Theorem xrge0subm 21187

Description: The nonnegative extended real numbers are a submonoid of the nonnegative-infinite extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrge0subm	⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Proof of Theorem xrge0subm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		ge0nemnf 13157	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
4		elxrge0 13439	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
5		eldifsn 4791	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
6	3, 4, 5	3imtr4i 291	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	ssriv 3987	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
8		0e0iccpnf 13441	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9		ge0xaddcl 13444	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
10	9	rgen2 3196	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)
11		xrs1mnd.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1mnd 21184	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
13		difss 4132	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
14		xrsbas 21162	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	11, 14	ressbas2 17187	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
17	11	xrs10 21185	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		xrex 12976	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
19	18	difexi 5329	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
20		xrsadd 21163	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
21	11, 20	ressplusg 17240	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
23	16, 17, 22	issubm 18721	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))))
24	12, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
25	7, 8, 10, 24	mpbir3an 1340	1 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939  ∀wral 3060  Vcvv 3473   ∖ cdif 3946   ⊆ wss 3949  {csn 4629   class class class wbr 5149  ‘cfv 6544  (class class class)co 7412  0cc0 11113  +∞cpnf 11250  -∞cmnf 11251  ℝ^*cxr 11252   ≤ cle 11254   +_𝑒 cxad 13095  [,]cicc 13332  Basecbs 17149   ↾_s cress 17178  +_gcplusg 17202  ℝ^*_𝑠cxrs 17451  Mndcmnd 18660  SubMndcsubmnd 18705

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-1st 7978  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-1o 8469  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-fin 8946  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-3 12281  df-4 12282  df-5 12283  df-6 12284  df-7 12285  df-8 12286  df-9 12287  df-n0 12478  df-z 12564  df-dec 12683  df-uz 12828  df-xadd 13098  df-icc 13336  df-fz 13490  df-struct 17085  df-sets 17102  df-slot 17120  df-ndx 17132  df-base 17150  df-ress 17179  df-plusg 17215  df-mulr 17216  df-tset 17221  df-ple 17222  df-ds 17224  df-0g 17392  df-xrs 17453  df-mgm 18566  df-sgrp 18645  df-mnd 18661  df-submnd 18707

This theorem is referenced by:  xrge0cmn  21188  xrge0gsumle  24570  xrge0tsms  24571  xrge0tsmsd  32476