Users' Mathboxes Mathbox for Stefan O'Rear < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  aaitgo Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem aaitgo 41518
Description: The standard algebraic numbers 𝔸 are generated by IntgOver. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Nov-2014.)
Assertion
Ref Expression
aaitgo 𝔸 = (IntgOverβ€˜β„š)

Proof of Theorem aaitgo
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rabid 3430 . . 3 (π‘Ž ∈ {π‘Ž ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)} ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)))
2 qsscn 12892 . . . . 5 β„š βŠ† β„‚
3 itgoval 41517 . . . . 5 (β„š βŠ† β„‚ β†’ (IntgOverβ€˜β„š) = {π‘Ž ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)})
42, 3ax-mp 5 . . . 4 (IntgOverβ€˜β„š) = {π‘Ž ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)}
54eleq2i 2830 . . 3 (π‘Ž ∈ (IntgOverβ€˜β„š) ↔ π‘Ž ∈ {π‘Ž ∈ β„‚ ∣ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)})
6 aacn 25693 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ π‘Ž ∈ β„‚)
7 mpaacl 41509 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ (minPolyAAβ€˜π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„š))
8 mpaaroot 41511 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ ((minPolyAAβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = 0)
9 mpaadgr 41510 . . . . . . . 8 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ (degβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž)) = (degAAβ€˜π‘Ž))
109fveq2d 6851 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ ((coeffβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))β€˜(degβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))) = ((coeffβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))β€˜(degAAβ€˜π‘Ž)))
11 mpaamn 41512 . . . . . . 7 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ ((coeffβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))β€˜(degAAβ€˜π‘Ž)) = 1)
1210, 11eqtrd 2777 . . . . . 6 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ ((coeffβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))β€˜(degβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))) = 1)
13 fveq1 6846 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (minPolyAAβ€˜π‘Ž) β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = ((minPolyAAβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž))
1413eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑏 = (minPolyAAβ€˜π‘Ž) β†’ ((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ↔ ((minPolyAAβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = 0))
15 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (minPolyAAβ€˜π‘Ž) β†’ (coeffβ€˜π‘) = (coeffβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž)))
16 fveq2 6847 . . . . . . . . . 10 (𝑏 = (minPolyAAβ€˜π‘Ž) β†’ (degβ€˜π‘) = (degβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž)))
1715, 16fveq12d 6854 . . . . . . . . 9 (𝑏 = (minPolyAAβ€˜π‘Ž) β†’ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = ((coeffβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))β€˜(degβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))))
1817eqeq1d 2739 . . . . . . . 8 (𝑏 = (minPolyAAβ€˜π‘Ž) β†’ (((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1 ↔ ((coeffβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))β€˜(degβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))) = 1))
1914, 18anbi12d 632 . . . . . . 7 (𝑏 = (minPolyAAβ€˜π‘Ž) β†’ (((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1) ↔ (((minPolyAAβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))β€˜(degβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))) = 1)))
2019rspcev 3584 . . . . . 6 (((minPolyAAβ€˜π‘Ž) ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ (((minPolyAAβ€˜π‘Ž)β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))β€˜(degβ€˜(minPolyAAβ€˜π‘Ž))) = 1)) β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1))
217, 8, 12, 20syl12anc 836 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1))
226, 21jca 513 . . . 4 (π‘Ž ∈ 𝔸 β†’ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)))
23 simpl 484 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ ((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)) β†’ 𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š))
24 coe0 25633 . . . . . . . . . . . . . . 15 (coeffβ€˜0𝑝) = (β„•0 Γ— {0})
2524fveq1i 6848 . . . . . . . . . . . . . 14 ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)) = ((β„•0 Γ— {0})β€˜(degβ€˜0𝑝))
26 dgr0 25639 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (degβ€˜0𝑝) = 0
