MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efsubm 26608
Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number is a submonoid of the multiplicative group of fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
efabl.1 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
Assertion
Ref Expression
efsubm (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efsubm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 16114 . . . . . 6 exp:ℂ⟶ℂ
21a1i 11 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
3 efabl.3 . . . . . . 7 (𝜑𝐴 ∈ ℂ)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5 efabl.4 . . . . . . . 8 (𝜑𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6 cnfldbas 21386 . . . . . . . . 9 ℂ = (Base‘ℂfld)
76subgss 19158 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝑋 ⊆ ℂ)
98sselda 3995 . . . . . 6 ((𝜑𝑥𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
104, 9mulcld 11279 . . . . 5 ((𝜑𝑥𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
112, 10ffvelcdmd 7105 . . . 4 ((𝜑𝑥𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
1211ralrimiva 3144 . . 3 (𝜑 → ∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
13 efabl.1 . . . 4 𝐹 = (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
1413rnmptss 7143 . . 3 (∀𝑥𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
1512, 14syl 17 . 2 (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
163mul01d 11458 . . . . 5 (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
1716fveq2d 6911 . . . 4 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
18 ef0 16124 . . . 4 (exp‘0) = 1
1917, 18eqtrdi 2791 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = 1)
20 cnfld0 21423 . . . . . 6 0 = (0g‘ℂfld)
2120subg0cl 19165 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑋)
225, 21syl 17 . . . 4 (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
23 fvex 6920 . . . 4 (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V
24 oveq2 7439 . . . . . 6 (𝑥 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 0))
2524fveq2d 6911 . . . . 5 (𝑥 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
2613, 25elrnmpt1s 5973 . . . 4 ((0 ∈ 𝑋 ∧ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V) → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
2722, 23, 26sylancl 586 . . 3 (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
2819, 27eqeltrrd 2840 . 2 (𝜑 → 1 ∈ ran 𝐹)
29 efabl.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
3013, 29, 3, 5efabl 26607 . . . . . . . 8 (𝜑𝐺 ∈ Abel)
31 ablgrp 19818 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (𝜑𝐺 ∈ Grp)
33323ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐺 ∈ Grp)
34 simp2 1136 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
35 eqid 2735 . . . . . . . . . . 11 (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
3635, 6mgpbas 20158 . . . . . . . . . 10 ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
3729, 36ressbas2 17283 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
3815, 37syl 17 . . . . . . . 8 (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
39383ad2ant1 1132 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
4034, 39eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
41 simp3 1137 . . . . . . 7 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
4241, 39eleqtrd 2841 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
43 eqid 2735 . . . . . . 7 (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44 eqid 2735 . . . . . . 7 (+g𝐺) = (+g𝐺)
4543, 44grpcl 18972 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
4633, 40, 42, 45syl3anc 1370 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥(+g𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
475mptexd 7244 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑥𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
4813, 47eqeltrid 2843 . . . . . . . 8 (𝜑𝐹 ∈ V)
49 rnexg 7925 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
50 cnfldmul 21390 . . . . . . . . . 10 · = (.r‘ℂfld)
5135, 50mgpplusg 20156 . . . . . . . . 9 · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
5229, 51ressplusg 17336 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g𝐺))
5348, 49, 523syl 18 . . . . . . 7 (𝜑 → · = (+g𝐺))
54533ad2ant1 1132 . . . . . 6 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → · = (+g𝐺))
5554oveqd 7448 . . . . 5 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g𝐺)𝑦))
5646, 55, 393eltr4d 2854 . . . 4 ((𝜑𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
57563expb 1119 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
5857ralrimivva 3200 . 2 (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
59 cnring 21421 . . 3 fld ∈ Ring
6035ringmgp 20257 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
61 cnfld1 21424 . . . . 5 1 = (1r‘ℂfld)
6235, 61ringidval 20201 . . . 4 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
6336, 62, 51issubm 18829 . . 3 ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)))
6459, 60, 63mp2b 10 . 2 (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹))
6515, 28, 58, 64syl3anbrc 1342 1 (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059  Vcvv 3478  wss 3963  cmpt 5231  ran crn 5690  wf 6559  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158  expce 16094  Basecbs 17245  s cress 17274  +gcplusg 17298  Mndcmnd 18760  SubMndcsubmnd 18808  Grpcgrp 18964  SubGrpcsubg 19151  Abelcabl 19814  mulGrpcmgp 20152  Ringcrg 20251  fldccnfld 21382
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-inf2 9679  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231  ax-addf 11232  ax-mulf 11233
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-se 5642  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-isom 6572  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8505  df-er 8744  df-pm 8868  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-fin 8988  df-sup 9480  df-inf 9481  df-oi 9548  df-card 9977  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-3 12328  df-4 12329  df-5 12330  df-6 12331  df-7 12332  df-8 12333  df-9 12334  df-n0 12525  df-z 12612  df-dec 12732  df-uz 12877  df-rp 13033  df-ico 13390  df-fz 13545  df-fzo 13692  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100  df-fac 14310  df-bc 14339  df-hash 14367  df-shft 15103  df-cj 15135  df-re 15136  df-im 15137  df-sqrt 15271  df-abs 15272  df-limsup 15504  df-clim 15521  df-rlim 15522  df-sum 15720  df-ef 16100  df-struct 17181  df-sets 17198  df-slot 17216  df-ndx 17228  df-base 17246  df-ress 17275  df-plusg 17311  df-mulr 17312  df-starv 17313  df-tset 17317  df-ple 17318  df-ds 17320  df-unif 17321  df-0g 17488  df-mgm 18666  df-sgrp 18745  df-mnd 18761  df-submnd 18810  df-grp 18967  df-minusg 18968  df-subg 19154  df-cmn 19815  df-abl 19816  df-mgp 20153  df-ur 20200  df-ring 20253  df-cring 20254  df-cnfld 21383
This theorem is referenced by:  circsubm  26610
  Copyright terms: Public domain W3C validator