Theorem frmdsssubm 18795

Description: The set of words taking values in a subset is a (free) submonoid of the free monoid. (Contributed by Mario Carneiro, 27-Sep-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 27-Feb-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
frmdmnd.m	⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)

Assertion

Ref	Expression
frmdsssubm	⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Proof of Theorem frmdsssubm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sswrd 14494	. . . 4 ⊢ (𝐽 ⊆ 𝐼 → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
2	1	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ⊆ Word 𝐼)
3		frmdmnd.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (freeMnd‘𝐼)
4		eqid 2730	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝑀) = (Base‘𝑀)
5	3, 4	frmdbas 18786	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
6	5	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Base‘𝑀) = Word 𝐼)
7	2, 6	sseqtrrd 3987	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀))
8		wrd0 14511	. . 3 ⊢ ∅ ∈ Word 𝐽
9	8	a1i 11	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∅ ∈ Word 𝐽)
10	7	sselda 3949	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑥 ∈ Word 𝐽) → 𝑥 ∈ (Base‘𝑀))
11	7	sselda 3949	. . . . . 6 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → 𝑦 ∈ (Base‘𝑀))
12	10, 11	anim12dan 619	. . . . 5 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)))
13		eqid 2730	. . . . . 6 ⊢ (+g‘𝑀) = (+g‘𝑀)
14	3, 4, 13	frmdadd 18789	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ (Base‘𝑀) ∧ 𝑦 ∈ (Base‘𝑀)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
15	12, 14	syl 17	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) = (𝑥 ++ 𝑦))
16		ccatcl 14546	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
17	16	adantl 481	. . . 4 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥 ++ 𝑦) ∈ Word 𝐽)
18	15, 17	eqeltrd 2829	. . 3 ⊢ (((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) ∧ (𝑥 ∈ Word 𝐽 ∧ 𝑦 ∈ Word 𝐽)) → (𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
19	18	ralrimivva 3181	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)
20	3	frmdmnd 18793	. . . 4 ⊢ (𝐼 ∈ 𝑉 → 𝑀 ∈ Mnd)
21	20	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → 𝑀 ∈ Mnd)
22	3	frmd0 18794	. . . 4 ⊢ ∅ = (0g‘𝑀)
23	4, 22, 13	issubm 18737	. . 3 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
24	21, 23	syl 17	. 2 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → (Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (Word 𝐽 ⊆ (Base‘𝑀) ∧ ∅ ∈ Word 𝐽 ∧ ∀𝑥 ∈ Word 𝐽∀𝑦 ∈ Word 𝐽(𝑥(+g‘𝑀)𝑦) ∈ Word 𝐽)))
25	7, 9, 19, 24	mpbir3and 1343	1 ⊢ ((𝐼 ∈ 𝑉 ∧ 𝐽 ⊆ 𝐼) → Word 𝐽 ∈ (SubMnd‘𝑀))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3045   ⊆ wss 3917  ∅c0 4299  ‘cfv 6514  (class class class)co 7390  Word cword 14485   ++ cconcat 14542  Basecbs 17186  +_gcplusg 17227  Mndcmnd 18668  SubMndcsubmnd 18716  freeMndcfrmd 18781

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-rep 5237  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-cnex 11131  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-pss 3937  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-int 4914  df-iun 4960  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5536  df-eprel 5541  df-po 5549  df-so 5550  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-om 7846  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8263  df-wrecs 8294  df-recs 8343  df-rdg 8381  df-1o 8437  df-er 8674  df-map 8804  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-fin 8925  df-card 9899  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415  df-nn 12194  df-2 12256  df-n0 12450  df-z 12537  df-uz 12801  df-fz 13476  df-fzo 13623  df-hash 14303  df-word 14486  df-concat 14543  df-struct 17124  df-slot 17159  df-ndx 17171  df-base 17187  df-plusg 17240  df-0g 17411  df-mgm 18574  df-sgrp 18653  df-mnd 18669  df-submnd 18718  df-frmd 18783

This theorem is referenced by: (None)