Theorem cnsubmlem 21391

Description: Lemma for nn0subm 21398 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnsubglem.1	⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2	⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubmlem.3	⊢ 0 ∈ 𝐴

Assertion

Ref	Expression
cnsubmlem	⊢ 𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld)

Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubmlem

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnsubglem.1	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥 ∈ ℂ)
2	1	ssriv 3919	. 2 ⊢ 𝐴 ⊆ ℂ
3		cnsubmlem.3	. 2 ⊢ 0 ∈ 𝐴
4		cnsubglem.2	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
5	4	rgen2 3179	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴
6		cnring 21370	. . 3 ⊢ ℂfld ∈ Ring
7		ringmnd 20216	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
8		cnfldbas 21352	. . . 4 ⊢ ℂ = (Base‘ℂfld)
9		cnfld0 21372	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘ℂfld)
10		cnfldadd 21354	. . . 4 ⊢ + = (+g‘ℂfld)
11	8, 9, 10	issubm 18763	. . 3 ⊢ (ℂfld ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)))
12	6, 7, 11	mp2b 10	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ 𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴))
13	2, 3, 5, 12	mpbir3an 1348	1 ⊢ 𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053   ⊆ wss 3883  ‘cfv 6486  (class class class)co 7357  ℂcc 11028  0cc0 11030   + caddc 11033  Mndcmnd 18694  SubMndcsubmnd 18742  Ringcrg 20206  ℂ_fldccnfld 21348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5219  ax-nul 5229  ax-pow 5295  ax-pr 5363  ax-un 7679  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107  ax-addf 11109

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4263  df-if 4456  df-pw 4532  df-sn 4557  df-pr 4559  df-tp 4561  df-op 4563  df-uni 4840  df-iun 4924  df-br 5074  df-opab 5136  df-mpt 5155  df-tr 5181  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7314  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7808  df-1st 7932  df-2nd 7933  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-rdg 8340  df-1o 8396  df-er 8634  df-en 8885  df-dom 8886  df-sdom 8887  df-fin 8888  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12167  df-2 12236  df-3 12237  df-4 12238  df-5 12239  df-6 12240  df-7 12241  df-8 12242  df-9 12243  df-n0 12430  df-z 12517  df-dec 12637  df-uz 12781  df-fz 13454  df-struct 17109  df-sets 17126  df-slot 17144  df-ndx 17156  df-base 17172  df-plusg 17225  df-mulr 17226  df-starv 17227  df-tset 17231  df-ple 17232  df-ds 17234  df-unif 17235  df-0g 17396  df-mgm 18600  df-sgrp 18679  df-mnd 18695  df-submnd 18744  df-grp 18904  df-cmn 19749  df-mgp 20114  df-ring 20208  df-cring 20209  df-cnfld 21349

This theorem is referenced by:  nn0subm  21398  rege0subm  21399