Theorem fourierdlem77 47300

Description: If 𝐻 is bounded, then 𝑈 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem77.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem77.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem77.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem77.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem77.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem77.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem77.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem77.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem77	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑏,𝑠   𝑈,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝑈(𝑠)   𝐹(𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝐻(𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝐾(𝑎)   𝑊(𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑠, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem77

Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem77.bd	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
2		pire 26790	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 11624	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → -π ∈ ℝ)
5	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → π ∈ ℝ)
6		pirp 26797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
7		neglt 13145	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → -π < π)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π < π
9	3, 2, 8	ltleii 11438	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ≤ π
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → -π ≤ π)
11		fourierdlem77.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
12	11	fourierdlem62 47285	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (( -π[,]π)–cn→ℝ)
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (( -π[,]π)–cn→ℝ))
14	4, 5, 10, 13	evthiccabs 46615	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ ( -π[,]π)∀𝑦 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑦))))
15	14	mptru 1576	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ ( -π[,]π)∀𝑦 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑦)))
16	15	simpli 489	. . . . 5 ⊢ ∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
18		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
19	11	fourierdlem43 47267	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾:( -π[,]π)⟶ℝ
20	19	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ( -π[,]π) → (𝐾‘𝑐) ∈ ℝ)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐾‘𝑐) ∈ ℝ)
22	18, 21	remulcld 11344	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾‘𝑐)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11342	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾‘𝑐)) ∈ ℂ)
24	23	abscld 15613	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) ∈ ℝ)
25	23	absge0d 15621	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))))
26	24, 25	ge0p1rpd 13199	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
27	26	3ad2antl2 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
28	27	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
29		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
30		nfv 1946	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑎 ∈ ℝ
31		nfra1 3286	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎
32	29, 30, 31	nf3an 1933	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
33		nfv 1946	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑐 ∈ ( -π[,]π)
34		nfra1 3286	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))
35	32, 33, 34	nf3an 1933	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
36		simpl11 1267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝜑)
37		simpl12 1268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
38	36, 37	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
39		simpl13 1269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
40		rspa 3251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
41	39, 40	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
42		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑐 ∈ ( -π[,]π))
43	38, 41, 42	jca31 524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)))
44		rspa 3251	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
45	44	3ad2antl3 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
46		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
47		simp-5l 797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝜑)
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
49		fourierdlem77.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
50		fourierdlem77.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
51		fourierdlem77.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
52		fourierdlem77.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
53		fourierdlem77.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
54	49, 50, 51, 52, 53	fourierdlem9 47233	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐻:( -π[,]π)⟶ℝ)
55	54	ffvelcdmda 7087	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℝ)
56	19	ffvelcdmi 7086	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
58	55, 57	remulcld 11344	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
59		fourierdlem77.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
60	59	fvmpt2 7008	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
61	48, 58, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
62	61, 58	eqeltrd 2860	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11342	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℂ)
64	63	abscld 15613	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
65	47, 64	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
66		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
67		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑐 ∈ ( -π[,]π))
68	66, 67, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) ∈ ℝ)
69		peano2re 11488	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
71	61	fveq2d 6892	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) = (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))))
72	47, 71	sylancom 600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) = (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))))
73	55	recnd 11342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℂ)
74	73	abscld 15613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ∈ ℝ)
75	47, 74	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ∈ ℝ)
76		recn 11295	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
77	76	abscld 15613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
78	66, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
79	56	recnd 11342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℂ)
80	79	abscld 15613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
81	80	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
82	20	recnd 11342	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ( -π[,]π) → (𝐾‘𝑐) ∈ ℂ)
83	82	abscld 15613	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ( -π[,]π) → (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∈ ℝ)
84	67, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∈ ℝ)
85	73	absge0d 15621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻‘𝑠)))
86	47, 85	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻‘𝑠)))
87	82	absge0d 15621	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ( -π[,]π) → 0 ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
88	67, 87	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
89	74	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ∈ ℝ)
90		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
91	77	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
92		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
93	90	leabsd 15589	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
94	89, 90, 91, 92, 93	letrd 11472	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
95	94	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
96		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
97	75, 78, 81, 84, 86, 88, 95, 96	lemul12bd 12265	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝐻‘𝑠)) · (abs‘(𝐾‘𝑠))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾‘𝑐))))
98	57	recnd 11342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℂ)
99	73, 98	absmuld 15631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) = ((abs‘(𝐻‘𝑠)) · (abs‘(𝐾‘𝑠))))
100	47, 99	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) = ((abs‘(𝐻‘𝑠)) · (abs‘(𝐾‘𝑠))))
101	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℂ)
102	21	recnd 11342	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐾‘𝑐) ∈ ℂ)
103	101, 102	absmuld 15631	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾‘𝑐))))
104	66, 67, 103	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾‘𝑐))))
105	97, 100, 104	3brtr4d 5136	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))))
106	72, 105	eqbrtrd 5126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))))
107	68	ltp1d 12252	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
108	65, 68, 70, 106, 107	lelttrd 11473	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
109	65, 70, 108	ltled 11463	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
110	43, 45, 46, 109	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
111	110	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1)))
112	35, 111	ralrimi 3260	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) → ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
113		breq2 5106	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1)))
114	113	ralbidv 3185	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) → (∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1)))
115	114	rspcev 3576	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)
116	28, 112, 115	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)
117	116	rexlimdv3a 3167	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏))
118	17, 117	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)
119	118	rexlimdv3a 3167	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏))
120	1, 119	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569  ⊤wtru 1570   ∈ wcel 2144  ∀wral 3076  ∃wrex 3086  ifcif 4481   class class class wbr 5102   ↦ cmpt 5185  ⟶wf 6537  ‘cfv 6541  (class class class)co 7422  ℂcc 11203  ℝcr 11204  0cc0 11205  1c1 11206   + caddc 11208   · cmul 11210   < clt 11348   ≤ cle 11349   − cmin 11546   -cneg 11547   / cdiv 11978  2c2 12402  ℝ⁺crp 13125  [,]cicc 13484  abscabs 15408  sincsin 16236  πcpi 16239  –cn→ccncf 25204

