Theorem infm3lem 11983

Description: Lemma for infm3 11984. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)

Assertion

Ref	Expression
infm3lem	⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem infm3lem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegcl 11334	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
2		recn 11011	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
3	2	negnegd 11373	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
4	3	eqcomd 2742	. 2 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
5		negeq 11263	. . 3 ⊢ (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
6	5	rspceeqv 3580	. 2 ⊢ ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = --𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
7	1, 4, 6	syl2anc 585	1 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  ∃wrex 3071  ℝcr 10920  -cneg 11256

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620  ax-resscn 10978  ax-1cn 10979  ax-icn 10980  ax-addcl 10981  ax-addrcl 10982  ax-mulcl 10983  ax-mulrcl 10984  ax-mulcom 10985  ax-addass 10986  ax-mulass 10987  ax-distr 10988  ax-i2m1 10989  ax-1ne0 10990  ax-1rid 10991  ax-rnegex 10992  ax-rrecex 10993  ax-cnre 10994  ax-pre-lttri 10995  ax-pre-lttrn 10996  ax-pre-ltadd 10997

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3305  df-rab 3306  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-po 5514  df-so 5515  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-mpo 7312  df-er 8529  df-en 8765  df-dom 8766  df-sdom 8767  df-pnf 11061  df-mnf 11062  df-ltxr 11064  df-sub 11257  df-neg 11258

This theorem is referenced by:  infm3  11984  reeff1o  25655