Users' Mathboxes Mathbox for Brendan Leahy < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  opnmbllem0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem opnmbllem0 37663
Description: Lemma for ismblfin 37668; could also be used to shorten proof of opnmbllem 25636. (Contributed by Brendan Leahy, 13-Jul-2018.)
Assertion
Ref Expression
opnmbllem0 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem opnmbllem0
Dummy variables 𝑛 𝑟 𝑠 𝑤 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 6906 . . . . . . . 8 (𝑧 = 𝑤 → ([,]‘𝑧) = ([,]‘𝑤))
21sseq1d 4015 . . . . . . 7 (𝑧 = 𝑤 → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
32elrab 3692 . . . . . 6 (𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ↔ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴))
4 simprr 773 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
5 fvex 6919 . . . . . . . 8 ([,]‘𝑤) ∈ V
65elpw 4604 . . . . . . 7 (([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴 ↔ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)
74, 6sylibr 234 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ (𝑤 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∧ ([,]‘𝑤) ⊆ 𝐴)) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
83, 7sylan2b 594 . . . . 5 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) → ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
98ralrimiva 3146 . . . 4 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
10 iccf 13488 . . . . . 6 [,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ*
11 ffun 6739 . . . . . 6 ([,]:(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ* → Fun [,])
1210, 11ax-mp 5 . . . . 5 Fun [,]
13 ssrab2 4080 . . . . . . 7 {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
14 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 / (2↑𝑦)) = (𝑟 / (2↑𝑦)))
15 oveq1 7438 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 𝑟 → (𝑥 + 1) = (𝑟 + 1))
1615oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 = 𝑟 → ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦)) = ((𝑟 + 1) / (2↑𝑦)))
1714, 16opeq12d 4881 . . . . . . . . . . 11 (𝑥 = 𝑟 → ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩ = ⟨(𝑟 / (2↑𝑦)), ((𝑟 + 1) / (2↑𝑦))⟩)
18 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑠 → (2↑𝑦) = (2↑𝑠))
1918oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑠 → (𝑟 / (2↑𝑦)) = (𝑟 / (2↑𝑠)))
2018oveq2d 7447 . . . . . . . . . . . 12 (𝑦 = 𝑠 → ((𝑟 + 1) / (2↑𝑦)) = ((𝑟 + 1) / (2↑𝑠)))
2119, 20opeq12d 4881 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 = 𝑠 → ⟨(𝑟 / (2↑𝑦)), ((𝑟 + 1) / (2↑𝑦))⟩ = ⟨(𝑟 / (2↑𝑠)), ((𝑟 + 1) / (2↑𝑠))⟩)
2217, 21cbvmpov 7528 . . . . . . . . . 10 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) = (𝑟 ∈ ℤ, 𝑠 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑟 / (2↑𝑠)), ((𝑟 + 1) / (2↑𝑠))⟩)
2322dyadf 25626 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩):(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
24 frn 6743 . . . . . . . . 9 ((𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩):(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)))
2523, 24ax-mp 5 . . . . . . . 8 ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ⊆ ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ))
26 inss2 4238 . . . . . . . . 9 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ × ℝ)
27 rexpssxrxp 11306 . . . . . . . . 9 (ℝ × ℝ) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2826, 27sstri 3993 . . . . . . . 8 ( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
2925, 28sstri 3993 . . . . . . 7 ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3013, 29sstri 3993 . . . . . 6 {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ (ℝ* × ℝ*)
3110fdmi 6747 . . . . . 6 dom [,] = (ℝ* × ℝ*)
3230, 31sseqtrri 4033 . . . . 5 {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]
33 funimass4 6973 . . . . 5 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴))
3412, 32, 33mp2an 692 . . . 4 (([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ↔ ∀𝑤 ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ([,]‘𝑤) ∈ 𝒫 𝐴)
359, 34sylibr 234 . . 3 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴)
36 sspwuni 5100 . . 3 (([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝒫 𝐴 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
3735, 36sylib 218 . 2 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) ⊆ 𝐴)
38 eqid 2737 . . . . 5 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) = ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))
3938rexmet 24812 . . . 4 ((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ)
40 eqid 2737 . . . . . 6 (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ))) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4138, 40tgioo 24817 . . . . 5 (topGen‘ran (,)) = (MetOpen‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))
4241mopni2 24506 . . . 4 ((((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)) ∈ (∞Met‘ℝ) ∧ 𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
4339, 42mp3an1 1450 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → ∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴)
44 elssuni 4937 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 (topGen‘ran (,)))
45 uniretop 24783 . . . . . . . . 9 ℝ = (topGen‘ran (,))
4644, 45sseqtrrdi 4025 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → 𝐴 ⊆ ℝ)
4746sselda 3983 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ∈ ℝ)
48 rpre 13043 . . . . . . 7 (𝑟 ∈ ℝ+𝑟 ∈ ℝ)
4938bl2ioo 24813 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ 𝑟 ∈ ℝ) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
5047, 48, 49syl2an 596 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) = ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
