Theorem renegcl 11520

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4551 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11518, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11448	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2854	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11207	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4562	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11518	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4551	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  ifcif 4492  ℝcr 11098  1c1 11100  -cneg 11441

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-1cn 11157  ax-icn 11158  ax-addcl 11159  ax-addrcl 11160  ax-mulcl 11161  ax-mulrcl 11162  ax-mulcom 11163  ax-addass 11164  ax-mulass 11165  ax-distr 11166  ax-i2m1 11167  ax-1ne0 11168  ax-1rid 11169  ax-rnegex 11170  ax-rrecex 11171  ax-cnre 11172  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174  ax-pre-ltadd 11175

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247  df-sub 11442  df-neg 11443

This theorem is referenced by:  resubcl  11521  negreb  11522  renegcld  11640  negn0  11642  negf1o  11643  ltnegcon1  11714  ltnegcon2  11715  lenegcon1  11717  lenegcon2  11718  mullt0  11732  mulge0b  12084  mulle0b  12085  negfi  12163  infm3lem  12172  infm3  12173  riotaneg  12193  elnnz  12600  btwnz  12698  ublbneg  12956  supminf  12958  uzwo3  12966  zmax  12968  rebtwnz  12970  rpneg  13049  negelrp  13050  max0sub  13221  xnegcl  13238  xnegneg  13239  xltnegi  13241  rexsub  13258  xnegid  13263  xnegdi  13273  xpncan  13276  xnpcan  13277  xadddi  13320  iooneg  13497  iccneg  13498  icoshftf1o  13500  dfceil2  13871  ceicl  13873  ceige  13876  ceim1l  13879  negmod0  13910  modaddb  13941  negmod  13951  addmodlteq  13981  sgnneg  15136  crim  15165  cnpart  15290  sqrtneglem  15316  absnid  15348  max0add  15360  absdiflt  15368  absdifle  15369  sqreulem  15410  resinhcl  16211  rpcoshcl  16212  tanhlt1  16215  tanhbnd  16216  remulg  21725  resubdrg  21726  cnheiborlem  25081  evth2  25087  ismbf3d  25781  mbfinf  25792  itgconst  25946  reeff1o  26575  atanbnd  27056  ltflcei  38146  cos2h  38149  iblabsnclem  38221  ftc1anclem1  38231  areacirclem2  38247  areacirclem3  38248  areacirc  38251  mulltgt0  45633  rexabslelem  46023  xnegrecl  46043  supminfrnmpt  46050  supminfxr  46069  limsupre  46246  climinf3  46321  liminfreuzlem  46407  stoweidlem10  46615  etransclem46  46885  smfinflem  47422  finfdm  47451  ceilbi  47962  ceildivmod  47970  line2  49416