Theorem xrge0subm 21324

Description: The nonnegative extended real numbers are a submonoid of the nonnegative-infinite extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrge0subm	⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Proof of Theorem xrge0subm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		ge0nemnf 13133	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
4		elxrge0 13418	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
5		eldifsn 4750	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
6	3, 4, 5	3imtr4i 292	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	ssriv 3950	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
8		0e0iccpnf 13420	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9		ge0xaddcl 13423	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
10	9	rgen2 3177	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)
11		xrs1mnd.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1mnd 21321	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
13		difss 4099	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
14		xrsbas 21295	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	11, 14	ressbas2 17208	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
17	11	xrs10 21322	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		xrex 12946	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
19	18	difexi 5285	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
20		xrsadd 21296	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
21	11, 20	ressplusg 17254	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
23	16, 17, 22	issubm 18730	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))))
24	12, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
25	7, 8, 10, 24	mpbir3an 1342	1 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925  ∀wral 3044  Vcvv 3447   ∖ cdif 3911   ⊆ wss 3914  {csn 4589   class class class wbr 5107  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  0cc0 11068  +∞cpnf 11205  -∞cmnf 11206  ℝ^*cxr 11207   ≤ cle 11209   +_𝑒 cxad 13070  [,]cicc 13309  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  +_gcplusg 17220  ℝ^*_𝑠cxrs 17463  Mndcmnd 18661  SubMndcsubmnd 18709

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-tp 4594  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-1st 7968  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-1o 8434  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-fin 8922  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-9 12256  df-n0 12443  df-z 12530  df-dec 12650  df-uz 12794  df-xadd 13073  df-icc 13313  df-fz 13469  df-struct 17117  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-tset 17239  df-ple 17240  df-ds 17242  df-0g 17404  df-xrs 17465  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-submnd 18711

This theorem is referenced by:  xrge0cmn  21325  xrge0gsumle  24722  xrge0tsms  24723  xrge0tsmsd  33002