MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdsssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdsssubm 18738
Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
Assertion
Ref Expression
frmdsssubm ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ Word 𝐽 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))

Proof of Theorem frmdsssubm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sswrd 14468 . . . 4 (𝐽 βŠ† 𝐼 β†’ Word 𝐽 βŠ† Word 𝐼)
21adantl 482 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ Word 𝐽 βŠ† Word 𝐼)
3 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMndβ€˜πΌ)
4 eqid 2732 . . . . 5 (Baseβ€˜π‘€) = (Baseβ€˜π‘€)
53, 4frmdbas 18729 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
65adantr 481 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ (Baseβ€˜π‘€) = Word 𝐼)
72, 6sseqtrrd 4022 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ Word 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘€))
8 wrd0 14485 . . 3 βˆ… ∈ Word 𝐽
98a1i 11 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ βˆ… ∈ Word 𝐽)
107sselda 3981 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ π‘₯ ∈ Word 𝐽) β†’ π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€))
117sselda 3981 . . . . . 6 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) β†’ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€))
1210, 11anim12dan 619 . . . . 5 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)))
13 eqid 2732 . . . . . 6 (+gβ€˜π‘€) = (+gβ€˜π‘€)
143, 4, 13frmdadd 18732 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ (Baseβ€˜π‘€) ∧ 𝑦 ∈ (Baseβ€˜π‘€)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) = (π‘₯ ++ 𝑦))
16 ccatcl 14520 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1716adantl 482 . . . 4 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘₯ ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1815, 17eqeltrd 2833 . . 3 (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) ∧ (π‘₯ ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) β†’ (π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐽)
1918ralrimivva 3200 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ βˆ€π‘₯ ∈ Word π½βˆ€π‘¦ ∈ Word 𝐽(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐽)
203frmdmnd 18736 . . . 4 (𝐼 ∈ 𝑉 β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
2120adantr 481 . . 3 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ 𝑀 ∈ Mnd)
223frmd0 18737 . . . 4 βˆ… = (0gβ€˜π‘€)
234, 22, 13issubm 18680 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd β†’ (Word 𝐽 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (Word 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ… ∈ Word 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word π½βˆ€π‘¦ ∈ Word 𝐽(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
2421, 23syl 17 . 2 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ (Word 𝐽 ∈ (SubMndβ€˜π‘€) ↔ (Word 𝐽 βŠ† (Baseβ€˜π‘€) ∧ βˆ… ∈ Word 𝐽 ∧ βˆ€π‘₯ ∈ Word π½βˆ€π‘¦ ∈ Word 𝐽(π‘₯(+gβ€˜π‘€)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
257, 9, 19, 24mpbir3and 1342 1 ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 βŠ† 𝐼) β†’ Word 𝐽 ∈ (SubMndβ€˜π‘€))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  βˆ€wral 3061   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4321  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Word cword 14460   ++ cconcat 14516  Basecbs 17140  +gcplusg 17193  Mndcmnd 18621  SubMndcsubmnd 18666  freeMndcfrmd 18724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8699  df-map 8818  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-fin 8939  df-card 9930  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-fz 13481  df-fzo 13624  df-hash 14287  df-word 14461  df-concat 14517  df-struct 17076  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-submnd 18668  df-frmd 18726
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator