Theorem xrge0subm 21558

Description: The nonnegative extended real numbers are a submonoid of the nonnegative-infinite extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrge0subm	⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Proof of Theorem xrge0subm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 487	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		ge0nemnf 13195	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 520	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
4		elxrge0 13480	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
5		eldifsn 4755	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
6	3, 4, 5	3imtr4i 295	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	ssriv 3949	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
8		0e0iccpnf 13482	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9		ge0xaddcl 13485	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
10	9	rgen2 3211	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)
11		xrs1mnd.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1mnd 21555	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
13		difss 4098	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
14		xrsbas 17656	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	11, 14	ressbas2 17294	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
17	11	xrs10 21556	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		xrex 13007	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
19	18	difexi 5298	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
20		xrsadd 21505	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
21	11, 20	ressplusg 17340	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
23	16, 17, 22	issubm 18857	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))))
24	12, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
25	7, 8, 10, 24	mpbir3an 1358	1 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1101   = wceq 1567   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964  ∀wral 3085  Vcvv 3463   ∖ cdif 3910   ⊆ wss 3913  {csn 4591   class class class wbr 5110  ‘cfv 6533  (class class class)co 7408  0cc0 11096  +∞cpnf 11236  -∞cmnf 11237  ℝ^*cxr 11238   ≤ cle 11240   +_𝑒 cxad 13131  [,]cicc 13371  Basecbs 17265   ↾_s cress 17286  +_gcplusg 17306  ℝ^*_𝑠cxrs 17550  Mndcmnd 18788  SubMndcsubmnd 18836

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5258  ax-nul 5268  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7730  ax-cnex 11152  ax-resscn 11153  ax-1cn 11154  ax-icn 11155  ax-addcl 11156  ax-addrcl 11157  ax-mulcl 11158  ax-mulrcl 11159  ax-mulcom 11160  ax-addass 11161  ax-mulass 11162  ax-distr 11163  ax-i2m1 11164  ax-1ne0 11165  ax-1rid 11166  ax-rnegex 11167  ax-rrecex 11168  ax-cnre 11169  ax-pre-lttri 11170  ax-pre-lttrn 11171  ax-pre-ltadd 11172  ax-pre-mulgt0 11173

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-pss 3933  df-nul 4295  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-tp 4596  df-op 4598  df-uni 4874  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5554  df-eprel 5559  df-po 5567  df-so 5568  df-fr 5612  df-we 5614  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6299  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7859  df-1st 7982  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-1o 8449  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11241  df-mnf 11242  df-xr 11243  df-ltxr 11244  df-le 11245  df-sub 11439  df-neg 11440  df-nn 12230  df-2 12299  df-3 12300  df-4 12301  df-5 12302  df-6 12303  df-7 12304  df-8 12305  df-9 12306  df-n0 12501  df-z 12588  df-dec 12708  df-uz 12859  df-xadd 13134  df-icc 13375  df-fz 13532  df-struct 17203  df-sets 17220  df-slot 17238  df-ndx 17250  df-base 17266  df-ress 17287  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-tset 17325  df-ple 17326  df-ds 17328  df-0g 17490  df-xrs 17552  df-mgm 18694  df-sgrp 18773  df-mnd 18789  df-submnd 18838

This theorem is referenced by:  xrge0cmn  21559  xrge0gsumle  24956  xrge0tsms  24957  xrge0tsmsd  33330