Theorem renegcl 11293

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4518 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11291, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11222	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 10984	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4529	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11291	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4518	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2107  ifcif 4460  ℝcr 10879  1c1 10881  -cneg 11215

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2710  ax-sep 5224  ax-nul 5231  ax-pow 5289  ax-pr 5353  ax-un 7597  ax-resscn 10937  ax-1cn 10938  ax-icn 10939  ax-addcl 10940  ax-addrcl 10941  ax-mulcl 10942  ax-mulrcl 10943  ax-mulcom 10944  ax-addass 10945  ax-mulass 10946  ax-distr 10947  ax-i2m1 10948  ax-1ne0 10949  ax-1rid 10950  ax-rnegex 10951  ax-rrecex 10952  ax-cnre 10953  ax-pre-lttri 10954  ax-pre-lttrn 10955  ax-pre-ltadd 10956

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3073  df-rab 3074  df-v 3435  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4258  df-if 4461  df-pw 4536  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4841  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5490  df-po 5504  df-so 5505  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6395  df-fun 6439  df-fn 6440  df-f 6441  df-f1 6442  df-fo 6443  df-f1o 6444  df-fv 6445  df-riota 7241  df-ov 7287  df-oprab 7288  df-mpo 7289  df-er 8507  df-en 8743  df-dom 8744  df-sdom 8745  df-pnf 11020  df-mnf 11021  df-ltxr 11023  df-sub 11216  df-neg 11217

This theorem is referenced by:  resubcl  11294  negreb  11295  renegcld  11411  negn0  11413  negf1o  11414  ltnegcon1  11485  ltnegcon2  11486  lenegcon1  11488  lenegcon2  11489  mullt0  11503  mulge0b  11854  mulle0b  11855  negfi  11933  infm3lem  11942  infm3  11943  riotaneg  11963  elnnz  12338  btwnz  12432  ublbneg  12682  supminf  12684  uzwo3  12692  zmax  12694  rebtwnz  12696  rpneg  12771  negelrp  12772  max0sub  12939  xnegcl  12956  xnegneg  12957  xltnegi  12959  rexsub  12976  xnegid  12981  xnegdi  12991  xpncan  12994  xnpcan  12995  xadddi  13038  iooneg  13212  iccneg  13213  icoshftf1o  13215  dfceil2  13568  ceicl  13570  ceige  13573  ceim1l  13576  negmod0  13607  negmod  13645  addmodlteq  13675  crim  14835  cnpart  14960  sqrtneglem  14987  absnid  15019  max0add  15031  absdiflt  15038  absdifle  15039  sqreulem  15080  resinhcl  15874  rpcoshcl  15875  tanhlt1  15878  tanhbnd  15879  remulg  20821  resubdrg  20822  cnheiborlem  24126  evth2  24132  ismbf3d  24827  mbfinf  24838  itgconst  24992  reeff1o  25615  atanbnd  26085  sgnneg  32516  ltflcei  35774  cos2h  35777  iblabsnclem  35849  ftc1anclem1  35859  areacirclem2  35875  areacirclem3  35876  areacirc  35879  mulltgt0  42572  rexabslelem  42965  xnegrecl  42985  supminfrnmpt  42992  supminfxr  43011  limsupre  43189  climinf3  43264  liminfreuzlem  43350  stoweidlem10  43558  etransclem46  43828  smfinflem  44361  line2  46109