Theorem ledivdiv 12014

Description: Invert ratios of positive numbers and swap their ordering. (Contributed by NM, 9-Jan-2006.)

Assertion

Ref	Expression
ledivdiv	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))

Proof of Theorem ledivdiv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
2		gt0ne0 11585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 0)
3	1, 2	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0))
4		redivcl 11843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
5	4	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
6	3, 5	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
7	6	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ)
8		divgt0 11993	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → 0 < (𝐴 / 𝐵))
9	7, 8	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → ((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)))
10		simpl 482	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℝ)
11		gt0ne0 11585	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ≠ 0)
12	10, 11	jca 511	. . . . . 6 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0))
13		redivcl 11843	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
14	13	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
15	12, 14	sylan2 593	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
16	15	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ)
17		divgt0 11993	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → 0 < (𝐶 / 𝐷))
18	16, 17	jca 511	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 / 𝐷)))
19		lerec 12008	. . 3 ⊢ ((((𝐴 / 𝐵) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐴 / 𝐵)) ∧ ((𝐶 / 𝐷) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐶 / 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐶 / 𝐷)) ≤ (1 / (𝐴 / 𝐵))))
20	9, 18, 19	syl2an 596	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (1 / (𝐶 / 𝐷)) ≤ (1 / (𝐴 / 𝐵))))
21		recn 11099	. . . . . 6 ⊢ (𝐶 ∈ ℝ → 𝐶 ∈ ℂ)
22	21	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ∈ ℂ)
23		gt0ne0 11585	. . . . 5 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → 𝐶 ≠ 0)
24	22, 23	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) → (𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0))
25		recn 11099	. . . . . 6 ⊢ (𝐷 ∈ ℝ → 𝐷 ∈ ℂ)
26	25	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → 𝐷 ∈ ℂ)
27	26, 11	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷) → (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0))
28		recdiv 11830	. . . 4 ⊢ (((𝐶 ∈ ℂ ∧ 𝐶 ≠ 0) ∧ (𝐷 ∈ ℂ ∧ 𝐷 ≠ 0)) → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
29	24, 27, 28	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷)) → (1 / (𝐶 / 𝐷)) = (𝐷 / 𝐶))
30		recn 11099	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℂ)
31	30	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ∈ ℂ)
32		gt0ne0 11585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → 𝐴 ≠ 0)
33	31, 32	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) → (𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0))
34		recn 11099	. . . . . 6 ⊢ (𝐵 ∈ ℝ → 𝐵 ∈ ℂ)
35	34	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℂ)
36	35, 2	jca 511	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵) → (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0))
37		recdiv 11830	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℂ ∧ 𝐴 ≠ 0) ∧ (𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
38	33, 36, 37	syl2an 596	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) → (1 / (𝐴 / 𝐵)) = (𝐵 / 𝐴))
39	29, 38	breqan12rd 5109	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((1 / (𝐶 / 𝐷)) ≤ (1 / (𝐴 / 𝐵)) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))
40	20, 39	bitrd 279	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐴) ∧ (𝐵 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐵)) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐶) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 < 𝐷))) → ((𝐴 / 𝐵) ≤ (𝐶 / 𝐷) ↔ (𝐷 / 𝐶) ≤ (𝐵 / 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  (class class class)co 7349  ℂcc 11007  ℝcr 11008  0cc0 11009  1c1 11010   < clt 11149   ≤ cle 11150   / cdiv 11777

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-1cn 11067  ax-icn 11068  ax-addcl 11069  ax-addrcl 11070  ax-mulcl 11071  ax-mulrcl 11072  ax-mulcom 11073  ax-addass 11074  ax-mulass 11075  ax-distr 11076  ax-i2m1 11077  ax-1ne0 11078  ax-1rid 11079  ax-rnegex 11080  ax-rrecex 11081  ax-cnre 11082  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084  ax-pre-ltadd 11085  ax-pre-mulgt0 11086

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-riota 7306  df-ov 7352  df-oprab 7353  df-mpo 7354  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-xr 11153  df-ltxr 11154  df-le 11155  df-sub 11349  df-neg 11350  df-div 11778

This theorem is referenced by:  ledivdivd  12962