5150sseq1d 4015 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴 ↔ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴))
52 2re 12340 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℝ
53 1lt2 12437 . . . . . . . . 9 1 < 2
54 expnlbnd 14272 . . . . . . . . 9 ((𝑟 ∈ ℝ+ ∧ 2 ∈ ℝ ∧ 1 < 2) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
5552, 53, 54mp3an23 1455 . . . . . . . 8 (𝑟 ∈ ℝ+ → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
5655ad2antrl 728 . . . . . . 7 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → ∃𝑛 ∈ ℕ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
5747ad2antrr 726 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ℝ)
58 2nn 12339 . . . . . . . . . . . . . . . 16 2 ∈ ℕ
59 nnnn0 12533 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
6059ad2antrl 728 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑛 ∈ ℕ0)
61 nnexpcl 14115 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
6258, 60, 61sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℕ)
6362nnred 12281 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℝ)
6457, 63remulcld 11291 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
65 fllelt 13837 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
6664, 65syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)) ∧ (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1)))
6766simpld 494 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛)))
68 reflcl 13836 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 · (2↑𝑛)) ∈ ℝ → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
6964, 68syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
7062nngt0d 12315 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 0 < (2↑𝑛))
71 ledivmul2 12147 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ ∧ 𝑤 ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
7269, 57, 63, 70, 71syl112anc 1376 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤 ↔ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 · (2↑𝑛))))
7367, 72mpbird 257 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤)
74 peano2re 11434 . . . . . . . . . . . . 13 ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℝ → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
7569, 74syl 17 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ)
7675, 62nndivred 12320 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
7766simprd 495 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1))
78 ltmuldiv 12141 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ∈ ℝ ∧ ((2↑𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (2↑𝑛))) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
7957, 75, 63, 70, 78syl112anc 1376 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤 · (2↑𝑛)) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
8077, 79mpbid 232 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
8157, 76, 80ltled 11409 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))
8269, 62nndivred 12320 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
83 elicc2 13452 . . . . . . . . . . 11 ((((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ∈ ℝ) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
8482, 76, 83syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ↔ (𝑤 ∈ ℝ ∧ ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ≤ 𝑤𝑤 ≤ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)))))
8557, 73, 81, 84mpbir3and 1343 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
8664flcld 13838 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ)
8722dyadval 25627 . . . . . . . . . . . 12 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8886, 60, 87syl2anc 584 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) = ⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
8988fveq2d 6910 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩))
90 df-ov 7434 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) = ([,]‘⟨((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)), (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))⟩)
9189, 90eqtr4di 2795 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))))
9285, 91eleqtrrd 2844 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)))
93 ffn 6736 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩):(ℤ × ℕ0)⟶( ≤ ∩ (ℝ × ℝ)) → (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) Fn (ℤ × ℕ0))
9423, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . 12 (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) Fn (ℤ × ℕ0)
95 fnovrn 7608 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) Fn (ℤ × ℕ0) ∧ (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩))
9694, 95mp3an1 1450 . . . . . . . . . . 11 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩))
9786, 60, 96syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩))
98 simplrl 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ+)
9998rpred 13077 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑟 ∈ ℝ)
10057, 99resubcld 11691 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ)
101100rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) ∈ ℝ*)
10257, 99readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ)
103102rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*)
10482, 99readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟) ∈ ℝ)
10569recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) ∈ ℂ)
106 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 1 ∈ ℂ)
10763recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ∈ ℂ)
10862nnne0d 12316 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (2↑𝑛) ≠ 0)
109105, 106, 107, 108divdird 12081 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) = (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))))
