Theorem renegcl 11536

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4548 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11534, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11464	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2850	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11223	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4559	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11534	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4548	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ifcif 4489  ℝcr 11114  1c1 11116  -cneg 11457

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-mulcom 11179  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-sub 11458  df-neg 11459

This theorem is used by:  resubcl  11537  negreb  11538  renegcld  11656  negn0  11658  negf1o  11659  ltnegcon1  11730  ltnegcon2  11731  lenegcon1  11733  lenegcon2  11734  mullt0  11748  mulge0b  12100  mulle0b  12101  negfi  12179  infm3lem  12188  infm3  12189  riotaneg  12209  elnnz  12616  btwnz  12715  ublbneg  12973  supminf  12975  uzwo3  12983  zmax  12985  rebtwnz  12987  rpneg  13066  negelrp  13067  max0sub  13238  xnegcl  13255  xnegneg  13256  xltnegi  13258  rexsub  13275  xnegid  13280  xnegdi  13290  xpncan  13293  xnpcan  13294  xadddi  13337  iooneg  13514  iccneg  13515  icoshftf1o  13517  dfceil2  13890  ceicl  13892  ceige  13895  ceim1l  13898  negmod0  13929  modaddb  13960  negmod  13970  addmodlteq  14000  sgnneg  15161  crim  15190  cnpart  15315  sqrtneglem  15341  absnid  15373  max0add  15385  absdiflt  15393  absdifle  15394  sqreulem  15435  resinhcl  16234  rpcoshcl  16235  tanhlt1  16238  tanhbnd  16239  remulg  21807  resubdrg  21808  cnheiborlem  25164  evth2  25170  ismbf3d  25864  mbfinf  25875  itgconst  26029  reeff1o  26661  atanbnd  27142  ltflcei  38316  cos2h  38319  iblabsnclem  38391  ftc1anclem1  38401  areacirclem2  38417  areacirclem3  38418  areacirc  38421  mulltgt0  45800  rexabslelem  46190  xnegrecl  46210  supminfrnmpt  46217  supminfxr  46236  limsupre  46413  climinf3  46488  liminfreuzlem  46574  stoweidlem10  46782  etransclem46  47052  smfinflem  47589  finfdm  47618  ceilbi  48132  ceildivmod  48140  line2  49589