MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  dvfsumlem2OLD Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem dvfsumlem2OLD 26068
Description: Obsolete version of dvfsumlem2 26067 as of 17-Apr-2025. (Contributed by Mario Carneiro, 17-May-2016.) (Proof modification is discouraged.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
dvfsum.s 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
dvfsum.z 𝑍 = (ℤ𝑀)
dvfsum.m (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
dvfsum.d (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
dvfsum.md (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
dvfsum.t (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
dvfsum.a ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
dvfsum.b1 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
dvfsum.b2 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
dvfsum.b3 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
dvfsum.c (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
dvfsum.u (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
dvfsum.l ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
dvfsum.h 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
dvfsumlem1.1 (𝜑𝑋𝑆)
dvfsumlem1.2 (𝜑𝑌𝑆)
dvfsumlem1.3 (𝜑𝐷𝑋)
dvfsumlem1.4 (𝜑𝑋𝑌)
dvfsumlem1.5 (𝜑𝑌𝑈)
dvfsumlem1.6 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
Assertion
Ref Expression
dvfsumlem2OLD (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Distinct variable groups:   𝐵,𝑘   𝑥,𝐶   𝑥,𝑘,𝐷   𝜑,𝑘,𝑥   𝑆,𝑘,𝑥   𝑘,𝑀,𝑥   𝑥,𝑇   𝑘,𝑌,𝑥   𝑥,𝑍   𝑈,𝑘,𝑥   𝑘,𝑋,𝑥
Allowed substitution hints:   𝐴(𝑥,𝑘)   𝐵(𝑥)   𝐶(𝑘)   𝑇(𝑘)   𝐻(𝑥,𝑘)   𝑉(𝑥,𝑘)   𝑍(𝑘)

Proof of Theorem dvfsumlem2OLD
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 dvfsum.s . . . . . . . . 9 𝑆 = (𝑇(,)+∞)
2 ioossre 13448 . . . . . . . . 9 (𝑇(,)+∞) ⊆ ℝ
31, 2eqsstri 4030 . . . . . . . 8 𝑆 ⊆ ℝ
4 dvfsumlem1.2 . . . . . . . 8 (𝜑𝑌𝑆)
53, 4sselid 3981 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 ∈ ℝ)
6 dvfsumlem1.1 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑆)
76, 1eleqtrdi 2851 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞))
8 dvfsum.t . . . . . . . . . . . 12 (𝜑𝑇 ∈ ℝ)
98rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑇 ∈ ℝ*)
10 elioopnf 13483 . . . . . . . . . . 11 (𝑇 ∈ ℝ* → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
119, 10syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑋 ∈ (𝑇(,)+∞) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋)))
127, 11mpbid 232 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑇 < 𝑋))
1312simpld 494 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ ℝ)
14 reflcl 13836 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
1513, 14syl 17 . . . . . . 7 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℝ)
165, 15resubcld 11691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
17 csbeq1 3902 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑌𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
1817eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
193a1i 11 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑆 ⊆ ℝ)
20 dvfsum.a . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℝ)
21 dvfsum.b1 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵𝑉)
22 dvfsum.b3 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (𝑥𝑆𝐵))
2319, 20, 21, 22dvmptrecl 26064 . . . . . . . . 9 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐵 ∈ ℝ)
2423fmpttd 7135 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℝ)
25 nfcv 2905 . . . . . . . . . 10 𝑦𝐵
26 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . . 10 𝑥𝑦 / 𝑥𝐵
27 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . 10 (𝑥 = 𝑦𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
2825, 26, 27cbvmpt 5253 . . . . . . . . 9 (𝑥𝑆𝐵) = (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐵)
2928fmpt 7130 . . . . . . . 8 (∀𝑦𝑆 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑆𝐵):𝑆⟶ℝ)
3024, 29sylibr 234 . . . . . . 7 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
3118, 30, 4rspcdva 3623 . . . . . 6 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
3216, 31remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
33 csbeq1 3902 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑌𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑌 / 𝑥𝐴)
3433eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑌 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
3520fmpttd 7135 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℝ)
36 nfcv 2905 . . . . . . . . 9 𝑦𝐴
37 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . 9 𝑥𝑦 / 𝑥𝐴
38 csbeq1a 3913 . . . . . . . . 9 (𝑥 = 𝑦𝐴 = 𝑦 / 𝑥𝐴)
3936, 37, 38cbvmpt 5253 . . . . . . . 8 (𝑥𝑆𝐴) = (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴)
4039fmpt 7130 . . . . . . 7 (∀𝑦𝑆 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℝ)
4135, 40sylibr 234 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑦𝑆 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
4234, 41, 4rspcdva 3623 . . . . 5 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