11062nnrecred 12317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) ∈ ℝ)
111 simprr 773 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)
112110, 99, 82, 111ltadd2dd 11420 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
113109, 112eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
11457, 76, 104, 80, 113lttrd 11422 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟))
11557, 99, 82ltsubaddd 11859 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ↔ 𝑤 < (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + 𝑟)))
116114, 115mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)))
11757, 110readdcld 11290 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) ∈ ℝ)
11882, 57, 110, 73leadd1dd 11877 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) + (1 / (2↑𝑛))) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
119109, 118eqbrtrd 5165 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) ≤ (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))))
120110, 99, 57, 111ltadd2dd 11420 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (𝑤 + (1 / (2↑𝑛))) < (𝑤 + 𝑟))
12176, 117, 102, 119, 120lelttrd 11419 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))
122 iccssioo 13456 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝑤𝑟) ∈ ℝ* ∧ (𝑤 + 𝑟) ∈ ℝ*) ∧ ((𝑤𝑟) < ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛)) ∧ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛)) < (𝑤 + 𝑟))) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
123101, 103, 116, 121, 122syl22anc 839 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) / (2↑𝑛))[,](((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛))) + 1) / (2↑𝑛))) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
12491, 123eqsstrd 4018 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ⊆ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)))
125 simplrr 778 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)
126124, 125sstrd 3994 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ⊆ 𝐴)
127 fveq2 6906 . . . . . . . . . . . 12 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) → ([,]‘𝑧) = ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)))
128127sseq1d 4015 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 = ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) → (([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴 ↔ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ⊆ 𝐴))
129128elrab 3692 . . . . . . . . . 10 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ↔ (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∧ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ⊆ 𝐴))
13097, 126, 129sylanbrc 583 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})
131 funfvima2 7251 . . . . . . . . . 10 ((Fun [,] ∧ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} ⊆ dom [,]) → (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
13212, 32, 131mp2an 692 . . . . . . . . 9 (((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛) ∈ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴} → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
133130, 132syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
134 elunii 4912 . . . . . . . 8 ((𝑤 ∈ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∧ ([,]‘((⌊‘(𝑤 · (2↑𝑛)))(𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩)𝑛)) ∈ ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
13592, 133, 134syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ (1 / (2↑𝑛)) < 𝑟)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
13656, 135rexlimddv 3161 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ (𝑟 ∈ ℝ+ ∧ ((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴)) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
137136expr 456 . . . . 5 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → (((𝑤𝑟)(,)(𝑤 + 𝑟)) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
13851, 137sylbid 240 . . . 4 (((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) ∧ 𝑟 ∈ ℝ+) → ((𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
139138rexlimdva 3155 . . 3 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → (∃𝑟 ∈ ℝ+ (𝑤(ball‘((abs ∘ − ) ↾ (ℝ × ℝ)))𝑟) ⊆ 𝐴𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴})))
14043, 139mpd 15 . 2 ((𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) ∧ 𝑤𝐴) → 𝑤 ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}))
14137, 140eqelssd 4005 1 (𝐴 ∈ (topGen‘ran (,)) → ([,] “ {𝑧 ∈ ran (𝑥 ∈ ℤ, 𝑦 ∈ ℕ0 ↦ ⟨(𝑥 / (2↑𝑦)), ((𝑥 + 1) / (2↑𝑦))⟩) ∣ ([,]‘𝑧) ⊆ 𝐴}) = 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  wrex 3070  {crab 3436  cin 3950  wss 3951  𝒫 cpw 4600  cop 4632   cuni 4907   class class class wbr 5143   × cxp 5683  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  cima 5688  ccom 5689  Fun wfun 6555   Fn wfn 6556  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492   / cdiv 11920  cn 12266  2c2 12321  0cn0 12526  cz 12613  +crp 13034  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  cfl 13830  cexp 14102  abscabs 15273  topGenctg 17482  ∞Metcxmet 21349  ballcbl 21351  MetOpencmopn 21354
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-map 8868  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-sup 9482  df-inf 9483  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-n0 12527  df-z 12614  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-icc 13394  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-topgen 17488  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-top 22900  df-topon 22917  df-bases 22953
This theorem is referenced by:  mblfinlem1  37664  mblfinlem2  37665
  Copyright terms: Public domain W3C validator