Theorem infm3lem 12305

Description: Lemma for infm3 12306. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
infm3lem	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem infm3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11651	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
2		recn 11320	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	negnegd 11690	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → - -𝑥 = 𝑥)
4	3	eqcomd 2769	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = - -𝑥)
5		negeq 11579	. . 3 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = - -𝑥)
6	5	rspceeqv 3602	. 2 ⊢ (( -𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = - -𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
7	1, 4, 6	syl2anc 596	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∃wrex 3090  ℝcr 11229   -cneg 11572

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-ltxr 11378  df-sub 11573  df-neg 11574

This theorem is used by:  infm3  12306  reeff1o  26807