Theorem renegcl 10686

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4363 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 10684, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 10614	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2844	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 10376	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4374	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 10684	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4363	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1601   ∈ wcel 2107  ifcif 4307  ℝcr 10271  1c1 10273  -cneg 10607

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-po 5274  df-so 5275  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-ltxr 10416  df-sub 10608  df-neg 10609

This theorem is referenced by:  resubcl  10687  negreb  10688  renegcld  10802  negn0  10804  negf1o  10805  ltnegcon1  10876  ltnegcon2  10877  lenegcon1  10879  lenegcon2  10880  mullt0  10894  mulge0b  11247  mulle0b  11248  negfi  11325  fiminre  11326  infm3lem  11335  infm3  11336  riotaneg  11356  elnnz  11738  btwnz  11831  ublbneg  12080  supminf  12082  uzwo3  12090  zmax  12092  rebtwnz  12094  rpneg  12171  negelrp  12172  max0sub  12339  xnegcl  12356  xnegneg  12357  xltnegi  12359  rexsub  12376  xnegid  12381  xnegdi  12390  xpncan  12393  xnpcan  12394  xadddi  12437  iooneg  12607  iccneg  12608  icoshftf1o  12610  dfceil2  12959  ceicl  12961  ceige  12963  ceim1l  12965  negmod0  12996  negmod  13034  addmodlteq  13064  crim  14262  cnpart  14387  sqrtneglem  14414  absnid  14445  max0add  14457  absdiflt  14464  absdifle  14465  sqreulem  14506  resinhcl  15288  rpcoshcl  15289  tanhlt1  15292  tanhbnd  15293  remulg  20350  resubdrg  20351  cnheiborlem  23161  evth2  23167  ismbf3d  23858  mbfinf  23869  itgconst  24022  reeff1o  24638  atanbnd  25104  sgnneg  31201  ltflcei  34024  cos2h  34027  iblabsnclem  34100  ftc1anclem1  34112  areacirclem2  34128  areacirclem3  34129  areacirc  34132  mulltgt0  40118  rexabslelem  40555  xnegrecl  40575  supminfrnmpt  40582  supminfxr  40603  limsupre  40785  climinf3  40860  liminfreuzlem  40946  stoweidlem10  41158  etransclem46  41428  smfinflem  41954  line2  43492