MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cnsubmlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cnsubmlem 20596
Description: Lemma for nn0subm 20603 and friends. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
cnsubglem.1 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
cnsubglem.2 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
cnsubmlem.3 0 ∈ 𝐴
Assertion
Ref Expression
cnsubmlem 𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
Distinct variable group:   𝑥,𝑦,𝐴

Proof of Theorem cnsubmlem
StepHypRef Expression
1 cnsubglem.1 . . 3 (𝑥𝐴𝑥 ∈ ℂ)
21ssriv 3974 . 2 𝐴 ⊆ ℂ
3 cnsubmlem.3 . 2 0 ∈ 𝐴
4 cnsubglem.2 . . 3 ((𝑥𝐴𝑦𝐴) → (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)
54rgen2 3206 . 2 𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴
6 cnring 20570 . . 3 fld ∈ Ring
7 ringmnd 19309 . . 3 (ℂfld ∈ Ring → ℂfld ∈ Mnd)
8 cnfldbas 20552 . . . 4 ℂ = (Base‘ℂfld)
9 cnfld0 20572 . . . 4 0 = (0g‘ℂfld)
10 cnfldadd 20553 . . . 4 + = (+g‘ℂfld)
118, 9, 10issubm 17971 . . 3 (ℂfld ∈ Mnd → (𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴)))
126, 7, 11mp2b 10 . 2 (𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld) ↔ (𝐴 ⊆ ℂ ∧ 0 ∈ 𝐴 ∧ ∀𝑥𝐴𝑦𝐴 (𝑥 + 𝑦) ∈ 𝐴))
132, 3, 5, 12mpbir3an 1337 1 𝐴 ∈ (SubMnd‘ℂfld)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 208  wa 398  w3a 1083  wcel 2113  wral 3141  wss 3939  cfv 6358  (class class class)co 7159  cc 10538  0cc0 10540   + caddc 10543  Mndcmnd 17914  SubMndcsubmnd 17958  Ringcrg 19300  fldccnfld 20548
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1969  ax-7 2014  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2176  ax-ext 2796  ax-sep 5206  ax-nul 5213  ax-pow 5269  ax-pr 5333  ax-un 7464  ax-cnex 10596  ax-resscn 10597  ax-1cn 10598  ax-icn 10599  ax-addcl 10600  ax-addrcl 10601  ax-mulcl 10602  ax-mulrcl 10603  ax-mulcom 10604  ax-addass 10605  ax-mulass 10606  ax-distr 10607  ax-i2m1 10608  ax-1ne0 10609  ax-1rid 10610  ax-rnegex 10611  ax-rrecex 10612  ax-cnre 10613  ax-pre-lttri 10614  ax-pre-lttrn 10615  ax-pre-ltadd 10616  ax-pre-mulgt0 10617  ax-addf 10619  ax-mulf 10620
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1539  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2069  df-mo 2621  df-eu 2653  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2966  df-ne 3020  df-nel 3127  df-ral 3146  df-rex 3147  df-reu 3148  df-rmo 3149  df-rab 3150  df-v 3499  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-pss 3957  df-nul 4295  df-if 4471  df-pw 4544  df-sn 4571  df-pr 4573  df-tp 4575  df-op 4577  df-uni 4842  df-int 4880  df-iun 4924  df-br 5070  df-opab 5132  df-mpt 5150  df-tr 5176  df-id 5463  df-eprel 5468  df-po 5477  df-so 5478  df-fr 5517  df-we 5519  df-xp 5564  df-rel 5565  df-cnv 5566  df-co 5567  df-dm 5568  df-rn 5569  df-res 5570  df-ima 5571  df-pred 6151  df-ord 6197  df-on 6198  df-lim 6199  df-suc 6200  df-iota 6317  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7117  df-ov 7162  df-oprab 7163  df-mpo 7164  df-om 7584  df-1st 7692  df-2nd 7693  df-wrecs 7950  df-recs 8011  df-rdg 8049  df-1o 8105  df-oadd 8109  df-er 8292  df-en 8513  df-dom 8514  df-sdom 8515  df-fin 8516  df-pnf 10680  df-mnf 10681  df-xr 10682  df-ltxr 10683  df-le 10684  df-sub 10875  df-neg 10876  df-nn 11642  df-2 11703  df-3 11704  df-4 11705  df-5 11706  df-6 11707  df-7 11708  df-8 11709  df-9 11710  df-n0 11901  df-z 11985  df-dec 12102  df-uz 12247  df-fz 12896  df-struct 16488  df-ndx 16489  df-slot 16490  df-base 16492  df-sets 16493  df-plusg 16581  df-mulr 16582  df-starv 16583  df-tset 16587  df-ple 16588  df-ds 16590  df-unif 16591  df-0g 16718  df-mgm 17855  df-sgrp 17904  df-mnd 17915  df-submnd 17960  df-grp 18109  df-cmn 18911  df-mgp 19243  df-ring 19302  df-cring 19303  df-cnfld 20549
This theorem is referenced by:  nn0subm  20603  rege0subm  20604
  Copyright terms: Public domain W3C validator