Theorem infinf 10567

Description: Equivalence between two infiniteness criteria for sets. (Contributed by David Moews, 1-May-2017.)

Assertion

Ref	Expression
infinf	⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝐴))

Proof of Theorem infinf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		isfinite 9653	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ Fin ↔ 𝐴 ≺ ω)
2	1	notbii 320	. 2 ⊢ (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω)
3		omex 9644	. . 3 ⊢ ω ∈ V
4		domtri 10557	. . 3 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ∈ 𝐵) → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
5	3, 4	mpan 687	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (ω ≼ 𝐴 ↔ ¬ 𝐴 ≺ ω))
6	2, 5	bitr4id 290	1 ⊢ (𝐴 ∈ 𝐵 → (¬ 𝐴 ∈ Fin ↔ ω ≼ 𝐴))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∈ wcel 2105  Vcvv 3473   class class class wbr 5148  ωcom 7859   ≼ cdom 8943   ≺ csdm 8944  Fincfn 8945

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-ac2 10464

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-om 7860  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-card 9940  df-ac 10117

This theorem is referenced by:  unirnfdomd  10568  ctbssinf  36751  pibt2  36762