Theorem renegcl 11527

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4545 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11525, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11455	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2847	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11214	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4556	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11525	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4545	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142  ifcif 4486  ℝcr 11105  1c1 11107  -cneg 11448

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5555  df-po 5568  df-so 5569  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254  df-sub 11449  df-neg 11450

This theorem is used by:  resubcl  11528  negreb  11529  renegcld  11647  negn0  11649  negf1o  11650  ltnegcon1  11721  ltnegcon2  11722  lenegcon1  11724  lenegcon2  11725  mullt0  11739  mulge0b  12091  mulle0b  12092  negfi  12170  infm3lem  12179  infm3  12180  riotaneg  12200  elnnz  12607  btwnz  12705  ublbneg  12963  supminf  12965  uzwo3  12973  zmax  12975  rebtwnz  12977  rpneg  13056  negelrp  13057  max0sub  13228  xnegcl  13245  xnegneg  13246  xltnegi  13248  rexsub  13265  xnegid  13270  xnegdi  13280  xpncan  13283  xnpcan  13284  xadddi  13327  iooneg  13504  iccneg  13505  icoshftf1o  13507  dfceil2  13879  ceicl  13881  ceige  13884  ceim1l  13887  negmod0  13918  modaddb  13949  negmod  13959  addmodlteq  13989  sgnneg  15144  crim  15173  cnpart  15298  sqrtneglem  15324  absnid  15356  max0add  15368  absdiflt  15376  absdifle  15377  sqreulem  15418  resinhcl  16218  rpcoshcl  16219  tanhlt1  16222  tanhbnd  16223  remulg  21768  resubdrg  21769  cnheiborlem  25124  evth2  25130  ismbf3d  25824  mbfinf  25835  itgconst  25989  reeff1o  26621  atanbnd  27102  ltflcei  38287  cos2h  38290  iblabsnclem  38362  ftc1anclem1  38372  areacirclem2  38388  areacirclem3  38389  areacirc  38392  mulltgt0  45770  rexabslelem  46160  xnegrecl  46180  supminfrnmpt  46187  supminfxr  46206  limsupre  46383  climinf3  46458  liminfreuzlem  46544  stoweidlem10  46752  etransclem46  47022  smfinflem  47559  finfdm  47588  ceilbi  48102  ceildivmod  48110  line2  49560