MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  xrge0subm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem xrge0subm 20637
Description: The nonnegative extended real numbers are a submonoid of the nonnegative-infinite extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
xrs1mnd.1 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
Assertion
Ref Expression
xrge0subm (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Proof of Theorem xrge0subm
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl 483 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2 ge0nemnf 12905 . . . . 5 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
31, 2jca 512 . . . 4 ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
4 elxrge0 13187 . . . 4 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
5 eldifsn 4722 . . . 4 (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ≠ -∞))
63, 4, 53imtr4i 292 . . 3 (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
76ssriv 3926 . 2 (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
8 0e0iccpnf 13189 . 2 0 ∈ (0[,]+∞)
9 ge0xaddcl 13192 . . 3 ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
109rgen2 3128 . 2 𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)
11 xrs1mnd.1 . . . 4 𝑅 = (ℝ*𝑠s (ℝ* ∖ {-∞}))
1211xrs1mnd 20634 . . 3 𝑅 ∈ Mnd
13 difss 4067 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
14 xrsbas 20612 . . . . . 6 * = (Base‘ℝ*𝑠)
1511, 14ressbas2 16947 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
1613, 15ax-mp 5 . . . 4 (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
1711xrs10 20635 . . . 4 0 = (0g𝑅)
18 xrex 12725 . . . . . 6 * ∈ V
1918difexi 5254 . . . . 5 (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
20 xrsadd 20613 . . . . . 6 +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
2111, 20ressplusg 16998 . . . . 5 ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g𝑅))
2219, 21ax-mp 5 . . . 4 +𝑒 = (+g𝑅)
2316, 17, 22issubm 18440 . . 3 (𝑅 ∈ Mnd → ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))))
2412, 23ax-mp 5 . 2 ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
257, 8, 10, 24mpbir3an 1340 1 (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wa 396  w3a 1086   = wceq 1539  wcel 2106  wne 2943  wral 3064  Vcvv 3431  cdif 3885  wss 3888  {csn 4563   class class class wbr 5076  cfv 6435  (class class class)co 7277  0cc0 10869  +∞cpnf 11004  -∞cmnf 11005  *cxr 11006  cle 11008   +𝑒 cxad 12844  [,]cicc 13080  Basecbs 16910  s cress 16939  +gcplusg 16960  *𝑠cxrs 17209  Mndcmnd 18383  SubMndcsubmnd 18427
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5225  ax-nul 5232  ax-pow 5290  ax-pr 5354  ax-un 7588  ax-cnex 10925  ax-resscn 10926  ax-1cn 10927  ax-icn 10928  ax-addcl 10929  ax-addrcl 10930  ax-mulcl 10931  ax-mulrcl 10932  ax-mulcom 10933  ax-addass 10934  ax-mulass 10935  ax-distr 10936  ax-i2m1 10937  ax-1ne0 10938  ax-1rid 10939  ax-rnegex 10940  ax-rrecex 10941  ax-cnre 10942  ax-pre-lttri 10943  ax-pre-lttrn 10944  ax-pre-ltadd 10945  ax-pre-mulgt0 10946
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-pss 3907  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-tp 4568  df-op 4570  df-uni 4842  df-iun 4928  df-br 5077  df-opab 5139  df-mpt 5160  df-tr 5194  df-id 5491  df-eprel 5497  df-po 5505  df-so 5506  df-fr 5546  df-we 5548  df-xp 5597  df-rel 5598  df-cnv 5599  df-co 5600  df-dm 5601  df-rn 5602  df-res 5603  df-ima 5604  df-pred 6204  df-ord 6271  df-on 6272  df-lim 6273  df-suc 6274  df-iota 6393  df-fun 6437  df-fn 6438  df-f 6439  df-f1 6440  df-fo 6441  df-f1o 6442  df-fv 6443  df-riota 7234  df-ov 7280  df-oprab 7281  df-mpo 7282  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8095  df-wrecs 8126  df-recs 8200  df-rdg 8239  df-1o 8295  df-er 8496  df-en 8732  df-dom 8733  df-sdom 8734  df-fin 8735  df-pnf 11009  df-mnf 11010  df-xr 11011  df-ltxr 11012  df-le 11013  df-sub 11205  df-neg 11206  df-nn 11972  df-2 12034  df-3 12035  df-4 12036  df-5 12037  df-6 12038  df-7 12039  df-8 12040  df-9 12041  df-n0 12232  df-z 12318  df-dec 12436  df-uz 12581  df-xadd 12847  df-icc 13084  df-fz 13238  df-struct 16846  df-sets 16863  df-slot 16881  df-ndx 16893  df-base 16911  df-ress 16940  df-plusg 16973  df-mulr 16974  df-tset 16979  df-ple 16980  df-ds 16982  df-0g 17150  df-xrs 17211  df-mgm 18324  df-sgrp 18373  df-mnd 18384  df-submnd 18429
This theorem is referenced by:  xrge0cmn  20638  xrge0gsumle  23994  xrge0tsms  23995  xrge0tsmsd  31314
  Copyright terms: Public domain W3C validator