MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0subm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0subm 21442
Description: The nonnegative extended real numbers are a submonoid of the nonnegative-infinite extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrge0subm (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Proof of Theorem xrge0subm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2 ge0nemnf 13211 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
31, 2jca 511 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
4 elxrge0 13493 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
5 eldifsn 4790 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
63, 4, 53imtr4i 292 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
76ssriv 3998 . 2 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
8 0e0iccpnf 13495 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
9 ge0xaddcl 13498 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
109rgen2 3196 . 2 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)
11 xrs1mnd.1 . . . 4 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
1211xrs1mnd 21439 . . 3 𝑅 ∈ Mnd
13 difss 4145 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
14 xrsbas 21413 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
1511, 14ressbas2 17282 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
1613, 15ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
1711xrs10 21440 . . . 4 0 = (0g𝑅)
18 xrex 13026 . . . . . 6 * ∈ V
1918difexi 5335 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
20 xrsadd 21414 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
2111, 20ressplusg 17335 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
2219, 21ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+g𝑅)
2316, 17, 22issubm 18828 . . 3 (𝑅 ∈ Mnd → ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))))
2412, 23ax-mp 5 . 2 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
257, 8, 10, 24mpbir3an 1340 1 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937  wral 3058  Vcvv 3477  cdif 3959  wss 3962  {csn 4630   class class class wbr 5147  cfv 6562  (class class class)co 7430  0cc0 11152  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291  cle 11293   +𝑒 cxad 13149  [,]cicc 13386  Basecbs 17244  s cress 17273  +gcplusg 17297  *𝑠cxrs 17546  Mndcmnd 18759  SubMndcsubmnd 18807
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-1o 8504  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-fin 8987  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-nn 12264  df-2 12326  df-3 12327  df-4 12328  df-5 12329  df-6 12330  df-7 12331  df-8 12332  df-9 12333  df-n0 12524  df-z 12611  df-dec 12731  df-uz 12876  df-xadd 13152  df-icc 13390  df-fz 13544  df-struct 17180  df-sets 17197  df-slot 17215  df-ndx 17227  df-base 17245  df-ress 17274  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-tset 17316  df-ple 17317  df-ds 17319  df-0g 17487  df-xrs 17548  df-mgm 18665  df-sgrp 18744  df-mnd 18760  df-submnd 18809
This theorem is referenced by:  xrge0cmn  21443  xrge0gsumle  24868  xrge0tsms  24869  xrge0tsmsd  33047
  Copyright terms: Public domain W3C validator