Theorem renegcl 11522

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4586 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11520, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11451	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2818	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11213	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4597	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11520	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4586	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  ifcif 4528  ℝcr 11108  1c1 11110  -cneg 11444

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252  df-sub 11445  df-neg 11446

This theorem is referenced by:  resubcl  11523  negreb  11524  renegcld  11640  negn0  11642  negf1o  11643  ltnegcon1  11714  ltnegcon2  11715  lenegcon1  11717  lenegcon2  11718  mullt0  11732  mulge0b  12083  mulle0b  12084  negfi  12162  infm3lem  12171  infm3  12172  riotaneg  12192  elnnz  12567  btwnz  12664  ublbneg  12916  supminf  12918  uzwo3  12926  zmax  12928  rebtwnz  12930  rpneg  13005  negelrp  13006  max0sub  13174  xnegcl  13191  xnegneg  13192  xltnegi  13194  rexsub  13211  xnegid  13216  xnegdi  13226  xpncan  13229  xnpcan  13230  xadddi  13273  iooneg  13447  iccneg  13448  icoshftf1o  13450  dfceil2  13803  ceicl  13805  ceige  13808  ceim1l  13811  negmod0  13842  negmod  13880  addmodlteq  13910  crim  15061  cnpart  15186  sqrtneglem  15212  absnid  15244  max0add  15256  absdiflt  15263  absdifle  15264  sqreulem  15305  resinhcl  16098  rpcoshcl  16099  tanhlt1  16102  tanhbnd  16103  remulg  21159  resubdrg  21160  cnheiborlem  24469  evth2  24475  ismbf3d  25170  mbfinf  25181  itgconst  25335  reeff1o  25958  atanbnd  26428  sgnneg  33534  ltflcei  36471  cos2h  36474  iblabsnclem  36546  ftc1anclem1  36556  areacirclem2  36572  areacirclem3  36573  areacirc  36576  mulltgt0  43696  rexabslelem  44118  xnegrecl  44138  supminfrnmpt  44145  supminfxr  44164  limsupre  44347  climinf3  44422  liminfreuzlem  44508  stoweidlem10  44716  etransclem46  44986  smfinflem  45523  finfdm  45552  line2  47428