Theorem frmdsssubm 18500

Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdsssubm	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem frmdsssubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sswrd 14225	. . . 4 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
2	1	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
3		frmdmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
4		eqid 2738	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5	3, 4	frmdbas 18491	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
6	5	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	2, 6	sseqtrrd 3962	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀))
8		wrd0 14242	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐽
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∅ ∈ Word 𝐽)
10	7	sselda 3921	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐽) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
11	7	sselda 3921	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
12	10, 11	anim12dan 619	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
13		eqid 2738	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
14	3, 4, 13	frmdadd 18494	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
16		ccatcl 14277	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
17	16	adantl 482	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
18	15, 17	eqeltrd 2839	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
19	18	ralrimivva 3123	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
20	3	frmdmnd 18498	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
21	20	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
22	3	frmd0 18499	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
23	4, 22, 13	issubm 18442	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
24	21, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
25	7, 9, 19, 24	mpbir3and 1341	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  Word cword 14217   ++ cconcat 14273  Basecbs 16912  +_gcplusg 16962  Mndcmnd 18385  SubMndcsubmnd 18429  freeMndcfrmd 18486

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-rep 5209  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-int 4880  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-1o 8297  df-er 8498  df-map 8617  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-fin 8737  df-card 9697  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-nn 11974  df-2 12036  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-fz 13240  df-fzo 13383  df-hash 14045  df-word 14218  df-concat 14274  df-struct 16848  df-slot 16883  df-ndx 16895  df-base 16913  df-plusg 16975  df-0g 17152  df-mgm 18326  df-sgrp 18375  df-mnd 18386  df-submnd 18431  df-frmd 18488

This theorem is referenced by: (None)