27 0nn0 12435 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ β„•0
2826, 27eqeltri 2834 . . . . . . . . . . . . . . 15 (degβ€˜0𝑝) ∈ β„•0
29 c0ex 11156 . . . . . . . . . . . . . . . 16 0 ∈ V
3029fvconst2 7158 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((degβ€˜0𝑝) ∈ β„•0 β†’ ((β„•0 Γ— {0})β€˜(degβ€˜0𝑝)) = 0)
3128, 30ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . 14 ((β„•0 Γ— {0})β€˜(degβ€˜0𝑝)) = 0
3225, 31eqtri 2765 . . . . . . . . . . . . 13 ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)) = 0
33 0ne1 12231 . . . . . . . . . . . . 13 0 β‰  1
3432, 33eqnetri 3015 . . . . . . . . . . . 12 ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)) β‰  1
35 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 0𝑝 β†’ (coeffβ€˜π‘) = (coeffβ€˜0𝑝))
36 fveq2 6847 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑏 = 0𝑝 β†’ (degβ€˜π‘) = (degβ€˜0𝑝))
3735, 36fveq12d 6854 . . . . . . . . . . . . 13 (𝑏 = 0𝑝 β†’ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)))
3837neeq1d 3004 . . . . . . . . . . . 12 (𝑏 = 0𝑝 β†’ (((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) β‰  1 ↔ ((coeffβ€˜0𝑝)β€˜(degβ€˜0𝑝)) β‰  1))
3934, 38mpbiri 258 . . . . . . . . . . 11 (𝑏 = 0𝑝 β†’ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) β‰  1)
4039necon2i 2979 . . . . . . . . . 10 (((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1 β†’ 𝑏 β‰  0𝑝)
4140ad2antll 728 . . . . . . . . 9 ((𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ ((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)) β†’ 𝑏 β‰  0𝑝)
42 eldifsn 4752 . . . . . . . . 9 (𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ↔ (𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ 𝑏 β‰  0𝑝))
4323, 41, 42sylanbrc 584 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ ((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)) β†’ 𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}))
44 simprl 770 . . . . . . . 8 ((𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ ((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)) β†’ (π‘β€˜π‘Ž) = 0)
4543, 44jca 513 . . . . . . 7 ((𝑏 ∈ (Polyβ€˜β„š) ∧ ((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)) β†’ (𝑏 ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝}) ∧ (π‘β€˜π‘Ž) = 0))
4645reximi2 3083 . . . . . 6 (βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1) β†’ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘β€˜π‘Ž) = 0)
4746anim2i 618 . . . . 5 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)) β†’ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘β€˜π‘Ž) = 0))
48 elqaa 25698 . . . . 5 (π‘Ž ∈ 𝔸 ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘ ∈ ((Polyβ€˜β„š) βˆ– {0𝑝})(π‘β€˜π‘Ž) = 0))
4947, 48sylibr 233 . . . 4 ((π‘Ž ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)) β†’ π‘Ž ∈ 𝔸)
5022, 49impbii 208 . . 3 (π‘Ž ∈ 𝔸 ↔ (π‘Ž ∈ β„‚ ∧ βˆƒπ‘ ∈ (Polyβ€˜β„š)((π‘β€˜π‘Ž) = 0 ∧ ((coeffβ€˜π‘)β€˜(degβ€˜π‘)) = 1)))
511, 5, 503bitr4ri 304 . 2 (π‘Ž ∈ 𝔸 ↔ π‘Ž ∈ (IntgOverβ€˜β„š))
5251eqriv 2734 1 𝔸 = (IntgOverβ€˜β„š)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944  βˆƒwrex 3074  {crab 3410   βˆ– cdif 3912   βŠ† wss 3915  {csn 4591   Γ— cxp 5636  β€˜cfv 6501  β„‚cc 11056  0cc0 11058  1c1 11059  β„•0cn0 12420  β„šcq 12880  0𝑝c0p 25049  Polycply 25561  coeffccoe 25563  degcdgr 25564  π”Έcaa 25690  degAAcdgraa 41496  minPolyAAcmpaa 41497  IntgOvercitgo 41513
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-inf2 9584  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135  ax-pre-sup 11136
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-se 5594  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-isom 6510  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-of 7622  df-om 7808  df-1st 7926  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-1o 8417  df-er 8655  df-map 8774  df-pm 8775  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-fin 8894  df-sup 9385  df-inf 9386  df-oi 9453  df-card 9882  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-div 11820  df-nn 12161  df-2 12223  df-3 12224  df-n0 12421  df-z 12507  df-uz 12771  df-q 12881  df-rp 12923  df-fz 13432  df-fzo 13575  df-fl 13704  df-mod 13782  df-seq 13914  df-exp 13975  df-hash 14238  df-cj 14991  df-re 14992  df-im 14993  df-sqrt 15127  df-abs 15128  df-clim 15377  df-rlim 15378  df-sum 15578  df-0p 25050  df-ply 25565  df-coe 25567  df-dgr 25568  df-aa 25691  df-dgraa 41498  df-mpaa 41499  df-itgo 41515
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator