MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  reeff1o Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem reeff1o 25941
Description: The real exponential function is one-to-one onto. (Contributed by Paul Chapman, 18-Oct-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 10-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
reeff1o (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+

Proof of Theorem reeff1o
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 reeff1 16059 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+
2 f1f 6784 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ → (exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+)
3 ffn 6714 . . . 4 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → (exp ↾ ℝ) Fn ℝ)
41, 2, 3mp2b 10 . . 3 (exp ↾ ℝ) Fn ℝ
5 frn 6721 . . . . 5 ((exp ↾ ℝ):ℝ⟶ℝ+ → ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+)
61, 2, 5mp2b 10 . . . 4 ran (exp ↾ ℝ) ⊆ ℝ+
7 elrp 12972 . . . . . . . . . . 11 (𝑧 ∈ ℝ+ ↔ (𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧))
8 reclt1 12105 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝑧) → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
97, 8sylbi 216 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ↔ 1 < (1 / 𝑧)))
10 rpre 12978 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ℝ)
11 rpne0 12986 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ≠ 0)
1210, 11rereccld 12037 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 / 𝑧) ∈ ℝ)
13 reeff1olem 25940 . . . . . . . . . . . . . 14 (((1 / 𝑧) ∈ ℝ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
1412, 13sylan 581 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
15 eqcom 2740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧))
16 rpcnne0 12988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0))
17 recn 11196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
18 efcl 16022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ∈ ℂ)
20 efne0 16036 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
2117, 20syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (exp‘𝑦) ≠ 0)
2219, 21jca 513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0))
23 rec11r 11909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝑧 ∈ ℂ ∧ 𝑧 ≠ 0) ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
2416, 22, 23syl2an 597 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧))
25 efcan 16035 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℂ → ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)) = 1)
2625eqcomd 2739 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦)))
27 negcl 11456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (𝑦 ∈ ℂ → -𝑦 ∈ ℂ)
28 efcl 16022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 (-𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
2927, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (𝑦 ∈ ℂ → (exp‘-𝑦) ∈ ℂ)
30 ax-1cn 11164 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 1 ∈ ℂ
31 divmul2 11872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 ((1 ∈ ℂ ∧ (exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3230, 31mp3an1 1449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 (((exp‘-𝑦) ∈ ℂ ∧ ((exp‘𝑦) ∈ ℂ ∧ (exp‘𝑦) ≠ 0)) → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3329, 18, 20, 32syl12anc 836 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 (𝑦 ∈ ℂ → ((1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦) ↔ 1 = ((exp‘𝑦) · (exp‘-𝑦))))
3426, 33mpbird 257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 (𝑦 ∈ ℂ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
3517, 34syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 (𝑦 ∈ ℝ → (1 / (exp‘𝑦)) = (exp‘-𝑦))
3635eqeq1d 2735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑦 ∈ ℝ → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3736adantl 483 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / (exp‘𝑦)) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3824, 37bitrd 279 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((1 / 𝑧) = (exp‘𝑦) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
3915, 38bitr3id 285 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4039biimpd 228 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑦 ∈ ℝ) → ((exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4140reximdva 3169 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑧 ∈ ℝ+ → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4241adantr 482 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → (∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘𝑦) = (1 / 𝑧) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4314, 42mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
44 renegcl 11519 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑦 ∈ ℝ → -𝑦 ∈ ℝ)
45 infm3lem 12168 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 ∈ ℝ → ∃𝑦 ∈ ℝ 𝑥 = -𝑦)
46 fveqeq2 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = -𝑦 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘-𝑦) = 𝑧))
4744, 45, 46rexxfr 5413 . . . . . . . . . . . 12 (∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑦 ∈ ℝ (exp‘-𝑦) = 𝑧)
4843, 47sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < (1 / 𝑧)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
4948ex 414 . . . . . . . . . 10 (𝑧 ∈ ℝ+ → (1 < (1 / 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
509, 49sylbid 239 . . . . . . . . 9 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧))
5150imp 408 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 < 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
