Theorem drsdirfi 18351

Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the nonemptiness constraint in df-drs 18341 first comes into play; without it we would need an additional constraint that 𝑋 not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
drsdirfi	⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦, ≤ ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Proof of Theorem drsdirfi

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
2	1	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵)))
3		raleq 3323	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
4	3	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
5	2, 4	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)))
6		sseq1 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
7	6	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵)))
8		raleq 3323	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
9	8	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
10	7, 9	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦)))
11		sseq1 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵))
12	11	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵)))
13		raleq 3323	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
14	13	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
15	12, 14	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)))
16		sseq1 4009	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑋 ⊆ 𝐵))
17	16	anbi2d 630	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵)))
18		raleq 3323	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
19	18	rexbidv 3179	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
20	17, 19	imbi12d 344	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦)))
21		drsbn0.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
22	21	drsbn0 18350	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐵 ≠ ∅)
23		ral0 4513	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦
24	23	jctr 524	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
25	24	eximi 1835	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
26		n0 4353	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
27		df-rex 3071	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
28	25, 26, 27	3imtr4i 292	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
29	22, 28	syl 17	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
30	29	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
31		ssun1 4178	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
32		sstr 3992	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
33	31, 32	mpan 690	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵)
34	33	anim2i 617	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵))
35		breq2 5147	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑎))
36	35	ralbidv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎))
37	36	cbvrexvw 3238	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)
38		simplrr 778	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)
39		drsprs 18349	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
40	39	ad5antr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝐾 ∈ Proset )
41	33	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
43	42	sselda 3983	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) → 𝑧 ∈ 𝐵)
44	43	adantr 480	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑧 ∈ 𝐵)
45		simp-4r 784	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐵)
46		simprl 771	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
47	46	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑦 ∈ 𝐵)
48		simpr 484	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑧 ≤ 𝑎)
49		simprrl 781	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑎 ≤ 𝑦)
50	49	ad2antrr 726	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝑦)
51		drsdirfi.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
52	21, 51	prstr 18345	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑦)) → 𝑧 ≤ 𝑦)
53	40, 44, 45, 47, 48, 50, 52	syl132anc 1390	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑧 ≤ 𝑦)
54	53	ex 412	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) → (𝑧 ≤ 𝑎 → 𝑧 ≤ 𝑦))
55	54	ralimdva 3167	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎 → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
56	55	adantlrr 721	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎 → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
57	38, 56	mpd 15	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦)
58		simprrr 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑦)
59		vex 3484	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
60		breq1 5146	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑐 ≤ 𝑦))
61	59, 60	ralsn 4681	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑐 ≤ 𝑦)
62	58, 61	sylibr 234	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 ≤ 𝑦)
63		ralun 4198	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)
64	57, 62, 63	syl2anc 584	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)
65		simpll 767	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → 𝐾 ∈ Dirset)
66		simprl 771	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
67		ssun2 4179	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68		sstr 3992	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → {𝑐} ⊆ 𝐵)
69	67, 68	mpan 690	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → {𝑐} ⊆ 𝐵)
70	59	snss 4785	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐵)
71	69, 70	sylibr 234	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐵)
72	71	ad2antlr 727	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
73	21, 51	drsdir 18348	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))
74	65, 66, 72, 73	syl3anc 1373	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))
75	64, 74	reximddv 3171	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)
76	75	rexlimdvaa 3156	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
77	37, 76	biimtrid 242	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
78	34, 77	embantd 59	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
79	78	com12 32	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)))
81	5, 10, 15, 20, 30, 80	findcard2 9204	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
82	81	com12 32	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ Fin → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
83	82	3impia 1118	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540  ∃wex 1779   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940  ∀wral 3061  ∃wrex 3070   ∪ cun 3949   ⊆ wss 3951  ∅c0 4333  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Fincfn 8985  Basecbs 17247  lecple 17304   Proset cproset 18338  Dirsetcdrs 18339

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-om 7888  df-en 8986  df-fin 8989  df-proset 18340  df-drs 18341

This theorem is referenced by:  isdrs2  18352  ipodrsfi  18584