Theorem issubrg3 20551

Description: A subring is an additive subgroup which is also a multiplicative submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubrg3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issubrg3	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Proof of Theorem issubrg3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2725	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	issubrg2 20543	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
5		3anass 1092	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
6	4, 5	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
7		issubrg3.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	7	ringmgp 20191	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
9	1	subgss 19090	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
10	7, 1	mgpbas 20092	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
11	7, 2	ringidval 20135	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
12	7, 3	mgpplusg 20090	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
13	10, 11, 12	issubm 18763	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
14		3anass 1092	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
15	13, 14	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
16	15	baibd 538	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
17	8, 9, 16	syl2an 594	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
18	17	pm5.32da 577	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
19	6, 18	bitr4d 281	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098  ∀wral 3050   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  ._rcmulr 17237  Mndcmnd 18697  SubMndcsubmnd 18742  SubGrpcsubg 19083  mulGrpcmgp 20086  1_rcur 20133  Ringcrg 20185  SubRingcsubrg 20518

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-0g 17426  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-subg 19086  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-subrng 20495  df-subrg 20520

This theorem is referenced by:  rhmeql  20554  rhmima  20555  cntzsubr  20557  subrgacs  20700