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Theorem drsdirfi 18194
Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the nonemptiness constraint in df-drs 18185 first comes into play; without it we would need an additional constraint that 𝑋 not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
drsbn0.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
drsdirfi ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
Distinct variable groups:   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦, ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Proof of Theorem drsdirfi
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3969 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (𝑎𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
21anbi2d 629 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵)))
3 raleq 3309 . . . . . 6 (𝑎 = ∅ → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
43rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑎 = ∅ → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
52, 4imbi12d 344 . . . 4 (𝑎 = ∅ → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)))
6 sseq1 3969 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (𝑎𝐵𝑏𝐵))
76anbi2d 629 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵)))
8 raleq 3309 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑏 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
98rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑎 = 𝑏 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
107, 9imbi12d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑏 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦)))
11 sseq1 3969 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎𝐵 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵))
1211anbi2d 629 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵)))
13 raleq 3309 . . . . . 6 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1413rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
1512, 14imbi12d 344 . . . 4 (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
16 sseq1 3969 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (𝑎𝐵𝑋𝐵))
1716anbi2d 629 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵)))
18 raleq 3309 . . . . . 6 (𝑎 = 𝑋 → (∀𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
1918rexbidv 3175 . . . . 5 (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
2017, 19imbi12d 344 . . . 4 (𝑎 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑎 𝑧 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)))
21 drsbn0.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
2221drsbn0 18193 . . . . . 6 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐵 ≠ ∅)
23 ral0 4470 . . . . . . . . 9 𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦
2423jctr 525 . . . . . . . 8 (𝑦𝐵 → (𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2524eximi 1837 . . . . . . 7 (∃𝑦 𝑦𝐵 → ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
26 n0 4306 . . . . . . 7 (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦𝐵)
27 df-rex 3074 . . . . . . 7 (∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦))
2825, 26, 273imtr4i 291 . . . . . 6 (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
2922, 28syl 17 . . . . 5 (𝐾 ∈ Dirset → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
3029adantr 481 . . . 4 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ ∅ 𝑧 𝑦)
31 ssun1 4132 . . . . . . . . 9 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
32 sstr 3952 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → 𝑏𝐵)
3331, 32mpan 688 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑏𝐵)
3433anim2i 617 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵))
35 breq2 5109 . . . . . . . . . 10 (𝑦 = 𝑎 → (𝑧 𝑦𝑧 𝑎))
3635ralbidv 3174 . . . . . . . . 9 (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎))
3736cbvrexvw 3226 . . . . . . . 8 (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ↔ ∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
38 simplrr 776 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)
39 drsprs 18192 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
4039ad5antr 732 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝐾 ∈ Proset )
4133ad2antlr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) → 𝑏𝐵)
4241adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑏𝐵)
4342sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → 𝑧𝐵)
4443adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧𝐵)
45 simp-4r 782 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎𝐵)
46 simprl 769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑦𝐵)
4746ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑦𝐵)
48 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑎)
49 simprrl 779 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑎 𝑦)
5049ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑎 𝑦)
51 drsdirfi.l . . . . . . . . . . . . . . . . 17 = (le‘𝐾)
5221, 51prstr 18189 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((𝐾 ∈ Proset ∧ (𝑧𝐵𝑎𝐵𝑦𝐵) ∧ (𝑧 𝑎𝑎 𝑦)) → 𝑧 𝑦)
5340, 44, 45, 47, 48, 50, 52syl132anc 1388 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) ∧ 𝑧 𝑎) → 𝑧 𝑦)
5453ex 413 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) ∧ 𝑧𝑏) → (𝑧 𝑎𝑧 𝑦))
5554ralimdva 3164 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎𝐵) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5655adantlrr 719 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → (∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦))
5738, 56mpd 15 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦)
58 simprrr 780 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → 𝑐 𝑦)
59 vex 3449 . . . . . . . . . . . . 13 𝑐 ∈ V
60 breq1 5108 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑧 = 𝑐 → (𝑧 𝑦𝑐 𝑦))
6159, 60ralsn 4642 . . . . . . . . . . . 12 (∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦𝑐 𝑦)
6258, 61sylibr 233 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦)
63 ralun 4152 . . . . . . . . . . 11 ((∀𝑧𝑏 𝑧 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 𝑦) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
6457, 62, 63syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) ∧ (𝑦𝐵 ∧ (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
65 simpll 765 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝐾 ∈ Dirset)
66 simprl 769 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑎𝐵)
67 ssun2 4133 . . . . . . . . . . . . . 14 {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68 sstr 3952 . . . . . . . . . . . . . 14 (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → {𝑐} ⊆ 𝐵)
6967, 68mpan 688 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → {𝑐} ⊆ 𝐵)
7059snss 4746 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑐𝐵 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐵)
7169, 70sylibr 233 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵𝑐𝐵)
7271ad2antlr 725 . . . . . . . . . . 11 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → 𝑐𝐵)
7321, 51drsdir 18191 . . . . . . . . . . 11 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎𝐵𝑐𝐵) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7465, 66, 72, 73syl3anc 1371 . . . . . . . . . 10 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵 (𝑎 𝑦𝑐 𝑦))
7564, 74reximddv 3168 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎𝐵 ∧ ∀𝑧𝑏 𝑧 𝑎)) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)
7675rexlimdvaa 3153 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑎𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑎 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7737, 76biimtrid 241 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦 → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7834, 77embantd 59 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
7978com12 32 . . . . 5 (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦))
8079a1i 11 . . . 4 (𝑏 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑏 𝑧 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 𝑦)))
815, 10, 15, 20, 30, 80findcard2 9108 . . 3 (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
8281com12 32 . 2 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋 ∈ Fin → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦))
83823impia 1117 1 ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋𝐵𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦𝐵𝑧𝑋 𝑧 𝑦)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  wrex 3073  cun 3908  wss 3910  c0 4282  {csn 4586   class class class wbr 5105  cfv 6496  Fincfn 8883  Basecbs 17083  lecple 17140   Proset cproset 18182  Dirsetcdrs 18183
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pr 5384  ax-un 7672
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-op 4593  df-uni 4866  df-br 5106  df-opab 5168  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-om 7803  df-en 8884  df-fin 8887  df-proset 18184  df-drs 18185
This theorem is referenced by:  isdrs2  18195  ipodrsfi  18428
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