4332, 42resubcld 11691 . . . 4 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
4413, 15resubcld 11691 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ)
45 csbeq1 3902 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋𝑦 / 𝑥𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
4645eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ))
4746, 30, 6rspcdva 3623 . . . . . 6 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
4844, 47remulcld 11291 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
49 csbeq1 3902 . . . . . . 7 (𝑦 = 𝑋𝑦 / 𝑥𝐴 = 𝑋 / 𝑥𝐴)
5049eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑦 = 𝑋 → (𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ ↔ 𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ))
5150, 41, 6rspcdva 3623 . . . . 5 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
5248, 51resubcld 11691 . . . 4 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
53 fzfid 14014 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀...(⌊‘𝑋)) ∈ Fin)
54 dvfsum.b2 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥𝑍) → 𝐵 ∈ ℝ)
5554ralrimiva 3146 . . . . . 6 (𝜑 → ∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ)
56 elfzuz 13560 . . . . . . 7 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘 ∈ (ℤ𝑀))
57 dvfsum.z . . . . . . 7 𝑍 = (ℤ𝑀)
5856, 57eleqtrrdi 2852 . . . . . 6 (𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋)) → 𝑘𝑍)
59 dvfsum.c . . . . . . . 8 (𝑥 = 𝑘𝐵 = 𝐶)
6059eleq1d 2826 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝑘 → (𝐵 ∈ ℝ ↔ 𝐶 ∈ ℝ))
6160rspccva 3621 . . . . . 6 ((∀𝑥𝑍 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘𝑍) → 𝐶 ∈ ℝ)
6255, 58, 61syl2an 596 . . . . 5 ((𝜑𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))) → 𝐶 ∈ ℝ)
6353, 62fsumrecl 15770 . . . 4 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℝ)
6444, 31remulcld 11291 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
6564, 51resubcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
665, 13resubcld 11691 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℝ)
6731, 66remulcld 11291 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) ∈ ℝ)
6831recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
695recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ ℂ)
7013recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ ℂ)
7168, 69, 70subdid 11719 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) = ((𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑌) − (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑋)))
72 eqid 2737 . . . . . . . . . . 11 (TopOpen‘ℂfld) = (TopOpen‘ℂfld)
7372mulcn 24889 . . . . . . . . . . 11 · ∈ (((TopOpen‘ℂfld) ×t (TopOpen‘ℂfld)) Cn (TopOpen‘ℂfld))
74 pnfxr 11315 . . . . . . . . . . . . . . . 16 +∞ ∈ ℝ*
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → +∞ ∈ ℝ*)
7612simprd 495 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑇 < 𝑋)
775ltpnfd 13163 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑌 < +∞)
78 iccssioo 13456 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((𝑇 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (𝑇 < 𝑋𝑌 < +∞)) → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
799, 75, 76, 77, 78syl22anc 839 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ (𝑇(,)+∞))
8079, 2sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ)
81 ax-resscn 11212 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ⊆ ℂ
8280, 81sstrdi 3996 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ)
8381a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ⊆ ℂ)
84 cncfmptc 24938 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
8531, 82, 83, 84syl3anc 1373 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
86 cncfmptid 24939 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑋[,]𝑌) ⊆ ℝ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
8780, 81, 86sylancl 586 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
88 remulcl 11240 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
8972, 73, 85, 87, 81, 88cncfmpt2ss 24942 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
90 reelprrecn 11247 . . . . . . . . . . . . 13 ℝ ∈ {ℝ, ℂ}
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ℝ ∈ {ℝ, ℂ})
92 ioossicc 13473 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑋(,)𝑌) ⊆ (𝑋[,]𝑌)
9392, 80sstrid 3995 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ ℝ)
9493sselda 3983 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
9594recnd 11289 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 ∈ ℂ)
96 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 1 ∈ ℂ)
97 simpr 484 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℝ)
9897recnd 11289 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 𝑦 ∈ ℂ)
99 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ ℝ) → 1 ∈ ℂ)
10091dvmptid 25995 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ ℝ ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ ℝ ↦ 1))
10172tgioo2 24824 . . . . . . . . . . . . 13 (topGen‘ran (,)) = ((TopOpen‘ℂfld) ↾t ℝ)
102 iooretop 24786 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,))
103102a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ∈ (topGen‘ran (,)))
