Theorem frmdsssubm 18028

Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdsssubm	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem frmdsssubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sswrd 13872	. . . 4 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
2	1	adantl 484	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
3		frmdmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
4		eqid 2823	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5	3, 4	frmdbas 18019	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
6	5	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	2, 6	sseqtrrd 4010	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀))
8		wrd0 13891	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐽
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∅ ∈ Word 𝐽)
10	7	sselda 3969	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐽) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
11	7	sselda 3969	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
12	10, 11	anim12dan 620	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
13		eqid 2823	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
14	3, 4, 13	frmdadd 18022	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
16		ccatcl 13928	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
17	16	adantl 484	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
18	15, 17	eqeltrd 2915	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
19	18	ralrimivva 3193	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
20	3	frmdmnd 18026	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
21	20	adantr 483	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
22	3	frmd0 18027	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
23	4, 22, 13	issubm 17970	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
24	21, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
25	7, 9, 19, 24	mpbir3and 1338	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114  ∀wral 3140   ⊆ wss 3938  ∅c0 4293  ‘cfv 6357  (class class class)co 7158  Word cword 13864   ++ cconcat 13924  Basecbs 16485  +_gcplusg 16567  Mndcmnd 17913  SubMndcsubmnd 17957  freeMndcfrmd 18014

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2795  ax-rep 5192  ax-sep 5205  ax-nul 5212  ax-pow 5268  ax-pr 5332  ax-un 7463  ax-cnex 10595  ax-resscn 10596  ax-1cn 10597  ax-icn 10598  ax-addcl 10599  ax-addrcl 10600  ax-mulcl 10601  ax-mulrcl 10602  ax-mulcom 10603  ax-addass 10604  ax-mulass 10605  ax-distr 10606  ax-i2m1 10607  ax-1ne0 10608  ax-1rid 10609  ax-rnegex 10610  ax-rrecex 10611  ax-cnre 10612  ax-pre-lttri 10613  ax-pre-lttrn 10614  ax-pre-ltadd 10615  ax-pre-mulgt0 10616

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2802  df-cleq 2816  df-clel 2895  df-nfc 2965  df-ne 3019  df-nel 3126  df-ral 3145  df-rex 3146  df-reu 3147  df-rmo 3148  df-rab 3149  df-v 3498  df-sbc 3775  df-csb 3886  df-dif 3941  df-un 3943  df-in 3945  df-ss 3954  df-pss 3956  df-nul 4294  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4570  df-pr 4572  df-tp 4574  df-op 4576  df-uni 4841  df-int 4879  df-iun 4923  df-br 5069  df-opab 5131  df-mpt 5149  df-tr 5175  df-id 5462  df-eprel 5467  df-po 5476  df-so 5477  df-fr 5516  df-we 5518  df-xp 5563  df-rel 5564  df-cnv 5565  df-co 5566  df-dm 5567  df-rn 5568  df-res 5569  df-ima 5570  df-pred 6150  df-ord 6196  df-on 6197  df-lim 6198  df-suc 6199  df-iota 6316  df-fun 6359  df-fn 6360  df-f 6361  df-f1 6362  df-fo 6363  df-f1o 6364  df-fv 6365  df-riota 7116  df-ov 7161  df-oprab 7162  df-mpo 7163  df-om 7583  df-1st 7691  df-2nd 7692  df-wrecs 7949  df-recs 8010  df-rdg 8048  df-1o 8104  df-oadd 8108  df-er 8291  df-map 8410  df-en 8512  df-dom 8513  df-sdom 8514  df-fin 8515  df-card 9370  df-pnf 10679  df-mnf 10680  df-xr 10681  df-ltxr 10682  df-le 10683  df-sub 10874  df-neg 10875  df-nn 11641  df-2 11703  df-n0 11901  df-z 11985  df-uz 12247  df-fz 12896  df-fzo 13037  df-hash 13694  df-word 13865  df-concat 13925  df-struct 16487  df-ndx 16488  df-slot 16489  df-base 16491  df-plusg 16580  df-0g 16717  df-mgm 17854  df-sgrp 17903  df-mnd 17914  df-submnd 17959  df-frmd 18016

This theorem is referenced by: (None)