Theorem renegcl 11660

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4544 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11658, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11588	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2849	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → ( -𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11347	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4555	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11658	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4544	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ifcif 4485  ℝcr 11238  1c1 11240   -cneg 11581

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387  df-sub 11582  df-neg 11583

This theorem is used by:  resubcl  11661  negreb  11662  renegcld  11782  negn0  11784  negf1o  11785  ltnegcon1  11857  ltnegcon2  11858  lenegcon1  11860  lenegcon2  11861  mullt0  11875  mulge0b  12227  mulle0b  12228  negfi  12306  infm3lem  12315  infm3  12316  riotaneg  12336  elnnz  12743  btwnz  12842  ublbneg  13100  supminf  13102  uzwo3  13110  zmax  13112  rebtwnz  13114  rpneg  13194  negelrp  13195  max0sub  13366  xnegcl  13383  xnegneg  13384  xltnegi  13386  rexsub  13403  xnegid  13408  xnegdi  13418  xpncan  13421  xnpcan  13422  xadddi  13465  iooneg  13642  iccneg  13643  icoshftf1o  13645  dfceil2  14019  ceicl  14021  ceige  14024  ceim1l  14027  negmod0  14058  modaddb  14089  negmod  14099  addmodlteq  14129  sgnneg  15296  crim  15325  cnpart  15450  sqrtneglem  15476  absnid  15508  max0add  15520  absdiflt  15528  absdifle  15529  sqreulem  15571  resinhcl  16368  rpcoshcl  16369  tanhlt1  16372  tanhbnd  16373  remulg  21968  resubdrg  21969  cnheiborlem  25330  evth2  25336  ismbf3d  26030  mbfinf  26041  itgconst  26194  reeff1o  26831  atanbnd  27311  ltflcei  38799  cos2h  38802  iblabsnclem  38869  ftc1anclem1  38879  areacirclem2  38895  areacirclem3  38896  areacirc  38899  mulltgt0  46313  rexabslelem  46701  xnegrecl  46721  supminfrnmpt  46728  supminfxr  46747  limsupre  46924  climinf3  46999  liminfreuzlem  47085  stoweidlem10  47293  etransclem46  47563  smfinflem  48100  finfdm  48129  ceilbi  48680  ceildivmod  48688  line2  50195