10491, 98, 99, 100, 93, 101, 72, 103dvmptres 26001 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 1))
10591, 95, 96, 104, 68dvmptcmul 26002 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 1)))
10668mulridd 11278 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · 1) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
107106mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑌 / 𝑥𝐵))
108105, 107eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑌 / 𝑥𝐵))
10979, 1sseqtrrdi 4025 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆)
110109resmptd 6058 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) = (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴))
11120recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑥𝑆) → 𝐴 ∈ ℂ)
112111fmpttd 7135 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ)
11322dmeqd 5916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = dom (𝑥𝑆𝐵))
11421ralrimiva 3146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝜑 → ∀𝑥𝑆 𝐵𝑉)
115 dmmptg 6262 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (∀𝑥𝑆 𝐵𝑉 → dom (𝑥𝑆𝐵) = 𝑆)
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝜑 → dom (𝑥𝑆𝐵) = 𝑆)
117113, 116eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → dom (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = 𝑆)
118 dvcn 25957 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℂ ∧ 𝑆 ⊆ ℝ) ∧ dom (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = 𝑆) → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℂ))
11983, 112, 19, 117, 118syl31anc 1375 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℂ))
120 cncfcdm 24924 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((ℝ ⊆ ℂ ∧ (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℂ)) → ((𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ) ↔ (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℝ))
12181, 119, 120sylancr 587 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ) ↔ (𝑥𝑆𝐴):𝑆⟶ℝ))
12235, 121mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑥𝑆𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ))
12339, 122eqeltrrid 2846 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ))
124 rescncf 24923 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑋[,]𝑌) ⊆ 𝑆 → ((𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ (𝑆cn→ℝ) → ((𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ)))
125109, 123, 124sylc 65 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴) ↾ (𝑋[,]𝑌)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
126110, 125eqeltrrd 2842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
12741r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℝ)
128127recnd 11289 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
12930r19.21bi 3251 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦𝑆) → 𝑦 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ)
13039oveq2i 7442 . . . . . . . . . . . 12 (ℝ D (𝑥𝑆𝐴)) = (ℝ D (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴))
13122, 130, 283eqtr3g 2800 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (ℝ D (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦𝑆𝑦 / 𝑥𝐵))
13292, 109sstrid 3995 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋(,)𝑌) ⊆ 𝑆)
13391, 128, 129, 131, 132, 101, 72, 103dvmptres 26001 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐴)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑦 / 𝑥𝐵))
13492sseli 3979 . . . . . . . . . . 11 (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) → 𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌))
135 simpl 482 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝜑)
136109sselda 3983 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦𝑆)
1374adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌𝑆)
138 dvfsum.d . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
139138adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷 ∈ ℝ)
14013adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋 ∈ ℝ)
141 elicc2 13452 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝑌 ∈ ℝ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦𝑦𝑌)))
14213, 5, 141syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↔ (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦𝑦𝑌)))
143142biimpa 476 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → (𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑋𝑦𝑦𝑌))
144143simp1d 1143 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ)
145 dvfsumlem1.3 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝐷𝑋)
146145adantr 480 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷𝑋)
147143simp2d 1144 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋𝑦)
148139, 140, 144, 146, 147letrd 11418 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝐷𝑦)
149143simp3d 1145 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦𝑌)
150 dvfsumlem1.5 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑𝑌𝑈)
151150adantr 480 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌𝑈)
152 simp2r 1201 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌𝑆)
