Theorem drsdirfi 18508

Description: Any finite number of elements in a directed set have a common upper bound. Here is where the nonemptiness constraint in df-drs 18498 first comes into play; without it we would need an additional constraint that 𝑋 not be empty. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
drsbn0.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
drsdirfi.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
drsdirfi	⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦)

Distinct variable groups:   𝑦,𝐾,𝑧   𝑦,𝐵,𝑧   𝑦, ≤ ,𝑧   𝑦,𝑋,𝑧

Proof of Theorem drsdirfi

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sseq1 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ ∅ ⊆ 𝐵))
2	1	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵)))
3		raleq 3320	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
4	3	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = ∅ → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
5	2, 4	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑎 = ∅ → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)))
6		sseq1 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑏 ⊆ 𝐵))
7	6	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵)))
8		raleq 3320	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
9	8	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
10	7, 9	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑏 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦)))
11		sseq1 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵))
12	11	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵)))
13		raleq 3320	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
14	13	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
15	12, 14	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑎 = (𝑏 ∪ {𝑐}) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)))
16		sseq1 3938	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (𝑎 ⊆ 𝐵 ↔ 𝑋 ⊆ 𝐵))
17	16	anbi2d 642	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) ↔ (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵)))
18		raleq 3320	. . . . . 6 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
19	18	rexbidv 3190	. . . . 5 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
20	17, 19	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝑎 = 𝑋 → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑎 𝑧 ≤ 𝑦) ↔ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦)))
21		drsbn0.b	. . . . . . 7 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
22	21	drsbn0 18507	. . . . . 6 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐵 ≠ ∅)
23		ral0 4457	. . . . . . . . 9 ⊢ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦
24	23	jctr 534	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ 𝐵 → (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
25	24	eximi 1868	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵 → ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
26		n0 4303	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ ↔ ∃𝑦 𝑦 ∈ 𝐵)
27		df-rex 3091	. . . . . . 7 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑦(𝑦 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦))
28	25, 26, 27	3imtr4i 295	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ≠ ∅ → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
29	22, 28	syl 18	. . . . 5 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
30	29	adantr 486	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ ∅ ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ ∅ 𝑧 ≤ 𝑦)
31		ssun1 4179	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
32		sstr 3921	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑏 ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
33	31, 32	mpan 703	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → 𝑏 ⊆ 𝐵)
34	33	anim2i 629	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵))
35		breq2 5110	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑧 ≤ 𝑎))
36	35	ralbidv 3189	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦 = 𝑎 → (∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎))
37	36	cbvrexvw 3245	. . . . . . . 8 ⊢ (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 ↔ ∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)
38		simplrr 790	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)
39		drsprs 18506	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝐾 ∈ Dirset → 𝐾 ∈ Proset )
40	39	ad5antr 747	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝐾 ∈ Proset )
41	33	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
42	41	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑏 ⊆ 𝐵)
43	42	sselda 3913	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) → 𝑧 ∈ 𝐵)
44	43	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑧 ∈ 𝐵)
45		simp-4r 796	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑎 ∈ 𝐵)
46		simprl 783	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑦 ∈ 𝐵)
47	46	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑦 ∈ 𝐵)
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑧 ≤ 𝑎)
49		simprrl 793	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑎 ≤ 𝑦)
50	49	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑎 ≤ 𝑦)
51		drsdirfi.l	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
52	21, 51	prstr 18502	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝐾 ∈ Proset ∧ (𝑧 ∈ 𝐵 ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) ∧ (𝑧 ≤ 𝑎 ∧ 𝑎 ≤ 𝑦)) → 𝑧 ≤ 𝑦)
53	40, 44, 45, 47, 48, 50, 52	syl132anc 1416	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) ∧ 𝑧 ≤ 𝑎) → 𝑧 ≤ 𝑦)
54	53	ex 418	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) ∧ 𝑧 ∈ 𝑏) → (𝑧 ≤ 𝑎 → 𝑧 ≤ 𝑦))
55	54	ralimdva 3178	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ 𝑎 ∈ 𝐵) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎 → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
56	55	adantlrr 734	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → (∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎 → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦))
57	38, 56	mpd 16	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦)
58		simprrr 794	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → 𝑐 ≤ 𝑦)
59		vex 3458	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑐 ∈ V
60		breq1 5109	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑧 = 𝑐 → (𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑐 ≤ 𝑦))
61	59, 60	ralsn 4642	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 ≤ 𝑦 ↔ 𝑐 ≤ 𝑦)
62	58, 61	sylibr 237	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 ≤ 𝑦)
63		ralun 4199	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 ∧ ∀𝑧 ∈ {𝑐}𝑧 ≤ 𝑦) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)
64	57, 62, 63	syl2anc 596	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) ∧ (𝑦 ∈ 𝐵 ∧ (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))) → ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)
65		simpll 779	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → 𝐾 ∈ Dirset)
66		simprl 783	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → 𝑎 ∈ 𝐵)
67		ssun2 4180	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ {𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐})
68		sstr 3921	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (({𝑐} ⊆ (𝑏 ∪ {𝑐}) ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → {𝑐} ⊆ 𝐵)
69	67, 68	mpan 703	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → {𝑐} ⊆ 𝐵)
70	59	snss 4745	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ 𝐵 ↔ {𝑐} ⊆ 𝐵)
71	69, 70	sylibr 237	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵 → 𝑐 ∈ 𝐵)
72	71	ad2antlr 740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → 𝑐 ∈ 𝐵)
73	21, 51	drsdir 18505	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑎 ∈ 𝐵 ∧ 𝑐 ∈ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))
74	65, 66, 72, 73	syl3anc 1399	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 (𝑎 ≤ 𝑦 ∧ 𝑐 ≤ 𝑦))
75	64, 74	reximddv 3182	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) ∧ (𝑎 ∈ 𝐵 ∧ ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎)) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)
76	75	rexlimdvaa 3168	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑎 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑎 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
77	37, 76	biimtrid 245	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦 → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
78	34, 77	embantd 60	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
79	78	com12 33	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦))
80	79	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝑏 ∈ Fin → (((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑏 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑏 𝑧 ≤ 𝑦) → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ (𝑏 ∪ {𝑐}) ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ (𝑏 ∪ {𝑐})𝑧 ≤ 𝑦)))
81	5, 10, 15, 20, 30, 80	findcard2 9208	. . 3 ⊢ (𝑋 ∈ Fin → ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
82	81	com12 33	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵) → (𝑋 ∈ Fin → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦))
83	82	3impia 1135	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Dirset ∧ 𝑋 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ Fin) → ∃𝑦 ∈ 𝐵 ∀𝑧 ∈ 𝑋 𝑧 ≤ 𝑦)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959  ∀wral 3080  ∃wrex 3090   ⊆ wss 3900   ∪ cun 4152  ∅c0 4281  {csn 4588   class class class wbr 5106  ‘cfv 6558  Fincfn 9001  Basecbs 17416  lecple 17464   Proset cproset 18495  Dirsetcdrs 18496

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pr 5395  ax-un 7775

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5171  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-ord 6383  df-on 6384  df-lim 6385  df-suc 6386  df-iota 6512  df-fun 6560  df-fn 6561  df-f 6562  df-f1 6563  df-fo 6564  df-f1o 6565  df-fv 6566  df-om 7902  df-en 9002  df-fin 9005  df-proset 18497  df-drs 18498

This theorem is used by:  isdrs2  18509  ipodrsfi  18742