Theorem efsubm 26400

Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number is a submonoid of the multiplicative group of ℂ_fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
efabl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))

Assertion

Ref	Expression
efsubm	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efsubm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 16032	. . . . . 6 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
3		efabl.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		efabl.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6		cnfldbas 21237	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	6	subgss 19050	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
9	8	sselda 3982	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	4, 9	mulcld 11241	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
11	2, 10	ffvelcdmd 7087	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
12	11	ralrimiva 3145	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
13		efabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
14	13	rnmptss 7124	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
16	3	mul01d 11420	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
17	16	fveq2d 6895	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
18		ef0 16041	. . . 4 ⊢ (exp‘0) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = 1)
20		cnfld0 21258	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
21	20	subg0cl 19057	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑋)
22	5, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
23		fvex 6904	. . . 4 ⊢ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V
24		oveq2 7420	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 0))
25	24	fveq2d 6895	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
26	13, 25	elrnmpt1s 5956	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ 𝑋 ∧ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V) → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
27	22, 23, 26	sylancl 585	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
28	19, 27	eqeltrrd 2833	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ran 𝐹)
29		efabl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
30	13, 29, 3, 5	efabl 26399	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
31		ablgrp 19701	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
33	32	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐺 ∈ Grp)
34		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
35		eqid 2731	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
36	35, 6	mgpbas 20041	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
37	29, 36	ressbas2 17189	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
39	38	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
40	34, 39	eleqtrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
41		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
42	41, 39	eleqtrd 2834	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
43		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44		eqid 2731	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	43, 44	grpcl 18869	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46	33, 40, 42, 45	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
47	5	mptexd 7228	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
48	13, 47	eqeltrid 2836	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
49		rnexg 7899	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
50		cnfldmul 21239	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
51	35, 50	mgpplusg 20039	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
52	29, 51	ressplusg 17242	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g‘𝐺))
53	48, 49, 52	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘𝐺))
54	53	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → · = (+g‘𝐺))
55	54	oveqd 7429	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
56	46, 55, 39	3eltr4d 2847	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
57	56	3expb 1119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
58	57	ralrimivva 3199	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
59		cnring 21256	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
60	35	ringmgp 20140	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
61		cnfld1 21259	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
62	35, 61	ringidval 20084	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
63	36, 62, 51	issubm 18726	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)))
64	59, 60, 63	mp2b 10	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹))
65	15, 28, 58, 64	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3060  Vcvv 3473   ⊆ wss 3948   ↦ cmpt 5231  ran crn 5677  ⟶wf 6539  ‘cfv 6543  (class class class)co 7412  ℂcc 11114  0cc0 11116  1c1 11117   · cmul 11121  expce 16012  Basecbs 17151   ↾_s cress 17180  +_gcplusg 17204  Mndcmnd 18665  SubMndcsubmnd 18710  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19043  Abelcabl 19697  mulGrpcmgp 20035  Ringcrg 20134  ℂ_fldccnfld 21233

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-inf2 9642  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-1cn 11174  ax-icn 11175  ax-addcl 11176  ax-addrcl 11177  ax-mulcl 11178  ax-mulrcl 11179  ax-mulcom 11180  ax-addass 11181  ax-mulass 11182  ax-distr 11183  ax-i2m1 11184  ax-1ne0 11185  ax-1rid 11186  ax-rnegex 11187  ax-rrecex 11188  ax-cnre 11189  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191  ax-pre-ltadd 11192  ax-pre-mulgt0 11193  ax-pre-sup 11194  ax-addf 11195  ax-mulf 11196

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-se 5632  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7860  df-1st 7979  df-2nd 7980  df-frecs 8272  df-wrecs 8303  df-recs 8377  df-rdg 8416  df-1o 8472  df-er 8709  df-pm 8829  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-fin 8949  df-sup 9443  df-inf 9444  df-oi 9511  df-card 9940  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261  df-sub 11453  df-neg 11454  df-div 11879  df-nn 12220  df-2 12282  df-3 12283  df-4 12284  df-5 12285  df-6 12286  df-7 12287  df-8 12288  df-9 12289  df-n0 12480  df-z 12566  df-dec 12685  df-uz 12830  df-rp 12982  df-ico 13337  df-fz 13492  df-fzo 13635  df-fl 13764  df-seq 13974  df-exp 14035  df-fac 14241  df-bc 14270  df-hash 14298  df-shft 15021  df-cj 15053  df-re 15054  df-im 15055  df-sqrt 15189  df-abs 15190  df-limsup 15422  df-clim 15439  df-rlim 15440  df-sum 15640  df-ef 16018  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19046  df-cmn 19698  df-abl 19699  df-mgp 20036  df-ur 20083  df-ring 20136  df-cring 20137  df-cnfld 21234

This theorem is referenced by:  circsubm  26402