Theorem efsubm 25705

Description: The image of a subgroup of the group +, under the exponential function of a scaled complex number is a submonoid of the multiplicative group of ℂ_fld. (Contributed by Thierry Arnoux, 26-Jan-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
efabl.1	⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
efabl.2	⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
efabl.3	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
efabl.4	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))

Assertion

Ref	Expression
efsubm	⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝐹   𝑥,𝐺   𝑥,𝑋   𝜑,𝑥

Proof of Theorem efsubm

Dummy variable 𝑦 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eff 15789	. . . . . 6 ⊢ exp:ℂ⟶ℂ
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → exp:ℂ⟶ℂ)
3		efabl.3	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℂ)
4	3	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝐴 ∈ ℂ)
5		efabl.4	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld))
6		cnfldbas 20599	. . . . . . . . 9 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
7	6	subgss 18754	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 𝑋 ⊆ ℂ)
8	5, 7	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ⊆ ℂ)
9	8	sselda 3926	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → 𝑥 ∈ ℂ)
10	4, 9	mulcld 10996	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (𝐴 · 𝑥) ∈ ℂ)
11	2, 10	ffvelrnd 6959	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ 𝑋) → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
12	11	ralrimiva 3110	. . 3 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ)
13		efabl.1	. . . 4 ⊢ 𝐹 = (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥)))
14	13	rnmptss 6993	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝑋 (exp‘(𝐴 · 𝑥)) ∈ ℂ → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
15	12, 14	syl 17	. 2 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ⊆ ℂ)
16	3	mul01d 11174	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 0) = 0)
17	16	fveq2d 6775	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = (exp‘0))
18		ef0 15798	. . . 4 ⊢ (exp‘0) = 1
19	17, 18	eqtrdi 2796	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) = 1)
20		cnfld0 20620	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
21	20	subg0cl 18761	. . . . 5 ⊢ (𝑋 ∈ (SubGrp‘ℂfld) → 0 ∈ 𝑋)
22	5, 21	syl 17	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ∈ 𝑋)
23		fvex 6784	. . . 4 ⊢ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V
24		oveq2 7279	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 0 → (𝐴 · 𝑥) = (𝐴 · 0))
25	24	fveq2d 6775	. . . . 5 ⊢ (𝑥 = 0 → (exp‘(𝐴 · 𝑥)) = (exp‘(𝐴 · 0)))
26	13, 25	elrnmpt1s 5865	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ 𝑋 ∧ (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ V) → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
27	22, 23, 26	sylancl 586	. . 3 ⊢ (𝜑 → (exp‘(𝐴 · 0)) ∈ ran 𝐹)
28	19, 27	eqeltrrd 2842	. 2 ⊢ (𝜑 → 1 ∈ ran 𝐹)
29		efabl.2	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐺 = ((mulGrp‘ℂfld) ↾s ran 𝐹)
30	13, 29, 3, 5	efabl 25704	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Abel)
31		ablgrp 19389	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐺 ∈ Abel → 𝐺 ∈ Grp)
32	30, 31	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ Grp)
33	32	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝐺 ∈ Grp)
34		simp2 1136	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ ran 𝐹)
35		eqid 2740	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (mulGrp‘ℂfld) = (mulGrp‘ℂfld)
36	35, 6	mgpbas 19724	. . . . . . . . . 10 ⊢ ℂ = (Base‘(mulGrp‘ℂfld))
37	29, 36	ressbas2 16947	. . . . . . . . 9 ⊢ (ran 𝐹 ⊆ ℂ → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
38	15, 37	syl 17	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
39	38	3ad2ant1 1132	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → ran 𝐹 = (Base‘𝐺))
40	34, 39	eleqtrd 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑥 ∈ (Base‘𝐺))
41		simp3 1137	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ ran 𝐹)
42	41, 39	eleqtrd 2843	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → 𝑦 ∈ (Base‘𝐺))
43		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝐺) = (Base‘𝐺)
44		eqid 2740	. . . . . . 7 ⊢ (+g‘𝐺) = (+g‘𝐺)
45	43, 44	grpcl 18583	. . . . . 6 ⊢ ((𝐺 ∈ Grp ∧ 𝑥 ∈ (Base‘𝐺) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝐺)) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
46	33, 40, 42, 45	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥(+g‘𝐺)𝑦) ∈ (Base‘𝐺))
47	5	mptexd 7097	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝑋 ↦ (exp‘(𝐴 · 𝑥))) ∈ V)
48	13, 47	eqeltrid 2845	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ V)
49		rnexg 7745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐹 ∈ V → ran 𝐹 ∈ V)
50		cnfldmul 20601	. . . . . . . . . 10 ⊢ · = (.r‘ℂfld)
51	35, 50	mgpplusg 19722	. . . . . . . . 9 ⊢ · = (+g‘(mulGrp‘ℂfld))
52	29, 51	ressplusg 16998	. . . . . . . 8 ⊢ (ran 𝐹 ∈ V → · = (+g‘𝐺))
53	48, 49, 52	3syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → · = (+g‘𝐺))
54	53	3ad2ant1 1132	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → · = (+g‘𝐺))
55	54	oveqd 7288	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) = (𝑥(+g‘𝐺)𝑦))
56	46, 55, 39	3eltr4d 2856	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
57	56	3expb 1119	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑥 ∈ ran 𝐹 ∧ 𝑦 ∈ ran 𝐹)) → (𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
58	57	ralrimivva 3117	. 2 ⊢ (𝜑 → ∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)
59		cnring 20618	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
60	35	ringmgp 19787	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → (mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd)
61		cnfld1 20621	. . . . 5 ⊢ 1 = (1r‘ℂfld)
62	35, 61	ringidval 19737	. . . 4 ⊢ 1 = (0g‘(mulGrp‘ℂfld))
63	36, 62, 51	issubm 18440	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘ℂfld) ∈ Mnd → (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹)))
64	59, 60, 63	mp2b 10	. 2 ⊢ (ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)) ↔ (ran 𝐹 ⊆ ℂ ∧ 1 ∈ ran 𝐹 ∧ ∀𝑥 ∈ ran 𝐹∀𝑦 ∈ ran 𝐹(𝑥 · 𝑦) ∈ ran 𝐹))
65	15, 28, 58, 64	syl3anbrc 1342	1 ⊢ (𝜑 → ran 𝐹 ∈ (SubMnd‘(mulGrp‘ℂfld)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1542   ∈ wcel 2110  ∀wral 3066  Vcvv 3431   ⊆ wss 3892   ↦ cmpt 5162  ran crn 5591  ⟶wf 6428  ‘cfv 6432  (class class class)co 7271  ℂcc 10870  0cc0 10872  1c1 10873   · cmul 10877  expce 15769  Basecbs 16910   ↾_s cress 16939  +_gcplusg 16960  Mndcmnd 18383  SubMndcsubmnd 18427  Grpcgrp 18575  SubGrpcsubg 18747  Abelcabl 19385  mulGrpcmgp 19718  Ringcrg 19781  ℂ_fldccnfld 20595

