Theorem iscnrm3rlem6 49408

Description: Lemma for iscnrm3rlem7 49409. (Contributed by Zhi Wang, 5-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
iscnrm3rlem4.1	⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
iscnrm3rlem4.2	⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
iscnrm3rlem5.3	⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
iscnrm3rlem6.4	⊢ (𝜑 → 𝑂 ⊆ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))))

Assertion

Ref	Expression
iscnrm3rlem6	⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ (𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇)))) ↔ 𝑂 ∈ 𝐽))

Proof of Theorem iscnrm3rlem6

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iscnrm3rlem6.4	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑂 ⊆ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))))
2		iscnrm3rlem4.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐽 ∈ Top)
3		iscnrm3rlem4.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑆 ⊆ ∪ 𝐽)
4		iscnrm3rlem5.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑇 ⊆ ∪ 𝐽)
5	2, 3, 4	iscnrm3rlem5 49407	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))) ∈ 𝐽)
6		restopn2 23130	. . 3 ⊢ ((𝐽 ∈ Top ∧ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))) ∈ 𝐽) → (𝑂 ∈ (𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇)))) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))))))
7	2, 5, 6	syl2anc 585	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ (𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇)))) ↔ (𝑂 ∈ 𝐽 ∧ 𝑂 ⊆ (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇))))))
8	1, 7	mpbiran2d 709	1 ⊢ (𝜑 → (𝑂 ∈ (𝐽 ↾t (∪ 𝐽 ∖ (((cls‘𝐽)‘𝑆) ∩ ((cls‘𝐽)‘𝑇)))) ↔ 𝑂 ∈ 𝐽))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∈ wcel 2114   ∖ cdif 3882   ∩ cin 3884   ⊆ wss 3885  ∪ cuni 4840  ‘cfv 6487  (class class class)co 7356   ↾_t crest 17372  Topctop 22846  clsccl 22971

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2184  ax-ext 2707  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3060  df-reu 3341  df-rab 3388  df-v 3429  df-sbc 3726  df-csb 3834  df-dif 3888  df-un 3890  df-in 3892  df-ss 3902  df-pss 3905  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-iin 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-ord 6315  df-on 6316  df-lim 6317  df-suc 6318  df-iota 6443  df-fun 6489  df-fn 6490  df-f 6491  df-f1 6492  df-fo 6493  df-f1o 6494  df-fv 6495  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-en 8883  df-fin 8886  df-fi 9313  df-rest 17374  df-topgen 17395  df-top 22847  df-topon 22864  df-bases 22899  df-cld 22972  df-cls 22974

This theorem is referenced by:  iscnrm3rlem7  49409