Theorem reeff1o 25037

Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
reeff1o	⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reeff1 15475	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2		f1f 6577	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3		ffn 6516	. . . 4 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
4	1, 2, 3	mp2b 10	. . 3 ⊢ (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5		frn 6522	. . . . 5 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
6	1, 2, 5	mp2b 10	. . . 4 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7		elrp 12394	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
8		reclt1 11537	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
9	7, 8	sylbi 219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
10		rpre 12400	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ℝ)
11		rpne0 12408	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ≠ 0)
12	10, 11	rereccld 11469	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
13		reeff1olem 25036	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((1 / 𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
14	12, 13	sylan 582	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
15		eqcom 2830	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
16		rpcnne0 12410	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
17		recn 10629	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18		efcl 15438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
19	17, 18	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
20		efne0 15452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
21	17, 20	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
22	19, 21	jca 514	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0))
23		rec11r 11341	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
24	16, 22, 23	syl2an 597	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
25		efcan 15451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)) = 1)
26	25	eqcomd 2829	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)))
27		negcl 10888	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → -𝑦 ∈ ℂ)
28		efcl 15438	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ (-𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
29	27, 28	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
30		ax-1cn 10597	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ 1 ∈ ℂ
31		divmul2 11304	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ⊢ ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
32	30, 31	mp3an1 1444	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 ⊢ (((exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
33	29, 18, 20, 32	syl12anc 834	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
34	26, 33	mpbird 259	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ (𝑦 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
35	17, 34	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
36	35	eqeq1d 2825	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
37	36	adantl 484	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
38	24, 37	bitrd 281	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
39	15, 38	syl5bbr 287	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
40	39	biimpd 231	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → (exp‘-𝑦) = 𝑧))
41	40	reximdva 3276	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
42	41	adantr 483	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
43	14, 42	mpd 15	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
44		renegcl 10951	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
45		infm3lem 11601	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
46		fveqeq2 6681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = -𝑦 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
47	44, 45, 46	rexxfr 5319	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
48	43, 47	sylibr 236	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
49	48	ex 415	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < (1 / 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
50	9, 49	sylbid 242	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
51	50	imp 409	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
52		ef0 15446	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (exp‘0) = 1
53	52	eqeq2i 2836	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (exp‘0) ↔ 𝑧 = 1)
54		0re 10645	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 0 ∈ ℝ
55		fveqeq2 6681	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘0) = 𝑧))
56	55	rspcev 3625	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘0) = 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
57	54, 56	mpan 688	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((exp‘0) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
58	57	eqcoms 2831	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 = (exp‘0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
59	53, 58	sylbir 237	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑧 = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
60	59	adantl 484	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 𝑧 = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
61		reeff1olem 25036	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
62	10, 61	sylan 582	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
63		1re 10643	. . . . . . . . 9 ⊢ 1 ∈ ℝ
64		lttri4 10727	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
65	10, 63, 64	sylancl 588	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
66	51, 60, 62, 65	mpjao3dan 1427	. . . . . . 7 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
67		fvres 6691	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
68	67	eqeq1d 2825	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
69	68	rexbiia 3248	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
70	66, 69	sylibr 236	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
71		fvelrnb 6728	. . . . . . 7 ⊢ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
72	4, 71	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
73	70, 72	sylibr 236	. . . . 5 ⊢ (𝑧 ∈ ℝ+ → 𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
74	73	ssriv 3973	. . . 4 ⊢ ℝ+ ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
75	6, 74	eqssi 3985	. . 3 ⊢ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
76		df-fo 6363	. . 3 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
77	4, 75, 76	mpbir2an 709	. 2 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
78		df-f1o 6364	. 2 ⊢ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
79	1, 77, 78	mpbir2an 709	1 ⊢ (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∨ w3o 1082   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   ≠ wne 3018  ∃wrex 3141   ⊆ wss 3938   class class class wbr 5068  ran crn 5558   ↾ cres 5559   Fn wfn 6352  ⟶wf 6353  –1-1→wf1 6354  –onto→wfo 6355  –1-1-onto→wf1o 6356  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  ℂcc 10537  ℝcr 10538  0cc0 10539  1c1 10540   · cmul 10544   < clt 10677  -cneg 10873   / cdiv 11299  ℝ⁺crp 12392  expce 15417

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-inf2 9106  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616  ax-pre-sup 10617  ax-addf 10618  ax-mulf 10619

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-iin 4924  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-se 5517  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-isom 6366  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-of 7411  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-supp 7833  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-2o 8105  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-pm 8411  df-ixp 8464  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-fsupp 8836  df-fi 8877  df-sup 8908  df-inf 8909  df-oi 8976  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-div 11300  df-nn 11641  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-q 12352  df-rp 12393  df-xneg 12510  df-xadd 12511  df-xmul 12512  df-ioo 12745  df-ico 12747  df-icc 12748  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-fl 13165  df-seq 13373  df-exp 13433  df-fac 13637  df-bc 13666  df-hash 13694  df-shft 14428  df-cj 14460  df-re 14461  df-im 14462  df-sqrt 14596  df-abs 14597  df-limsup 14830  df-clim 14847  df-rlim 14848  df-sum 15045  df-ef 15423  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-sets 16492  df-ress 16493  df-plusg 16580  df-mulr 16581  df-starv 16582  df-sca 16583  df-vsca 16584  df-ip 16585  df-tset 16586  df-ple 16587  df-ds 16589  df-unif 16590  df-hom 16591  df-cco 16592  df-rest 16698  df-topn 16699  df-0g 16717  df-gsum 16718  df-topgen 16719  df-pt 16720  df-prds 16723  df-xrs 16777  df-qtop 16782  df-imas 16783  df-xps 16785  df-mre 16859  df-mrc 16860  df-acs 16862  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-mulg 18227  df-cntz 18449  df-cmn 18910  df-psmet 20539  df-xmet 20540  df-met 20541  df-bl 20542  df-mopn 20543  df-fbas 20544  df-fg 20545  df-cnfld 20548  df-top 21504  df-topon 21521  df-topsp 21543  df-bases 21556  df-cld 21629  df-ntr 21630  df-cls 21631  df-nei 21708  df-lp 21746  df-perf 21747  df-cn 21837  df-cnp 21838  df-haus 21925  df-tx 22172  df-hmeo 22365  df-fil 22456  df-fm 22548  df-flim 22549  df-flf 22550  df-xms 22932  df-ms 22933  df-tms 22934  df-cncf 23488  df-limc 24466  df-dv 24467

This theorem is referenced by:  reefiso  25038  efcvx  25039  reefgim  25040  eff1olem  25134  dfrelog  25151  relogf1o  25152  dvrelog  25222