153 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑌 → (𝑘𝑆𝑌𝑆))
154153anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑌 → ((𝑦𝑆𝑘𝑆) ↔ (𝑦𝑆𝑌𝑆)))
155 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑌 → (𝑦𝑘𝑦𝑌))
156 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑌 → (𝑘𝑈𝑌𝑈))
157155, 1563anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑌 → ((𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈) ↔ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)))
158154, 1573anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑌 → ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈))))
159 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑘 ∈ V
160159, 59csbie 3934 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝐶
161 csbeq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑌𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
162160, 161eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑌𝐶 = 𝑌 / 𝑥𝐵)
163162breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑘 = 𝑌 → (𝐶𝑦 / 𝑥𝐵𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵))
164158, 163imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑘 = 𝑌 → (((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)))
165 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥(𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈))
166 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥𝐶
167 nfcv 2905 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 𝑥
168166, 167, 26nfbr 5190 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑥 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵
169165, 168nfim 1896 . . . . . . . . . . . . . . 15 𝑥((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵)
170 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑆𝑦𝑆))
171170anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → ((𝑥𝑆𝑘𝑆) ↔ (𝑦𝑆𝑘𝑆)))
172 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝐷𝑥𝐷𝑦))
173 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥𝑘𝑦𝑘))
174172, 1733anbi12d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑥 = 𝑦 → ((𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈) ↔ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)))
175171, 1743anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈))))
17627breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑥 = 𝑦 → (𝐶𝐵𝐶𝑦 / 𝑥𝐵))
177175, 176imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑥 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵)))
178 dvfsum.l . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵)
179169, 177, 178chvarfv 2240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑦 / 𝑥𝐵)
180164, 179vtoclg 3554 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑌𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵))
181152, 180mpcom 38 . . . . . . . . . . . 12 ((𝜑 ∧ (𝑦𝑆𝑌𝑆) ∧ (𝐷𝑦𝑦𝑌𝑌𝑈)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)
182135, 136, 137, 148, 149, 151, 181syl123anc 1389 . . . . . . . . . . 11 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)
183134, 182sylan2 593 . . . . . . . . . 10 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)
18413rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋 ∈ ℝ*)
1855rexrd 11311 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑌 ∈ ℝ*)
186 dvfsumlem1.4 . . . . . . . . . . 11 (𝜑𝑋𝑌)
187 lbicc2 13504 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
188184, 185, 186, 187syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑋 ∈ (𝑋[,]𝑌))
189 ubicc2 13505 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 ∈ ℝ*𝑌 ∈ ℝ*𝑋𝑌) → 𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
190184, 185, 186, 189syl3anc 1373 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑌 ∈ (𝑋[,]𝑌))
191 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑋 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦) = (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑋))
192 oveq2 7439 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑌 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑦) = (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑌))
19313, 5, 89, 108, 126, 133, 183, 188, 190, 186, 191, 49, 192, 33dvle 26046 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑌) − (𝑌 / 𝑥𝐵 · 𝑋)) ≤ (𝑌 / 𝑥𝐴𝑋 / 𝑥𝐴))
19471, 193eqbrtrd 5165 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) ≤ (𝑌 / 𝑥𝐴𝑋 / 𝑥𝐴))
19567, 42, 51, 194lesubd 11867 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ≤ (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
19664recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
19732recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
19842recnd 11289 . . . . . . . . 9 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
199196, 197, 198subsubd 11648 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴))
200197, 196negsubdi2d 11636 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
20115recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ∈ ℂ)
20269, 70, 201nnncan2d 11655 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) = (𝑌𝑋))
203202oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((𝑌𝑋) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
