MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubm2 18761
Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm2.b 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
issubm2.z 0 = (0gβ€˜π‘€)
issubm2.h 𝐻 = (𝑀 β†Ύs 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issubm2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))

Proof of Theorem issubm2
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubm2.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π‘€)
2 issubm2.z . . 3 0 = (0gβ€˜π‘€)
3 eqid 2727 . . 3 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
41, 2, 3issubm 18760 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆)))
5 issubm2.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑀 β†Ύs 𝑆)
61, 3, 2, 5issubmnd 18726 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (𝐻 ∈ Mnd ↔ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
76bicomd 222 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mnd))
873expb 1117 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆)) β†’ (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mnd))
98pm5.32da 577 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
10 df-3an 1086 . . 3 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆))
11 df-3an 1086 . . 3 ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ↔ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd))
129, 10, 113bitr4g 313 . 2 (𝑀 ∈ Mnd β†’ ((𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑆 βˆ€π‘¦ ∈ 𝑆 (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
134, 12bitrd 278 1 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (𝑆 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057   βŠ† wss 3947  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  Basecbs 17185   β†Ύs cress 17214  +gcplusg 17238  0gc0g 17426  Mndcmnd 18699  SubMndcsubmnd 18744
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4911  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-er 8729  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-nn 12249  df-2 12311  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746
This theorem is referenced by:  issubmndb  18762  submss  18766  submid  18767  subm0cl  18768  submmnd  18770  subsubm  18773  idresefmnd  18856  cycsubmcmn  19849  unitsubm  20330  subrgsubm  20529  primrootscoprmpow  41574
  Copyright terms: Public domain W3C validator