MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  renegcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem renegcl 11471
Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4549 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11469, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
renegcl (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl
StepHypRef Expression
1 negeq 11400 . . 3 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
21eleq1d 2823 . 2 (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3 1re 11162 . . . 4 1 ∈ ℝ
43elimel 4560 . . 3 if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
54renegcli 11469 . 2 -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
62, 5dedth 4549 1 (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1542  wcel 2107  ifcif 4491  cr 11057  1c1 11059  -cneg 11393
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201  df-sub 11394  df-neg 11395
This theorem is referenced by:  resubcl  11472  negreb  11473  renegcld  11589  negn0  11591  negf1o  11592  ltnegcon1  11663  ltnegcon2  11664  lenegcon1  11666  lenegcon2  11667  mullt0  11681  mulge0b  12032  mulle0b  12033  negfi  12111  infm3lem  12120  infm3  12121  riotaneg  12141  elnnz  12516  btwnz  12613  ublbneg  12865  supminf  12867  uzwo3  12875  zmax  12877  rebtwnz  12879  rpneg  12954  negelrp  12955  max0sub  13122  xnegcl  13139  xnegneg  13140  xltnegi  13142  rexsub  13159  xnegid  13164  xnegdi  13174  xpncan  13177  xnpcan  13178  xadddi  13221  iooneg  13395  iccneg  13396  icoshftf1o  13398  dfceil2  13751  ceicl  13753  ceige  13756  ceim1l  13759  negmod0  13790  negmod  13828  addmodlteq  13858  crim  15007  cnpart  15132  sqrtneglem  15158  absnid  15190  max0add  15202  absdiflt  15209  absdifle  15210  sqreulem  15251  resinhcl  16045  rpcoshcl  16046  tanhlt1  16049  tanhbnd  16050  remulg  21027  resubdrg  21028  cnheiborlem  24333  evth2  24339  ismbf3d  25034  mbfinf  25045  itgconst  25199  reeff1o  25822  atanbnd  26292  sgnneg  33180  ltflcei  36095  cos2h  36098  iblabsnclem  36170  ftc1anclem1  36180  areacirclem2  36196  areacirclem3  36197  areacirc  36200  mulltgt0  43301  rexabslelem  43727  xnegrecl  43747  supminfrnmpt  43754  supminfxr  43773  limsupre  43956  climinf3  44031  liminfreuzlem  44117  stoweidlem10  44325  etransclem46  44595  smfinflem  45132  finfdm  45161  line2  46912
  Copyright terms: Public domain W3C validator