Theorem xrge0subm 20580

Description: The nonnegative extended real numbers are a submonoid of the nonnegative-infinite extended reals. (Contributed by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
xrs1mnd.1	⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))

Assertion

Ref	Expression
xrge0subm	⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Proof of Theorem xrge0subm

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 485	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ∈ ℝ*)
2		ge0nemnf 12560	. . . . 5 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → 𝑥 ≠ -∞)
3	1, 2	jca 514	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥) → (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
4		elxrge0 12839	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 0 ≤ 𝑥))
5		eldifsn 4712	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}) ↔ (𝑥 ∈ ℝ* ∧ 𝑥 ≠ -∞))
6	3, 4, 5	3imtr4i 294	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ (0[,]+∞) → 𝑥 ∈ (ℝ* ∖ {-∞}))
7	6	ssriv 3970	. 2 ⊢ (0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞})
8		0e0iccpnf 12841	. 2 ⊢ 0 ∈ (0[,]+∞)
9		ge0xaddcl 12844	. . 3 ⊢ ((𝑥 ∈ (0[,]+∞) ∧ 𝑦 ∈ (0[,]+∞)) → (𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))
10	9	rgen2 3203	. 2 ⊢ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)
11		xrs1mnd.1	. . . 4 ⊢ 𝑅 = (ℝ*𝑠 ↾s (ℝ* ∖ {-∞}))
12	11	xrs1mnd 20577	. . 3 ⊢ 𝑅 ∈ Mnd
13		difss 4107	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ*
14		xrsbas 20555	. . . . . 6 ⊢ ℝ* = (Base‘ℝ*𝑠)
15	11, 14	ressbas2 16549	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ⊆ ℝ* → (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅))
16	13, 15	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) = (Base‘𝑅)
17	11	xrs10 20578	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
18		xrex 12380	. . . . . 6 ⊢ ℝ* ∈ V
19	18	difexi 5224	. . . . 5 ⊢ (ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V
20		xrsadd 20556	. . . . . 6 ⊢ +𝑒 = (+g‘ℝ*𝑠)
21	11, 20	ressplusg 16606	. . . . 5 ⊢ ((ℝ* ∖ {-∞}) ∈ V → +𝑒 = (+g‘𝑅))
22	19, 21	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ +𝑒 = (+g‘𝑅)
23	16, 17, 22	issubm 17962	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Mnd → ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞))))
24	12, 23	ax-mp 5	. 2 ⊢ ((0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅) ↔ ((0[,]+∞) ⊆ (ℝ* ∖ {-∞}) ∧ 0 ∈ (0[,]+∞) ∧ ∀𝑥 ∈ (0[,]+∞)∀𝑦 ∈ (0[,]+∞)(𝑥 +𝑒 𝑦) ∈ (0[,]+∞)))
25	7, 8, 10, 24	mpbir3an 1337	1 ⊢ (0[,]+∞) ∈ (SubMnd‘𝑅)

Syntax hints:   ↔ wb 208   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1533   ∈ wcel 2110   ≠ wne 3016  ∀wral 3138  Vcvv 3494   ∖ cdif 3932   ⊆ wss 3935  {csn 4560   class class class wbr 5058  ‘cfv 6349  (class class class)co 7150  0cc0 10531  +∞cpnf 10666  -∞cmnf 10667  ℝ^*cxr 10668   ≤ cle 10670   +_𝑒 cxad 12499  [,]cicc 12735  Basecbs 16477   ↾_s cress 16478  +_gcplusg 16559  ℝ^*_𝑠cxrs 16767  Mndcmnd 17905  SubMndcsubmnd 17949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2173  ax-ext 2793  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7455  ax-cnex 10587  ax-resscn 10588  ax-1cn 10589  ax-icn 10590  ax-addcl 10591  ax-addrcl 10592  ax-mulcl 10593  ax-mulrcl 10594  ax-mulcom 10595  ax-addass 10596  ax-mulass 10597  ax-distr 10598  ax-i2m1 10599  ax-1ne0 10600  ax-1rid 10601  ax-rnegex 10602  ax-rrecex 10603  ax-cnre 10604  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606  ax-pre-ltadd 10607  ax-pre-mulgt0 10608

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rmo 3146  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-pss 3953  df-nul 4291  df-if 4467  df-pw 4540  df-sn 4561  df-pr 4563  df-tp 4565  df-op 4567  df-uni 4832  df-int 4869  df-iun 4913  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-tr 5165  df-id 5454  df-eprel 5459  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5508  df-we 5510  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-pred 6142  df-ord 6188  df-on 6189  df-lim 6190  df-suc 6191  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7108  df-ov 7153  df-oprab 7154  df-mpo 7155  df-om 7575  df-1st 7683  df-2nd 7684  df-wrecs 7941  df-recs 8002  df-rdg 8040  df-1o 8096  df-oadd 8100  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-fin 8507  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-xr 10673  df-ltxr 10674  df-le 10675  df-sub 10866  df-neg 10867  df-nn 11633  df-2 11694  df-3 11695  df-4 11696  df-5 11697  df-6 11698  df-7 11699  df-8 11700  df-9 11701  df-n0 11892  df-z 11976  df-dec 12093  df-uz 12238  df-xadd 12502  df-icc 12739  df-fz 12887  df-struct 16479  df-ndx 16480  df-slot 16481  df-base 16483  df-sets 16484  df-ress 16485  df-plusg 16572  df-mulr 16573  df-tset 16578  df-ple 16579  df-ds 16581  df-0g 16709  df-xrs 16769  df-mgm 17846  df-sgrp 17895  df-mnd 17906  df-submnd 17951

This theorem is referenced by:  xrge0cmn  20581  xrge0gsumle  23435  xrge0tsms  23436  xrge0tsmsd  30687