MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdsssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdsssubm 18815
Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdsssubm ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ Word 𝐽 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))

Proof of Theorem frmdsssubm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sswrd 14502 . . . 4 (𝐽 βŠ† 𝐼 β†’ Word 𝐽 βŠ† Word 𝐼)
21adantl 480 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ Word 𝐽 βŠ† Word 𝐼)
3 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
4 eqid 2725 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
53, 4frmdbas 18806 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
65adantr 479 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
72, 6sseqtrrd 4014 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ Word 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
8 wrd0 14519 . . 3 βˆ… ∈ Word 𝐽
98a1i 11 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ βˆ… ∈ Word 𝐽)
107sselda 3972 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
117sselda 3972 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1210, 11anim12dan 617 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
13 eqid 2725 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
143, 4, 13frmdadd 18809 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
16 ccatcl 14554 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1716adantl 480 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1815, 17eqeltrd 2825 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐽)
1918ralrimivva 3191 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Word π½βˆ€π‘¦ ∈ Word 𝐽(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐽)
203frmdmnd 18813 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2120adantr 479 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
223frmd0 18814 . . . 4 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
234, 22, 13issubm 18757 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (Word 𝐽 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (Word 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ… ∈ Word 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word π½βˆ€π‘¦ ∈ Word 𝐽(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
2421, 23syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ (Word 𝐽 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (Word 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ… ∈ Word 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word π½βˆ€π‘¦ ∈ Word 𝐽(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
257, 9, 19, 24mpbir3and 1339 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ Word 𝐽 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  βˆ€wral 3051   βŠ† wss 3940  βˆ…c0 4318  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7415  Word cword 14494   ++ cconcat 14550  Basecbs 17177  +gcplusg 17230  Mndcmnd 18691  SubMndcsubmnd 18736  freeMndcfrmd 18801
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7737  ax-cnex 11192  ax-resscn 11193  ax-1cn 11194  ax-icn 11195  ax-addcl 11196  ax-addrcl 11197  ax-mulcl 11198  ax-mulrcl 11199  ax-mulcom 11200  ax-addass 11201  ax-mulass 11202  ax-distr 11203  ax-i2m1 11204  ax-1ne0 11205  ax-1rid 11206  ax-rnegex 11207  ax-rrecex 11208  ax-cnre 11209  ax-pre-lttri 11210  ax-pre-lttrn 11211  ax-pre-ltadd 11212  ax-pre-mulgt0 11213
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3960  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7868  df-1st 7989  df-2nd 7990  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8388  df-rdg 8427  df-1o 8483  df-er 8721  df-map 8843  df-en 8961  df-dom 8962  df-sdom 8963  df-fin 8964  df-card 9960  df-pnf 11278  df-mnf 11279  df-xr 11280  df-ltxr 11281  df-le 11282  df-sub 11474  df-neg 11475  df-nn 12241  df-2 12303  df-n0 12501  df-z 12587  df-uz 12851  df-fz 13515  df-fzo 13658  df-hash 14320  df-word 14495  df-concat 14551  df-struct 17113  df-slot 17148  df-ndx 17160  df-base 17178  df-plusg 17243  df-0g 17420  df-mgm 18597  df-sgrp 18676  df-mnd 18692  df-submnd 18738  df-frmd 18803
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator