Theorem reeff1o 26564

Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1o	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeff1 16164	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2		f1f 6764	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3		ffn 6695	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5		frn 6703	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
6	1, 2, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7		elrp 13006	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
8		reclt1 12098	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
9	7, 8	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
10		rpre 13013	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
11		rpne0 13021	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ≠ 0)
12	10, 11	rereccld 12030	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
13		reeff1olem 26563	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 / 𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
14	12, 13	sylan 591	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
15		eqcom 2772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
16		rpcnne0 13023	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
17		recn 11178	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		efcl 16124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
20		efne0 16140	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
22	19, 21	jca 520	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0))
23		rec11r 11902	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
24	16, 22, 23	syl2an 607	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
25		efcan 16138	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)) = 1)
26	25	eqcomd 2771	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)))
27		negcl 11445	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → -𝑦 ∈ ℂ)
28		efcl 16124	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
30		ax-1cn 11146	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		divmul2 11864	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
32	30, 31	mp3an1 1472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
33	29, 18, 20, 32	syl12anc 849	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
34	26, 33	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
35	17, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
36	35	eqeq1d 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
37	36	adantl 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
38	24, 37	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
39	15, 38	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
40	39	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → (exp‘-𝑦) = 𝑧))
41	40	reximdva 3178	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
42	41	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
43	14, 42	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
44		renegcl 11509	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
45		infm3lem 12161	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
46		fveqeq2 6880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
47	44, 45, 46	rexxfr 5377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
48	43, 47	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
49	48	ex 417	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < (1 / 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
50	9, 49	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
51	50	imp 411	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
52		ef0 16133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
53	52	eqeq2i 2778	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (exp‘0) ↔ 𝑧 = 1)
54		0re 11198	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		fveqeq2 6880	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘0) = 𝑧))
56	55	rspcev 3584	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘0) = 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
57	54, 56	mpan 702	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((exp‘0) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
58	57	eqcoms 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (exp‘0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
59	53, 58	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
60	59	adantl 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
61		reeff1olem 26563	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
62	10, 61	sylan 591	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
63		1re 11196	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		lttri4 11282	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
65	10, 63, 64	sylancl 597	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
66	51, 60, 62, 65	mpjao3dan 1455	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
67		fvres 6890	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
68	67	eqeq1d 2767	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
69	68	rexbiia 3110	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
70	66, 69	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
71		fvelrnb 6931	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
72	4, 71	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
73	70, 72	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
74	73	ssriv 3943	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
75	6, 74	eqssi 3955	. . 3 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
76		df-fo 6531	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
77	4, 75, 76	mpbir2an 723	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
78		df-f1o 6532	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
79	1, 77, 78	mpbir2an 723	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∨ w3o 1100   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2960  ∃wrex 3089   ⊆ wss 3907   class class class wbr 5104  ran crn 5652   ↾ cres 5653   Fn wfn 6520  ⟶wf 6521  –1-1→wf1 6522  –onto→wfo 6523  –1-1-onto→wf1o 6524  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400  ℂcc 11086  ℝcr 11087  0cc0 11088  1c1 11089   · cmul 11093   < clt 11231  -cneg 11430   / cdiv 11859  ℝ⁺crp 13004  expce 16103

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722  ax-inf2 9598  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165  ax-pre-sup 11166  ax-addf 11167

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-lim 6354  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-isom 6534  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-of 7664  df-om 7851  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-supp 8145  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-1o 8441  df-2o 8442  df-er 8682  df-map 8814  df-pm 8815  df-ixp 8884  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-fin 8935  df-fsupp 9310  df-fi 9359  df-sup 9390  df-inf 9391  df-oi 9460  df-card 9913  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-div 11860  df-nn 12222  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-9 12298  df-n0 12493  df-z 12580  df-dec 12700  df-uz 12851  df-q 12961  df-rp 13005  df-xneg 13125  df-xadd 13126  df-xmul 13127  df-ioo 13364  df-ico 13366  df-icc 13367  df-fz 13524  df-fzo 13671  df-fl 13813  df-seq 14026  df-exp 14086  df-fac 14298  df-bc 14327  df-hash 14355  df-shft 15092  df-cj 15138  df-re 15139  df-im 15140  df-sqrt 15274  df-abs 15275  df-limsup 15510  df-clim 15527  df-rlim 15528  df-sum 15726  df-ef 16109  df-struct 17195  df-sets 17212  df-slot 17230  df-ndx 17242  df-base 17258  df-ress 17279  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-sca 17314  df-vsca 17315  df-ip 17316  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-hom 17322  df-cco 17323  df-rest 17463  df-topn 17464  df-0g 17482  df-gsum 17483  df-topgen 17484  df-pt 17485  df-prds 17488  df-xrs 17544  df-qtop 17549  df-imas 17550  df-xps 17552  df-mre 17626  df-mrc 17627  df-acs 17629  df-mgm 18686  df-sgrp 18765  df-mnd 18781  df-submnd 18830  df-mulg 19122  df-cntz 19375  df-cmn 19840  df-psmet 21471  df-xmet 21472  df-met 21473  df-bl 21474  df-mopn 21475  df-fbas 21476  df-fg 21477  df-cnfld 21480  df-top 23008  df-topon 23025  df-topsp 23047  df-bases 23060  df-cld 23133  df-ntr 23134  df-cls 23135  df-nei 23212  df-lp 23250  df-perf 23251  df-cn 23341  df-cnp 23342  df-haus 23429  df-tx 23676  df-hmeo 23869  df-fil 23960  df-fm 24052  df-flim 24053  df-flf 24054  df-xms 24434  df-ms 24435  df-tms 24436  df-cncf 24994  df-limc 25982  df-dv 25983

This theorem is referenced by:  reefiso  26565  efcvx  26566  reefgim  26567  eff1olem  26667  dfrelog  26684  relogf1o  26685  dvrelog  26756