Theorem renegcl 11546

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4559 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11544, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11474	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11235	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4570	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11544	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4559	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ifcif 4500  ℝcr 11128  1c1 11130  -cneg 11467

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274  df-sub 11468  df-neg 11469

This theorem is referenced by:  resubcl  11547  negreb  11548  renegcld  11664  negn0  11666  negf1o  11667  ltnegcon1  11738  ltnegcon2  11739  lenegcon1  11741  lenegcon2  11742  mullt0  11756  mulge0b  12112  mulle0b  12113  negfi  12191  infm3lem  12200  infm3  12201  riotaneg  12221  elnnz  12598  btwnz  12696  ublbneg  12949  supminf  12951  uzwo3  12959  zmax  12961  rebtwnz  12963  rpneg  13041  negelrp  13042  max0sub  13212  xnegcl  13229  xnegneg  13230  xltnegi  13232  rexsub  13249  xnegid  13254  xnegdi  13264  xpncan  13267  xnpcan  13268  xadddi  13311  iooneg  13488  iccneg  13489  icoshftf1o  13491  dfceil2  13856  ceicl  13858  ceige  13861  ceim1l  13864  negmod0  13895  negmod  13934  addmodlteq  13964  crim  15134  cnpart  15259  sqrtneglem  15285  absnid  15317  max0add  15329  absdiflt  15336  absdifle  15337  sqreulem  15378  resinhcl  16174  rpcoshcl  16175  tanhlt1  16178  tanhbnd  16179  remulg  21567  resubdrg  21568  cnheiborlem  24904  evth2  24910  ismbf3d  25607  mbfinf  25618  itgconst  25772  reeff1o  26409  atanbnd  26888  sgnneg  32812  ltflcei  37632  cos2h  37635  iblabsnclem  37707  ftc1anclem1  37717  areacirclem2  37733  areacirclem3  37734  areacirc  37737  mulltgt0  45046  rexabslelem  45445  xnegrecl  45465  supminfrnmpt  45472  supminfxr  45491  limsupre  45670  climinf3  45745  liminfreuzlem  45831  stoweidlem10  46039  etransclem46  46309  smfinflem  46846  finfdm  46875  ceilbi  47362  ceildivmod  47368  line2  48732