Theorem renegcl 11214

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4514 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11212, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11143	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 10906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4525	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11212	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4514	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1539   ∈ wcel 2108  ifcif 4456  ℝcr 10801  1c1 10803  -cneg 11136

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  resubcl  11215  negreb  11216  renegcld  11332  negn0  11334  negf1o  11335  ltnegcon1  11406  ltnegcon2  11407  lenegcon1  11409  lenegcon2  11410  mullt0  11424  mulge0b  11775  mulle0b  11776  negfi  11854  infm3lem  11863  infm3  11864  riotaneg  11884  elnnz  12259  btwnz  12352  ublbneg  12602  supminf  12604  uzwo3  12612  zmax  12614  rebtwnz  12616  rpneg  12691  negelrp  12692  max0sub  12859  xnegcl  12876  xnegneg  12877  xltnegi  12879  rexsub  12896  xnegid  12901  xnegdi  12911  xpncan  12914  xnpcan  12915  xadddi  12958  iooneg  13132  iccneg  13133  icoshftf1o  13135  dfceil2  13487  ceicl  13489  ceige  13492  ceim1l  13495  negmod0  13526  negmod  13564  addmodlteq  13594  crim  14754  cnpart  14879  sqrtneglem  14906  absnid  14938  max0add  14950  absdiflt  14957  absdifle  14958  sqreulem  14999  resinhcl  15793  rpcoshcl  15794  tanhlt1  15797  tanhbnd  15798  remulg  20724  resubdrg  20725  cnheiborlem  24023  evth2  24029  ismbf3d  24723  mbfinf  24734  itgconst  24888  reeff1o  25511  atanbnd  25981  sgnneg  32407  ltflcei  35692  cos2h  35695  iblabsnclem  35767  ftc1anclem1  35777  areacirclem2  35793  areacirclem3  35794  areacirc  35797  mulltgt0  42454  rexabslelem  42848  xnegrecl  42868  supminfrnmpt  42875  supminfxr  42894  limsupre  43072  climinf3  43147  liminfreuzlem  43233  stoweidlem10  43441  etransclem46  43711  smfinflem  44237  line2  45986