Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  frmdsssubm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem frmdsssubm 18021
 Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
frmdmnd.m 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
Assertion
Ref Expression
frmdsssubm ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem frmdsssubm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sswrd 13868 . . . 4 (𝐽𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
21adantl 485 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
3 frmdmnd.m . . . . 5 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
4 eqid 2798 . . . . 5 (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
53, 4frmdbas 18012 . . . 4 (𝐼𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
65adantr 484 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
72, 6sseqtrrd 3956 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀))
8 wrd0 13885 . . 3 ∅ ∈ Word 𝐽
98a1i 11 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∅ ∈ Word 𝐽)
107sselda 3915 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐽) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
117sselda 3915 . . . . . 6 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
1210, 11anim12dan 621 . . . . 5 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
13 eqid 2798 . . . . . 6 (+g𝑀) = (+g𝑀)
143, 4, 13frmdadd 18015 . . . . 5 ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
1512, 14syl 17 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
16 ccatcl 13920 . . . . 5 ((𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1716adantl 485 . . . 4 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
1815, 17eqeltrd 2890 . . 3 (((𝐼𝑉𝐽𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
1918ralrimivva 3156 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
203frmdmnd 18019 . . . 4 (𝐼𝑉𝑀 ∈ Mnd)
2120adantr 484 . . 3 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
223frmd0 18020 . . . 4 ∅ = (0g𝑀)
234, 22, 13issubm 17963 . . 3 (𝑀 ∈ Mnd → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
2421, 23syl 17 . 2 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
257, 9, 19, 24mpbir3and 1339 1 ((𝐼𝑉𝐽𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   ∧ w3a 1084   = wceq 1538   ∈ wcel 2111  ∀wral 3106   ⊆ wss 3881  ∅c0 4243  ‘cfv 6325  (class class class)co 7136  Word cword 13860   ++ cconcat 13916  Basecbs 16478  +gcplusg 16560  Mndcmnd 17906  SubMndcsubmnd 17950  freeMndcfrmd 18007 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5155  ax-sep 5168  ax-nul 5175  ax-pow 5232  ax-pr 5296  ax-un 7444  ax-cnex 10585  ax-resscn 10586  ax-1cn 10587  ax-icn 10588  ax-addcl 10589  ax-addrcl 10590  ax-mulcl 10591  ax-mulrcl 10592  ax-mulcom 10593  ax-addass 10594  ax-mulass 10595  ax-distr 10596  ax-i2m1 10597  ax-1ne0 10598  ax-1rid 10599  ax-rnegex 10600  ax-rrecex 10601  ax-cnre 10602  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604  ax-pre-ltadd 10605  ax-pre-mulgt0 10606 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4802  df-int 4840  df-iun 4884  df-br 5032  df-opab 5094  df-mpt 5112  df-tr 5138  df-id 5426  df-eprel 5431  df-po 5439  df-so 5440  df-fr 5479  df-we 5481  df-xp 5526  df-rel 5527  df-cnv 5528  df-co 5529  df-dm 5530  df-rn 5531  df-res 5532  df-ima 5533  df-pred 6117  df-ord 6163  df-on 6164  df-lim 6165  df-suc 6166  df-iota 6284  df-fun 6327  df-fn 6328  df-f 6329  df-f1 6330  df-fo 6331  df-f1o 6332  df-fv 6333  df-riota 7094  df-ov 7139  df-oprab 7140  df-mpo 7141  df-om 7564  df-1st 7674  df-2nd 7675  df-wrecs 7933  df-recs 7994  df-rdg 8032  df-1o 8088  df-oadd 8092  df-er 8275  df-map 8394  df-en 8496  df-dom 8497  df-sdom 8498  df-fin 8499  df-card 9355  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-xr 10671  df-ltxr 10672  df-le 10673  df-sub 10864  df-neg 10865  df-nn 11629  df-2 11691  df-n0 11889  df-z 11973  df-uz 12235  df-fz 12889  df-fzo 13032  df-hash 13690  df-word 13861  df-concat 13917  df-struct 16480  df-ndx 16481  df-slot 16482  df-base 16484  df-plusg 16573  df-0g 16710  df-mgm 17847  df-sgrp 17896  df-mnd 17907  df-submnd 17952  df-frmd 18009 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator