Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp11l 1285 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β HL) |
2 | | hlol 37869 |
. . . 4
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
3 | 1, 2 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β OL) |
4 | 1 | hllatd 37872 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΎ β Lat) |
5 | | simp11r 1286 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π») |
6 | | simp12l 1287 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
7 | | simp13l 1289 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
8 | | simp21l 1291 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
9 | | cdleme19.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | cdleme19.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | cdleme19.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
12 | | cdleme19.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
13 | | cdleme19.h |
. . . . . 6
β’ π» = (LHypβπΎ) |
14 | | cdleme19.u |
. . . . . 6
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
15 | | cdleme19.f |
. . . . . 6
β’ πΉ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
16 | | eqid 2733 |
. . . . . 6
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
17 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 | cdleme1b 38735 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
18 | 1, 5, 6, 7, 8, 17 | syl23anc 1378 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΉ β (BaseβπΎ)) |
19 | | simp22l 1293 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β π΄) |
20 | | cdleme19.g |
. . . . . 6
β’ πΊ = ((π β¨ π) β§ (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
21 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 20, 16 | cdleme1b 38735 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
22 | 1, 5, 6, 7, 19, 21 | syl23anc 1378 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β πΊ β (BaseβπΎ)) |
23 | 16, 10 | latjcl 18333 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ πΉ β (BaseβπΎ) β§ πΊ β (BaseβπΎ)) β (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
24 | 4, 18, 22, 23 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ)) |
25 | 16, 13 | lhpbase 38507 |
. . . 4
β’ (π β π» β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 5, 25 | syl 17 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
27 | | simp23l 1295 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β π΄) |
28 | 16, 10, 12 | hlatjcl 37875 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
29 | 1, 27, 8, 28 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
30 | 16, 12 | atbase 37797 |
. . . . 5
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
31 | 19, 30 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
32 | 16, 10 | latjcl 18333 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π
β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
33 | 4, 29, 31, 32 | syl3anc 1372 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π
β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
34 | 16, 11 | latmassOLD 37737 |
. . 3
β’ ((πΎ β OL β§ ((πΉ β¨ πΊ) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ))) β (((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) = ((πΉ β¨ πΊ) β§ (π β§ ((π
β¨ π) β¨ π)))) |
35 | 3, 24, 26, 33, 34 | syl13anc 1373 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) = ((πΉ β¨ πΊ) β§ (π β§ ((π
β¨ π) β¨ π)))) |
36 | | cdleme20.v |
. . . 4
β’ π = ((π β¨ π) β§ π) |
37 | 9, 10, 12 | hlatlej2 37884 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π
β π΄ β§ π β π΄) β π β€ (π
β¨ π)) |
38 | 1, 27, 8, 37 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β€ (π
β¨ π)) |
39 | 16, 12 | atbase 37797 |
. . . . . . . . 9
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
40 | 8, 39 | syl 17 |
. . . . . . . 8
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
41 | 16, 9, 10 | latjlej1 18347 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ (π
β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (π β€ (π
β¨ π) β (π β¨ π) β€ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
42 | 4, 40, 29, 31, 41 | syl13anc 1373 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β€ (π
β¨ π) β (π β¨ π) β€ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
43 | 38, 42 | mpd 15 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β€ ((π
β¨ π) β¨ π)) |
44 | 16, 10, 12 | hlatjcl 37875 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
45 | 1, 8, 19, 44 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
46 | 16, 9, 11 | latleeqm1 18361 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β€ ((π
β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) = (π β¨ π))) |
47 | 4, 45, 33, 46 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β€ ((π
β¨ π) β¨ π) β ((π β¨ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) = (π β¨ π))) |
48 | 43, 47 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) = (π β¨ π)) |
49 | 48 | oveq1d 7373 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) β§ π) = ((π β¨ π) β§ π)) |
50 | 36, 49 | eqtr4id 2792 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π = (((π β¨ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) β§ π)) |
51 | 16, 11 | latm32 37739 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β OL β§ ((π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π
β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) β§ π) = (((π β¨ π) β§ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
52 | 3, 45, 33, 26, 51 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) β§ π) = (((π β¨ π) β§ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
53 | | simp1 1137 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π))) |
54 | | simp21 1207 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
55 | | simp22 1208 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) |
56 | | simp31 1210 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π β π β§ π β π)) |
57 | | simp32l 1299 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
58 | | simp32r 1300 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π)) |
59 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20 | cdleme16 38794 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π β§ π β π)) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) = ((πΉ β¨ πΊ) β§ π)) |
60 | 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59 | syl132anc 1389 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((π β¨ π) β§ π) = ((πΉ β¨ πΊ) β§ π)) |
61 | 60 | oveq1d 7373 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) = (((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
62 | 52, 61 | eqtrd 2773 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π β¨ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π)) β§ π) = (((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
63 | 50, 62 | eqtrd 2773 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π = (((πΉ β¨ πΊ) β§ π) β§ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
64 | | simp23 1209 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) |
65 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β π
β€ (π β¨ π)) |
66 | | cdleme19.d |
. . . . . 6
β’ π· = ((π
β¨ π) β§ π) |
67 | | cdleme19.y |
. . . . . 6
β’ π = ((π
β¨ π) β§ π) |
68 | 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 20, 66, 67, 36 | cdleme20c 38820 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π») β§ ((π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π· β¨ π) = (((π
β¨ π) β¨ π) β§ π)) |
69 | 1, 5, 64, 54, 19, 57, 65, 68 | syl232anc 1398 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π· β¨ π) = (((π
β¨ π) β¨ π) β§ π)) |
70 | 16, 11 | latmcom 18357 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π
β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (((π
β¨ π) β¨ π) β§ π) = (π β§ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
71 | 4, 33, 26, 70 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (((π
β¨ π) β¨ π) β§ π) = (π β§ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
72 | 69, 71 | eqtrd 2773 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β (π· β¨ π) = (π β§ ((π
β¨ π) β¨ π))) |
73 | 72 | oveq2d 7374 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β¨ πΊ) β§ (π· β¨ π)) = ((πΉ β¨ πΊ) β§ (π β§ ((π
β¨ π) β¨ π)))) |
74 | 35, 63, 73 | 3eqtr4rd 2784 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π») β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π)) β§ ((π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π β π΄ β§ Β¬ π β€ π) β§ (π
β π΄ β§ Β¬ π
β€ π)) β§ ((π β π β§ π β π) β§ (Β¬ π β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π)) β§ π
β€ (π β¨ π))) β ((πΉ β¨ πΊ) β§ (π· β¨ π)) = π) |