MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efsubm 24636
Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number is a submonoid of the multiplicative group of fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
efabl.1 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
Assertion
Ref Expression
efsubm (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efsubm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 15145 . . . . . 6 exp:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
3 efabl.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 473 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 efabl.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6 cnfldbas 20069 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
76subgss 17905 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
98sselda 3796 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
104, 9mulcld 10347 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
112, 10ffvelrnd 6584 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
1211ralrimiva 3145 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
13 efabl.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
1413rnmptss 6616 . . 3 (∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
163mul01d 10523 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
1716fveq2d 6413 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
18 ef0 15154 . . . 4 (exp‘0) = 1
1917, 18syl6eq 2847 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = 1)
20 cnfld0 20089 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
2120subg0cl 17912 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑋)
225, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
23 fvex 6422 . . . 4 (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V
24 oveq2 6884 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 0))
2524fveq2d 6413 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
2613, 25elrnmpt1s 5575 . . . 4 ((0 ∈ 𝑋 ∧ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V) → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
2722, 23, 26sylancl 581 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
2819, 27eqeltrrd 2877 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ran 𝐹)
29 efabl.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
3013, 29, 3, 5efabl 24635 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
31 ablgrp 18510 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
33323ad2ant1 1164 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐺 ∈ Grp)
34 simp2 1168 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
35 eqid 2797 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
3635, 6mgpbas 18808 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
3729, 36ressbas2 16253 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
3815, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
39383ad2ant1 1164 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
4034, 39eleqtrd 2878 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
41 simp3 1169 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
4241, 39eleqtrd 2878 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
43 eqid 2797 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44 eqid 2797 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4543, 44grpcl 17743 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
4633, 40, 42, 45syl3anc 1491 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
47 mptexg 6711 . . . . . . . . . 10 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
485, 47syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
4913, 48syl5eqel 2880 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
50 rnexg 7330 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
51 cnfldmul 20071 . . . . . . . . . 10 · = (.r‘ℂfld)
5235, 51mgpplusg 18806 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
5329, 52ressplusg 16311 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g𝐺))
5449, 50, 533syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → · = (+g𝐺))
55543ad2ant1 1164 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → · = (+g𝐺))
5655oveqd 6893 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
5746, 56, 393eltr4d 2891 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
58573expb 1150 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
5958ralrimivva 3150 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
60 cnring 20087 . . 3 fld ∈ Ring
6135ringmgp 18866 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
62 cnfld1 20090 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
6335, 62ringidval 18816 . . . 4 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
6436, 63, 52issubm 17659 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)))
6560, 61, 64mp2b 10 . 2 (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹))
6615, 28, 59, 65syl3anbrc 1444 1 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3087  Vcvv 3383  wss 3767  cmpt 4920  ran crn 5311  wf 6095  cfv 6099  (class class class)co 6876  cc 10220  0cc0 10222  1c1 10223   · cmul 10227  expce 15125  Basecbs 16181  s cress 16182  +gcplusg 16264  Mndcmnd 17606  SubMndcsubmnd 17646  Grpcgrp 17735  SubGrpcsubg 17898  Abelcabl 18506  mulGrpcmgp 18802  Ringcrg 18860  fldccnfld 20065
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2354  ax-ext 2775  ax-rep 4962  ax-sep 4973  ax-nul 4981  ax-pow 5033  ax-pr 5095  ax-un 7181  ax-inf2 8786  ax-cnex 10278  ax-resscn 10279  ax-1cn 10280  ax-icn 10281  ax-addcl 10282  ax-addrcl 10283  ax-mulcl 10284  ax-mulrcl 10285  ax-mulcom 10286  ax-addass 10287  ax-mulass 10288  ax-distr 10289  ax-i2m1 10290  ax-1ne0 10291  ax-1rid 10292  ax-rnegex 10293  ax-rrecex 10294  ax-cnre 10295  ax-pre-lttri 10296  ax-pre-lttrn 10297  ax-pre-ltadd 10298  ax-pre-mulgt0 10299  ax-pre-sup 10300  ax-addf 10301  ax-mulf 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-fal 1667  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2590  df-eu 2607  df-clab 2784  df-cleq 2790  df-clel 2793  df-nfc 2928  df-ne 2970  df-nel 3073  df-ral 3092  df-rex 3093  df-reu 3094  df-rmo 3095  df-rab 3096  df-v 3385  df-sbc 3632  df-csb 3727  df-dif 3770  df-un 3772  df-in 3774  df-ss 3781  df-pss 3783  df-nul 4114  df-if 4276  df-pw 4349  df-sn 4367  df-pr 4369  df-tp 4371  df-op 4373  df-uni 4627  df-int 4666  df-iun 4710  df-br 4842  df-opab 4904  df-mpt 4921  df-tr 4944  df-id 5218  df-eprel 5223  df-po 5231  df-so 5232  df-fr 5269  df-se 5270  df-we 5271  df-xp 5316  df-rel 5317  df-cnv 5318  df-co 5319  df-dm 5320  df-rn 5321  df-res 5322  df-ima 5323  df-pred 5896  df-ord 5942  df-on 5943  df-lim 5944  df-suc 5945  df-iota 6062  df-fun 6101  df-fn 6102  df-f 6103  df-f1 6104  df-fo 6105  df-f1o 6106  df-fv 6107  df-isom 6108  df-riota 6837  df-ov 6879  df-oprab 6880  df-mpt2 6881  df-om 7298  df-1st 7399  df-2nd 7400  df-wrecs 7643  df-recs 7705  df-rdg 7743  df-1o 7797  df-oadd 7801  df-er 7980  df-pm 8096  df-en 8194  df-dom 8195  df-sdom 8196  df-fin 8197  df-sup 8588  df-inf 8589  df-oi 8655  df-card 9049  df-pnf 10363  df-mnf 10364  df-xr 10365  df-ltxr 10366  df-le 10367  df-sub 10556  df-neg 10557  df-div 10975  df-nn 11311  df-2 11372  df-3 11373  df-4 11374  df-5 11375  df-6 11376  df-7 11377  df-8 11378  df-9 11379  df-n0 11577  df-z 11663  df-dec 11780  df-uz 11927  df-rp 12071  df-ico 12426  df-fz 12577  df-fzo 12717  df-fl 12844  df-seq 13052  df-exp 13111  df-fac 13310  df-bc 13339  df-hash 13367  df-shft 14145  df-cj 14177  df-re 14178  df-im 14179  df-sqrt 14313  df-abs 14314  df-limsup 14540  df-clim 14557  df-rlim 14558  df-sum 14755  df-ef 15131  df-struct 16183  df-ndx 16184  df-slot 16185  df-base 16187  df-sets 16188  df-ress 16189  df-plusg 16277  df-mulr 16278  df-starv 16279  df-tset 16283  df-ple 16284  df-ds 16286  df-unif 16287  df-0g 16414  df-mgm 17554  df-sgrp 17596  df-mnd 17607  df-submnd 17648  df-grp 17738  df-minusg 17739  df-subg 17901  df-cmn 18507  df-abl 18508  df-mgp 18803  df-ur 18815  df-ring 18862  df-cring 18863  df-cnfld 20066
This theorem is referenced by:  circsubm  24638
  Copyright terms: Public domain W3C validator