Theorem frmdsssubm 17605

Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdsssubm	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem frmdsssubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sswrd 13508	. . . 4 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
2	1	adantl 467	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
3		frmdmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
4		eqid 2770	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5	3, 4	frmdbas 17596	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
6	5	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	2, 6	sseqtr4d 3789	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀))
8		wrd0 13525	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐽
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∅ ∈ Word 𝐽)
10	7	sselda 3750	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐽) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
11	7	sselda 3750	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
12	10, 11	anim12dan 597	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
13		eqid 2770	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
14	3, 4, 13	frmdadd 17599	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
16		ccatcl 13555	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
17	16	adantl 467	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
18	15, 17	eqeltrd 2849	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
19	18	ralrimivva 3119	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
20	3	frmdmnd 17603	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
21	20	adantr 466	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
22	3	frmd0 17604	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
23	4, 22, 13	issubm 17554	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
24	21, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
25	7, 9, 19, 24	mpbir3and 1426	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 196   ∧ wa 382   ∧ w3a 1070   = wceq 1630   ∈ wcel 2144  ∀wral 3060   ⊆ wss 3721  ∅c0 4061  ‘cfv 6031  (class class class)co 6792  Word cword 13486   ++ cconcat 13488  Basecbs 16063  +_gcplusg 16148  Mndcmnd 17501  SubMndcsubmnd 17541  freeMndcfrmd 17591

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1869  ax-4 1884  ax-5 1990  ax-6 2056  ax-7 2092  ax-8 2146  ax-9 2153  ax-10 2173  ax-11 2189  ax-12 2202  ax-13 2407  ax-ext 2750  ax-rep 4902  ax-sep 4912  ax-nul 4920  ax-pow 4971  ax-pr 5034  ax-un 7095  ax-cnex 10193  ax-resscn 10194  ax-1cn 10195  ax-icn 10196  ax-addcl 10197  ax-addrcl 10198  ax-mulcl 10199  ax-mulrcl 10200  ax-mulcom 10201  ax-addass 10202  ax-mulass 10203  ax-distr 10204  ax-i2m1 10205  ax-1ne0 10206  ax-1rid 10207  ax-rnegex 10208  ax-rrecex 10209  ax-cnre 10210  ax-pre-lttri 10211  ax-pre-lttrn 10212  ax-pre-ltadd 10213  ax-pre-mulgt0 10214

This theorem depends on definitions:  df-bi 197  df-an 383  df-or 827  df-3or 1071  df-3an 1072  df-tru 1633  df-ex 1852  df-nf 1857  df-sb 2049  df-eu 2621  df-mo 2622  df-clab 2757  df-cleq 2763  df-clel 2766  df-nfc 2901  df-ne 2943  df-nel 3046  df-ral 3065  df-rex 3066  df-reu 3067  df-rmo 3068  df-rab 3069  df-v 3351  df-sbc 3586  df-csb 3681  df-dif 3724  df-un 3726  df-in 3728  df-ss 3735  df-pss 3737  df-nul 4062  df-if 4224  df-pw 4297  df-sn 4315  df-pr 4317  df-tp 4319  df-op 4321  df-uni 4573  df-int 4610  df-iun 4654  df-br 4785  df-opab 4845  df-mpt 4862  df-tr 4885  df-id 5157  df-eprel 5162  df-po 5170  df-so 5171  df-fr 5208  df-we 5210  df-xp 5255  df-rel 5256  df-cnv 5257  df-co 5258  df-dm 5259  df-rn 5260  df-res 5261  df-ima 5262  df-pred 5823  df-ord 5869  df-on 5870  df-lim 5871  df-suc 5872  df-iota 5994  df-fun 6033  df-fn 6034  df-f 6035  df-f1 6036  df-fo 6037  df-f1o 6038  df-fv 6039  df-riota 6753  df-ov 6795  df-oprab 6796  df-mpt2 6797  df-om 7212  df-1st 7314  df-2nd 7315  df-wrecs 7558  df-recs 7620  df-rdg 7658  df-1o 7712  df-oadd 7716  df-er 7895  df-map 8010  df-pm 8011  df-en 8109  df-dom 8110  df-sdom 8111  df-fin 8112  df-card 8964  df-pnf 10277  df-mnf 10278  df-xr 10279  df-ltxr 10280  df-le 10281  df-sub 10469  df-neg 10470  df-nn 11222  df-2 11280  df-n0 11494  df-z 11579  df-uz 11888  df-fz 12533  df-fzo 12673  df-hash 13321  df-word 13494  df-concat 13496  df-struct 16065  df-ndx 16066  df-slot 16067  df-base 16069  df-plusg 16161  df-0g 16309  df-mgm 17449  df-sgrp 17491  df-mnd 17502  df-submnd 17543  df-frmd 17593

This theorem is referenced by: (None)