MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdsssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdsssubm 17605
Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdsssubm ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem frmdsssubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sswrd 13508 . . . 4 (𝐽𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
21adantl 467 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
3 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
4 eqid 2770 . . . . 5 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
53, 4frmdbas 17596 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
65adantr 466 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
72, 6sseqtr4d 3789 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀))
8 wrd0 13525 . . 3 ∅ ∈ Word 𝐽
98a1i 11 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∅ ∈ Word 𝐽)
107sselda 3750 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐽) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
117sselda 3750 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
1210, 11anim12dan 597 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
13 eqid 2770 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
143, 4, 13frmdadd 17599 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
16 ccatcl 13555 . . . . 5 ((𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1716adantl 467 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1815, 17eqeltrd 2849 . . 3 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
1918ralrimivva 3119 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
203frmdmnd 17603 . . . 4 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
2120adantr 466 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
223frmd0 17604 . . . 4 ∅ = (0g𝑀)
234, 22, 13issubm 17554 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
2421, 23syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
257, 9, 19, 24mpbir3and 1426 1 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 196  wa 382  w3a 1070   = wceq 1630  wcel 2144  wral 3060  wss 3721  c0 4061  cfv 6031  (class class class)co 6792  Word cword 13486   ++ cconcat 13488  Basecbs 16063  +gcplusg 16148  Mndcmnd 17501  SubMndcsubmnd 17541  freeMndcfrmd 17591
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214
This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-frmd 17593
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator