Theorem icoshft 13275

Description: A shifted real is a member of a shifted, closed-below, open-above real interval. (Contributed by Paul Chapman, 25-Mar-2008.)

Assertion

Ref	Expression
icoshft	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))

Proof of Theorem icoshft

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rexr 11091	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℝ*)
2		elico2 13213	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
3	1, 2	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
4	3	biimpd 228	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
5	4	3adant3 1131	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
6		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)))
7	5, 6	syl6ib 250	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵))))
8		leadd1 11513	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
9	8	3com12 1122	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
10	9	3expib 1121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
11	10	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
12	11	3adant2 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶))))
13	12	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝑋 ↔ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶)))
14		ltadd1 11512	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
15	14	3expib 1121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ ℝ → ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
16	15	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
17	16	3adant1 1129	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
18	17	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → (𝑋 < 𝐵 ↔ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))
19	13, 18	anbi12d 631	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) ∧ 𝑋 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵) ↔ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
20	19	pm5.32da 579	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)) ↔ (𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
21		readdcl 11024	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑋 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ)
22	21	expcom 414	. . . . . . 7 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝑋 ∈ ℝ → (𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ))
23	22	anim1d 611	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)))))
24		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
25	23, 24	syl6ibr 251	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
26	25	3ad2ant3 1134	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
27		readdcl 11024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
28	27	3adant2 1130	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ)
29		readdcl 11024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
30	29	3adant1 1129	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ)
31		rexr 11091	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ → (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*)
32		elico2 13213	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ*) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
33	31, 32	sylan2 593	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → ((𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶)) ↔ ((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))))
34	33	biimprd 247	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐵 + 𝐶) ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
35	28, 30, 34	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (((𝑋 + 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
36	26, 35	syld 47	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ ((𝐴 + 𝐶) ≤ (𝑋 + 𝐶) ∧ (𝑋 + 𝐶) < (𝐵 + 𝐶))) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
37	20, 36	sylbid 239	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝑋 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝑋 ∧ 𝑋 < 𝐵)) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))
38	7, 37	syld 47	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝑋 ∈ (𝐴[,)𝐵) → (𝑋 + 𝐶) ∈ ((𝐴 + 𝐶)[,)(𝐵 + 𝐶))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2105   class class class wbr 5085  (class class class)co 7313  ℝcr 10940   + caddc 10944  ℝ^*cxr 11078   < clt 11079   ≤ cle 11080  [,)cico 13151

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-id 5505  df-po 5519  df-so 5520  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-ico 13155

This theorem is referenced by:  icoshftf1o  13276