20416recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
20544recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℂ)
206204, 205, 68subdird 11720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
20766recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌𝑋) ∈ ℂ)
208207, 68mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
209203, 206, 2083eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
210209negeqd 11502 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = -(𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
211200, 210eqtr3d 2779 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = -(𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
212211oveq1d 7446 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴) = (-(𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) + 𝑌 / 𝑥𝐴))
21367recnd 11289 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) ∈ ℂ)
214213, 198negsubdid 11635 . . . . . . . . 9 (𝜑 → -((𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = (-(𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) + 𝑌 / 𝑥𝐴))
215212, 214eqtr4d 2780 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴) = -((𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
216213, 198negsubdi2d 11636 . . . . . . . 8 (𝜑 → -((𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
217199, 215, 2163eqtrd 2781 . . . . . . 7 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑌 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
218195, 217breqtrrd 5171 . . . . . 6 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)))
21951, 64, 43, 218lesubd 11867 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
220 flle 13839 . . . . . . . . 9 (𝑋 ∈ ℝ → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
22113, 220syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋)
22213, 15subge0d 11853 . . . . . . . 8 (𝜑 → (0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)) ↔ (⌊‘𝑋) ≤ 𝑋))
223221, 222mpbird 257 . . . . . . 7 (𝜑 → 0 ≤ (𝑋 − (⌊‘𝑋)))
22445breq2d 5155 . . . . . . . 8 (𝑦 = 𝑋 → (𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵𝑌 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵))
225182ralrimiva 3146 . . . . . . . 8 (𝜑 → ∀𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)𝑌 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵)
226224, 225, 188rspcdva 3623 . . . . . . 7 (𝜑𝑌 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)
22731, 47, 44, 223, 226lemul2ad 12208 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
22864, 48, 51, 227lesub1dd 11879 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
22943, 65, 52, 219, 228letrd 11418 . . . 4 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
23043, 52, 63, 229leadd1dd 11877 . . 3 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
231 dvfsum.m . . . 4 (𝜑𝑀 ∈ ℤ)
232 dvfsum.md . . . 4 (𝜑𝑀 ≤ (𝐷 + 1))
233 dvfsum.u . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ ℝ*)
234 dvfsum.h . . . 4 𝐻 = (𝑥𝑆 ↦ (((𝑥 − (⌊‘𝑥)) · 𝐵) + (Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑥))𝐶𝐴)))
235 dvfsumlem1.6 . . . 4 (𝜑𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
2361, 57, 231, 138, 232, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 233, 178, 234, 6, 4, 145, 186, 150, 235dvfsumlem1 26066 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑌) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
23713leidd 11829 . . . 4 (𝜑𝑋𝑋)
238184, 185, 233, 186, 150xrletrd 13204 . . . 4 (𝜑𝑋𝑈)
239 fllep1 13841 . . . . 5 (𝑋 ∈ ℝ → 𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
24013, 239syl 17 . . . 4 (𝜑𝑋 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1))
2411, 57, 231, 138, 232, 8, 20, 21, 54, 22, 59, 233, 178, 234, 6, 6, 145, 237, 238, 240dvfsumlem1 26066 . . 3 (𝜑 → (𝐻𝑋) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
242230, 236, 2413brtr4d 5175 . 2 (𝜑 → (𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋))
24352, 47resubcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
24443, 31resubcld 11691 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
245 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
24644, 245syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
247246, 47remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
248247, 51resubcld 11691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
249 peano2rem 11576 . . . . . . . . . . 11 ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ∈ ℝ → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
25016, 249syl 17 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
251250, 47remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
252251, 42resubcld 11691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
253250, 31remulcld 11291 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ∈ ℝ)
254253, 42resubcld 11691 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℝ)
255247recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
256251recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
257255, 256subcld 11620 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)) ∈ ℂ)
