Theorem lemul12bd 12161

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmul12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lemul12bd.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lemul12bd.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
lemul12bd.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lemul12bd.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lemul12bd	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem lemul12bd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul12bd.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lemul12bd.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
3		ltp1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lemul12bd.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5	3, 4	jca 510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		divgt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		lemul1ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8		ltmul12ad.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
9		lemul12bd.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐷)
10	8, 9	jca 510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))
11		lemul12b 12075	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
12	5, 6, 7, 10, 11	syl22anc 835	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
13	1, 2, 12	mp2and 695	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2104   class class class wbr 5147  (class class class)co 7411  ℝcr 11111  0cc0 11112   · cmul 11117   ≤ cle 11253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451

This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14202  fourierdlem77  45197