Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  iscnrm3rlem6 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iscnrm3rlem6 46296
Description: Lemma for iscnrm3rlem7 46297. (Contributed by Zhi Wang, 5-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
iscnrm3rlem4.1 (𝜑𝐽 ∈ Top)
iscnrm3rlem4.2 (𝜑𝑆 𝐽)
iscnrm3rlem5.3 (𝜑𝑇 𝐽)
iscnrm3rlem6.4 (𝜑𝑂 ⊆ ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))))
Assertion
Ref Expression
iscnrm3rlem6 (𝜑 → (𝑂 ∈ (𝐽t ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇)))) ↔ 𝑂𝐽))

Proof of Theorem iscnrm3rlem6
StepHypRef Expression
1 iscnrm3rlem6.4 . 2 (𝜑𝑂 ⊆ ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))))
2 iscnrm3rlem4.1 . . 3 (𝜑𝐽 ∈ Top)
3 iscnrm3rlem4.2 . . . 4 (𝜑𝑆 𝐽)
4 iscnrm3rlem5.3 . . . 4 (𝜑𝑇 𝐽)
52, 3, 4iscnrm3rlem5 46295 . . 3 (𝜑 → ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))) ∈ 𝐽)
6 restopn2 22369 . . 3 ((𝐽 ∈ Top ∧ ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))) ∈ 𝐽) → (𝑂 ∈ (𝐽t ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇)))) ↔ (𝑂𝐽𝑂 ⊆ ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))))))
72, 5, 6syl2anc 585 . 2 (𝜑 → (𝑂 ∈ (𝐽t ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇)))) ↔ (𝑂𝐽𝑂 ⊆ ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))))))
81, 7mpbiran2d 706 1 (𝜑 → (𝑂 ∈ (𝐽t ( 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇)))) ↔ 𝑂𝐽))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  wcel 2104  cdif 3889  cin 3891  wss 3892   cuni 4844  cfv 6454  (class class class)co 7303  t crest 17172  Topctop 22083  clsccl 22210
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7616
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-int 4887  df-iun 4933  df-iin 4934  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-tr 5199  df-id 5496  df-eprel 5502  df-po 5510  df-so 5511  df-fr 5551  df-we 5553  df-xp 5602  df-rel 5603  df-cnv 5604  df-co 5605  df-dm 5606  df-rn 5607  df-res 5608  df-ima 5609  df-ord 6280  df-on 6281  df-lim 6282  df-suc 6283  df-iota 6406  df-fun 6456  df-fn 6457  df-f 6458  df-f1 6459  df-fo 6460  df-f1o 6461  df-fv 6462  df-ov 7306  df-oprab 7307  df-mpo 7308  df-om 7741  df-1st 7859  df-2nd 7860  df-en 8761  df-fin 8764  df-fi 9210  df-rest 17174  df-topgen 17195  df-top 22084  df-topon 22101  df-bases 22137  df-cld 22211  df-cls 22213
This theorem is referenced by:  iscnrm3rlem7  46297
  Copyright terms: Public domain W3C validator