Theorem icoshft 12674

Description: A shifted real is a member of a shifted, closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
icoshft	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem icoshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 10485	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		elico2 12615	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
3	1, 2	sylan2 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
4	3	biimpd 221	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
5	4	3adant3 1113	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
6		3anass 1077	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
7	5, 6	syl6ib 243	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))))
8		leadd1 10908	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
9	8	3com12 1104	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
10	9	3expib 1103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
11	10	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
12	11	3adant2 1112	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
13	12	imp 398	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
14		ltadd1 10907	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
15	14	3expib 1103	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
16	15	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
17	16	3adant1 1111	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
18	17	imp 398	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
19	13, 18	anbi12d 622	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
20	19	pm5.32da 571	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
21		readdcl 10417	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	expcom 406	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ))
23	22	anim1d 602	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
24		3anass 1077	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
25	23, 24	syl6ibr 244	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
26	25	3ad2ant3 1116	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
27		readdcl 10417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
28	27	3adant2 1112	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
29		readdcl 10417	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
30	29	3adant1 1111	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
31		rexr 10485	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
32		elico2 12615	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
33	31, 32	sylan2 584	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
34	33	biimprd 240	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
35	28, 30, 34	syl2anc 576	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
36	26, 35	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
37	20, 36	sylbid 232	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
38	7, 37	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   ∧ wa 387   ∧ w3a 1069   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4926  (class class class)co 6975  ℝcr 10333   + caddc 10337  ℝ^*cxr 10472   < clt 10473   ≤ cle 10474  [,)cico 12555

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2745  ax-sep 5057  ax-nul 5064  ax-pow 5116  ax-pr 5183  ax-un 7278  ax-cnex 10390  ax-resscn 10391  ax-1cn 10392  ax-icn 10393  ax-addcl 10394  ax-addrcl 10395  ax-mulcl 10396  ax-mulrcl 10397  ax-mulcom 10398  ax-addass 10399  ax-mulass 10400  ax-distr 10401  ax-i2m1 10402  ax-1ne0 10403  ax-1rid 10404  ax-rnegex 10405  ax-rrecex 10406  ax-cnre 10407  ax-pre-lttri 10408  ax-pre-lttrn 10409  ax-pre-ltadd 10410

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2754  df-cleq 2766  df-clel 2841  df-nfc 2913  df-ne 2963  df-nel 3069  df-ral 3088  df-rex 3089  df-rab 3092  df-v 3412  df-sbc 3677  df-csb 3782  df-dif 3827  df-un 3829  df-in 3831  df-ss 3838  df-nul 4174  df-if 4346  df-pw 4419  df-sn 4437  df-pr 4439  df-op 4443  df-uni 4710  df-br 4927  df-opab 4989  df-mpt 5006  df-id 5309  df-po 5323  df-so 5324  df-xp 5410  df-rel 5411  df-cnv 5412  df-co 5413  df-dm 5414  df-rn 5415  df-res 5416  df-ima 5417  df-iota 6150  df-fun 6188  df-fn 6189  df-f 6190  df-f1 6191  df-fo 6192  df-f1o 6193  df-fv 6194  df-ov 6978  df-oprab 6979  df-mpo 6980  df-er 8088  df-en 8306  df-dom 8307  df-sdom 8308  df-pnf 10475  df-mnf 10476  df-xr 10477  df-ltxr 10478  df-le 10479  df-ico 12559

This theorem is referenced by:  icoshftf1o  12675