Theorem renegcl 11461

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4543 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11459, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11389	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2813	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11150	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4554	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11459	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4543	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ifcif 4484  ℝcr 11043  1c1 11045  -cneg 11382

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189  df-sub 11383  df-neg 11384

This theorem is referenced by:  resubcl  11462  negreb  11463  renegcld  11581  negn0  11583  negf1o  11584  ltnegcon1  11655  ltnegcon2  11656  lenegcon1  11658  lenegcon2  11659  mullt0  11673  mulge0b  12029  mulle0b  12030  negfi  12108  infm3lem  12117  infm3  12118  riotaneg  12138  elnnz  12515  btwnz  12613  ublbneg  12868  supminf  12870  uzwo3  12878  zmax  12880  rebtwnz  12882  rpneg  12961  negelrp  12962  max0sub  13132  xnegcl  13149  xnegneg  13150  xltnegi  13152  rexsub  13169  xnegid  13174  xnegdi  13184  xpncan  13187  xnpcan  13188  xadddi  13231  iooneg  13408  iccneg  13409  icoshftf1o  13411  dfceil2  13777  ceicl  13779  ceige  13782  ceim1l  13785  negmod0  13816  modaddb  13847  negmod  13857  addmodlteq  13887  crim  15057  cnpart  15182  sqrtneglem  15208  absnid  15240  max0add  15252  absdiflt  15260  absdifle  15261  sqreulem  15302  resinhcl  16100  rpcoshcl  16101  tanhlt1  16104  tanhbnd  16105  remulg  21492  resubdrg  21493  cnheiborlem  24829  evth2  24835  ismbf3d  25531  mbfinf  25542  itgconst  25696  reeff1o  26333  atanbnd  26812  sgnneg  32731  ltflcei  37575  cos2h  37578  iblabsnclem  37650  ftc1anclem1  37660  areacirclem2  37676  areacirclem3  37677  areacirc  37680  mulltgt0  44989  rexabslelem  45387  xnegrecl  45407  supminfrnmpt  45414  supminfxr  45433  limsupre  45612  climinf3  45687  liminfreuzlem  45773  stoweidlem10  45981  etransclem46  46251  smfinflem  46788  finfdm  46817  ceilbi  47307  ceildivmod  47313  line2  48714