Theorem reeff1o 26807

Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1o	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶1-1ontoℝ+

Proof of Theorem reeff1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeff1 16320	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶1-1ℝ+
2		f1f 6803	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶1-1ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3		ffn 6734	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5		frn 6742	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
6	1, 2, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7		elrp 13152	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
8		reclt1 12242	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
9	7, 8	sylbi 220	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
10		rpre 13159	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
11		rpne0 13167	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ≠ 0)
12	10, 11	rereccld 12174	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
13		reeff1olem 26806	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 / 𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
14	12, 13	sylan 592	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
15		eqcom 2770	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
16		rpcnne0 13169	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
17		recn 11320	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		efcl 16280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
19	17, 18	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
20		efne0 16296	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
21	17, 20	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
22	19, 21	jca 521	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0))
23		rec11r 12046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
24	16, 22, 23	syl2an 608	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
25		efcan 16294	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦)) = 1)
26	25	eqcomd 2769	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦)))
27		negcl 11587	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → -𝑦 ∈ ℂ)
28		efcl 16280	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ( -𝑦 ∈ ℂ → (exp‘ -𝑦) ∈ ℂ)
29	27, 28	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘ -𝑦) ∈ ℂ)
30		ax-1cn 11288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		divmul2 12008	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘ -𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦))))
32	30, 31	mp3an1 1478	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((exp‘ -𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦))))
33	29, 18, 20, 32	syl12anc 850	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘ -𝑦))))
34	26, 33	mpbird 260	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦))
35	17, 34	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘ -𝑦))
36	35	eqeq1d 2765	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
37	36	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
38	24, 37	bitrd 282	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
39	15, 38	bitr3id 288	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
40	39	biimpd 232	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
41	40	reximdva 3179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
43	14, 42	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘ -𝑦) = 𝑧)
44		renegcl 11651	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
45		infm3lem 12305	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
46		fveqeq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘ -𝑦) = 𝑧))
47	44, 45, 46	rexxfr 5383	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘ -𝑦) = 𝑧)
48	43, 47	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
49	48	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < (1 / 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
50	9, 49	sylbid 243	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
51	50	imp 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
52		ef0 16289	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
53	52	eqeq2i 2776	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (exp‘0) ↔ 𝑧 = 1)
54		0re 11340	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		fveqeq2 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘0) = 𝑧))
56	55	rspcev 3580	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘0) = 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
57	54, 56	mpan 703	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((exp‘0) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
58	57	eqcoms 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (exp‘0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
59	53, 58	sylbir 238	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
60	59	adantl 487	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
61		reeff1olem 26806	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
62	10, 61	sylan 592	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
63		1re 11338	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		lttri4 11424	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
65	10, 63, 64	sylancl 598	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
66	51, 60, 62, 65	mpjao3dan 1460	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
67		fvres 6930	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
68	67	eqeq1d 2765	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
69	68	rexbiia 3111	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
70	66, 69	sylibr 237	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
71		fvelrnb 6971	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
72	4, 71	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
73	70, 72	sylibr 237	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
74	73	ssriv 3917	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
75	6, 74	eqssi 3929	. . 3 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
76		df-fo 6567	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ontoℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
77	4, 75, 76	mpbir2an 724	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ontoℝ+
78		df-f1o 6568	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶1-1ontoℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶1-1ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ontoℝ+))
79	1, 77, 78	mpbir2an 724	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ⟶1-1ontoℝ+

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ w3o 1102   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   class class class wbr 5106  ran crn 5657   ↾ cres 5658   Fn wfn 6556  ⟶wf 6557  ⟶1-1wf1 6558  ⟶ontowfo 6559  ⟶1-1ontowf1o 6560  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446  ℂcc 11228  ℝcr 11229  0cc0 11230  1c1 11231   · cmul 11235   < clt 11373   -cneg 11572   / cdiv 12003  ℝ⁺crp 13150  expce 16259

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-inf2 9672  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307  ax-pre-sup 11308  ax-addf 11309

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-isom 6570  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-of 7720  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-2o 8508  df-er 8748  df-map 8880  df-pm 8881  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-fi 9433  df-sup 9464  df-inf 9465  df-oi 9534  df-card 10050  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-div 12004  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-q 13106  df-rp 13151  df-xneg 13271  df-xadd 13272  df-xmul 13273  df-ioo 13510  df-ico 13512  df-icc 13513  df-fz 13670  df-fzo 13819  df-fl 13962  df-seq 14175  df-exp 14235  df-fac 14448  df-bc 14477  df-hash 14505  df-shft 15252  df-cj 15298  df-re 15299  df-im 15300  df-sqrt 15434  df-abs 15435  df-limsup 15670  df-clim 15687  df-rlim 15688  df-sum 15886  df-ef 16265  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-starv 17475  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-unif 17483  df-hom 17484  df-cco 17485  df-rest 17625  df-topn 17626  df-0g 17644  df-gsum 17645  df-topgen 17646  df-pt 17647  df-prds 17650  df-xrs 17706  df-qtop 17711  df-imas 17712  df-xps 17714  df-mre 17788  df-mrc 17789  df-acs 17791  df-mgm 18848  df-sgrp 18940  df-mnd 18956  df-submnd 19011  df-mulg 19310  df-cntz 19564  df-cmn 20029  df-psmet 21703  df-xmet 21704  df-met 21705  df-bl 21706  df-mopn 21707  df-fbas 21708  df-fg 21709  df-cnfld 21712  df-top 23245  df-topon 23262  df-topsp 23284  df-bases 23297  df-cld 23370  df-ntr 23371  df-cls 23372  df-nei 23449  df-lp 23487  df-perf 23488  df-cn 23578  df-cnp 23579  df-haus 23666  df-tx 23914  df-hmeo 24107  df-fil 24198  df-fm 24290  df-flim 24291  df-flf 24292  df-xms 24672  df-ms 24673  df-tms 24674  df-cncf 25232  df-limc 26219  df-dv 26220

This theorem is used by:  reefiso  26808  efcvx  26809  reefgim  26810  eff1olem  26909  dfrelog  26926  relogf1o  26927  dvrelog  26998