Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemh1 37501
Description: Part of proof of Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemh.l = (le‘𝐾)
cdlemh.j = (join‘𝐾)
cdlemh.m = (meet‘𝐾)
cdlemh.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemh.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.s 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemh1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))

Proof of Theorem cdlemh1
StepHypRef Expression
1 cdlemh.s . . 3 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
21oveq1i 7026 . 2 (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹)))
3 simp11l 1277 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp11 1196 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp13 1198 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
6 simp12 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
7 simp3r 1195 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
87necomd 3039 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
9 cdlemh.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 cdlemh.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdlemh.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 cdlemh.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
139, 10, 11, 12trlcocnvat 37410 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
144, 5, 6, 8, 13syl121anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
153hllatd 36050 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simp2l 1192 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
17 cdlemh.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 9atbase 35975 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1916, 18syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐵)
2017, 10, 11, 12trlcl 36850 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
214, 5, 20syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
22 cdlemh.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2317, 22latjcl 17490 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
2415, 19, 21, 23syl3anc 1364 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
25 simp2r 1193 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐴)
2617, 22, 9hlatjcl 36053 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
273, 25, 14, 26syl3anc 1364 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
28 cdlemh.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2928, 22, 9hlatlej2 36062 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
303, 25, 14, 29syl3anc 1364 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
31 cdlemh.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
3217, 28, 22, 31, 9atmod4i1 36552 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
333, 14, 24, 27, 30, 32syl131anc 1376 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
3410, 11ltrncnv 36832 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
354, 6, 34syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
3622, 10, 11, 12trljco2 37427 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
374, 5, 35, 36syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
3810, 11, 12trlcnv 36851 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
394, 6, 38syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
4039oveq1d 7031 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
4137, 40eqtrd 2831 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
4241oveq2d 7032 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4310, 11ltrnco 37405 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
444, 5, 35, 43syl3anc 1364 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
4517, 10, 11, 12trlcl 36850 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
464, 44, 45syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
4717, 22latjass 17534 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4815, 19, 21, 46, 47syl13anc 1365 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4917, 10, 11, 12trlcl 36850 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
504, 6, 49syl2anc 584 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
5117, 22latjass 17534 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5215, 19, 50, 46, 51syl13anc 1365 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5342, 48, 523eqtr4d 2841 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5453oveq1d 7031 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
55 simp3l 1194 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)))
5617, 9atbase 35975 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
5725, 56syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐵)
5817, 22latjcl 17490 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
5915, 19, 50, 58syl3anc 1364 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
6017, 28, 22latjlej1 17504 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄𝐵 ∧ (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6115, 57, 59, 46, 60syl13anc 1365 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6255, 61mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6317, 22latjcl 17490 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
6415, 59, 46, 63syl3anc 1364 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
6517, 28, 31latleeqm2 17519 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵) → ((𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ↔ (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6615, 27, 64, 65syl3anc 1364 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ↔ (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6762, 66mpbid 233 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6833, 54, 673eqtrd 2835 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
692, 68syl5eq 2843 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1080   = wceq 1522  wcel 2081  wne 2984   class class class wbr 4962  ccnv 5442  ccom 5447  cfv 6225  (class class class)co 7016  Basecbs 16312  lecple 16401  joincjn 17383  meetcmee 17384  Latclat 17484  Atomscatm 35949  HLchlt 36036  LHypclh 36670  LTrncltrn 36787  trLctrl 36844
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1777  ax-4 1791  ax-5 1888  ax-6 1947  ax-7 1992  ax-8 2083  ax-9 2091  ax-10 2112  ax-11 2126  ax-12 2141  ax-13 2344  ax-ext 2769  ax-rep 5081  ax-sep 5094  ax-nul 5101  ax-pow 5157  ax-pr 5221  ax-un 7319  ax-riotaBAD 35639
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 843  df-3or 1081  df-3an 1082  df-tru 1525  df-ex 1762  df-nf 1766  df-sb 2043  df-mo 2576  df-eu 2612  df-clab 2776  df-cleq 2788  df-clel 2863  df-nfc 2935  df-ne 2985  df-ral 3110  df-rex 3111  df-reu 3112  df-rmo 3113  df-rab 3114  df-v 3439  df-sbc 3707  df-csb 3812  df-dif 3862  df-un 3864  df-in 3866  df-ss 3874  df-nul 4212  df-if 4382  df-pw 4455  df-sn 4473  df-pr 4475  df-op 4479  df-uni 4746  df-iun 4827  df-iin 4828  df-br 4963  df-opab 5025  df-mpt 5042  df-id 5348  df-xp 5449  df-rel 5450  df-cnv 5451  df-co 5452  df-dm 5453  df-rn 5454  df-res 5455  df-ima 5456  df-iota 6189  df-fun 6227  df-fn 6228  df-f 6229  df-f1 6230  df-fo 6231  df-f1o 6232  df-fv 6233  df-riota 6977  df-ov 7019  df-oprab 7020  df-mpo 7021  df-1st 7545  df-2nd 7546  df-undef 7790  df-map 8258  df-proset 17367  df-poset 17385  df-plt 17397  df-lub 17413  df-glb 17414  df-join 17415  df-meet 17416  df-p0 17478  df-p1 17479  df-lat 17485  df-clat 17547  df-oposet 35862  df-ol 35864  df-oml 35865  df-covers 35952  df-ats 35953  df-atl 35984  df-cvlat 36008  df-hlat 36037  df-llines 36184  df-lplanes 36185  df-lvols 36186  df-lines 36187  df-psubsp 36189  df-pmap 36190  df-padd 36482  df-lhyp 36674  df-laut 36675  df-ldil 36790  df-ltrn 36791  df-trl 36845
This theorem is referenced by:  cdlemh  37503
  Copyright terms: Public domain W3C validator