258257, 198addcomd 11463 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴) = (𝑌 / 𝑥𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))))
259255, 256, 198subsubd 11648 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)) + 𝑌 / 𝑥𝐴))
260198, 256, 255subsub2d 11649 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))) = (𝑌 / 𝑥𝐴 + ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))))
261258, 259, 2603eqtr4d 2787 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))))
262 1cnd 11256 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℂ)
263204, 205, 262nnncan2d 11655 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − (𝑋 − (⌊‘𝑋))))
264263, 202eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) = (𝑌𝑋))
265264oveq1d 7446 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = ((𝑌𝑋) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
266250recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
267246recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℂ)
26847recnd 11289 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℂ)
269266, 267, 268subdird 11720 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) − ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)))
270207, 268mulcomd 11282 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌𝑋) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
271265, 269, 2703eqtr3d 2785 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)) = (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
272271oveq2d 7447 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴 − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
273261, 272eqtrd 2777 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) = (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))))
27447, 66remulcld 11291 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) ∈ ℝ)
275 cncfmptc 24938 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑋[,]𝑌) ⊆ ℂ ∧ ℝ ⊆ ℂ) → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
27647, 82, 83, 275syl3anc 1373 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
277 remulcl 11240 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝑋 / 𝑥𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦) ∈ ℝ)
27872, 73, 276, 87, 81, 277cncfmpt2ss 24942 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦)) ∈ ((𝑋[,]𝑌)–cn→ℝ))
27991, 95, 96, 104, 268dvmptcmul 26002 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 1)))
280268mulridd 11278 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · 1) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
281280mpteq2dv 5244 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 1)) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵))
282279, 281eqtrd 2777 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (ℝ D (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦))) = (𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌) ↦ 𝑋 / 𝑥𝐵))
2836adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑋𝑆)
284144rexrd 11311 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 ∈ ℝ*)
285185adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑌 ∈ ℝ*)
286233adantr 480 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑈 ∈ ℝ*)
287284, 285, 286, 149, 151xrletrd 13204 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦𝑈)
288 vex 3484 . . . . . . . . . . . . . . . 16 𝑦 ∈ V
289 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑆𝑦𝑆))
290289anbi2d 630 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑦 → ((𝑋𝑆𝑘𝑆) ↔ (𝑋𝑆𝑦𝑆)))
291 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑦 → (𝑋𝑘𝑋𝑦))
292 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑦 → (𝑘𝑈𝑦𝑈))
293291, 2923anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑦 → ((𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈) ↔ (𝐷𝑋𝑋𝑦𝑦𝑈)))
294290, 2933anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑦 → ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑦𝑦𝑈))))
295 csbeq1 3902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑘 = 𝑦𝑘 / 𝑥𝐵 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
296160, 295eqtr3id 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑘 = 𝑦𝐶 = 𝑦 / 𝑥𝐵)
297296breq1d 5153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑘 = 𝑦 → (𝐶𝑋 / 𝑥𝐵𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵))
298294, 297imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝑘 = 𝑦 → (((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑦𝑦𝑈)) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)))
299 simp2l 1200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝑋𝑆)
300 nfv 1914 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥(𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈))
301 nfcsb1v 3923 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 𝑥𝑋 / 𝑥𝐵
302166, 167, 301nfbr 5190 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 𝑥 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵
303300, 302nfim 1896 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 𝑥((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵)
304 eleq1 2829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑆𝑋𝑆))
