MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcl 10938
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4495 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 10936, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 10867 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
21eleq1d 2898 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3 1re 10630 . . . 4 1 ∈ ℝ
43elimel 4506 . . 3 if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
54renegcli 10936 . 2 -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
62, 5dedth 4495 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2114  ifcif 4439  cr 10525  1c1 10527  -cneg 10860
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-reu 3137  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-po 5451  df-so 5452  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-riota 7098  df-ov 7143  df-oprab 7144  df-mpo 7145  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862
This theorem is referenced by:  resubcl  10939  negreb  10940  renegcld  11056  negn0  11058  negf1o  11059  ltnegcon1  11130  ltnegcon2  11131  lenegcon1  11133  lenegcon2  11134  mullt0  11148  mulge0b  11499  mulle0b  11500  negfi  11577  infm3lem  11586  infm3  11587  riotaneg  11607  elnnz  11979  btwnz  12072  ublbneg  12321  supminf  12323  uzwo3  12331  zmax  12333  rebtwnz  12335  rpneg  12409  negelrp  12410  max0sub  12577  xnegcl  12594  xnegneg  12595  xltnegi  12597  rexsub  12614  xnegid  12619  xnegdi  12629  xpncan  12632  xnpcan  12633  xadddi  12676  iooneg  12849  iccneg  12850  icoshftf1o  12852  dfceil2  13204  ceicl  13206  ceige  13208  ceim1l  13210  negmod0  13241  negmod  13279  addmodlteq  13309  crim  14465  cnpart  14590  sqrtneglem  14617  absnid  14649  max0add  14661  absdiflt  14668  absdifle  14669  sqreulem  14710  resinhcl  15500  rpcoshcl  15501  tanhlt1  15504  tanhbnd  15505  remulg  20294  resubdrg  20295  cnheiborlem  23557  evth2  23563  ismbf3d  24256  mbfinf  24267  itgconst  24420  reeff1o  25040  atanbnd  25510  sgnneg  31872  ltflcei  35004  cos2h  35007  iblabsnclem  35079  ftc1anclem1  35089  areacirclem2  35105  areacirclem3  35106  areacirc  35109  mulltgt0  41586  rexabslelem  41995  xnegrecl  42015  supminfrnmpt  42022  supminfxr  42043  limsupre  42223  climinf3  42298  liminfreuzlem  42384  stoweidlem10  42592  etransclem46  42862  smfinflem  43388  line2  45106
  Copyright terms: Public domain W3C validator