Theorem renegcl 11427

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4535 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11425, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11355	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11115	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4546	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11425	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4535	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4476  ℝcr 11008  1c1 11010  -cneg 11348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154  df-sub 11349  df-neg 11350

This theorem is referenced by:  resubcl  11428  negreb  11429  renegcld  11547  negn0  11549  negf1o  11550  ltnegcon1  11621  ltnegcon2  11622  lenegcon1  11624  lenegcon2  11625  mullt0  11639  mulge0b  11995  mulle0b  11996  negfi  12074  infm3lem  12083  infm3  12084  riotaneg  12104  elnnz  12481  btwnz  12579  ublbneg  12834  supminf  12836  uzwo3  12844  zmax  12846  rebtwnz  12848  rpneg  12927  negelrp  12928  max0sub  13098  xnegcl  13115  xnegneg  13116  xltnegi  13118  rexsub  13135  xnegid  13140  xnegdi  13150  xpncan  13153  xnpcan  13154  xadddi  13197  iooneg  13374  iccneg  13375  icoshftf1o  13377  dfceil2  13743  ceicl  13745  ceige  13748  ceim1l  13751  negmod0  13782  modaddb  13813  negmod  13823  addmodlteq  13853  crim  15022  cnpart  15147  sqrtneglem  15173  absnid  15205  max0add  15217  absdiflt  15225  absdifle  15226  sqreulem  15267  resinhcl  16065  rpcoshcl  16066  tanhlt1  16069  tanhbnd  16070  remulg  21514  resubdrg  21515  cnheiborlem  24851  evth2  24857  ismbf3d  25553  mbfinf  25564  itgconst  25718  reeff1o  26355  atanbnd  26834  sgnneg  32778  ltflcei  37592  cos2h  37595  iblabsnclem  37667  ftc1anclem1  37677  areacirclem2  37693  areacirclem3  37694  areacirc  37697  mulltgt0  45004  rexabslelem  45401  xnegrecl  45421  supminfrnmpt  45428  supminfxr  45447  limsupre  45626  climinf3  45701  liminfreuzlem  45787  stoweidlem10  45995  etransclem46  46265  smfinflem  46802  finfdm  46831  ceilbi  47321  ceildivmod  47327  line2  48741