Theorem renegcl 11523

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4587 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11521, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11452	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11214	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4598	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11521	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4587	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  ifcif 4529  ℝcr 11109  1c1 11111  -cneg 11445

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253  df-sub 11446  df-neg 11447

This theorem is referenced by:  resubcl  11524  negreb  11525  renegcld  11641  negn0  11643  negf1o  11644  ltnegcon1  11715  ltnegcon2  11716  lenegcon1  11718  lenegcon2  11719  mullt0  11733  mulge0b  12084  mulle0b  12085  negfi  12163  infm3lem  12172  infm3  12173  riotaneg  12193  elnnz  12568  btwnz  12665  ublbneg  12917  supminf  12919  uzwo3  12927  zmax  12929  rebtwnz  12931  rpneg  13006  negelrp  13007  max0sub  13175  xnegcl  13192  xnegneg  13193  xltnegi  13195  rexsub  13212  xnegid  13217  xnegdi  13227  xpncan  13230  xnpcan  13231  xadddi  13274  iooneg  13448  iccneg  13449  icoshftf1o  13451  dfceil2  13804  ceicl  13806  ceige  13809  ceim1l  13812  negmod0  13843  negmod  13881  addmodlteq  13911  crim  15062  cnpart  15187  sqrtneglem  15213  absnid  15245  max0add  15257  absdiflt  15264  absdifle  15265  sqreulem  15306  resinhcl  16099  rpcoshcl  16100  tanhlt1  16103  tanhbnd  16104  remulg  21160  resubdrg  21161  cnheiborlem  24470  evth2  24476  ismbf3d  25171  mbfinf  25182  itgconst  25336  reeff1o  25959  atanbnd  26431  sgnneg  33570  ltflcei  36524  cos2h  36527  iblabsnclem  36599  ftc1anclem1  36609  areacirclem2  36625  areacirclem3  36626  areacirc  36629  mulltgt0  43754  rexabslelem  44176  xnegrecl  44196  supminfrnmpt  44203  supminfxr  44222  limsupre  44405  climinf3  44480  liminfreuzlem  44566  stoweidlem10  44774  etransclem46  45044  smfinflem  45581  finfdm  45610  line2  47486