Theorem reeff1o 26780

Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1o	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeff1 16294	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2		f1f 6779	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3		ffn 6710	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5		frn 6718	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
6	1, 2, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7		elrp 13126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
8		reclt1 12216	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
9	7, 8	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
10		rpre 13133	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
11		rpne0 13141	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ≠ 0)
12	10, 11	rereccld 12148	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
13		reeff1olem 26779	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 / 𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
14	12, 13	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
15		eqcom 2767	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
16		rpcnne0 13143	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
17		recn 11294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		efcl 16254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
20		efne0 16270	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
22	19, 21	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0))
23		rec11r 12020	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
24	16, 22, 23	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
25		efcan 16268	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦)) = 1)
26	25	eqcomd 2766	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦)))
27		negcl 11561	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → -𝑦 ∈ ℂ)
28		efcl 16254	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( -𝑦 ∈ ℂ → (exp‘ -𝑦) ∈ ℂ)
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘ -𝑦) ∈ ℂ)
30		ax-1cn 11262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		divmul2 11982	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘ -𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦))))
32	30, 31	mp3an1 1477	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((exp‘ -𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦))))
33	29, 18, 20, 32	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦))))
34	26, 33	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦))
35	17, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦))
36	35	eqeq1d 2762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
38	24, 37	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
39	15, 38	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
40	39	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
41	40	reximdva 3175	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
43	14, 42	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘ -𝑦) = 𝑧)
44		renegcl 11625	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
45		infm3lem 12279	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
46		fveqeq2 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
47	44, 45, 46	rexxfr 5377	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘ -𝑦) = 𝑧)
48	43, 47	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
49	48	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < (1 / 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
50	9, 49	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
51	50	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
52		ef0 16263	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
53	52	eqeq2i 2773	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (exp‘0) ↔ 𝑧 = 1)
54		0re 11314	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		fveqeq2 6895	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘0) = 𝑧))
56	55	rspcev 3576	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘0) = 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
57	54, 56	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((exp‘0) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
58	57	eqcoms 2768	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (exp‘0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
59	53, 58	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
60	59	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
61		reeff1olem 26779	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
62	10, 61	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
63		1re 11312	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		lttri4 11398	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
65	10, 63, 64	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
66	51, 60, 62, 65	mpjao3dan 1459	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
67		fvres 6905	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
68	67	eqeq1d 2762	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
69	68	rexbiia 3107	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
70	66, 69	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
71		fvelrnb 6946	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
72	4, 71	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
73	70, 72	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
74	73	ssriv 3912	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
75	6, 74	eqssi 3924	. . 3 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
76		df-fo 6545	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
77	4, 75, 76	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
78		df-f1o 6546	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
79	1, 77, 78	mpbir2an 724	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   class class class wbr 5102  ran crn 5651   ↾ cres 5652   Fn wfn 6534  ⟶wf 6535  –1-1→wf1 6536  –onto→wfo 6537  –1-1-onto→wf1o 6538  ‘cfv 6539  (class class class)co 7421  ℂcc 11202  ℝcr 11203  0cc0 11204  1c1 11205   · cmul 11209   < clt 11347   -cneg 11546   / cdiv 11977  ℝ⁺crp 13124  expce 16233

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752  ax-inf2 9646  ax-cnex 11260  ax-resscn 11261  ax-1cn 11262  ax-icn 11263  ax-addcl 11264  ax-addrcl 11265  ax-mulcl 11266  ax-mulrcl 11267  ax-mulcom 11268  ax-addass 11269  ax-mulass 11270  ax-distr 11271  ax-i2m1 11272  ax-1ne0 11273  ax-1rid 11274  ax-rnegex 11275  ax-rrecex 11276  ax-cnre 11277  ax-pre-lttri 11278  ax-pre-lttrn 11279  ax-pre-ltadd 11280  ax-pre-mulgt0 11281  ax-pre-sup 11282  ax-addf 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-isom 6548  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-of 7694  df-om 7879  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-supp 8181  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-1o 8480  df-2o 8481  df-er 8721  df-map 8853  df-pm 8854  df-ixp 8930  df-en 8978  df-dom 8979  df-sdom 8980  df-fin 8981  df-fsupp 9358  df-fi 9407  df-sup 9438  df-inf 9439  df-oi 9508  df-card 10024  df-pnf 11349  df-mnf 11350  df-xr 11351  df-ltxr 11352  df-le 11353  df-sub 11547  df-neg 11548  df-div 11978  df-nn 12340  df-2 12409  df-3 12410  df-4 12411  df-5 12412  df-6 12413  df-7 12414  df-8 12415  df-9 12416  df-n0 12611  df-z 12698  df-dec 12819  df-uz 12970  df-q 13080  df-rp 13125  df-xneg 13245  df-xadd 13246  df-xmul 13247  df-ioo 13484  df-ico 13486  df-icc 13487  df-fz 13644  df-fzo 13793  df-fl 13936  df-seq 14149  df-exp 14209  df-fac 14422  df-bc 14451  df-hash 14479  df-shft 15226  df-cj 15272  df-re 15273  df-im 15274  df-sqrt 15408  df-abs 15409  df-limsup 15644  df-clim 15661  df-rlim 15662  df-sum 15860  df-ef 16239  df-struct 17331  df-sets 17348  df-slot 17366  df-ndx 17378  df-base 17394  df-ress 17415  df-plusg 17447  df-mulr 17448  df-starv 17449  df-sca 17450  df-vsca 17451  df-ip 17452  df-tset 17453  df-ple 17454  df-ds 17456  df-unif 17457  df-hom 17458  df-cco 17459  df-rest 17599  df-topn 17600  df-0g 17618  df-gsum 17619  df-topgen 17620  df-pt 17621  df-prds 17624  df-xrs 17680  df-qtop 17685  df-imas 17686  df-xps 17688  df-mre 17762  df-mrc 17763  df-acs 17765  df-mgm 18822  df-sgrp 18914  df-mnd 18930  df-submnd 18985  df-mulg 19284  df-cntz 19537  df-cmn 20002  df-psmet 21676  df-xmet 21677  df-met 21678  df-bl 21679  df-mopn 21680  df-fbas 21681  df-fg 21682  df-cnfld 21685  df-top 23218  df-topon 23235  df-topsp 23257  df-bases 23270  df-cld 23343  df-ntr 23344  df-cls 23345  df-nei 23422  df-lp 23460  df-perf 23461  df-cn 23551  df-cnp 23552  df-haus 23639  df-tx 23887  df-hmeo 24080  df-fil 24171  df-fm 24263  df-flim 24264  df-flf 24265  df-xms 24645  df-ms 24646  df-tms 24647  df-cncf 25205  df-limc 26192  df-dv 26193

This theorem is used by:  reefiso  26781  efcvx  26782  reefgim  26783  eff1olem  26882  dfrelog  26899  relogf1o  26900  dvrelog  26971