MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iccneg Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iccneg 13398
Description: Membership in a negated closed real interval. (Contributed by Paul Chapman, 26-Nov-2007.)
Assertion
Ref Expression
iccneg ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))

Proof of Theorem iccneg
StepHypRef Expression
1 renegcl 11472 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → -𝐶 ∈ ℝ)
2 ax-1 6 . . . . 5 (𝐶 ∈ ℝ → (-𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℝ))
31, 2impbid2 225 . . . 4 (𝐶 ∈ ℝ → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
433ad2ant3 1136 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ ℝ ↔ -𝐶 ∈ ℝ))
5 ancom 462 . . . 4 ((𝐶𝐵𝐴𝐶) ↔ (𝐴𝐶𝐶𝐵))
6 leneg 11666 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
76ancoms 460 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
873adant1 1131 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶𝐵 ↔ -𝐵 ≤ -𝐶))
9 leneg 11666 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
1093adant2 1132 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴𝐶 ↔ -𝐶 ≤ -𝐴))
118, 10anbi12d 632 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶𝐵𝐴𝐶) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
125, 11bitr3id 285 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
134, 12anbi12d 632 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵)) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
14 elicc2 13338 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
15143adant3 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵)))
16 3anass 1096 . . 3 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐴𝐶𝐶𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵)))
1715, 16bitrdi 287 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐴𝐶𝐶𝐵))))
18 renegcl 11472 . . . . 5 (𝐵 ∈ ℝ → -𝐵 ∈ ℝ)
19 renegcl 11472 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
20 elicc2 13338 . . . . 5 ((-𝐵 ∈ ℝ ∧ -𝐴 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
2118, 19, 20syl2anr 598 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
22213adant3 1133 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
23 3anass 1096 . . 3 ((-𝐶 ∈ ℝ ∧ -𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴)))
2422, 23bitrdi 287 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (-𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴) ↔ (-𝐶 ∈ ℝ ∧ (-𝐵 ≤ -𝐶 ∧ -𝐶 ≤ -𝐴))))
2513, 17, 243bitr4d 311 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐶 ∈ (𝐴[,]𝐵) ↔ -𝐶 ∈ (-𝐵[,]-𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088  wcel 2107   class class class wbr 5109  (class class class)co 7361  cr 11058  cle 11198  -cneg 11394  [,]cicc 13276
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116  ax-1cn 11117  ax-icn 11118  ax-addcl 11119  ax-addrcl 11120  ax-mulcl 11121  ax-mulrcl 11122  ax-mulcom 11123  ax-addass 11124  ax-mulass 11125  ax-distr 11126  ax-i2m1 11127  ax-1ne0 11128  ax-1rid 11129  ax-rnegex 11130  ax-rrecex 11131  ax-cnre 11132  ax-pre-lttri 11133  ax-pre-lttrn 11134  ax-pre-ltadd 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7317  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-er 8654  df-en 8890  df-dom 8891  df-sdom 8892  df-pnf 11199  df-mnf 11200  df-xr 11201  df-ltxr 11202  df-le 11203  df-sub 11395  df-neg 11396  df-icc 13280
This theorem is referenced by:  xrhmeo  24332  dvivth  25397
  Copyright terms: Public domain W3C validator