MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  efsubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem efsubm 26436
Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number is a submonoid of the multiplicative group of β„‚fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)
Hypotheses
Ref Expression
efabl.1 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
efabl.2 𝐺 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs ran 𝐹)
efabl.3 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
efabl.4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
Assertion
Ref Expression
efsubm (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
Distinct variable groups:   π‘₯,𝐴   π‘₯,𝐹   π‘₯,𝐺   π‘₯,𝑋   πœ‘,π‘₯

Proof of Theorem efsubm
Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eff 16029 . . . . . 6 exp:β„‚βŸΆβ„‚
21a1i 11 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ exp:β„‚βŸΆβ„‚)
3 efabl.3 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
43adantr 480 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ 𝐴 ∈ β„‚)
5 efabl.4 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld))
6 cnfldbas 21240 . . . . . . . . 9 β„‚ = (Baseβ€˜β„‚fld)
76subgss 19052 . . . . . . . 8 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
85, 7syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝑋 βŠ† β„‚)
98sselda 3977 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ π‘₯ ∈ β„‚)
104, 9mulcld 11235 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (𝐴 Β· π‘₯) ∈ β„‚)
112, 10ffvelcdmd 7080 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ 𝑋) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
1211ralrimiva 3140 . . 3 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚)
13 efabl.1 . . . 4 𝐹 = (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)))
1413rnmptss 7117 . . 3 (βˆ€π‘₯ ∈ 𝑋 (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) ∈ β„‚ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
1512, 14syl 17 . 2 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 βŠ† β„‚)
163mul01d 11414 . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐴 Β· 0) = 0)
1716fveq2d 6888 . . . 4 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) = (expβ€˜0))
18 ef0 16039 . . . 4 (expβ€˜0) = 1
1917, 18eqtrdi 2782 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) = 1)
20 cnfld0 21277 . . . . . 6 0 = (0gβ€˜β„‚fld)
2120subg0cl 19059 . . . . 5 (𝑋 ∈ (SubGrpβ€˜β„‚fld) β†’ 0 ∈ 𝑋)
225, 21syl 17 . . . 4 (πœ‘ β†’ 0 ∈ 𝑋)
23 fvex 6897 . . . 4 (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) ∈ V
24 oveq2 7412 . . . . . 6 (π‘₯ = 0 β†’ (𝐴 Β· π‘₯) = (𝐴 Β· 0))
2524fveq2d 6888 . . . . 5 (π‘₯ = 0 β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯)) = (expβ€˜(𝐴 Β· 0)))
2613, 25elrnmpt1s 5949 . . . 4 ((0 ∈ 𝑋 ∧ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) ∈ V) β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) ∈ ran 𝐹)
2722, 23, 26sylancl 585 . . 3 (πœ‘ β†’ (expβ€˜(𝐴 Β· 0)) ∈ ran 𝐹)
2819, 27eqeltrrd 2828 . 2 (πœ‘ β†’ 1 ∈ ran 𝐹)
29 efabl.2 . . . . . . . . 9 𝐺 = ((mulGrpβ€˜β„‚fld) β†Ύs ran 𝐹)
3013, 29, 3, 5efabl 26435 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Abel)
31 ablgrp 19703 . . . . . . . 8 (𝐺 ∈ Abel β†’ 𝐺 ∈ Grp)
3230, 31syl 17 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ Grp)
33323ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝐺 ∈ Grp)
34 simp2 1134 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ ran 𝐹)
35 eqid 2726 . . . . . . . . . . 11 (mulGrpβ€˜β„‚fld) = (mulGrpβ€˜β„‚fld)
3635, 6mgpbas 20043 . . . . . . . . . 10 β„‚ = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
3729, 36ressbas2 17189 . . . . . . . . 9 (ran 𝐹 βŠ† β„‚ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜πΊ))
3815, 37syl 17 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜πΊ))
39383ad2ant1 1130 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ ran 𝐹 = (Baseβ€˜πΊ))
4034, 39eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ))
41 simp3 1135 . . . . . . 7 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ ran 𝐹)
4241, 39eleqtrd 2829 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ))
