Theorem renegcl 11457

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4525 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11455, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11385	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2821	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11144	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4536	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11455	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4525	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ifcif 4466  ℝcr 11037  1c1 11039  -cneg 11378

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184  df-sub 11379  df-neg 11380

This theorem is referenced by:  resubcl  11458  negreb  11459  renegcld  11577  negn0  11579  negf1o  11580  ltnegcon1  11651  ltnegcon2  11652  lenegcon1  11654  lenegcon2  11655  mullt0  11669  mulge0b  12026  mulle0b  12027  negfi  12105  infm3lem  12114  infm3  12115  riotaneg  12135  elnnz  12534  btwnz  12632  ublbneg  12883  supminf  12885  uzwo3  12893  zmax  12895  rebtwnz  12897  rpneg  12976  negelrp  12977  max0sub  13148  xnegcl  13165  xnegneg  13166  xltnegi  13168  rexsub  13185  xnegid  13190  xnegdi  13200  xpncan  13203  xnpcan  13204  xadddi  13247  iooneg  13424  iccneg  13425  icoshftf1o  13427  dfceil2  13798  ceicl  13800  ceige  13803  ceim1l  13806  negmod0  13837  modaddb  13868  negmod  13878  addmodlteq  13908  crim  15077  cnpart  15202  sqrtneglem  15228  absnid  15260  max0add  15272  absdiflt  15280  absdifle  15281  sqreulem  15322  resinhcl  16123  rpcoshcl  16124  tanhlt1  16127  tanhbnd  16128  remulg  21587  resubdrg  21588  cnheiborlem  24921  evth2  24927  ismbf3d  25621  mbfinf  25632  itgconst  25786  reeff1o  26412  atanbnd  26890  sgnneg  32906  ltflcei  37929  cos2h  37932  iblabsnclem  38004  ftc1anclem1  38014  areacirclem2  38030  areacirclem3  38031  areacirc  38034  mulltgt0  45453  rexabslelem  45846  xnegrecl  45866  supminfrnmpt  45873  supminfxr  45892  limsupre  46069  climinf3  46144  liminfreuzlem  46230  stoweidlem10  46438  etransclem46  46708  smfinflem  47245  finfdm  47274  ceilbi  47785  ceildivmod  47793  line2  49228