MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ledivdiv Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ledivdiv 12157
Description: Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)
Assertion
Ref Expression
ledivdiv ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))

Proof of Theorem ledivdiv
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2 gt0ne0 11728 . . . . . . 7 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
31, 2jca 511 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4 redivcl 11986 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
543expb 1121 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
63, 5sylan2 593 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
76adantlr 715 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8 divgt0 12136 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
97, 8jca 511 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
10 simpl 482 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
11 gt0ne0 11728 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ≠ 0)
1210, 11jca 511 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0))
13 redivcl 11986 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
14133expb 1121 . . . . . 6 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
1512, 14sylan2 593 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
1615adantlr 715 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
17 divgt0 12136 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 < (𝐶 / 𝐷))
1816, 17jca 511 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 / 𝐷)))
19 lerec 12151 . . 3 ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 / 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐶 / 𝐷)) ≤ (1 / (𝐴 / 𝐵))))
209, 18, 19syl2an 596 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐶 / 𝐷)) ≤ (1 / (𝐴 / 𝐵))))
21 recn 11245 . . . . . 6 (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
2221adantr 480 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
23 gt0ne0 11728 . . . . 5 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
2422, 23jca 511 . . . 4 ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
25 recn 11245 . . . . . 6 (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
2625adantr 480 . . . . 5 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
2726, 11jca 511 . . . 4 ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28 recdiv 11973 . . . 4 (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
2924, 27, 28syl2an 596 . . 3 (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
30 recn 11245 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
3130adantr 480 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
32 gt0ne0 11728 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
3331, 32jca 511 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
34 recn 11245 . . . . . 6 (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
3534adantr 480 . . . . 5 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
3635, 2jca 511 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
37 recdiv 11973 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
3833, 36, 37syl2an 596 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
3929, 38breqan12rd 5160 . 2 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((1 / (𝐶 / 𝐷)) ≤ (1 / (𝐴 / 𝐵)) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
4020, 39bitrd 279 1 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1540  wcel 2108  wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  cc 11153  cr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   < clt 11295  cle 11296   / cdiv 11920
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-div 11921
This theorem is referenced by:  ledivdivd  13102
  Copyright terms: Public domain W3C validator