Theorem renegcl 11448

Description: Closure law for negative of reals. The weak deduction theorem dedth 4513 is used to convert hypothesis of the inference (deduction) form of this theorem, renegcli 11446, to an antecedent. (Contributed by NM, 20-Jan-1997.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
renegcl	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Proof of Theorem renegcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		negeq 11376	. . 3 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → -𝐴 = -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1))
2	1	eleq1d 2824	. 2 ⊢ (𝐴 = if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) → (-𝐴 ∈ ℝ ↔ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ))
3		1re 11135	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	3	elimel 4524	. . 3 ⊢ if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
5	4	renegcli 11446	. 2 ⊢ -if(𝐴 ∈ ℝ, 𝐴, 1) ∈ ℝ
6	2, 5	dedth 4513	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -𝐴 ∈ ℝ)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ifcif 4454  ℝcr 11028  1c1 11030  -cneg 11369

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175  df-sub 11370  df-neg 11371

This theorem is referenced by:  resubcl  11449  negreb  11450  renegcld  11568  negn0  11570  negf1o  11571  ltnegcon1  11642  ltnegcon2  11643  lenegcon1  11645  lenegcon2  11646  mullt0  11660  mulge0b  12017  mulle0b  12018  negfi  12096  infm3lem  12105  infm3  12106  riotaneg  12126  elnnz  12525  btwnz  12623  ublbneg  12874  supminf  12876  uzwo3  12884  zmax  12886  rebtwnz  12888  rpneg  12967  negelrp  12968  max0sub  13139  xnegcl  13156  xnegneg  13157  xltnegi  13159  rexsub  13176  xnegid  13181  xnegdi  13191  xpncan  13194  xnpcan  13195  xadddi  13238  iooneg  13415  iccneg  13416  icoshftf1o  13418  dfceil2  13789  ceicl  13791  ceige  13794  ceim1l  13797  negmod0  13828  modaddb  13859  negmod  13869  addmodlteq  13899  crim  15068  cnpart  15193  sqrtneglem  15219  absnid  15251  max0add  15263  absdiflt  15271  absdifle  15272  sqreulem  15313  resinhcl  16114  rpcoshcl  16115  tanhlt1  16118  tanhbnd  16119  remulg  21582  resubdrg  21583  cnheiborlem  24939  evth2  24945  ismbf3d  25639  mbfinf  25650  itgconst  25804  reeff1o  26430  atanbnd  26908  sgnneg  32925  ltflcei  37975  cos2h  37978  iblabsnclem  38050  ftc1anclem1  38060  areacirclem2  38076  areacirclem3  38077  areacirc  38080  mulltgt0  45470  rexabslelem  45861  xnegrecl  45881  supminfrnmpt  45888  supminfxr  45907  limsupre  46084  climinf3  46159  liminfreuzlem  46245  stoweidlem10  46453  etransclem46  46723  smfinflem  47260  finfdm  47289  ceilbi  47800  ceildivmod  47808  line2  49243