MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12bd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul12bd 11626
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
ltmul12ad.3 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
lemul12bd.4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lemul12bd.5 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
lemul12bd.6 (𝜑𝐴𝐵)
lemul12bd.7 (𝜑𝐶𝐷)
Assertion
Ref Expression
lemul12bd (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem lemul12bd
StepHypRef Expression
1 lemul12bd.6 . 2 (𝜑𝐴𝐵)
2 lemul12bd.7 . 2 (𝜑𝐶𝐷)
3 ltp1d.1 . . . 4 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
4 lemul12bd.4 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
53, 4jca 515 . . 3 (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6 divgt0d.2 . . 3 (𝜑𝐵 ∈ ℝ)
7 lemul1ad.3 . . 3 (𝜑𝐶 ∈ ℝ)
8 ltmul12ad.3 . . . 4 (𝜑𝐷 ∈ ℝ)
9 lemul12bd.5 . . . 4 (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
108, 9jca 515 . . 3 (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
11 lemul12b 11540 . . 3 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
125, 6, 7, 10, 11syl22anc 837 . 2 (𝜑 → ((𝐴𝐵𝐶𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
131, 2, 12mp2and 698 1 (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wcel 2111   class class class wbr 5035  (class class class)co 7155  cr 10579  0cc0 10580   · cmul 10585  cle 10719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-1cn 10638  ax-icn 10639  ax-addcl 10640  ax-addrcl 10641  ax-mulcl 10642  ax-mulrcl 10643  ax-mulcom 10644  ax-addass 10645  ax-mulass 10646  ax-distr 10647  ax-i2m1 10648  ax-1ne0 10649  ax-1rid 10650  ax-rnegex 10651  ax-rrecex 10652  ax-cnre 10653  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655  ax-pre-ltadd 10656  ax-pre-mulgt0 10657
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-reu 3077  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-riota 7113  df-ov 7158  df-oprab 7159  df-mpo 7160  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-xr 10722  df-ltxr 10723  df-le 10724  df-sub 10915  df-neg 10916
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  13651  fourierdlem77  43219
  Copyright terms: Public domain W3C validator