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Theorem cdleme20d 36893
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113, last paragraph on p. 114, second line. 𝐷, 𝐹, 𝑌, 𝐺 represent s2, f(s), t2, f(t). (Contributed by NM, 17-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme19.l = (le‘𝐾)
cdleme19.j = (join‘𝐾)
cdleme19.m = (meet‘𝐾)
cdleme19.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdleme19.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdleme19.u 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
cdleme19.f 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
cdleme19.g 𝐺 = ((𝑇 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑇) 𝑊)))
cdleme19.d 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
cdleme19.y 𝑌 = ((𝑅 𝑇) 𝑊)
cdleme20.v 𝑉 = ((𝑆 𝑇) 𝑊)
Assertion
Ref Expression
cdleme20d ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) = 𝑉)

Proof of Theorem cdleme20d
StepHypRef Expression
1 simp11l 1264 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ HL)
2 hlol 35942 . . . 4 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ OL)
31, 2syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ OL)
41hllatd 35945 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simp11r 1265 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑊𝐻)
6 simp12l 1266 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑃𝐴)
7 simp13l 1268 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑄𝐴)
8 simp21l 1270 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑆𝐴)
9 cdleme19.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
10 cdleme19.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
11 cdleme19.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
12 cdleme19.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
13 cdleme19.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
14 cdleme19.u . . . . . 6 𝑈 = ((𝑃 𝑄) 𝑊)
15 cdleme19.f . . . . . 6 𝐹 = ((𝑆 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑆) 𝑊)))
16 eqid 2778 . . . . . 6 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
179, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme1b 36807 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑆𝐴)) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
181, 5, 6, 7, 8, 17syl23anc 1357 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝐹 ∈ (Base‘𝐾))
19 simp22l 1272 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑇𝐴)
20 cdleme19.g . . . . . 6 𝐺 = ((𝑇 𝑈) (𝑄 ((𝑃 𝑇) 𝑊)))
219, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 16cdleme1b 36807 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴𝑇𝐴)) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
221, 5, 6, 7, 19, 21syl23anc 1357 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝐺 ∈ (Base‘𝐾))
2316, 10latjcl 17522 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝐹 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝐺 ∈ (Base‘𝐾)) → (𝐹 𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
244, 18, 22, 23syl3anc 1351 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝐹 𝐺) ∈ (Base‘𝐾))
2516, 13lhpbase 36579 . . . 4 (𝑊𝐻𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
265, 25syl 17 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))
27 simp23l 1274 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑅𝐴)
2816, 10, 12hlatjcl 35948 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
291, 27, 8, 28syl3anc 1351 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾))
3016, 12atbase 35870 . . . . 5 (𝑇𝐴𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
3119, 30syl 17 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))
3216, 10latjcl 17522 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑅 𝑆) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
334, 29, 31, 32syl3anc 1351 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ((𝑅 𝑆) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
3416, 11latmassOLD 35810 . . 3 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝐹 𝐺) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑆) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝐹 𝐺) 𝑊) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) = ((𝐹 𝐺) (𝑊 ((𝑅 𝑆) 𝑇))))
353, 24, 26, 33, 34syl13anc 1352 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (((𝐹 𝐺) 𝑊) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) = ((𝐹 𝐺) (𝑊 ((𝑅 𝑆) 𝑇))))
369, 10, 12hlatlej2 35957 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑅𝐴𝑆𝐴) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
371, 27, 8, 36syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑆 (𝑅 𝑆))
3816, 12atbase 35870 . . . . . . . . 9 (𝑆𝐴𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
398, 38syl 17 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑆 ∈ (Base‘𝐾))
4016, 9, 10latjlej1 17536 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 ∈ (Base‘𝐾) ∧ (𝑅 𝑆) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑇 ∈ (Base‘𝐾))) → (𝑆 (𝑅 𝑆) → (𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
414, 39, 29, 31, 40syl13anc 1352 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 (𝑅 𝑆) → (𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
4237, 41mpd 15 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇))
4316, 10, 12hlatjcl 35948 . . . . . . . 8 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑆𝐴𝑇𝐴) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
441, 8, 19, 43syl3anc 1351 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾))
4516, 9, 11latleeqm1 17550 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑆) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾)) → ((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇) ↔ ((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) = (𝑆 𝑇)))
