MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdsssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdsssubm 18288
Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdsssubm ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem frmdsssubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sswrd 14077 . . . 4 (𝐽𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
21adantl 485 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
3 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
4 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
53, 4frmdbas 18279 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
65adantr 484 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
72, 6sseqtrrd 3942 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀))
8 wrd0 14094 . . 3 ∅ ∈ Word 𝐽
98a1i 11 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∅ ∈ Word 𝐽)
107sselda 3901 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐽) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
117sselda 3901 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
1210, 11anim12dan 622 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
13 eqid 2737 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
143, 4, 13frmdadd 18282 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
16 ccatcl 14129 . . . . 5 ((𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1716adantl 485 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1815, 17eqeltrd 2838 . . 3 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
1918ralrimivva 3112 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
203frmdmnd 18286 . . . 4 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
2120adantr 484 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
223frmd0 18287 . . . 4 ∅ = (0g𝑀)
234, 22, 13issubm 18230 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
2421, 23syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
257, 9, 19, 24mpbir3and 1344 1 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1089   = wceq 1543  wcel 2110  wral 3061  wss 3866  c0 4237  cfv 6380  (class class class)co 7213  Word cword 14069   ++ cconcat 14125  Basecbs 16760  +gcplusg 16802  Mndcmnd 18173  SubMndcsubmnd 18217  freeMndcfrmd 18274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-rep 5179  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-int 4860  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-1o 8202  df-er 8391  df-map 8510  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-fin 8630  df-card 9555  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-nn 11831  df-2 11893  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-fz 13096  df-fzo 13239  df-hash 13897  df-word 14070  df-concat 14126  df-struct 16700  df-slot 16735  df-ndx 16745  df-base 16761  df-plusg 16815  df-0g 16946  df-mgm 18114  df-sgrp 18163  df-mnd 18174  df-submnd 18219  df-frmd 18276
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator