Theorem iccneg 12850

Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)

Assertion

Ref	Expression
iccneg	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))

Proof of Theorem iccneg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 10938	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
2		ax-1 6	. . . . 5 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (-𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
3	1, 2	impbid2 229	. . . 4 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
4	3	3ad2ant3 1132	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
5		ancom 464	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))
6		leneg 11132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
7	6	ancoms 462	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
8	7	3adant1 1127	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
9		leneg 11132	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
10	9	3adant2 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
11	8, 10	anbi12d 633	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ≤ 𝐵 ∧ 𝐴 ≤ 𝐶) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
12	5, 11	bitr3id 288	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
13	4, 12	anbi12d 633	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
14		elicc2 12790	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
15	14	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
16		3anass 1092	. . 3 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵)))
17	15, 16	syl6bb 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ≤ 𝐶 ∧ 𝐶 ≤ 𝐵))))
18		renegcl 10938	. . . . 5 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
19		renegcl 10938	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
20		elicc2 12790	. . . . 5 ⊢ ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
21	18, 19, 20	syl2anr 599	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
22	21	3adant3 1129	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
23		3anass 1092	. . 3 ⊢ ((-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
24	22, 23	syl6bb 290	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
25	13, 17, 24	3bitr4d 314	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℝcr 10525   ≤ cle 10665  -cneg 10860  [,]cicc 12729

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-icc 12733

This theorem is referenced by:  xrhmeo  23551  dvivth  24613