43 eqid 2726 . . . . . . 7 (Baseβ€˜πΊ) = (Baseβ€˜πΊ)
44 eqid 2726 . . . . . . 7 (+gβ€˜πΊ) = (+gβ€˜πΊ)
4543, 44grpcl 18869 . . . . . 6 ((𝐺 ∈ Grp ∧ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜πΊ) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜πΊ)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
4633, 40, 42, 45syl3anc 1368 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦) ∈ (Baseβ€˜πΊ))
475mptexd 7220 . . . . . . . . 9 (πœ‘ β†’ (π‘₯ ∈ 𝑋 ↦ (expβ€˜(𝐴 Β· π‘₯))) ∈ V)
4813, 47eqeltrid 2831 . . . . . . . 8 (πœ‘ β†’ 𝐹 ∈ V)
49 rnexg 7891 . . . . . . . 8 (𝐹 ∈ V β†’ ran 𝐹 ∈ V)
50 cnfldmul 21244 . . . . . . . . . 10 Β· = (.rβ€˜β„‚fld)
5135, 50mgpplusg 20041 . . . . . . . . 9 Β· = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
5229, 51ressplusg 17242 . . . . . . . 8 (ran 𝐹 ∈ V β†’ Β· = (+gβ€˜πΊ))
5348, 49, 523syl 18 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ Β· = (+gβ€˜πΊ))
54533ad2ant1 1130 . . . . . 6 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ Β· = (+gβ€˜πΊ))
5554oveqd 7421 . . . . 5 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) = (π‘₯(+gβ€˜πΊ)𝑦))
5646, 55, 393eltr4d 2842 . . . 4 ((πœ‘ ∧ π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹)
57563expb 1117 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘₯ ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)) β†’ (π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹)
5857ralrimivva 3194 . 2 (πœ‘ β†’ βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹)
59 cnring 21275 . . 3 β„‚fld ∈ Ring
6035ringmgp 20142 . . 3 (β„‚fld ∈ Ring β†’ (mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd)
61 cnfld1 21278 . . . . 5 1 = (1rβ€˜β„‚fld)
6235, 61ringidval 20086 . . . 4 1 = (0gβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld))
6336, 62, 51issubm 18726 . . 3 ((mulGrpβ€˜β„‚fld) ∈ Mnd β†’ (ran 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (ran 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹)))
6459, 60, 63mp2b 10 . 2 (ran 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)) ↔ (ran 𝐹 βŠ† β„‚ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ ran πΉβˆ€π‘¦ ∈ ran 𝐹(π‘₯ Β· 𝑦) ∈ ran 𝐹))
6515, 28, 58, 64syl3anbrc 1340 1 (πœ‘ β†’ ran 𝐹 ∈ (SubMndβ€˜(mulGrpβ€˜β„‚fld)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3055  Vcvv 3468   βŠ† wss 3943   ↦ cmpt 5224  ran crn 5670  βŸΆwf 6532  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„‚cc 11107  0cc0 11109  1c1 11110   Β· cmul 11114  expce 16009  Basecbs 17151   β†Ύs cress 17180  +gcplusg 17204  Mndcmnd 18665  SubMndcsubmnd 18710  Grpcgrp 18861  SubGrpcsubg 19045  Abelcabl 19699  mulGrpcmgp 20037  Ringcrg 20136  β„‚fldccnfld 21236
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-inf2 9635  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187  ax-addf 11188  ax-mulf 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-se 5625  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-isom 6545  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-1o 8464  df-er 8702  df-pm 8822  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-fin 8942  df-sup 9436  df-inf 9437  df-oi 9504  df-card 9933  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-2 12276  df-3 12277  df-4 12278  df-5 12279  df-6 12280  df-7 12281  df-8 12282  df-9 12283  df-n0 12474  df-z 12560  df-dec 12679  df-uz 12824  df-rp 12978  df-ico 13333  df-fz 13488  df-fzo 13631  df-fl 13760  df-seq 13970  df-exp 14031  df-fac 14237  df-bc 14266  df-hash 14294  df-shft 15018  df-cj 15050  df-re 15051  df-im 15052  df-sqrt 15186  df-abs 15187  df-limsup 15419  df-clim 15436  df-rlim 15437  df-sum 15637  df-ef 16015  df-struct 17087  df-sets 17104  df-slot 17122  df-ndx 17134  df-base 17152  df-ress 17181  df-plusg 17217  df-mulr 17218  df-starv 17219  df-tset 17223  df-ple 17224  df-ds 17226  df-unif 17227  df-0g 17394  df-mgm 18571  df-sgrp 18650  df-mnd 18666  df-submnd 18712  df-grp 18864  df-minusg 18865  df-subg 19048  df-cmn 19700  df-abl 19701  df-mgp 20038  df-ur 20085  df-ring 20138  df-cring 20139  df-cnfld 21237
This theorem is referenced by:  circsubm  26438
  Copyright terms: Public domain W3C validator