Theorem issubrg3 20134

Description: A subring is an additive subgroup which is also a multiplicative submonoid. (Contributed by Mario Carneiro, 7-Mar-2015.)

Hypothesis

Ref	Expression
issubrg3.m	⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
issubrg3	⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Proof of Theorem issubrg3

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
2		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (1r‘𝑅) = (1r‘𝑅)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
4	1, 2, 3	issubrg2 20126	. . 3 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
5		3anass 1094	. . 3 ⊢ ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
6	4, 5	bitrdi 286	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
7		issubrg3.m	. . . . 5 ⊢ 𝑀 = (mulGrp‘𝑅)
8	7	ringmgp 19864	. . . 4 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → 𝑀 ∈ Mnd)
9	1	subgss 18832	. . . 4 ⊢ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) → 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅))
10	7, 1	mgpbas 19801	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑀)
11	7, 2	ringidval 19814	. . . . . . 7 ⊢ (1r‘𝑅) = (0g‘𝑀)
12	7, 3	mgpplusg 19799	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘𝑀)
13	10, 11, 12	issubm 18519	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
14		3anass 1094	. . . . . 6 ⊢ ((𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ (1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
15	13, 14	bitrdi 286	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ Mnd → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ (𝑆 ⊆ (Base‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
16	15	baibd 540	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ Mnd ∧ 𝑆 ⊆ (Base‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
17	8, 9, 16	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ 𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅)) → (𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀) ↔ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆)))
18	17	pm5.32da 579	. 2 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → ((𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀)) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ ((1r‘𝑅) ∈ 𝑆 ∧ ∀𝑥 ∈ 𝑆 ∀𝑦 ∈ 𝑆 (𝑥(.r‘𝑅)𝑦) ∈ 𝑆))))
19	6, 18	bitr4d 281	1 ⊢ (𝑅 ∈ Ring → (𝑆 ∈ (SubRing‘𝑅) ↔ (𝑆 ∈ (SubGrp‘𝑅) ∧ 𝑆 ∈ (SubMnd‘𝑀))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2105  ∀wral 3062   ⊆ wss 3897  ‘cfv 6466  (class class class)co 7317  Basecbs 16989  ._rcmulr 17040  Mndcmnd 18462  SubMndcsubmnd 18506  SubGrpcsubg 18825  mulGrpcmgp 19795  1_rcur 19812  Ringcrg 19858  SubRingcsubrg 20102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-sep 5238  ax-nul 5245  ax-pow 5303  ax-pr 5367  ax-un 7630  ax-cnex 11007  ax-resscn 11008  ax-1cn 11009  ax-icn 11010  ax-addcl 11011  ax-addrcl 11012  ax-mulcl 11013  ax-mulrcl 11014  ax-mulcom 11015  ax-addass 11016  ax-mulass 11017  ax-distr 11018  ax-i2m1 11019  ax-1ne0 11020  ax-1rid 11021  ax-rnegex 11022  ax-rrecex 11023  ax-cnre 11024  ax-pre-lttri 11025  ax-pre-lttrn 11026  ax-pre-ltadd 11027  ax-pre-mulgt0 11028

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4268  df-if 4472  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4851  df-iun 4939  df-br 5088  df-opab 5150  df-mpt 5171  df-tr 5205  df-id 5507  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5563  df-we 5565  df-xp 5614  df-rel 5615  df-cnv 5616  df-co 5617  df-dm 5618  df-rn 5619  df-res 5620  df-ima 5621  df-pred 6225  df-ord 6292  df-on 6293  df-lim 6294  df-suc 6295  df-iota 6418  df-fun 6468  df-fn 6469  df-f 6470  df-f1 6471  df-fo 6472  df-f1o 6473  df-fv 6474  df-riota 7274  df-ov 7320  df-oprab 7321  df-mpo 7322  df-om 7760  df-2nd 7879  df-frecs 8146  df-wrecs 8177  df-recs 8251  df-rdg 8290  df-er 8548  df-en 8784  df-dom 8785  df-sdom 8786  df-pnf 11091  df-mnf 11092  df-xr 11093  df-ltxr 11094  df-le 11095  df-sub 11287  df-neg 11288  df-nn 12054  df-2 12116  df-3 12117  df-sets 16942  df-slot 16960  df-ndx 16972  df-base 16990  df-ress 17019  df-plusg 17052  df-mulr 17053  df-0g 17229  df-mgm 18403  df-sgrp 18452  df-mnd 18463  df-submnd 18508  df-subg 18828  df-mgp 19796  df-ur 19813  df-ring 19860  df-subrg 20104

This theorem is referenced by:  rhmeql  20136  rhmima  20137  cntzsubr  20139  subrgacs  20151