Theorem infinfg 10567

Description: Equivalence between two infiniteness criteria for sets. To avoid the axiom of infinity, we include it as a hypothesis. (Contributed by Scott Fenton, 20-Feb-2026.)

Assertion

Ref	Expression
infinfg	⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infinfg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfiniteg 9267	. . . 4 ⊢ (ω ∈ V → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
2	1	adantr 486	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω))
3	2	notbid 321	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
4		domtri 10557	. 2 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
5	3, 4	bitr4d 285	1 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  Vcvv 3457   class class class wbr 5111  ωcom 7868   ≼ cdom 8947   ≺ csdm 8948  Fincfn 8949

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-ac2 10462

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-int 4915  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-tr 5221  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7376  df-ov 7422  df-om 7869  df-2nd 7993  df-frecs 8284  df-wrecs 8315  df-recs 8364  df-rdg 8403  df-1o 8459  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-fin 8953  df-card 9941  df-ac 10116

This theorem is used by:  infinf  10568  oldfib  28623