MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12bd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul12bd 12157
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)
Hypotheses
Ref Expression
ltp1d.1 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
divgt0d.2 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
lemul1ad.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
ltmul12ad.3 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
lemul12bd.4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
lemul12bd.5 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
lemul12bd.6 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
lemul12bd.7 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)
Assertion
Ref Expression
lemul12bd (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท))

Proof of Theorem lemul12bd
StepHypRef Expression
1 lemul12bd.6 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โ‰ค ๐ต)
2 lemul12bd.7 . 2 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โ‰ค ๐ท)
3 ltp1d.1 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
4 lemul12bd.4 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ด)
53, 4jca 513 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด))
6 divgt0d.2 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
7 lemul1ad.3 . . 3 (๐œ‘ โ†’ ๐ถ โˆˆ โ„)
8 ltmul12ad.3 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ ๐ท โˆˆ โ„)
9 lemul12bd.5 . . . 4 (๐œ‘ โ†’ 0 โ‰ค ๐ท)
108, 9jca 513 . . 3 (๐œ‘ โ†’ (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))
11 lemul12b 12071 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
125, 6, 7, 10, 11syl22anc 838 . 2 (๐œ‘ โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
131, 2, 12mp2and 698 1 (๐œ‘ โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 397   โˆˆ wcel 2107   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  โ„cr 11109  0cc0 11110   ยท cmul 11115   โ‰ค cle 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447
This theorem is referenced by:  expmulnbnd  14198  fourierdlem77  44899
  Copyright terms: Public domain W3C validator