Theorem renegcl 10938

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4481 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 10936, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 10867	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2874	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 10630	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4492	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 10936	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4481	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ifcif 4425  ℝcr 10525  1c1 10527  -cneg 10860

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669  df-sub 10861  df-neg 10862

This theorem is referenced by:  resubcl  10939  negreb  10940  renegcld  11056  negn0  11058  negf1o  11059  ltnegcon1  11130  ltnegcon2  11131  lenegcon1  11133  lenegcon2  11134  mullt0  11148  mulge0b  11499  mulle0b  11500  negfi  11577  infm3lem  11586  infm3  11587  riotaneg  11607  elnnz  11979  btwnz  12072  ublbneg  12321  supminf  12323  uzwo3  12331  zmax  12333  rebtwnz  12335  rpneg  12409  negelrp  12410  max0sub  12577  xnegcl  12594  xnegneg  12595  xltnegi  12597  rexsub  12614  xnegid  12619  xnegdi  12629  xpncan  12632  xnpcan  12633  xadddi  12676  iooneg  12849  iccneg  12850  icoshftf1o  12852  dfceil2  13204  ceicl  13206  ceige  13208  ceim1l  13210  negmod0  13241  negmod  13279  addmodlteq  13309  crim  14466  cnpart  14591  sqrtneglem  14618  absnid  14650  max0add  14662  absdiflt  14669  absdifle  14670  sqreulem  14711  resinhcl  15501  rpcoshcl  15502  tanhlt1  15505  tanhbnd  15506  remulg  20296  resubdrg  20297  cnheiborlem  23559  evth2  23565  ismbf3d  24258  mbfinf  24269  itgconst  24422  reeff1o  25042  atanbnd  25512  sgnneg  31908  ltflcei  35045  cos2h  35048  iblabsnclem  35120  ftc1anclem1  35130  areacirclem2  35146  areacirclem3  35147  areacirc  35150  mulltgt0  41651  rexabslelem  42055  xnegrecl  42075  supminfrnmpt  42082  supminfxr  42103  limsupre  42283  climinf3  42358  liminfreuzlem  42444  stoweidlem10  42652  etransclem46  42922  smfinflem  43448  line2  45166