Theorem renegcl 11424

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4531 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11422, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11352	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2816	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11112	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4542	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11422	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4531	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2111  ifcif 4472  ℝcr 11005  1c1 11007  -cneg 11345

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151  df-sub 11346  df-neg 11347

This theorem is referenced by:  resubcl  11425  negreb  11426  renegcld  11544  negn0  11546  negf1o  11547  ltnegcon1  11618  ltnegcon2  11619  lenegcon1  11621  lenegcon2  11622  mullt0  11636  mulge0b  11992  mulle0b  11993  negfi  12071  infm3lem  12080  infm3  12081  riotaneg  12101  elnnz  12478  btwnz  12576  ublbneg  12831  supminf  12833  uzwo3  12841  zmax  12843  rebtwnz  12845  rpneg  12924  negelrp  12925  max0sub  13095  xnegcl  13112  xnegneg  13113  xltnegi  13115  rexsub  13132  xnegid  13137  xnegdi  13147  xpncan  13150  xnpcan  13151  xadddi  13194  iooneg  13371  iccneg  13372  icoshftf1o  13374  dfceil2  13743  ceicl  13745  ceige  13748  ceim1l  13751  negmod0  13782  modaddb  13813  negmod  13823  addmodlteq  13853  crim  15022  cnpart  15147  sqrtneglem  15173  absnid  15205  max0add  15217  absdiflt  15225  absdifle  15226  sqreulem  15267  resinhcl  16065  rpcoshcl  16066  tanhlt1  16069  tanhbnd  16070  remulg  21544  resubdrg  21545  cnheiborlem  24880  evth2  24886  ismbf3d  25582  mbfinf  25593  itgconst  25747  reeff1o  26384  atanbnd  26863  sgnneg  32816  ltflcei  37658  cos2h  37661  iblabsnclem  37733  ftc1anclem1  37743  areacirclem2  37759  areacirclem3  37760  areacirc  37763  mulltgt0  45129  rexabslelem  45526  xnegrecl  45546  supminfrnmpt  45553  supminfxr  45572  limsupre  45749  climinf3  45824  liminfreuzlem  45910  stoweidlem10  46118  etransclem46  46388  smfinflem  46925  finfdm  46954  ceilbi  47443  ceildivmod  47449  line2  48863