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7582  ax-inf2 9377  ax-cnex 10928  ax-resscn 10929  ax-1cn 10930  ax-icn 10931  ax-addcl 10932  ax-addrcl 10933  ax-mulcl 10934  ax-mulrcl 10935  ax-mulcom 10936  ax-addass 10937  ax-mulass 10938  ax-distr 10939  ax-i2m1 10940  ax-1ne0 10941  ax-1rid 10942  ax-rnegex 10943  ax-rrecex 10944  ax-cnre 10945  ax-pre-lttri 10946  ax-pre-lttrn 10947  ax-pre-ltadd 10948  ax-pre-mulgt0 10949  ax-pre-sup 10950  ax-addf 10951  ax-mulf 10952

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-pss 3911  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-tp 4572  df-op 4574  df-uni 4846  df-int 4886  df-iun 4932  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-tr 5197  df-id 5490  df-eprel 5496  df-po 5504  df-so 5505  df-fr 5545  df-se 5546  df-we 5547  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-pred 6201  df-ord 6268  df-on 6269  df-lim 6270  df-suc 6271  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-isom 6441  df-riota 7228  df-ov 7274  df-oprab 7275  df-mpo 7276  df-om 7707  df-1st 7824  df-2nd 7825  df-frecs 8088  df-wrecs 8119  df-recs 8193  df-rdg 8232  df-1o 8288  df-er 8481  df-pm 8601  df-en 8717  df-dom 8718  df-sdom 8719  df-fin 8720  df-sup 9179  df-inf 9180  df-oi 9247  df-card 9698  df-pnf 11012  df-mnf 11013  df-xr 11014  df-ltxr 11015  df-le 11016  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-2 12036  df-3 12037  df-4 12038  df-5 12039  df-6 12040  df-7 12041  df-8 12042  df-9 12043  df-n0 12234  df-z 12320  df-dec 12437  df-uz 12582  df-rp 12730  df-ico 13084  df-fz 13239  df-fzo 13382  df-fl 13510  df-seq 13720  df-exp 13781  df-fac 13986  df-bc 14015  df-hash 14043  df-shft 14776  df-cj 14808  df-re 14809  df-im 14810  df-sqrt 14944  df-abs 14945  df-limsup 15178  df-clim 15195  df-rlim 15196  df-sum 15396  df-ef 15775  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-starv 16975  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-unif 16983  df-0g 17150  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429  df-grp 18578  df-minusg 18579  df-subg 18750  df-cmn 19386  df-abl 19387  df-mgp 19719  df-ur 19736  df-ring 19783  df-cring 19784  df-cnfld 20596

This theorem is referenced by:  circsubm  25707