Theorem renegcl 11444

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4538 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11442, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11372	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11132	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4549	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11442	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4538	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4479  ℝcr 11025  1c1 11027  -cneg 11365

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-sub 11366  df-neg 11367

This theorem is referenced by:  resubcl  11445  negreb  11446  renegcld  11564  negn0  11566  negf1o  11567  ltnegcon1  11638  ltnegcon2  11639  lenegcon1  11641  lenegcon2  11642  mullt0  11656  mulge0b  12012  mulle0b  12013  negfi  12091  infm3lem  12100  infm3  12101  riotaneg  12121  elnnz  12498  btwnz  12595  ublbneg  12846  supminf  12848  uzwo3  12856  zmax  12858  rebtwnz  12860  rpneg  12939  negelrp  12940  max0sub  13111  xnegcl  13128  xnegneg  13129  xltnegi  13131  rexsub  13148  xnegid  13153  xnegdi  13163  xpncan  13166  xnpcan  13167  xadddi  13210  iooneg  13387  iccneg  13388  icoshftf1o  13390  dfceil2  13759  ceicl  13761  ceige  13764  ceim1l  13767  negmod0  13798  modaddb  13829  negmod  13839  addmodlteq  13869  crim  15038  cnpart  15163  sqrtneglem  15189  absnid  15221  max0add  15233  absdiflt  15241  absdifle  15242  sqreulem  15283  resinhcl  16081  rpcoshcl  16082  tanhlt1  16085  tanhbnd  16086  remulg  21562  resubdrg  21563  cnheiborlem  24909  evth2  24915  ismbf3d  25611  mbfinf  25622  itgconst  25776  reeff1o  26413  atanbnd  26892  sgnneg  32914  ltflcei  37809  cos2h  37812  iblabsnclem  37884  ftc1anclem1  37894  areacirclem2  37910  areacirclem3  37911  areacirc  37914  mulltgt0  45267  rexabslelem  45662  xnegrecl  45682  supminfrnmpt  45689  supminfxr  45708  limsupre  45885  climinf3  45960  liminfreuzlem  46046  stoweidlem10  46254  etransclem46  46524  smfinflem  47061  finfdm  47090  ceilbi  47579  ceildivmod  47585  line2  48998