Theorem renegcl 11494

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4539 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11492, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11422	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2847	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11181	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4550	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11492	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4539	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ifcif 4480  ℝcr 11072  1c1 11074  -cneg 11415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-sub 11416  df-neg 11417

This theorem is referenced by:  resubcl  11495  negreb  11496  renegcld  11614  negn0  11616  negf1o  11617  ltnegcon1  11688  ltnegcon2  11689  lenegcon1  11691  lenegcon2  11692  mullt0  11706  mulge0b  12062  mulle0b  12063  negfi  12141  infm3lem  12150  infm3  12151  riotaneg  12171  elnnz  12578  btwnz  12676  ublbneg  12934  supminf  12936  uzwo3  12944  zmax  12946  rebtwnz  12948  rpneg  13027  negelrp  13028  max0sub  13199  xnegcl  13216  xnegneg  13217  xltnegi  13219  rexsub  13236  xnegid  13241  xnegdi  13251  xpncan  13254  xnpcan  13255  xadddi  13298  iooneg  13475  iccneg  13476  icoshftf1o  13478  dfceil2  13849  ceicl  13851  ceige  13854  ceim1l  13857  negmod0  13888  modaddb  13919  negmod  13929  addmodlteq  13959  sgnneg  15113  crim  15142  cnpart  15267  sqrtneglem  15293  absnid  15325  max0add  15337  absdiflt  15345  absdifle  15346  sqreulem  15387  resinhcl  16188  rpcoshcl  16189  tanhlt1  16192  tanhbnd  16193  remulg  21659  resubdrg  21660  cnheiborlem  25016  evth2  25022  ismbf3d  25716  mbfinf  25727  itgconst  25881  reeff1o  26510  atanbnd  26991  ltflcei  38107  cos2h  38110  iblabsnclem  38182  ftc1anclem1  38192  areacirclem2  38208  areacirclem3  38209  areacirc  38212  mulltgt0  45602  rexabslelem  45992  xnegrecl  46012  supminfrnmpt  46019  supminfxr  46038  limsupre  46215  climinf3  46290  liminfreuzlem  46376  stoweidlem10  46584  etransclem46  46854  smfinflem  47391  finfdm  47420  ceilbi  47931  ceildivmod  47939  line2  49374