Theorem renegcl 11442

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4536 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11440, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11370	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2819	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11130	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4547	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11440	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4536	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ifcif 4477  ℝcr 11023  1c1 11025  -cneg 11363

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-1cn 11082  ax-icn 11083  ax-addcl 11084  ax-addrcl 11085  ax-mulcl 11086  ax-mulrcl 11087  ax-mulcom 11088  ax-addass 11089  ax-mulass 11090  ax-distr 11091  ax-i2m1 11092  ax-1ne0 11093  ax-1rid 11094  ax-rnegex 11095  ax-rrecex 11096  ax-cnre 11097  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099  ax-pre-ltadd 11100

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169  df-sub 11364  df-neg 11365

This theorem is referenced by:  resubcl  11443  negreb  11444  renegcld  11562  negn0  11564  negf1o  11565  ltnegcon1  11636  ltnegcon2  11637  lenegcon1  11639  lenegcon2  11640  mullt0  11654  mulge0b  12010  mulle0b  12011  negfi  12089  infm3lem  12098  infm3  12099  riotaneg  12119  elnnz  12496  btwnz  12593  ublbneg  12844  supminf  12846  uzwo3  12854  zmax  12856  rebtwnz  12858  rpneg  12937  negelrp  12938  max0sub  13109  xnegcl  13126  xnegneg  13127  xltnegi  13129  rexsub  13146  xnegid  13151  xnegdi  13161  xpncan  13164  xnpcan  13165  xadddi  13208  iooneg  13385  iccneg  13386  icoshftf1o  13388  dfceil2  13757  ceicl  13759  ceige  13762  ceim1l  13765  negmod0  13796  modaddb  13827  negmod  13837  addmodlteq  13867  crim  15036  cnpart  15161  sqrtneglem  15187  absnid  15219  max0add  15231  absdiflt  15239  absdifle  15240  sqreulem  15281  resinhcl  16079  rpcoshcl  16080  tanhlt1  16083  tanhbnd  16084  remulg  21560  resubdrg  21561  cnheiborlem  24907  evth2  24913  ismbf3d  25609  mbfinf  25620  itgconst  25774  reeff1o  26411  atanbnd  26890  sgnneg  32863  ltflcei  37748  cos2h  37751  iblabsnclem  37823  ftc1anclem1  37833  areacirclem2  37849  areacirclem3  37850  areacirc  37853  mulltgt0  45209  rexabslelem  45604  xnegrecl  45624  supminfrnmpt  45631  supminfxr  45650  limsupre  45827  climinf3  45902  liminfreuzlem  45988  stoweidlem10  46196  etransclem46  46466  smfinflem  47003  finfdm  47032  ceilbi  47521  ceildivmod  47527  line2  48940