MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efsubm 26503
Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number is a submonoid of the multiplicative group of β„‚fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
efabl.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
efabl.2 𝐺 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs ran 𝐹)
efabl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
efabl.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
Assertion
Ref Expression
efsubm (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem efsubm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 16063 . . . . . 6 exp:β„‚βŸΆβ„‚
21a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
3 efabl.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
43adantr 479 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5 efabl.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
6 cnfldbas 21288 . . . . . . . . 9 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
76subgss 19087 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
98sselda 3980 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
104, 9mulcld 11270 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
112, 10ffvelcdmd 7098 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
1211ralrimiva 3142 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
13 efabl.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
1413rnmptss 7136 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
1512, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
163mul01d 11449 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 0) = 0)
1716fveq2d 6904 . . . 4 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) = (expβ€˜0))
18 ef0 16073 . . . 4 (expβ€˜0) = 1
1917, 18eqtrdi 2783 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) = 1)
20 cnfld0 21325 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
2120subg0cl 19094 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 ∈ 𝑋)
225, 21syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑋)
23 fvex 6913 . . . 4 (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) ∈ V
24 oveq2 7432 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· 0))
2524fveq2d 6904 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = (expβ€˜(𝐴 Β· 0)))
2613, 25elrnmpt1s 5961 . . . 4 ((0 ∈ 𝑋 ∧ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) ∈ V) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) ∈ ran 𝐹)
2722, 23, 26sylancl 584 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) ∈ ran 𝐹)
2819, 27eqeltrrd 2829 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ran 𝐹)
29 efabl.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs ran 𝐹)
3013, 29, 3, 5efabl 26502 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
31 ablgrp 19745 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
33323ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
34 simp2 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
35 eqid 2727 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
3635, 6mgpbas 20085 . . . . . . . . . 10 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3729, 36ressbas2 17223 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 βŠ† β„‚ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜πΊ))
3815, 37syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜πΊ))
39383ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜πΊ))
4034, 39eleqtrd 2830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
41 simp3 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
4241, 39eleqtrd 2830 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
43 eqid 2727 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
44 eqid 2727 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4543, 44grpcl 18903 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4633, 40, 42, 45syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
475mptexd 7240 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V)
4813, 47eqeltrid 2832 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
49 rnexg 7914 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ran 𝐹 ∈ V)
50 cnfldmul 21292 . . . . . . . . . 10 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
5135, 50mgpplusg 20083 . . . . . . . . 9 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
5229, 51ressplusg 17276 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜πΊ))
5348, 49, 523syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β· = (+gβ€˜πΊ))
54533ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ Β· = (+gβ€˜πΊ))
5554oveqd 7441 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
5646, 55, 393eltr4d 2843 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹)
57563expb 1117 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹)
5857ralrimivva 3196 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹)
59 cnring 21323 . . 3 β„‚fld ∈ Ring
6035ringmgp 20184 . . 3 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
61 cnfld1 21326 . . . . 5 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
6235, 61ringidval 20128 . . . 4 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
6336, 62, 51issubm 18760 . . 3 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd β†’ (ran 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (ran 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹)))
6459, 60, 63mp2b 10 . 2 (ran 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (ran 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹))
6515, 28, 58, 64syl3anbrc 1340 1 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3057  Vcvv 3471   βŠ† wss 3947   ↦ cmpt 5233  ran crn 5681  βŸΆwf 6547  β€˜cfv 6551  (class class class)co 7424  β„‚cc 11142  0cc0 11144  1c1 11145   Β· cmul 11149  expce 16043  Basecbs 17185   β†Ύs cress 17214  +gcplusg 17238  Mndcmnd 18699  SubMndcsubmnd 18744  Grpcgrp 18895  SubGrpcsubg 19080  Abelcabl 19741  mulGrpcmgp 20079  Ringcrg 20178  β„‚fldccnfld 21284
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2698  ax-rep 5287  ax-sep 5301  ax-nul 5308  ax-pow 5367  ax-pr 5431  ax-un 7744  ax-inf2 9670  ax-cnex 11200  ax-resscn 11201  ax-1cn 11202  ax-icn 11203  ax-addcl 11204  ax-addrcl 11205  ax-mulcl 11206  ax-mulrcl 11207  ax-mulcom 11208  ax-addass 11209  ax-mulass 11210  ax-distr 11211  ax-i2m1 11212  ax-1ne0 11213  ax-1rid 11214  ax-rnegex 11215  ax-rrecex 11216  ax-cnre 11217  ax-pre-lttri 11218  ax-pre-lttrn 11219  ax-pre-ltadd 11220  ax-pre-mulgt0 11221  ax-pre-sup 11222  ax-addf 11223  ax-mulf 11224
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4325  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4911  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5151  df-opab 5213  df-mpt 5234  df-tr 5268  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5635  df-se 5636  df-we 5637  df-xp 5686  df-rel 5687  df-cnv 5688  df-co 5689  df-dm 5690  df-rn 5691  df-res 5692  df-ima 5693  df-pred 6308  df-ord 6375  df-on 6376  df-lim 6377  df-suc 6378  df-iota 6503  df-fun 6553  df-fn 6554  df-f 6555  df-f1 6556  df-fo 6557  df-f1o 6558  df-fv 6559  df-isom 6560  df-riota 7380  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7875  df-1st 7997  df-2nd 7998  df-frecs 8291  df-wrecs 8322  df-recs 8396  df-rdg 8435  df-1o 8491  df-er 8729  df-pm 8852  df-en 8969  df-dom 8970  df-sdom 8971  df-fin 8972  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9539  df-card 9968  df-pnf 11286  df-mnf 11287  df-xr 11288  df-ltxr 11289  df-le 11290  df-sub 11482  df-neg 11483  df-div 11908  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-7 12316  df-8 12317  df-9 12318  df-n0 12509  df-z 12595  df-dec 12714  df-uz 12859  df-rp 13013  df-ico 13368  df-fz 13523  df-fzo 13666  df-fl 13795  df-seq 14005  df-exp 14065  df-fac 14271  df-bc 14300  df-hash 14328  df-shft 15052  df-cj 15084  df-re 15085  df-im 15086  df-sqrt 15220  df-abs 15221  df-limsup 15453  df-clim 15470  df-rlim 15471  df-sum 15671  df-ef 16049  df-struct 17121  df-sets 17138  df-slot 17156  df-ndx 17168  df-base 17186  df-ress 17215  df-plusg 17251  df-mulr 17252  df-starv 17253  df-tset 17257  df-ple 17258  df-ds 17260  df-unif 17261  df-0g 17428  df-mgm 18605  df-sgrp 18684  df-mnd 18700  df-submnd 18746  df-grp 18898  df-minusg 18899  df-subg 19083  df-cmn 19742  df-abl 19743  df-mgp 20080  df-ur 20127  df-ring 20180  df-cring 20181  df-cnfld 21285
This theorem is referenced by:  circsubm  26505
  Copyright terms: Public domain W3C validator