Theorem renegcl 11485

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4547 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11483, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11413	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11174	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4558	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11483	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4547	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4488  ℝcr 11067  1c1 11069  -cneg 11406

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213  df-sub 11407  df-neg 11408

This theorem is referenced by:  resubcl  11486  negreb  11487  renegcld  11605  negn0  11607  negf1o  11608  ltnegcon1  11679  ltnegcon2  11680  lenegcon1  11682  lenegcon2  11683  mullt0  11697  mulge0b  12053  mulle0b  12054  negfi  12132  infm3lem  12141  infm3  12142  riotaneg  12162  elnnz  12539  btwnz  12637  ublbneg  12892  supminf  12894  uzwo3  12902  zmax  12904  rebtwnz  12906  rpneg  12985  negelrp  12986  max0sub  13156  xnegcl  13173  xnegneg  13174  xltnegi  13176  rexsub  13193  xnegid  13198  xnegdi  13208  xpncan  13211  xnpcan  13212  xadddi  13255  iooneg  13432  iccneg  13433  icoshftf1o  13435  dfceil2  13801  ceicl  13803  ceige  13806  ceim1l  13809  negmod0  13840  modaddb  13871  negmod  13881  addmodlteq  13911  crim  15081  cnpart  15206  sqrtneglem  15232  absnid  15264  max0add  15276  absdiflt  15284  absdifle  15285  sqreulem  15326  resinhcl  16124  rpcoshcl  16125  tanhlt1  16128  tanhbnd  16129  remulg  21516  resubdrg  21517  cnheiborlem  24853  evth2  24859  ismbf3d  25555  mbfinf  25566  itgconst  25720  reeff1o  26357  atanbnd  26836  sgnneg  32758  ltflcei  37602  cos2h  37605  iblabsnclem  37677  ftc1anclem1  37687  areacirclem2  37703  areacirclem3  37704  areacirc  37707  mulltgt0  45016  rexabslelem  45414  xnegrecl  45434  supminfrnmpt  45441  supminfxr  45460  limsupre  45639  climinf3  45714  liminfreuzlem  45800  stoweidlem10  46008  etransclem46  46278  smfinflem  46815  finfdm  46844  ceilbi  47334  ceildivmod  47340  line2  48741