Theorem issubm2 18838

Description: Submonoids are subsets that are also monoids with the same zero. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
issubm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
issubm2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑀)
issubm2.h	⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)

Assertion

Ref	Expression
issubm2	⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))

Proof of Theorem issubm2

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		issubm2.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑀)
2		issubm2.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑀)
3		eqid 2762	. . 3 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
4	1, 2, 3	issubm 18837	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆)))
5		issubm2.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (𝑀 ↾s 𝑆)
6	1, 3, 2, 5	issubmnd 18795	. . . . . 6 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (𝐻 ∈ Mnd ↔ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
7	6	bicomd 225	. . . . 5 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mnd))
8	7	3expb 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆)) → (∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆 ↔ 𝐻 ∈ Mnd))
9	8	pm5.32da 587	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
10		df-3an 1100	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆))
11		df-3an 1100	. . 3 ⊢ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd) ↔ ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆) ∧ 𝐻 ∈ Mnd))
12	9, 10, 11	3bitr4g 316	. 2 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → ((𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))
13	4, 12	bitrd 281	1 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 0 ∈ 𝑆 ∧ 𝐻 ∈ Mnd)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 399   ∧ w3a 1098   = wceq 1560   ∈ wcel 2142  ∀wral 3076   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6521  (class class class)co 7396  Basecbs 17245   ↾_s cress 17266  +_gcplusg 17286  0_gc0g 17468  Mndcmnd 18768  SubMndcsubmnd 18816

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-cnex 11129  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-mulcom 11137  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149  ax-pre-mulgt0 11150

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-xr 11220  df-ltxr 11221  df-le 11222  df-sub 11416  df-neg 11417  df-nn 12211  df-2 12280  df-sets 17200  df-slot 17218  df-ndx 17230  df-base 17246  df-ress 17267  df-plusg 17299  df-0g 17470  df-mgm 18674  df-sgrp 18753  df-mnd 18769  df-submnd 18818

This theorem is referenced by:  issubmndb  18839  submss  18843  submid  18844  subm0cl  18845  submmnd  18847  subsubm  18850  idresefmnd  18933  cycsubmcmn  19929  unitsubm  20435  subrgsubm  20635  primrootscoprmpow  42716