MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reeff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reeff1o 24542
Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1o (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reeff1 15186 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2 f1f 6316 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3 ffn 6256 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5 frn 6262 . . . . 5 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
61, 2, 5mp2b 10 . . . 4 ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7 elrp 12076 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
8 reclt1 11210 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
97, 8sylbi 209 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
10 rpre 12082 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
11 rpne0 12092 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ≠ 0)
1210, 11rereccld 11144 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
13 reeff1olem 24541 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
1412, 13sylan 576 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
15 eqcom 2806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
16 rpcnne0 12094 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
17 recn 10314 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18 efcl 15149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
20 efne0 15163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
2219, 21jca 508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0))
23 rec11r 11016 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
2416, 22, 23syl2an 590 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
25 efcan 15162 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℂ → ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)) = 1)
2625eqcomd 2805 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)))
27 negcl 10572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℂ → -𝑦 ∈ ℂ)
28 efcl 15149 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
30 ax-1cn 10282 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
31 divmul2 10981 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3230, 31mp3an1 1573 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3329, 18, 20, 32syl12anc 866 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3426, 33mpbird 249 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
3517, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
3635eqeq1d 2801 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3736adantl 474 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3824, 37bitrd 271 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3915, 38syl5bbr 277 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4039biimpd 221 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4140reximdva 3197 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4241adantr 473 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4314, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
44 renegcl 10636 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
45 infm3lem 11273 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
46 fveqeq2 6420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4744, 45, 46rexxfr 5086 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
4843, 47sylibr 226 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
4948ex 402 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < (1 / 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
509, 49sylbid 232 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
5150imp 396 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
52 ef0 15157 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
5352eqeq2i 2811 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (exp‘0) ↔ 𝑧 = 1)
54 0re 10330 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
55 fveqeq2 6420 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘0) = 𝑧))
5655rspcev 3497 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘0) = 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5754, 56mpan 682 . . . . . . . . . . 11 ((exp‘0) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5857eqcoms 2807 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (exp‘0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5953, 58sylbir 227 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6059adantl 474 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
61 reeff1olem 24541 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6210, 61sylan 576 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
63 1re 10328 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
64 lttri4 10412 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
6510, 63, 64sylancl 581 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
6651, 60, 62, 65mpjao3dan 1557 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
67 fvres 6430 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
6867eqeq1d 2801 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
6968rexbiia 3221 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
7066, 69sylibr 226 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
71 fvelrnb 6468 . . . . . . 7 ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
724, 71ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
7370, 72sylibr 226 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
7473ssriv 3802 . . . 4 + ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
756, 74eqssi 3814 . . 3 ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
76 df-fo 6107 . . 3 ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
774, 75, 76mpbir2an 703 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
78 df-f1o 6108 . 2 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
791, 77, 78mpbir2an 703 1 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3o 1107   = wceq 1653  wcel 2157  wne 2971  wrex 3090  wss 3769   class class class wbr 4843  ran crn 5313  cres 5314   Fn wfn 6096  wf 6097  1-1wf1 6098  ontowfo 6099  1-1-ontowf1o 6100  cfv 6101  (class class class)co 6878  cc 10222  cr 10223  0cc0 10224  1c1 10225   · cmul 10229   < clt 10363  -cneg 10557   / cdiv 10976  +crp 12074  expce 15128
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-inf2 8788  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302  ax-addf 10303  ax-mulf 10304
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-iin 4713  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-se 5272  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-isom 6110  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-of 7131  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-supp 7533  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-2o 7800  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-ixp 8149  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-fsupp 8518  df-fi 8559  df-sup 8590  df-inf 8591  df-oi 8657  df-card 9051  df-cda 9278  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-2 11376  df-3 11377  df-4 11378  df-5 11379  df-6 11380  df-7 11381  df-8 11382  df-9 11383  df-n0 11581  df-z 11667  df-dec 11784  df-uz 11931  df-q 12034  df-rp 12075  df-xneg 12193  df-xadd 12194  df-xmul 12195  df-ioo 12428  df-ico 12430  df-icc 12431  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-fl 12848  df-seq 13056  df-exp 13115  df-fac 13314  df-bc 13343  df-hash 13371  df-shft 14148  df-cj 14180  df-re 14181  df-im 14182  df-sqrt 14316  df-abs 14317  df-limsup 14543  df-clim 14560  df-rlim 14561  df-sum 14758  df-ef 15134  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-sets 16191  df-ress 16192  df-plusg 16280  df-mulr 16281  df-starv 16282  df-sca 16283  df-vsca 16284  df-ip 16285  df-tset 16286  df-ple 16287  df-ds 16289  df-unif 16290  df-hom 16291  df-cco 16292  df-rest 16398  df-topn 16399  df-0g 16417  df-gsum 16418  df-topgen 16419  df-pt 16420  df-prds 16423  df-xrs 16477  df-qtop 16482  df-imas 16483  df-xps 16485  df-mre 16561  df-mrc 16562  df-acs 16564  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-mulg 17857  df-cntz 18062  df-cmn 18510  df-psmet 20060  df-xmet 20061  df-met 20062  df-bl 20063  df-mopn 20064  df-fbas 20065  df-fg 20066  df-cnfld 20069  df-top 21027  df-topon 21044  df-topsp 21066  df-bases 21079  df-cld 21152  df-ntr 21153  df-cls 21154  df-nei 21231  df-lp 21269  df-perf 21270  df-cn 21360  df-cnp 21361  df-haus 21448  df-tx 21694  df-hmeo 21887  df-fil 21978  df-fm 22070  df-flim 22071  df-flf 22072  df-xms 22453  df-ms 22454  df-tms 22455  df-cncf 23009  df-limc 23971  df-dv 23972
This theorem is referenced by:  reefiso  24543  efcvx  24544  reefgim  24545  eff1olem  24636  dfrelog  24653  relogf1o  24654  dvrelog  24724
  Copyright terms: Public domain W3C validator