Theorem renegcl 11572

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4584 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11570, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11500	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2826	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11261	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4595	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11570	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4584	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4525  ℝcr 11154  1c1 11156  -cneg 11493

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-sub 11494  df-neg 11495

This theorem is referenced by:  resubcl  11573  negreb  11574  renegcld  11690  negn0  11692  negf1o  11693  ltnegcon1  11764  ltnegcon2  11765  lenegcon1  11767  lenegcon2  11768  mullt0  11782  mulge0b  12138  mulle0b  12139  negfi  12217  infm3lem  12226  infm3  12227  riotaneg  12247  elnnz  12623  btwnz  12721  ublbneg  12975  supminf  12977  uzwo3  12985  zmax  12987  rebtwnz  12989  rpneg  13067  negelrp  13068  max0sub  13238  xnegcl  13255  xnegneg  13256  xltnegi  13258  rexsub  13275  xnegid  13280  xnegdi  13290  xpncan  13293  xnpcan  13294  xadddi  13337  iooneg  13511  iccneg  13512  icoshftf1o  13514  dfceil2  13879  ceicl  13881  ceige  13884  ceim1l  13887  negmod0  13918  negmod  13957  addmodlteq  13987  crim  15154  cnpart  15279  sqrtneglem  15305  absnid  15337  max0add  15349  absdiflt  15356  absdifle  15357  sqreulem  15398  resinhcl  16192  rpcoshcl  16193  tanhlt1  16196  tanhbnd  16197  remulg  21625  resubdrg  21626  cnheiborlem  24986  evth2  24992  ismbf3d  25689  mbfinf  25700  itgconst  25854  reeff1o  26491  atanbnd  26969  sgnneg  34543  ltflcei  37615  cos2h  37618  iblabsnclem  37690  ftc1anclem1  37700  areacirclem2  37716  areacirclem3  37717  areacirc  37720  mulltgt0  45027  rexabslelem  45429  xnegrecl  45449  supminfrnmpt  45456  supminfxr  45475  limsupre  45656  climinf3  45731  liminfreuzlem  45817  stoweidlem10  46025  etransclem46  46295  smfinflem  46832  finfdm  46861  ceildivmod  47341  line2  48673