Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemh1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem cdlemh1 38111
Description: Part of proof of Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
cdlemh.l = (le‘𝐾)
cdlemh.j = (join‘𝐾)
cdlemh.m = (meet‘𝐾)
cdlemh.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
cdlemh.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
cdlemh.t 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.r 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
cdlemh.s 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Assertion
Ref Expression
cdlemh1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))

Proof of Theorem cdlemh1
StepHypRef Expression
1 cdlemh.s . . 3 𝑆 = ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
21oveq1i 7145 . 2 (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹)))
3 simp11l 1281 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ HL)
4 simp11 1200 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
5 simp13 1202 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐺𝑇)
6 simp12 1201 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
7 simp3r 1199 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))
87necomd 3042 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹))
9 cdlemh.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
10 cdlemh.h . . . . . 6 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
11 cdlemh.t . . . . . 6 𝑇 = ((LTrn‘𝐾)‘𝑊)
12 cdlemh.r . . . . . 6 𝑅 = ((trL‘𝐾)‘𝑊)
139, 10, 11, 12trlcocnvat 38020 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝑇𝐹𝑇) ∧ (𝑅𝐺) ≠ (𝑅𝐹)) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
144, 5, 6, 8, 13syl121anc 1372 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴)
153hllatd 36660 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐾 ∈ Lat)
16 simp2l 1196 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐴)
17 cdlemh.b . . . . . . 7 𝐵 = (Base‘𝐾)
1817, 9atbase 36585 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1916, 18syl 17 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑃𝐵)
2017, 10, 11, 12trlcl 37460 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
214, 5, 20syl2anc 587 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐺) ∈ 𝐵)
22 cdlemh.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
2317, 22latjcl 17653 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
2415, 19, 21, 23syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵)
25 simp2r 1197 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐴)
2617, 22, 9hlatjcl 36663 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
273, 25, 14, 26syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
28 cdlemh.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
2928, 22, 9hlatlej2 36672 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
303, 25, 14, 29syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
31 cdlemh.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
3217, 28, 22, 31, 9atmod4i1 37162 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ ((𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐴 ∧ (𝑃 (𝑅𝐺)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵) ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
333, 14, 24, 27, 30, 32syl131anc 1380 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
3410, 11ltrncnv 37442 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → 𝐹𝑇)
354, 6, 34syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝐹𝑇)
3622, 10, 11, 12trljco2 38037 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
374, 5, 35, 36syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
3810, 11, 12trlcnv 37461 . . . . . . . . 9 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
394, 6, 38syl2anc 587 . . . . . . . 8 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) = (𝑅𝐹))
4039oveq1d 7150 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
4137, 40eqtrd 2833 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
4241oveq2d 7151 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4310, 11ltrnco 38015 . . . . . . . 8 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐺𝑇𝐹𝑇) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
444, 5, 35, 43syl3anc 1368 . . . . . . 7 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝐺𝐹) ∈ 𝑇)
4517, 10, 11, 12trlcl 37460 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐺𝐹) ∈ 𝑇) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
464, 44, 45syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)
4717, 22latjass 17697 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐺) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4815, 19, 21, 46, 47syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐺) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
4917, 10, 11, 12trlcl 37460 . . . . . . 7 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
504, 6, 49syl2anc 587 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑅𝐹) ∈ 𝐵)
5117, 22latjass 17697 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5215, 19, 50, 46, 51syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑃 ((𝑅𝐹) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
5342, 48, 523eqtr4d 2843 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
5453oveq1d 7150 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
55 simp3l 1198 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)))
5617, 9atbase 36585 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
5725, 56syl 17 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → 𝑄𝐵)
5817, 22latjcl 17653 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑅𝐹) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
5915, 19, 50, 58syl3anc 1368 . . . . . 6 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵)
6017, 28, 22latjlej1 17667 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄𝐵 ∧ (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵)) → (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6115, 57, 59, 46, 60syl13anc 1369 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6255, 61mpd 15 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6317, 22latjcl 17653 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 (𝑅𝐹)) ∈ 𝐵 ∧ (𝑅‘(𝐺𝐹)) ∈ 𝐵) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
6415, 59, 46, 63syl3anc 1368 . . . . 5 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵)
6517, 28, 31latleeqm2 17682 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵 ∧ ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ∈ 𝐵) → ((𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ↔ (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6615, 27, 64, 65syl3anc 1368 . . . 4 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → ((𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))) ((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) ↔ (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))))
6762, 66mpbid 235 . . 3 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐹)) (𝑅‘(𝐺𝐹))) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
6833, 54, 673eqtrd 2837 . 2 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (((𝑃 (𝑅𝐺)) (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹)))) (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
692, 68syl5eq 2845 1 ((((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ 𝐹𝑇𝐺𝑇) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑄 (𝑃 (𝑅𝐹)) ∧ (𝑅𝐹) ≠ (𝑅𝐺))) → (𝑆 (𝑅‘(𝐺𝐹))) = (𝑄 (𝑅‘(𝐺𝐹))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987   class class class wbr 5030  ccnv 5518  ccom 5523  cfv 6324  (class class class)co 7135  Basecbs 16475  lecple 16564  joincjn 17546  meetcmee 17547  Latclat 17647  Atomscatm 36559  HLchlt 36646  LHypclh 37280  LTrncltrn 37397  trLctrl 37454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-riotaBAD 36249
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-iin 4884  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-1st 7671  df-2nd 7672  df-undef 7922  df-map 8391  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-lub 17576  df-glb 17577  df-join 17578  df-meet 17579  df-p0 17641  df-p1 17642  df-lat 17648  df-clat 17710  df-oposet 36472  df-ol 36474  df-oml 36475  df-covers 36562  df-ats 36563  df-atl 36594  df-cvlat 36618  df-hlat 36647  df-llines 36794  df-lplanes 36795  df-lvols 36796  df-lines 36797  df-psubsp 36799  df-pmap 36800  df-padd 37092  df-lhyp 37284  df-laut 37285  df-ldil 37400  df-ltrn 37401  df-trl 37455
This theorem is referenced by:  cdlemh  38113
  Copyright terms: Public domain W3C validator