Theorem renegcl 11628

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4540 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11626, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11556	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2845	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → ( -𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11315	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4551	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11626	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4540	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  ifcif 4481  ℝcr 11206  1c1 11208   -cneg 11549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-sub 11550  df-neg 11551

This theorem is used by:  resubcl  11629  negreb  11630  renegcld  11750  negn0  11752  negf1o  11753  ltnegcon1  11824  ltnegcon2  11825  lenegcon1  11827  lenegcon2  11828  mullt0  11842  mulge0b  12194  mulle0b  12195  negfi  12273  infm3lem  12282  infm3  12283  riotaneg  12303  elnnz  12710  btwnz  12809  ublbneg  13067  supminf  13069  uzwo3  13077  zmax  13079  rebtwnz  13081  rpneg  13161  negelrp  13162  max0sub  13333  xnegcl  13350  xnegneg  13351  xltnegi  13353  rexsub  13370  xnegid  13375  xnegdi  13385  xpncan  13388  xnpcan  13389  xadddi  13432  iooneg  13609  iccneg  13610  icoshftf1o  13612  dfceil2  13986  ceicl  13988  ceige  13991  ceim1l  13994  negmod0  14025  modaddb  14056  negmod  14066  addmodlteq  14096  sgnneg  15262  crim  15291  cnpart  15416  sqrtneglem  15442  absnid  15474  max0add  15486  absdiflt  15494  absdifle  15495  sqreulem  15536  resinhcl  16333  rpcoshcl  16334  tanhlt1  16337  tanhbnd  16338  remulg  21922  resubdrg  21923  cnheiborlem  25284  evth2  25290  ismbf3d  25984  mbfinf  25995  itgconst  26148  reeff1o  26783  atanbnd  27263  ltflcei  38668  cos2h  38671  iblabsnclem  38738  ftc1anclem1  38748  areacirclem2  38764  areacirclem3  38765  areacirc  38768  mulltgt0  46175  rexabslelem  46564  xnegrecl  46584  supminfrnmpt  46591  supminfxr  46610  limsupre  46787  climinf3  46862  liminfreuzlem  46948  stoweidlem10  47156  etransclem46  47426  smfinflem  47963  finfdm  47992  ceilbi  48543  ceildivmod  48551  line2  50000