Theorem xrge0subm 21448

Description: The nonnegative extended real numbers are a submonoid of the nonnegative-infinite extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrge0subm	⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Proof of Theorem xrge0subm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		ge0nemnf 13235	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
4		elxrge0 13517	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
5		eldifsn 4811	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
6	3, 4, 5	3imtr4i 292	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	ssriv 4012	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
8		0e0iccpnf 13519	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9		ge0xaddcl 13522	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
10	9	rgen2 3205	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)
11		xrs1mnd.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1mnd 21445	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
13		difss 4159	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
14		xrsbas 21419	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	11, 14	ressbas2 17296	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
17	11	xrs10 21446	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		xrex 13052	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
19	18	difexi 5348	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
20		xrsadd 21420	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
21	11, 20	ressplusg 17349	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
23	16, 17, 22	issubm 18838	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))))
24	12, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
25	7, 8, 10, 24	mpbir3an 1341	1 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946  ∀wral 3067  Vcvv 3488   ∖ cdif 3973   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  (class class class)co 7448  0cc0 11184  +∞cpnf 11321  -∞cmnf 11322  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325   +_𝑒 cxad 13173  [,]cicc 13410  Basecbs 17258   ↾_s cress 17287  +_gcplusg 17311  ℝ^*_𝑠cxrs 17560  Mndcmnd 18772  SubMndcsubmnd 18817

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-mulcom 11248  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6332  df-ord 6398  df-on 6399  df-lim 6400  df-suc 6401  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-om 7904  df-1st 8030  df-2nd 8031  df-frecs 8322  df-wrecs 8353  df-recs 8427  df-rdg 8466  df-1o 8522  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-fin 9007  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11522  df-neg 11523  df-nn 12294  df-2 12356  df-3 12357  df-4 12358  df-5 12359  df-6 12360  df-7 12361  df-8 12362  df-9 12363  df-n0 12554  df-z 12640  df-dec 12759  df-uz 12904  df-xadd 13176  df-icc 13414  df-fz 13568  df-struct 17194  df-sets 17211  df-slot 17229  df-ndx 17241  df-base 17259  df-ress 17288  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-tset 17330  df-ple 17331  df-ds 17333  df-0g 17501  df-xrs 17562  df-mgm 18678  df-sgrp 18757  df-mnd 18773  df-submnd 18819

This theorem is referenced by:  xrge0cmn  21449  xrge0gsumle  24874  xrge0tsms  24875  xrge0tsmsd  33041