Theorem sup3 11862

Description: A version of the completeness axiom for reals. (Contributed by NM, 12-Oct-2004.)

Assertion

Ref	Expression
sup3	⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝑧,𝐴

Proof of Theorem sup3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssel 3910	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → 𝑦 ∈ ℝ))
2		leloe 10992	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
3	2	expcom 413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ ℝ → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥))))
4	1, 3	syl9 77	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (𝑥 ∈ ℝ → (𝑦 ∈ 𝐴 → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))))
5	4	imp31 417	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦 ≤ 𝑥 ↔ (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
6	5	ralbidva 3119	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
7	6	rexbidva 3224	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → (∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥 ↔ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
8	7	anbi2d 628	. . . 4 ⊢ (𝐴 ⊆ ℝ → ((𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥))))
9	8	pm5.32i 574	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥))))
10		3anass 1093	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥)))
11		3anass 1093	. . 3 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ (𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥))))
12	9, 10, 11	3bitr4i 302	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) ↔ (𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)))
13		sup2 11861	. 2 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑦 < 𝑥 ∨ 𝑦 = 𝑥)) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))
14	12, 13	sylbi 216	1 ⊢ ((𝐴 ⊆ ℝ ∧ 𝐴 ≠ ∅ ∧ ∃𝑥 ∈ ℝ ∀𝑦 ∈ 𝐴 𝑦 ≤ 𝑥) → ∃𝑥 ∈ ℝ (∀𝑦 ∈ 𝐴 ¬ 𝑥 < 𝑦 ∧ ∀𝑦 ∈ ℝ (𝑦 < 𝑥 → ∃𝑧 ∈ 𝐴 𝑦 < 𝑧)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942  ∀wral 3063  ∃wrex 3064   ⊆ wss 3883  ∅c0 4253   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   < clt 10940   ≤ cle 10941

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879  ax-pre-sup 10880

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138

This theorem is referenced by:  infm3  11864  suprcl  11865  suprub  11866  suprlub  11869  sup3ii  11878  xrsupsslem  12970