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7753  ax-inf2 9647  ax-cnex 11261  ax-resscn 11262  ax-1cn 11263  ax-icn 11264  ax-addcl 11265  ax-addrcl 11266  ax-mulcl 11267  ax-mulrcl 11268  ax-mulcom 11269  ax-addass 11270  ax-mulass 11271  ax-distr 11272  ax-i2m1 11273  ax-1ne0 11274  ax-1rid 11275  ax-rnegex 11276  ax-rrecex 11277  ax-cnre 11278  ax-pre-lttri 11279  ax-pre-lttrn 11280  ax-pre-ltadd 11281  ax-pre-mulgt0 11282  ax-pre-sup 11283  ax-addf 11284

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-iin 4953  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6306  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6496  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-isom 6550  df-riota 7379  df-ov 7425  df-oprab 7426  df-mpo 7427  df-of 7695  df-om 7880  df-1st 8003  df-2nd 8004  df-supp 8182  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8384  df-rdg 8423  df-1o 8481  df-2o 8482  df-er 8722  df-map 8854  df-pm 8855  df-ixp 8931  df-en 8979  df-dom 8980  df-sdom 8981  df-fin 8982  df-fsupp 9359  df-fi 9408  df-sup 9439  df-inf 9440  df-oi 9509  df-card 10025  df-pnf 11350  df-mnf 11351  df-xr 11352  df-ltxr 11353  df-le 11354  df-sub 11548  df-neg 11549  df-div 11979  df-nn 12341  df-2 12410  df-3 12411  df-4 12412  df-5 12413  df-6 12414  df-7 12415  df-8 12416  df-9 12417  df-n0 12612  df-z 12699  df-dec 12820  df-uz 12971  df-q 13081  df-rp 13126  df-xneg 13246  df-xadd 13247  df-xmul 13248  df-ioo 13485  df-ioc 13486  df-ico 13487  df-icc 13488  df-fz 13645  df-fzo 13794  df-fl 13937  df-mod 14015  df-seq 14150  df-exp 14210  df-fac 14423  df-bc 14452  df-hash 14480  df-shft 15227  df-cj 15273  df-re 15274  df-im 15275  df-sqrt 15409  df-abs 15410  df-limsup 15645  df-clim 15662  df-rlim 15663  df-sum 15861  df-ef 16240  df-sin 16242  df-cos 16243  df-pi 16245  df-struct 17332  df-sets 17349  df-slot 17367  df-ndx 17379  df-base 17395  df-ress 17416  df-plusg 17448  df-mulr 17449  df-starv 17450  df-sca 17451  df-vsca 17452  df-ip 17453  df-tset 17454  df-ple 17455  df-ds 17457  df-unif 17458  df-hom 17459  df-cco 17460  df-rest 17600  df-topn 17601  df-0g 17619  df-gsum 17620  df-topgen 17621  df-pt 17622  df-prds 17625  df-xrs 17681  df-qtop 17686  df-imas 17687  df-xps 17689  df-mre 17763  df-mrc 17764  df-acs 17766  df-mgm 18823  df-sgrp 18915  df-mnd 18931  df-submnd 18986  df-mulg 19285  df-cntz 19538  df-cmn 20003  df-psmet 21677  df-xmet 21678  df-met 21679  df-bl 21680  df-mopn 21681  df-fbas 21682  df-fg 21683  df-cnfld 21686  df-top 23219  df-topon 23236  df-topsp 23258  df-bases 23271  df-cld 23344  df-ntr 23345  df-cls 23346  df-nei 23423  df-lp 23461  df-perf 23462  df-cn 23552  df-cnp 23553  df-t1 23639  df-haus 23640  df-cmp 23712  df-tx 23888  df-hmeo 24081  df-fil 24172  df-fm 24264  df-flim 24265  df-flf 24266  df-xms 24646  df-ms 24647  df-tms 24648  df-cncf 25206  df-limc 26193  df-dv 26194

This theorem is used by:  fourierdlem87  47310