MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  issubm2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem issubm2 17734
Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
issubm2.b 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubm2.z 0 = (0g𝑀)
issubm2.h 𝐻 = (𝑀s 𝑆)
Assertion
Ref Expression
issubm2 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵0𝑆𝐻 ∈ Mnd)))

Proof of Theorem issubm2
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 issubm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑀)
2 issubm2.z . . 3 0 = (0g𝑀)
3 eqid 2778 . . 3 (+g𝑀) = (+g𝑀)
41, 2, 3issubm 17733 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵0𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
5 issubm2.h . . . . . . 7 𝐻 = (𝑀s 𝑆)
61, 3, 2, 5issubmnd 17704 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
76bicomd 215 . . . . 5 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆𝐵0𝑆) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆𝐻 ∈ Mnd))
873expb 1110 . . . 4 ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆𝐵0𝑆)) → (∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆𝐻 ∈ Mnd))
98pm5.32da 574 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (((𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
10 df-3an 1073 . . 3 ((𝑆𝐵0𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆𝐵0𝑆) ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
11 df-3an 1073 . . 3 ((𝑆𝐵0𝑆𝐻 ∈ Mnd) ↔ ((𝑆𝐵0𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd))
129, 10, 113bitr4g 306 . 2 (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑆𝐵0𝑆 ∧ ∀𝑥𝑆𝑦𝑆 (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆𝐵0𝑆𝐻 ∈ Mnd)))
134, 12bitrd 271 1 (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆𝐵0𝑆𝐻 ∈ Mnd)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107  wral 3090  wss 3792  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  s cress 16256  +gcplusg 16338  0gc0g 16486  Mndcmnd 17680  SubMndcsubmnd 17720
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226  ax-cnex 10328  ax-resscn 10329  ax-1cn 10330  ax-icn 10331  ax-addcl 10332  ax-addrcl 10333  ax-mulcl 10334  ax-mulrcl 10335  ax-mulcom 10336  ax-addass 10337  ax-mulass 10338  ax-distr 10339  ax-i2m1 10340  ax-1ne0 10341  ax-1rid 10342  ax-rnegex 10343  ax-rrecex 10344  ax-cnre 10345  ax-pre-lttri 10346  ax-pre-lttrn 10347  ax-pre-ltadd 10348  ax-pre-mulgt0 10349
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3or 1072  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-nel 3076  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rmo 3098  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-pss 3808  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-tp 4403  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-tr 4988  df-id 5261  df-eprel 5266  df-po 5274  df-so 5275  df-fr 5314  df-we 5316  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-pred 5933  df-ord 5979  df-on 5980  df-lim 5981  df-suc 5982  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-mpt2 6927  df-om 7344  df-wrecs 7689  df-recs 7751  df-rdg 7789  df-er 8026  df-en 8242  df-dom 8243  df-sdom 8244  df-pnf 10413  df-mnf 10414  df-xr 10415  df-ltxr 10416  df-le 10417  df-sub 10608  df-neg 10609  df-nn 11375  df-2 11438  df-ndx 16258  df-slot 16259  df-base 16261  df-sets 16262  df-ress 16263  df-plusg 16351  df-0g 16488  df-mgm 17628  df-sgrp 17670  df-mnd 17681  df-submnd 17722
This theorem is referenced by:  submss  17736  submid  17737  subm0cl  17738  submmnd  17740  subsubm  17743  unitsubm  19057  subrgsubm  19185
  Copyright terms: Public domain W3C validator