305304anbi1d 631 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → ((𝑥𝑆𝑘𝑆) ↔ (𝑋𝑆𝑘𝑆)))
306 breq2 5147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑋 → (𝐷𝑥𝐷𝑋))
307 breq1 5146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑥 = 𝑋 → (𝑥𝑘𝑋𝑘))
308306, 3073anbi12d 1439 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋 → ((𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈) ↔ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)))
309305, 3083anbi23d 1441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → ((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) ↔ (𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈))))
310 csbeq1a 3913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑥 = 𝑋𝐵 = 𝑋 / 𝑥𝐵)
311310breq2d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑥 = 𝑋 → (𝐶𝐵𝐶𝑋 / 𝑥𝐵))
312309, 311imbi12d 344 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑥 = 𝑋 → (((𝜑 ∧ (𝑥𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑥𝑥𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝐵) ↔ ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵)))
313303, 312, 178vtoclg1f 3570 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝑋𝑆 → ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵))
314299, 313mpcom 38 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑘𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑘𝑘𝑈)) → 𝐶𝑋 / 𝑥𝐵)
315288, 298, 314vtocl 3558 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑 ∧ (𝑋𝑆𝑦𝑆) ∧ (𝐷𝑋𝑋𝑦𝑦𝑈)) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)
316135, 283, 136, 146, 147, 287, 315syl123anc 1389 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋[,]𝑌)) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)
317134, 316sylan2 593 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝜑𝑦 ∈ (𝑋(,)𝑌)) → 𝑦 / 𝑥𝐵𝑋 / 𝑥𝐵)
318 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑋 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦) = (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑋))
319 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 = 𝑌 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑦) = (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑌))
32013, 5, 126, 133, 278, 282, 317, 188, 190, 186, 49, 318, 33, 319dvle 26046 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑌) − (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑋)))
321268, 69, 70subdid 11719 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)) = ((𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑌) − (𝑋 / 𝑥𝐵 · 𝑋)))
322320, 321breqtrrd 5171 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋)))
32342, 51, 274, 322subled 11866 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (𝑌 / 𝑥𝐴 − (𝑋 / 𝑥𝐵 · (𝑌𝑋))) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐴)
324273, 323eqbrtrd 5165 . . . . . . . . 9 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴)) ≤ 𝑋 / 𝑥𝐴)
325247, 252, 51, 324subled 11866 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
326250renegcld 11690 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ∈ ℝ)
327 1red 11262 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑 → 1 ∈ ℝ)
3285, 15, 327lesubadd2d 11862 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1 ↔ 𝑌 ≤ ((⌊‘𝑋) + 1)))
329235, 328mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1)
33016, 327suble0d 11854 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ (𝑌 − (⌊‘𝑋)) ≤ 1))
331329, 330mpbird 257 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → ((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0)
332250le0neg1d 11834 . . . . . . . . . . . . 13 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) ≤ 0 ↔ 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1)))
333331, 332mpbid 232 . . . . . . . . . . . 12 (𝜑 → 0 ≤ -((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1))
33431, 47, 326, 333, 226lemul2ad 12208 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
335266, 68mulneg1d 11716 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
336266, 268mulneg1d 11716 . . . . . . . . . . 11 (𝜑 → (-((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
337334, 335, 3363brtr3d 5174 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵))
338251, 253lenegd 11842 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ↔ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) ≤ -(((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵)))
339337, 338mpbird 257 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵))
340251, 253, 42, 339lesub1dd 11879 . . . . . . . 8 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
341248, 252, 254, 325, 340letrd 11418 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
342205, 262, 268subdird 11720 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵)))
343268mullidd 11279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵) = 𝑋 / 𝑥𝐵)
344343oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑋 / 𝑥𝐵)) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
345342, 344eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) = (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
