MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  infm3lem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem infm3lem 11584
Description: Lemma for infm3 11585. (Contributed by NM, 14-Jun-2005.)
Assertion
Ref Expression
infm3lem (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦

Proof of Theorem infm3lem
StepHypRef Expression
1 renegcl 10934 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → -𝑥 ∈ ℝ)
2 recn 10612 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
32negnegd 10973 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ → --𝑥 = 𝑥)
43eqcomd 2830 . 2 (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 = --𝑥)
5 negeq 10863 . . 3 (𝑦 = -𝑥 → -𝑦 = --𝑥)
65rspceeqv 3623 . 2 ((-𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑥 = --𝑥) → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
71, 4, 6syl2anc 587 1 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  wrex 3133  cr 10521  -cneg 10856
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-sep 5184  ax-nul 5191  ax-pow 5247  ax-pr 5311  ax-un 7444  ax-resscn 10579  ax-1cn 10580  ax-icn 10581  ax-addcl 10582  ax-addrcl 10583  ax-mulcl 10584  ax-mulrcl 10585  ax-mulcom 10586  ax-addass 10587  ax-mulass 10588  ax-distr 10589  ax-i2m1 10590  ax-1ne0 10591  ax-1rid 10592  ax-rnegex 10593  ax-rrecex 10594  ax-cnre 10595  ax-pre-lttri 10596  ax-pre-lttrn 10597  ax-pre-ltadd 10598
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3014  df-nel 3118  df-ral 3137  df-rex 3138  df-reu 3139  df-rab 3141  df-v 3481  df-sbc 3758  df-csb 3866  df-dif 3921  df-un 3923  df-in 3925  df-ss 3935  df-nul 4275  df-if 4449  df-pw 4522  df-sn 4549  df-pr 4551  df-op 4555  df-uni 4820  df-br 5048  df-opab 5110  df-mpt 5128  df-id 5441  df-po 5455  df-so 5456  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-iota 6295  df-fun 6338  df-fn 6339  df-f 6340  df-f1 6341  df-fo 6342  df-f1o 6343  df-fv 6344  df-riota 7096  df-ov 7141  df-oprab 7142  df-mpo 7143  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10662  df-mnf 10663  df-ltxr 10665  df-sub 10857  df-neg 10858
This theorem is referenced by:  infm3  11585  reeff1o  25031
  Copyright terms: Public domain W3C validator