Theorem efsubm 26516

Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number is a submonoid of the multiplicative group of ℂ_fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
efabl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))

Assertion

Ref	Expression
efsubm	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efsubm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 16004	. . . . . 6 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
3		efabl.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		efabl.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6		cnfldbas 21313	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	6	subgss 19057	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
9	8	sselda 3933	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	4, 9	mulcld 11152	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
11	2, 10	ffvelcdmd 7030	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
12	11	ralrimiva 3128	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
13		efabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
14	13	rnmptss 7068	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
16	3	mul01d 11332	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
17	16	fveq2d 6838	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
18		ef0 16014	. . . 4 ⊢ (exp‘0) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = 1)
20		cnfld0 21347	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
21	20	subg0cl 19064	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑋)
22	5, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
23		fvex 6847	. . . 4 ⊢ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V
24		oveq2 7366	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 0))
25	24	fveq2d 6838	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
26	13, 25	elrnmpt1s 5908	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ 𝑋 ∧ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V) → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
27	22, 23, 26	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
28	19, 27	eqeltrrd 2837	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ran 𝐹)
29		efabl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
30	13, 29, 3, 5	efabl 26515	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
31		ablgrp 19714	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
33	32	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐺 ∈ Grp)
34		simp2 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
35		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
36	35, 6	mgpbas 20080	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
37	29, 36	ressbas2 17165	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
39	38	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
40	34, 39	eleqtrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
41		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
42	41, 39	eleqtrd 2838	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
43		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	43, 44	grpcl 18871	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46	33, 40, 42, 45	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
47	5	mptexd 7170	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
48	13, 47	eqeltrid 2840	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
49		rnexg 7844	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
50		cnfldmul 21317	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
51	35, 50	mgpplusg 20079	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
52	29, 51	ressplusg 17211	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g‘𝐺))
53	48, 49, 52	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘𝐺))
54	53	3ad2ant1 1133	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → · = (+g‘𝐺))
55	54	oveqd 7375	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
56	46, 55, 39	3eltr4d 2851	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
57	56	3expb 1120	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
58	57	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
59		cnring 21345	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
60	35	ringmgp 20174	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
61		cnfld1 21348	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
62	35, 61	ringidval 20118	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
63	36, 62, 51	issubm 18728	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)))
64	59, 60, 63	mp2b 10	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹))
65	15, 28, 58, 64	syl3anbrc 1344	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440   ⊆ wss 3901   ↦ cmpt 5179  ran crn 5625  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  ℂcc 11024  0cc0 11026  1c1 11027   · cmul 11031  expce 15984  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  +_gcplusg 17177  Mndcmnd 18659  SubMndcsubmnd 18707  Grpcgrp 18863  SubGrpcsubg 19050  Abelcabl 19710  mulGrpcmgp 20075  Ringcrg 20168  ℂ_fldccnfld 21309

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-inf2 9550  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103  ax-pre-sup 11104  ax-addf 11105  ax-mulf 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-isom 6501  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-1o 8397  df-er 8635  df-pm 8766  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-sup 9345  df-inf 9346  df-oi 9415  df-card 9851  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-div 11795  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-9 12215  df-n0 12402  df-z 12489  df-dec 12608  df-uz 12752  df-rp 12906  df-ico 13267  df-fz 13424  df-fzo 13571  df-fl 13712  df-seq 13925  df-exp 13985  df-fac 14197  df-bc 14226  df-hash 14254  df-shft 14990  df-cj 15022  df-re 15023  df-im 15024  df-sqrt 15158  df-abs 15159  df-limsup 15394  df-clim 15411  df-rlim 15412  df-sum 15610  df-ef 15990  df-struct 17074  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-starv 17192  df-tset 17196  df-ple 17197  df-ds 17199  df-unif 17200  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-submnd 18709  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-subg 19053  df-cmn 19711  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-ur 20117  df-ring 20170  df-cring 20171  df-cnfld 21310

This theorem is referenced by:  circsubm  26518