Theorem renegcl 11389

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4535 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11387, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11318	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2822	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11080	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4546	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11387	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4535	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4477  ℝcr 10975  1c1 10977  -cneg 11311

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4857  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-id 5522  df-po 5536  df-so 5537  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-er 8573  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-ltxr 11119  df-sub 11312  df-neg 11313

This theorem is referenced by:  resubcl  11390  negreb  11391  renegcld  11507  negn0  11509  negf1o  11510  ltnegcon1  11581  ltnegcon2  11582  lenegcon1  11584  lenegcon2  11585  mullt0  11599  mulge0b  11950  mulle0b  11951  negfi  12029  infm3lem  12038  infm3  12039  riotaneg  12059  elnnz  12434  btwnz  12528  ublbneg  12778  supminf  12780  uzwo3  12788  zmax  12790  rebtwnz  12792  rpneg  12867  negelrp  12868  max0sub  13035  xnegcl  13052  xnegneg  13053  xltnegi  13055  rexsub  13072  xnegid  13077  xnegdi  13087  xpncan  13090  xnpcan  13091  xadddi  13134  iooneg  13308  iccneg  13309  icoshftf1o  13311  dfceil2  13664  ceicl  13666  ceige  13669  ceim1l  13672  negmod0  13703  negmod  13741  addmodlteq  13771  crim  14925  cnpart  15050  sqrtneglem  15077  absnid  15109  max0add  15121  absdiflt  15128  absdifle  15129  sqreulem  15170  resinhcl  15964  rpcoshcl  15965  tanhlt1  15968  tanhbnd  15969  remulg  20917  resubdrg  20918  cnheiborlem  24222  evth2  24228  ismbf3d  24923  mbfinf  24934  itgconst  25088  reeff1o  25711  atanbnd  26181  sgnneg  32805  ltflcei  35921  cos2h  35924  iblabsnclem  35996  ftc1anclem1  36006  areacirclem2  36022  areacirclem3  36023  areacirc  36026  mulltgt0  42938  rexabslelem  43345  xnegrecl  43365  supminfrnmpt  43372  supminfxr  43391  limsupre  43570  climinf3  43645  liminfreuzlem  43731  stoweidlem10  43939  etransclem46  44209  smfinflem  44744  line2  46516