Theorem ledivdiv 11518

Description: Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ledivdiv	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))

Proof of Theorem ledivdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
3	1, 2	jca 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4		redivcl 11348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8		divgt0 11497	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
9	7, 8	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
10		simpl 486	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
11		gt0ne0 11094	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ≠ 0)
12	10, 11	jca 515	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0))
13		redivcl 11348	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
14	13	3expb 1117	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
15	12, 14	sylan2 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
17		divgt0 11497	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 < (𝐶 / 𝐷))
18	16, 17	jca 515	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 / 𝐷)))
19		lerec 11512	. . 3 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 / 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐶 / 𝐷)) ≤ (1 / (𝐴 / 𝐵))))
20	9, 18, 19	syl2an 598	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐶 / 𝐷)) ≤ (1 / (𝐴 / 𝐵))))
21		recn 10616	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
22	21	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
23		gt0ne0 11094	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
24	22, 23	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
25		recn 10616	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
26	25	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
27	26, 11	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28		recdiv 11335	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
29	24, 27, 28	syl2an 598	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
30		recn 10616	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		gt0ne0 11094	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
33	31, 32	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
34		recn 10616	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	adantr 484	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	35, 2	jca 515	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
37		recdiv 11335	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
38	33, 36, 37	syl2an 598	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
39	29, 38	breqan12rd 5047	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((1 / (𝐶 / 𝐷)) ≤ (1 / (𝐴 / 𝐵)) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
40	20, 39	bitrd 282	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 399   = wceq 1538   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  (class class class)co 7135  ℂcc 10524  ℝcr 10525  0cc0 10526  1c1 10527   < clt 10664   ≤ cle 10665   / cdiv 11286

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-div 11287

This theorem is referenced by:  ledivdivd  12444