Theorem renegcl 10951

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4525 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 10949, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 10880	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2899	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 10643	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4536	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 10949	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4525	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ifcif 4469  ℝcr 10538  1c1 10540  -cneg 10873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4841  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-id 5462  df-po 5476  df-so 5477  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-er 8291  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-ltxr 10682  df-sub 10874  df-neg 10875

This theorem is referenced by:  resubcl  10952  negreb  10953  renegcld  11069  negn0  11071  negf1o  11072  ltnegcon1  11143  ltnegcon2  11144  lenegcon1  11146  lenegcon2  11147  mullt0  11161  mulge0b  11512  mulle0b  11513  negfi  11591  fiminreOLD  11592  infm3lem  11601  infm3  11602  riotaneg  11622  elnnz  11994  btwnz  12087  ublbneg  12336  supminf  12338  uzwo3  12346  zmax  12348  rebtwnz  12350  rpneg  12424  negelrp  12425  max0sub  12592  xnegcl  12609  xnegneg  12610  xltnegi  12612  rexsub  12629  xnegid  12634  xnegdi  12644  xpncan  12647  xnpcan  12648  xadddi  12691  iooneg  12860  iccneg  12861  icoshftf1o  12863  dfceil2  13212  ceicl  13214  ceige  13216  ceim1l  13218  negmod0  13249  negmod  13287  addmodlteq  13317  crim  14476  cnpart  14601  sqrtneglem  14628  absnid  14660  max0add  14672  absdiflt  14679  absdifle  14680  sqreulem  14721  resinhcl  15511  rpcoshcl  15512  tanhlt1  15515  tanhbnd  15516  remulg  20753  resubdrg  20754  cnheiborlem  23560  evth2  23566  ismbf3d  24257  mbfinf  24268  itgconst  24421  reeff1o  25037  atanbnd  25506  sgnneg  31800  ltflcei  34882  cos2h  34885  iblabsnclem  34957  ftc1anclem1  34969  areacirclem2  34985  areacirclem3  34986  areacirc  34989  mulltgt0  41286  rexabslelem  41699  xnegrecl  41719  supminfrnmpt  41726  supminfxr  41747  limsupre  41929  climinf3  42004  liminfreuzlem  42090  stoweidlem10  42302  etransclem46  42572  smfinflem  43098  line2  44746