Theorem renegcl 11621

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4541 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11619, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11549	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2846	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11308	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4552	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11619	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4541	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145  ifcif 4482  ℝcr 11199  1c1 11201  -cneg 11542

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-mulcom 11264  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-sub 11543  df-neg 11544

This theorem is used by:  resubcl  11622  negreb  11623  renegcld  11743  negn0  11745  negf1o  11746  ltnegcon1  11817  ltnegcon2  11818  lenegcon1  11820  lenegcon2  11821  mullt0  11835  mulge0b  12187  mulle0b  12188  negfi  12266  infm3lem  12275  infm3  12276  riotaneg  12296  elnnz  12703  btwnz  12802  ublbneg  13060  supminf  13062  uzwo3  13070  zmax  13072  rebtwnz  13074  rpneg  13154  negelrp  13155  max0sub  13326  xnegcl  13343  xnegneg  13344  xltnegi  13346  rexsub  13363  xnegid  13368  xnegdi  13378  xpncan  13381  xnpcan  13382  xadddi  13425  iooneg  13602  iccneg  13603  icoshftf1o  13605  dfceil2  13979  ceicl  13981  ceige  13984  ceim1l  13987  negmod0  14018  modaddb  14049  negmod  14059  addmodlteq  14089  sgnneg  15253  crim  15282  cnpart  15407  sqrtneglem  15433  absnid  15465  max0add  15477  absdiflt  15485  absdifle  15486  sqreulem  15527  resinhcl  16324  rpcoshcl  16325  tanhlt1  16328  tanhbnd  16329  remulg  21913  resubdrg  21914  cnheiborlem  25275  evth2  25281  ismbf3d  25975  mbfinf  25986  itgconst  26139  reeff1o  26774  atanbnd  27254  ltflcei  38531  cos2h  38534  iblabsnclem  38601  ftc1anclem1  38611  areacirclem2  38627  areacirclem3  38628  areacirc  38631  mulltgt0  46038  rexabslelem  46427  xnegrecl  46447  supminfrnmpt  46454  supminfxr  46473  limsupre  46650  climinf3  46725  liminfreuzlem  46811  stoweidlem10  47019  etransclem46  47289  smfinflem  47826  finfdm  47855  ceilbi  48406  ceildivmod  48414  line2  49863