Theorem renegcl 11569

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4588 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11567, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11497	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2823	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11258	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4599	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11567	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4588	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1536   ∈ wcel 2105  ifcif 4530  ℝcr 11151  1c1 11153  -cneg 11490

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-po 5596  df-so 5597  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-ltxr 11297  df-sub 11491  df-neg 11492

This theorem is referenced by:  resubcl  11570  negreb  11571  renegcld  11687  negn0  11689  negf1o  11690  ltnegcon1  11761  ltnegcon2  11762  lenegcon1  11764  lenegcon2  11765  mullt0  11779  mulge0b  12135  mulle0b  12136  negfi  12214  infm3lem  12223  infm3  12224  riotaneg  12244  elnnz  12620  btwnz  12718  ublbneg  12972  supminf  12974  uzwo3  12982  zmax  12984  rebtwnz  12986  rpneg  13064  negelrp  13065  max0sub  13234  xnegcl  13251  xnegneg  13252  xltnegi  13254  rexsub  13271  xnegid  13276  xnegdi  13286  xpncan  13289  xnpcan  13290  xadddi  13333  iooneg  13507  iccneg  13508  icoshftf1o  13510  dfceil2  13875  ceicl  13877  ceige  13880  ceim1l  13883  negmod0  13914  negmod  13953  addmodlteq  13983  crim  15150  cnpart  15275  sqrtneglem  15301  absnid  15333  max0add  15345  absdiflt  15352  absdifle  15353  sqreulem  15394  resinhcl  16188  rpcoshcl  16189  tanhlt1  16192  tanhbnd  16193  remulg  21642  resubdrg  21643  cnheiborlem  24999  evth2  25005  ismbf3d  25702  mbfinf  25713  itgconst  25868  reeff1o  26505  atanbnd  26983  sgnneg  34521  ltflcei  37594  cos2h  37597  iblabsnclem  37669  ftc1anclem1  37679  areacirclem2  37695  areacirclem3  37696  areacirc  37699  mulltgt0  44959  rexabslelem  45367  xnegrecl  45387  supminfrnmpt  45394  supminfxr  45413  limsupre  45596  climinf3  45671  liminfreuzlem  45757  stoweidlem10  45965  etransclem46  46235  smfinflem  46772  finfdm  46801  ceildivmod  47278  line2  48601