Theorem renegcl 11456

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4540 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11454, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11384	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2822	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11144	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11454	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4540	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4481  ℝcr 11037  1c1 11039  -cneg 11377

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-sub 11378  df-neg 11379

This theorem is referenced by:  resubcl  11457  negreb  11458  renegcld  11576  negn0  11578  negf1o  11579  ltnegcon1  11650  ltnegcon2  11651  lenegcon1  11653  lenegcon2  11654  mullt0  11668  mulge0b  12024  mulle0b  12025  negfi  12103  infm3lem  12112  infm3  12113  riotaneg  12133  elnnz  12510  btwnz  12607  ublbneg  12858  supminf  12860  uzwo3  12868  zmax  12870  rebtwnz  12872  rpneg  12951  negelrp  12952  max0sub  13123  xnegcl  13140  xnegneg  13141  xltnegi  13143  rexsub  13160  xnegid  13165  xnegdi  13175  xpncan  13178  xnpcan  13179  xadddi  13222  iooneg  13399  iccneg  13400  icoshftf1o  13402  dfceil2  13771  ceicl  13773  ceige  13776  ceim1l  13779  negmod0  13810  modaddb  13841  negmod  13851  addmodlteq  13881  crim  15050  cnpart  15175  sqrtneglem  15201  absnid  15233  max0add  15245  absdiflt  15253  absdifle  15254  sqreulem  15295  resinhcl  16093  rpcoshcl  16094  tanhlt1  16097  tanhbnd  16098  remulg  21574  resubdrg  21575  cnheiborlem  24921  evth2  24927  ismbf3d  25623  mbfinf  25634  itgconst  25788  reeff1o  26425  atanbnd  26904  sgnneg  32925  ltflcei  37859  cos2h  37862  iblabsnclem  37934  ftc1anclem1  37944  areacirclem2  37960  areacirclem3  37961  areacirc  37964  mulltgt0  45382  rexabslelem  45776  xnegrecl  45796  supminfrnmpt  45803  supminfxr  45822  limsupre  45999  climinf3  46074  liminfreuzlem  46160  stoweidlem10  46368  etransclem46  46638  smfinflem  47175  finfdm  47204  ceilbi  47693  ceildivmod  47699  line2  49112