Theorem drsdirfi 18484

Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the nonemptiness constraint in df-drs 18474 first comes into play; without it we would need an additional constraint that 𝑋 not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
drsdirfi	⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦, ≤ ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Proof of Theorem drsdirfi

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
2	1	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵)))
3		raleq 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
4	3	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
5	2, 4	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)))
6		sseq1 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
7	6	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵)))
8		raleq 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
9	8	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
10	7, 9	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦)))
11		sseq1 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵))
12	11	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵)))
13		raleq 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
14	13	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
15	12, 14	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)))
16		sseq1 3933	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑋 ⊆ 𝐵))
17	16	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵)))
18		raleq 3316	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
19	18	rexbidv 3186	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
20	17, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦)))
21		drsbn0.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
22	21	drsbn0 18483	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐵 ≠ ∅)
23		ral0 4453	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦
24	23	jctr 534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
25	24	eximi 1867	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
26		n0 4299	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
27		df-rex 3087	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
28	25, 26, 27	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
29	22, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
31		ssun1 4176	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
32		sstr 3916	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
33	31, 32	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵)
34	33	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵))
35		breq2 5106	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑎))
36	35	ralbidv 3185	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎))
37	36	cbvrexvw 3241	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)
38		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)
39		drsprs 18482	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
40	39	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝐾 ∈ Proset )
41	33	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
43	42	sselda 3908	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) → 𝑧 ∈ 𝐵)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑧 ∈ 𝐵)
45		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐵)
46		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑦 ∈ 𝐵)
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑧 ≤ 𝑎)
49		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑎 ≤ 𝑦)
50	49	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝑦)
51		drsdirfi.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
52	21, 51	prstr 18478	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑦)) → 𝑧 ≤ 𝑦)
53	40, 44, 45, 47, 48, 50, 52	syl132anc 1415	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑧 ≤ 𝑦)
54	53	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) → (𝑧 ≤ 𝑎 → 𝑧 ≤ 𝑦))
55	54	ralimdva 3174	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎 → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
56	55	adantlrr 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎 → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
57	38, 56	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦)
58		simprrr 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑦)
59		vex 3454	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
60		breq1 5105	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑐 ≤ 𝑦))
61	59, 60	ralsn 4638	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑐 ≤ 𝑦)
62	58, 61	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 ≤ 𝑦)
63		ralun 4196	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)
64	57, 62, 63	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)
65		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → 𝐾 ∈ Dirset)
66		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
67		ssun2 4177	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68		sstr 3916	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → {𝑐} ⊆ 𝐵)
69	67, 68	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → {𝑐} ⊆ 𝐵)
70	59	snss 4741	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐵)
71	69, 70	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐵)
72	71	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
73	21, 51	drsdir 18481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))
74	65, 66, 72, 73	syl3anc 1398	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))
75	64, 74	reximddv 3178	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)
76	75	rexlimdvaa 3164	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
77	37, 76	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
78	34, 77	embantd 60	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
79	78	com12 33	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)))
81	5, 10, 15, 20, 30, 80	findcard2 9183	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
82	81	com12 33	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ Fin → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
83	82	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ∃wex 1811   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955  ∀wral 3076  ∃wrex 3086   ⊆ wss 3895   ∪ cun 4149  ∅c0 4278  {csn 4584   class class class wbr 5102  ‘cfv 6538  Fincfn 8976  Basecbs 17392  lecple 17440   Proset cproset 18471  Dirsetcdrs 18472

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pr 5390  ax-un 7751

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-om 7878  df-en 8977  df-fin 8980  df-proset 18473  df-drs 18474

This theorem is used by:  isdrs2  18485  ipodrsfi  18718