464, 44, 33, 45syl3anc 1351 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇) ↔ ((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) = (𝑆 𝑇)))
4742, 46mpbid 224 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) = (𝑆 𝑇))
4847oveq1d 6993 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) 𝑊) = ((𝑆 𝑇) 𝑊))
49 cdleme20.v . . . 4 𝑉 = ((𝑆 𝑇) 𝑊)
5048, 49syl6reqr 2833 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = (((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) 𝑊))
5116, 11latm32 35812 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OL ∧ ((𝑆 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ ((𝑅 𝑆) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾))) → (((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) 𝑊) = (((𝑆 𝑇) 𝑊) ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
523, 44, 33, 26, 51syl13anc 1352 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) 𝑊) = (((𝑆 𝑇) 𝑊) ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
53 simp1 1116 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)))
54 simp21 1186 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊))
55 simp22 1187 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊))
56 simp31 1189 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑃𝑄𝑆𝑇))
57 simp32l 1278 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑆 (𝑃 𝑄))
58 simp32r 1279 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))
599, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20cdleme16 36866 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑃𝑄𝑆𝑇)) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) = ((𝐹 𝐺) 𝑊))
6053, 54, 55, 56, 57, 58, 59syl132anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ((𝑆 𝑇) 𝑊) = ((𝐹 𝐺) 𝑊))
6160oveq1d 6993 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (((𝑆 𝑇) 𝑊) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) = (((𝐹 𝐺) 𝑊) ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
6252, 61eqtrd 2814 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (((𝑆 𝑇) ((𝑅 𝑆) 𝑇)) 𝑊) = (((𝐹 𝐺) 𝑊) ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
6350, 62eqtrd 2814 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑉 = (((𝐹 𝐺) 𝑊) ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
64 simp23 1188 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊))
65 simp33 1191 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → 𝑅 (𝑃 𝑄))
66 cdleme19.d . . . . . 6 𝐷 = ((𝑅 𝑆) 𝑊)
67 cdleme19.y . . . . . 6 𝑌 = ((𝑅 𝑇) 𝑊)
689, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 66, 67, 49cdleme20c 36892 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ ((𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊) ∧ (𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ 𝑇𝐴) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝐷 𝑌) = (((𝑅 𝑆) 𝑇) 𝑊))
691, 5, 64, 54, 19, 57, 65, 68syl232anc 1377 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝐷 𝑌) = (((𝑅 𝑆) 𝑇) 𝑊))
7016, 11latmcom 17546 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ ((𝑅 𝑆) 𝑇) ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑊 ∈ (Base‘𝐾)) → (((𝑅 𝑆) 𝑇) 𝑊) = (𝑊 ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
714, 33, 26, 70syl3anc 1351 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (((𝑅 𝑆) 𝑇) 𝑊) = (𝑊 ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
7269, 71eqtrd 2814 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → (𝐷 𝑌) = (𝑊 ((𝑅 𝑆) 𝑇)))
7372oveq2d 6994 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) = ((𝐹 𝐺) (𝑊 ((𝑅 𝑆) 𝑇))))
7435, 63, 733eqtr4rd 2825 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝑃𝐴 ∧ ¬ 𝑃 𝑊) ∧ (𝑄𝐴 ∧ ¬ 𝑄 𝑊)) ∧ ((𝑆𝐴 ∧ ¬ 𝑆 𝑊) ∧ (𝑇𝐴 ∧ ¬ 𝑇 𝑊) ∧ (𝑅𝐴 ∧ ¬ 𝑅 𝑊)) ∧ ((𝑃𝑄𝑆𝑇) ∧ (¬ 𝑆 (𝑃 𝑄) ∧ ¬ 𝑇 (𝑃 𝑄)) ∧ 𝑅 (𝑃 𝑄))) → ((𝐹 𝐺) (𝐷 𝑌)) = 𝑉)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 387  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050  wne 2967   class class class wbr 4930  cfv 6190  (class class class)co 6978  Basecbs 16342  lecple 16431  joincjn 17415  meetcmee 17416  Latclat 17516  OLcol 35755  Atomscatm 35844  HLchlt 35931  LHypclh 36565
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2750  ax-rep 5050  ax-sep 5061  ax-nul 5068  ax-pow 5120  ax-pr 5187  ax-un 7281
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3or 1069  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2583  df-clab 2759  df-cleq 2771  df-clel 2846  df-nfc 2918  df-ne 2968  df-ral 3093  df-rex 3094  df-reu 3095  df-rab 3097  df-v 3417  df-sbc 3684  df-csb 3789  df-dif 3834  df-un 3836  df-in 3838  df-ss 3845  df-nul 4181  df-if 4352  df-pw 4425  df-sn 4443  df-pr 4445  df-op 4449  df-uni 4714  df-iun 4795  df-iin 4796  df-br 4931  df-opab 4993  df-mpt 5010  df-id 5313  df-xp 5414  df-rel 5415  df-cnv 5416  df-co 5417  df-dm 5418  df-rn 5419  df-res 5420  df-ima 5421  df-iota 6154  df-fun 6192  df-fn 6193  df-f 6194  df-f1 6195  df-fo 6196  df-f1o 6197  df-fv 6198  df-riota 6939  df-ov 6981  df-oprab 6982  df-mpo 6983  df-1st 7503  df-2nd 7504  df-proset 17399  df-poset 17417  df-plt 17429  df-lub 17445  df-glb 17446  df-join 17447  df-meet 17448  df-p0 17510  df-p1 17511  df-lat 17517  df-clat 17579  df-oposet 35757  df-ol 35759  df-oml 35760  df-covers 35847  df-ats 35848  df-atl 35879  df-cvlat 35903  df-hlat 35932  df-llines 36079  df-lplanes 36080  df-lvols 36081  df-lines 36082  df-psubsp 36084  df-pmap 36085  df-padd 36377  df-lhyp 36569
This theorem is referenced by:  cdleme20e  36894  cdleme20j  36899  cdleme20l2  36902
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