MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0subm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0subm 20761
Description: The nonnegative extended real numbers are a submonoid of the nonnegative-infinite extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrge0subm (0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜π‘…)

Proof of Theorem xrge0subm
Dummy variables π‘₯ 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 484 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ ∈ ℝ*)
2 ge0nemnf 13021 . . . . 5 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ π‘₯ β‰  -∞)
31, 2jca 513 . . . 4 ((π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯) β†’ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
4 elxrge0 13303 . . . 4 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ 0 ≀ π‘₯))
5 eldifsn 4746 . . . 4 (π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}) ↔ (π‘₯ ∈ ℝ* ∧ π‘₯ β‰  -∞))
63, 4, 53imtr4i 292 . . 3 (π‘₯ ∈ (0[,]+∞) β†’ π‘₯ ∈ (ℝ* βˆ– {-∞}))
76ssriv 3947 . 2 (0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞})
8 0e0iccpnf 13305 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
9 ge0xaddcl 13308 . . 3 ((π‘₯ ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) β†’ (π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
109rgen2 3193 . 2 βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)
11 xrs1mnd.1 . . . 4 𝑅 = (ℝ*𝑠 β†Ύs (ℝ* βˆ– {-∞}))
1211xrs1mnd 20758 . . 3 𝑅 ∈ Mnd
13 difss 4090 . . . . 5 (ℝ* βˆ– {-∞}) βŠ† ℝ*
14 xrsbas 20736 . . . . . 6 ℝ* = (Baseβ€˜β„*𝑠)
1511, 14ressbas2 17055 . . . . 5 ((ℝ* βˆ– {-∞}) βŠ† ℝ* β†’ (ℝ* βˆ– {-∞}) = (Baseβ€˜π‘…))
1613, 15ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* βˆ– {-∞}) = (Baseβ€˜π‘…)
1711xrs10 20759 . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘…)
18 xrex 12841 . . . . . 6 ℝ* ∈ V
1918difexi 5284 . . . . 5 (ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V
20 xrsadd 20737 . . . . . 6 +𝑒 = (+gβ€˜β„*𝑠)
2111, 20ressplusg 17106 . . . . 5 ((ℝ* βˆ– {-∞}) ∈ V β†’ +𝑒 = (+gβ€˜π‘…))
2219, 21ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+gβ€˜π‘…)
2316, 17, 22issubm 18549 . . 3 (𝑅 ∈ Mnd β†’ ((0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜π‘…) ↔ ((0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))))
2412, 23ax-mp 5 . 2 ((0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜π‘…) ↔ ((0[,]+∞) βŠ† (ℝ* βˆ– {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ βˆ€π‘₯ ∈ (0[,]+∞)βˆ€π‘¦ ∈ (0[,]+∞)(π‘₯ +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
257, 8, 10, 24mpbir3an 1342 1 (0[,]+∞) ∈ (SubMndβ€˜π‘…)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2942  βˆ€wral 3063  Vcvv 3444   βˆ– cdif 3906   βŠ† wss 3909  {csn 4585   class class class wbr 5104  β€˜cfv 6492  (class class class)co 7350  0cc0 10985  +∞cpnf 11120  -∞cmnf 11121  β„*cxr 11122   ≀ cle 11124   +𝑒 cxad 12960  [,]cicc 13196  Basecbs 17018   β†Ύs cress 17047  +gcplusg 17068  β„*𝑠cxrs 17317  Mndcmnd 18491  SubMndcsubmnd 18535
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-cnex 11041  ax-resscn 11042  ax-1cn 11043  ax-icn 11044  ax-addcl 11045  ax-addrcl 11046  ax-mulcl 11047  ax-mulrcl 11048  ax-mulcom 11049  ax-addass 11050  ax-mulass 11051  ax-distr 11052  ax-i2m1 11053  ax-1ne0 11054  ax-1rid 11055  ax-rnegex 11056  ax-rrecex 11057  ax-cnre 11058  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060  ax-pre-ltadd 11061  ax-pre-mulgt0 11062
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-pss 3928  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4865  df-iun 4955  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-tr 5222  df-id 5529  df-eprel 5535  df-po 5543  df-so 5544  df-fr 5586  df-we 5588  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6250  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7306  df-ov 7353  df-oprab 7354  df-mpo 7355  df-om 7794  df-1st 7912  df-2nd 7913  df-frecs 8180  df-wrecs 8211  df-recs 8285  df-rdg 8324  df-1o 8380  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-fin 8821  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-xr 11127  df-ltxr 11128  df-le 11129  df-sub 11321  df-neg 11322  df-nn 12088  df-2 12150  df-3 12151  df-4 12152  df-5 12153  df-6 12154  df-7 12155  df-8 12156  df-9 12157  df-n0 12348  df-z 12434  df-dec 12552  df-uz 12697  df-xadd 12963  df-icc 13200  df-fz 13354  df-struct 16954  df-sets 16971  df-slot 16989  df-ndx 17001  df-base 17019  df-ress 17048  df-plusg 17081  df-mulr 17082  df-tset 17087  df-ple 17088  df-ds 17090  df-0g 17258  df-xrs 17319  df-mgm 18432  df-sgrp 18481  df-mnd 18492  df-submnd 18537
This theorem is referenced by:  xrge0cmn  20762  xrge0gsumle  24118  xrge0tsms  24119  xrge0tsmsd  31681
  Copyright terms: Public domain W3C validator