52 ef0 16030 . . . . . . . . . . 11 (exp‘0) = 1
5352eqeq2i 2746 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (exp‘0) ↔ 𝑧 = 1)
54 0re 11212 . . . . . . . . . . . 12 0 ∈ ℝ
55 fveqeq2 6897 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑥 = 0 → ((exp‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘0) = 𝑧))
5655rspcev 3612 . . . . . . . . . . . 12 ((0 ∈ ℝ ∧ (exp‘0) = 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5754, 56mpan 689 . . . . . . . . . . 11 ((exp‘0) = 𝑧 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5857eqcoms 2741 . . . . . . . . . 10 (𝑧 = (exp‘0) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
5953, 58sylbir 234 . . . . . . . . 9 (𝑧 = 1 → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6059adantl 483 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+𝑧 = 1) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
61 reeff1olem 25940 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
6210, 61sylan 581 . . . . . . . 8 ((𝑧 ∈ ℝ+ ∧ 1 < 𝑧) → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
63 1re 11210 . . . . . . . . 9 1 ∈ ℝ
64 lttri4 11294 . . . . . . . . 9 ((𝑧 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
6510, 63, 64sylancl 587 . . . . . . . 8 (𝑧 ∈ ℝ+ → (𝑧 < 1 ∨ 𝑧 = 1 ∨ 1 < 𝑧))
6651, 60, 62, 65mpjao3dan 1432 . . . . . . 7 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
67 fvres 6907 . . . . . . . . 9 (𝑥 ∈ ℝ → ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = (exp‘𝑥))
6867eqeq1d 2735 . . . . . . . 8 (𝑥 ∈ ℝ → (((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ (exp‘𝑥) = 𝑧))
6968rexbiia 3093 . . . . . . 7 (∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ (exp‘𝑥) = 𝑧)
7066, 69sylibr 233 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ℝ+ → ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
71 fvelrnb 6949 . . . . . . 7 ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ → (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧))
724, 71ax-mp 5 . . . . . 6 (𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ) ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ((exp ↾ ℝ)‘𝑥) = 𝑧)
7370, 72sylibr 233 . . . . 5 (𝑧 ∈ ℝ+𝑧 ∈ ran (exp ↾ ℝ))
7473ssriv 3985 . . . 4 + ⊆ ran (exp ↾ ℝ)
756, 74eqssi 3997 . . 3 ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+
76 df-fo 6546 . . 3 ((exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ) Fn ℝ ∧ ran (exp ↾ ℝ) = ℝ+))
774, 75, 76mpbir2an 710 . 2 (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+
78 df-f1o 6547 . 2 ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+ ↔ ((exp ↾ ℝ):ℝ–1-1→ℝ+ ∧ (exp ↾ ℝ):ℝ–onto→ℝ+))
791, 77, 78mpbir2an 710 1 (exp ↾ ℝ):ℝ–1-1-onto→ℝ+
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3o 1087   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2941  wrex 3071  wss 3947   class class class wbr 5147  ran crn 5676  cres 5677   Fn wfn 6535  wf 6536  1-1wf1 6537  ontowfo 6538  1-1-ontowf1o 6539  cfv 6540  (class class class)co 7404  cc 11104  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   · cmul 11111   < clt 11244  -cneg 11441   / cdiv 11867  +crp 12970  expce 16001
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-inf2 9632  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183  ax-pre-sup 11184  ax-addf 11185  ax-mulf 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-tp 4632  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-se 5631  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-isom 6549  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-of 7665  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-supp 8142  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-1o 8461  df-2o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-pm 8819  df-ixp 8888  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-fsupp 9358  df-fi 9402  df-sup 9433  df-inf 9434  df-oi 9501  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-4 12273  df-5 12274  df-6 12275  df-7 12276  df-8 12277  df-9 12278  df-n0 12469  df-z 12555  df-dec 12674  df-uz 12819  df-q 12929  df-rp 12971  df-xneg 13088  df-xadd 13089  df-xmul 13090  df-ioo 13324  df-ico 13326  df-icc 13327  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024  df-fac 14230  df-bc 14259  df-hash 14287  df-shft 15010  df-cj 15042  df-re 15043  df-im 15044  df-sqrt 15178  df-abs 15179  df-limsup 15411  df-clim 15428  df-rlim 15429  df-sum 15629  df-ef 16007  df-struct 17076  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-ress 17170  df-plusg 17206  df-mulr 17207  df-starv 17208  df-sca 17209  df-vsca 17210  df-ip 17211  df-tset 17212  df-ple 17213  df-ds 17215  df-unif 17216  df-hom 17217  df-cco 17218  df-rest 17364  df-topn 17365  df-0g 17383  df-gsum 17384  df-topgen 17385  df-pt 17386  df-prds 17389  df-xrs 17444  df-qtop 17449  df-imas 17450  df-xps 17452  df-mre 17526  df-mrc 17527  df-acs 17529  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-mulg 18945  df-cntz 19175  df-cmn 19643  df-psmet 20921  df-xmet 20922  df-met 20923  df-bl 20924  df-mopn 20925  df-fbas 20926  df-fg 20927  df-cnfld 20930  df-top 22378  df-topon 22395  df-topsp 22417  df-bases 22431  df-cld 22505  df-ntr 22506  df-cls 22507  df-nei 22584  df-lp 22622  df-perf 22623  df-cn 22713  df-cnp 22714  df-haus 22801  df-tx 23048  df-hmeo 23241  df-fil 23332  df-fm 23424  df-flim 23425  df-flf 23426  df-xms 23808  df-ms 23809  df-tms 23810  df-cncf 24376  df-limc 25365  df-dv 25366
This theorem is referenced by:  reefiso  25942  efcvx  25943  reefgim  25944  eff1olem  26039  dfrelog  26056  relogf1o  26057  dvrelog  26127
  Copyright terms: Public domain W3C validator