346345oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
347204, 262, 68subdird 11720 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)))
34868mullidd 11279 . . . . . . . . . 10 (𝜑 → (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵) = 𝑌 / 𝑥𝐵)
349348oveq2d 7447 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − (1 · 𝑌 / 𝑥𝐵)) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
350347, 349eqtrd 2777 . . . . . . . 8 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
351350oveq1d 7446 . . . . . . 7 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) − 1) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
352341, 346, 3513brtr3d 5174 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
35348recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) ∈ ℂ)
35451recnd 11289 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 / 𝑥𝐴 ∈ ℂ)
355353, 354, 268sub32d 11652 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴))
356197, 198, 68sub32d 11652 . . . . . 6 (𝜑 → ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴))
357352, 355, 3563brtr4d 5175 . . . . 5 (𝜑 → ((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
358243, 244, 63, 357leadd1dd 11877 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
35952recnd 11289 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
36063recnd 11289 . . . . 5 (𝜑 → Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶 ∈ ℂ)
361359, 360, 268addsubd 11641 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) − 𝑋 / 𝑥𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
36243recnd 11289 . . . . 5 (𝜑 → (((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) ∈ ℂ)
363362, 360, 68addsubd 11641 . . . 4 (𝜑 → (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) − 𝑌 / 𝑥𝐵) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶))
364358, 361, 3633brtr4d 5175 . . 3 (𝜑 → (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
365241oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) = (((((𝑋 − (⌊‘𝑋)) · 𝑋 / 𝑥𝐵) − 𝑋 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑋 / 𝑥𝐵))
366236oveq1d 7446 . . 3 (𝜑 → ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵) = (((((𝑌 − (⌊‘𝑋)) · 𝑌 / 𝑥𝐵) − 𝑌 / 𝑥𝐴) + Σ𝑘 ∈ (𝑀...(⌊‘𝑋))𝐶) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
367364, 365, 3663brtr4d 5175 . 2 (𝜑 → ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵))
368242, 367jca 511 1 (𝜑 → ((𝐻𝑌) ≤ (𝐻𝑋) ∧ ((𝐻𝑋) − 𝑋 / 𝑥𝐵) ≤ ((𝐻𝑌) − 𝑌 / 𝑥𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  csb 3899  wss 3951  {cpr 4628   class class class wbr 5143  cmpt 5225  dom cdm 5685  ran crn 5686  cres 5687  wf 6557  cfv 6561  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   · cmul 11160  +∞cpnf 11292  *cxr 11294   < clt 11295  cle 11296  cmin 11492  -cneg 11493  cz 12613  cuz 12878  (,)cioo 13387  [,]cicc 13390  ...cfz 13547  cfl 13830  Σcsu 15722  TopOpenctopn 17466  topGenctg 17482  fldccnfld 21364  cnccncf 24902   D cdv 25898
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-inf2 9681  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232  ax-pre-sup 11233  ax-addf 11234  ax-mulf 11235
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-tp 4631  df-op 4633  df-uni 4908  df-int 4947  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-se 5638  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-of 7697  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-supp 8186  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-1o 8506  df-2o 8507  df-er 8745  df-map 8868  df-pm 8869  df-ixp 8938  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-fin 8989  df-fsupp 9402  df-fi 9451  df-sup 9482  df-inf 9483  df-oi 9550  df-card 9979  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-9 12336  df-n0 12527  df-z 12614  df-dec 12734  df-uz 12879  df-q 12991  df-rp 13035  df-xneg 13154  df-xadd 13155  df-xmul 13156  df-ioo 13391  df-ico 13393  df-icc 13394  df-fz 13548  df-fzo 13695  df-fl 13832  df-seq 14043  df-exp 14103  df-hash 14370  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-clim 15524  df-sum 15723  df-struct 17184  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-starv 17312  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-unif 17320  df-hom 17321  df-cco 17322  df-rest 17467  df-topn 17468  df-0g 17486  df-gsum 17487  df-topgen 17488  df-pt 17489  df-prds 17492  df-xrs 17547  df-qtop 17552  df-imas 17553  df-xps 17555  df-mre 17629  df-mrc 17630  df-acs 17632  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-submnd 18797  df-mulg 19086  df-cntz 19335  df-cmn 19800  df-psmet 21356  df-xmet 21357  df-met 21358  df-bl 21359  df-mopn 21360  df-fbas 21361  df-fg 21362  df-cnfld 21365  df-top 22900  df-topon 22917  df-topsp 22939  df-bases 22953  df-cld 23027  df-ntr 23028  df-cls 23029  df-nei 23106  df-lp 23144  df-perf 23145  df-cn 23235  df-cnp 23236  df-haus 23323  df-cmp 23395  df-tx 23570  df-hmeo 23763  df-fil 23854  df-fm 23946  df-flim 23947  df-flf 23948  df-xms 24330  df-ms 24331  df-tms 24332  df-cncf 24904  df-limc 25901  df-dv 25902
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator