Theorem renegcl 11546

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4541 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11544, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11474	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2845	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11233	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4552	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11544	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4541	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  ℝcr 11124  1c1 11126  -cneg 11467

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7737  ax-resscn 11182  ax-1cn 11183  ax-icn 11184  ax-addcl 11185  ax-addrcl 11186  ax-mulcl 11187  ax-mulrcl 11188  ax-mulcom 11189  ax-addass 11190  ax-mulass 11191  ax-distr 11192  ax-i2m1 11193  ax-1ne0 11194  ax-1rid 11195  ax-rnegex 11196  ax-rrecex 11197  ax-cnre 11198  ax-pre-lttri 11199  ax-pre-lttrn 11200  ax-pre-ltadd 11201

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7371  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-er 8697  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11270  df-mnf 11271  df-ltxr 11273  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is used by:  resubcl  11547  negreb  11548  renegcld  11666  negn0  11668  negf1o  11669  ltnegcon1  11740  ltnegcon2  11741  lenegcon1  11743  lenegcon2  11744  mullt0  11758  mulge0b  12110  mulle0b  12111  negfi  12189  infm3lem  12198  infm3  12199  riotaneg  12219  elnnz  12626  btwnz  12725  ublbneg  12983  supminf  12985  uzwo3  12993  zmax  12995  rebtwnz  12997  rpneg  13077  negelrp  13078  max0sub  13249  xnegcl  13266  xnegneg  13267  xltnegi  13269  rexsub  13286  xnegid  13291  xnegdi  13301  xpncan  13304  xnpcan  13305  xadddi  13348  iooneg  13525  iccneg  13526  icoshftf1o  13528  dfceil2  13901  ceicl  13903  ceige  13906  ceim1l  13909  negmod0  13940  modaddb  13971  negmod  13981  addmodlteq  14011  sgnneg  15174  crim  15203  cnpart  15328  sqrtneglem  15354  absnid  15386  max0add  15398  absdiflt  15406  absdifle  15407  sqreulem  15448  resinhcl  16245  rpcoshcl  16246  tanhlt1  16249  tanhbnd  16250  remulg  21821  resubdrg  21822  cnheiborlem  25183  evth2  25189  ismbf3d  25883  mbfinf  25894  itgconst  26047  reeff1o  26684  atanbnd  27164  ltflcei  38363  cos2h  38366  iblabsnclem  38433  ftc1anclem1  38443  areacirclem2  38459  areacirclem3  38460  areacirc  38463  mulltgt0  45857  rexabslelem  46247  xnegrecl  46267  supminfrnmpt  46274  supminfxr  46293  limsupre  46470  climinf3  46545  liminfreuzlem  46631  stoweidlem10  46839  etransclem46  47109  smfinflem  47646  finfdm  47675  ceilbi  48226  ceildivmod  48234  line2  49683