MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdsssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdsssubm 17714
Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdsssubm ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem frmdsssubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sswrd 13542 . . . 4 (𝐽𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
21adantl 474 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
3 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
4 eqid 2799 . . . . 5 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
53, 4frmdbas 17705 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
65adantr 473 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
72, 6sseqtr4d 3838 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀))
8 wrd0 13559 . . 3 ∅ ∈ Word 𝐽
98a1i 11 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∅ ∈ Word 𝐽)
107sselda 3798 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐽) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
117sselda 3798 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
1210, 11anim12dan 613 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
13 eqid 2799 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
143, 4, 13frmdadd 17708 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
16 ccatcl 13594 . . . . 5 ((𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1716adantl 474 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1815, 17eqeltrd 2878 . . 3 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
1918ralrimivva 3152 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
203frmdmnd 17712 . . . 4 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
2120adantr 473 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
223frmd0 17713 . . . 4 ∅ = (0g𝑀)
234, 22, 13issubm 17662 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
2421, 23syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
257, 9, 19, 24mpbir3and 1443 1 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  wral 3089  wss 3769  c0 4115  cfv 6101  (class class class)co 6878  Word cword 13534   ++ cconcat 13590  Basecbs 16184  +gcplusg 16267  Mndcmnd 17609  SubMndcsubmnd 17649  freeMndcfrmd 17700
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-int 4668  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-1o 7799  df-oadd 7803  df-er 7982  df-map 8097  df-pm 8098  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-fin 8199  df-card 9051  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-nn 11313  df-2 11376  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-fz 12581  df-fzo 12721  df-hash 13371  df-word 13535  df-concat 13591  df-struct 16186  df-ndx 16187  df-slot 16188  df-base 16190  df-plusg 16280  df-0g 16417  df-mgm 17557  df-sgrp 17599  df-mnd 17610  df-submnd 17651  df-frmd 17702
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator