ (((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ π‘₯ ∧ π‘₯ ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ 𝐡) ↔ ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)))
313303, 312, 178vtoclg1f 3526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
314299, 313mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ π‘˜ ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ π‘˜ ∧ π‘˜ ≀ π‘ˆ)) β†’ 𝐢 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
315288, 298, 314vtocl 3520 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((πœ‘ ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑦 ∈ 𝑆) ∧ (𝐷 ≀ 𝑋 ∧ 𝑋 ≀ 𝑦 ∧ 𝑦 ≀ π‘ˆ)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
316135, 283, 136, 146, 147, 287, 315syl123anc 1388 . . . . . . . . . . . . . 14 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋[,]π‘Œ)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
317134, 316sylan2 594 . . . . . . . . . . . . 13 ((πœ‘ ∧ 𝑦 ∈ (𝑋(,)π‘Œ)) β†’ ⦋𝑦 / π‘₯⦌𝐡 ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
318 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 β†’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦) = (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑋))
319 oveq2 7369 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = π‘Œ β†’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑦) = (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· π‘Œ))
32013, 5, 126, 133, 278, 282, 317, 188, 190, 186, 49, 318, 33, 319dvle 25394 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ≀ ((⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· π‘Œ) βˆ’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑋)))
321268, 69, 70subdid 11619 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)) = ((⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· π‘Œ) βˆ’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· 𝑋)))
322320, 321breqtrrd 5137 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ≀ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋)))
32342, 51, 274, 322subled 11766 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴 βˆ’ (⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡 Β· (π‘Œ βˆ’ 𝑋))) ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴)
324273, 323eqbrtrd 5131 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴)) ≀ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴)
325247, 252, 51, 324subled 11766 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ≀ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
326250renegcld 11590 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ -((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ∈ ℝ)
327 1red 11164 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ℝ)
3285, 15, 327lesubadd2d 11762 . . . . . . . . . . . . . . 15 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ≀ 1 ↔ π‘Œ ≀ ((βŒŠβ€˜π‘‹) + 1)))
329235, 328mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ≀ 1)
33016, 327suble0d 11754 . . . . . . . . . . . . . 14 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ≀ 0 ↔ (π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) ≀ 1))
331329, 330mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ ((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ≀ 0)
332250le0neg1d 11734 . . . . . . . . . . . . 13 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) ≀ 0 ↔ 0 ≀ -((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1)))
333331, 332mpbid 231 . . . . . . . . . . . 12 (πœ‘ β†’ 0 ≀ -((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1))
33431, 47, 326, 333, 226lemul2ad 12103 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ≀ (-((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
335266, 68mulneg1d 11616 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = -(((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
336266, 268mulneg1d 11616 . . . . . . . . . . 11 (πœ‘ β†’ (-((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = -(((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
337334, 335, 3363brtr3d 5140 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ -(((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ≀ -(((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
338251, 253lenegd 11742 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ↔ -(((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) ≀ -(((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)))
339337, 338mpbird 257 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
340251, 253, 42, 339lesub1dd 11779 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) ≀ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
341248, 252, 254, 325, 340letrd 11320 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ≀ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
342205, 262, 268subdird 11620 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (1 Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)))
343268mullidd 11181 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)
344343oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (1 Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡)) = (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
345342, 344eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
346345oveq1d 7376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) = ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴))
347204, 262, 68subdird 11620 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (1 Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
34868mullidd 11181 . . . . . . . . . 10 (πœ‘ β†’ (1 Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)
349348oveq2d 7377 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ (1 Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)) = (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
350347, 349eqtrd 2773 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
351350oveq1d 7376 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) βˆ’ 1) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) = ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
352341, 346, 3513brtr3d 5140 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ≀ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
35348recnd 11191 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ∈ β„‚)
35451recnd 11191 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴 ∈ β„‚)
355353, 354, 268sub32d 11552 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴))
356197, 198, 68sub32d 11552 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴))
357352, 355, 3563brtr4d 5141 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
358243, 244, 63, 357leadd1dd 11777 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢) ≀ (((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢))
35952recnd 11191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) ∈ β„‚)
36063recnd 11191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢 ∈ β„‚)
361359, 360, 268addsubd 11541 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = (((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢))
36243recnd 11191 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) ∈ β„‚)
363362, 360, 68addsubd 11541 . . . 4 (πœ‘ β†’ (((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = (((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢))
364358, 361, 3633brtr4d 5141 . . 3 (πœ‘ β†’ (((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ (((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
365241oveq1d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) = (((((𝑋 βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡))
366236oveq1d 7376 . . 3 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) = (((((π‘Œ βˆ’ (βŒŠβ€˜π‘‹)) Β· β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐴) + Ξ£π‘˜ ∈ (𝑀...(βŒŠβ€˜π‘‹))𝐢) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
367364, 365, 3663brtr4d 5141 . 2 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡))
368242, 367jca 513 1 (πœ‘ β†’ ((π»β€˜π‘Œ) ≀ (π»β€˜π‘‹) ∧ ((π»β€˜π‘‹) βˆ’ ⦋𝑋 / π‘₯⦌𝐡) ≀ ((π»β€˜π‘Œ) βˆ’ β¦‹π‘Œ / π‘₯⦌𝐡)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3061  β¦‹csb 3859   βŠ† wss 3914  {cpr 4592   class class class wbr 5109   ↦ cmpt 5192  dom cdm 5637  ran crn 5638   β†Ύ cres 5639  βŸΆwf 6496  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  β„‚cc 11057  β„cr 11058  0cc0 11059  1c1 11060   + caddc 11062   Β· cmul 11064  +∞cpnf 11194  β„*cxr 11196   < clt 11197   ≀ cle 11198   βˆ’ cmin 11393  -cneg 11394  β„€cz 12507  β„€β‰₯cuz 12771  (,)cioo 13273  [,]cicc 13276  ...cfz 13433  βŒŠcfl 13704  Ξ£csu 15579  TopOpenctopn 17311  topGenctg 17327  β„‚fldccnfld 20819  β€“cnβ†’ccncf 24262   D cdv 25250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5246  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-inf2 9585  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135  ax-pre-mulgt0 11136  ax-pre-sup 11137  ax-addf 11138  ax-mulf 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4870  df-int 4912  df-iun 4960  df-iin 4961  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-tr 5227  df-id 5535  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5592  df-se 5593  df-we 5594  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-pred 6257  df-ord 6324  df-on 6325  df-lim 6326  df-suc 6327  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-isom 6509  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-of 7621  df-om 7807  df-1st 7925  df-2nd 7926  df-supp 8097  df-frecs 8216  df-wrecs 8247  df-recs 8321  df-rdg 8360  df-1o 8416  df-2o 8417  df-er 8654  df-map 8773  df-pm 8774  df-ixp 8842  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-fin 8893  df-fsupp 9312  df-fi 9355  df-sup 9386  df-inf 9387  df-oi 9454  df-card 9883  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-div 11821  df-nn 12162  df-2 12224  df-3 12225  df-4 12226  df-5 12227  df-6 12228  df-7 12229  df-8 12230  df-9 12231  df-n0 12422  df-z 12508  df-dec 12627  df-uz 12772  df-q 12882  df-rp 12924  df-xneg 13041  df-xadd 13042  df-xmul 13043  df-ioo 13277  df-ico 13279  df-icc 13280  df-fz 13434  df-fzo 13577  df-fl 13706  df-seq 13916  df-exp 13977  df-hash 14240  df-cj 14993  df-re 14994  df-im 14995  df-sqrt 15129  df-abs 15130  df-clim 15379  df-sum 15580  df-struct 17027  df-sets 17044  df-slot 17062  df-ndx 17074  df-base 17092  df-ress 17121  df-plusg 17154  df-mulr 17155  df-starv 17156  df-sca 17157  df-vsca 17158  df-ip 17159  df-tset 17160  df-ple 17161  df-ds 17163  df-unif 17164  df-hom 17165  df-cco 17166  df-rest 17312  df-topn 17313  df-0g 17331  df-gsum 17332  df-topgen 17333  df-pt 17334  df-prds 17337  df-xrs 17392  df-qtop 17397  df-imas 17398  df-xps 17400  df-mre 17474  df-mrc 17475  df-acs 17477  df-mgm 18505  df-sgrp 18554  df-mnd 18565  df-submnd 18610  df-mulg 18881  df-cntz 19105  df-cmn 19572  df-psmet 20811  df-xmet 20812  df-met 20813  df-bl 20814  df-mopn 20815  df-fbas 20816  df-fg 20817  df-cnfld 20820  df-top 22266  df-topon 22283  df-topsp 22305  df-bases 22319  df-cld 22393  df-ntr 22394  df-cls 22395  df-nei 22472  df-lp 22510  df-perf 22511  df-cn 22601  df-cnp 22602  df-haus 22689  df-cmp 22761  df-tx 22936  df-hmeo 23129  df-fil 23220  df-fm 23312  df-flim 23313  df-flf 23314  df-xms 23696  df-ms 23697  df-tms 23698  df-cncf 24264  df-limc 25253  df-dv 25254
This theorem is referenced by:  dvfsumlem3  25415
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