Theorem fourierdlem77 47466

Description: If 𝐻 is bounded, then 𝑈 is bounded. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
fourierdlem77.f	⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
fourierdlem77.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
fourierdlem77.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
fourierdlem77.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
fourierdlem77.h	⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
fourierdlem77.k	⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
fourierdlem77.u	⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
fourierdlem77.bd	⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)

Assertion

Ref	Expression
fourierdlem77	⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)

Distinct variable groups:   𝐾,𝑏,𝑠   𝑈,𝑎,𝑏   𝜑,𝑎,𝑠

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑏)   𝑈(𝑠)   𝐹(𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝐻(𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝐾(𝑎)   𝑊(𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝑋(𝑠, 𝑎, 𝑏)   𝑌(𝑠, 𝑎, 𝑏)

Proof of Theorem fourierdlem77

Dummy variables 𝑐 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fourierdlem77.bd	. 2 ⊢ (𝜑 → ∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
2		pire 26840	. . . . . . . . . 10 ⊢ π ∈ ℝ
3	2	renegcli 11658	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ∈ ℝ
4	3	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → -π ∈ ℝ)
5	2	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → π ∈ ℝ)
6		pirp 26847	. . . . . . . . . . 11 ⊢ π ∈ ℝ+
7		neglt 13180	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (π ∈ ℝ+ → -π < π)
8	6, 7	ax-mp 5	. . . . . . . . . 10 ⊢ -π < π
9	3, 2, 8	ltleii 11472	. . . . . . . . 9 ⊢ -π ≤ π
10	9	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → -π ≤ π)
11		fourierdlem77.k	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐾 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 1, (𝑠 / (2 · (sin‘(𝑠 / 2))))))
12	11	fourierdlem62 47451	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐾 ∈ (( -π[,]π)–cn→ℝ)
13	12	a1i 11	. . . . . . . 8 ⊢ (⊤ → 𝐾 ∈ (( -π[,]π)–cn→ℝ))
14	4, 5, 10, 13	evthiccabs 46781	. . . . . . 7 ⊢ (⊤ → (∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ ( -π[,]π)∀𝑦 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑦))))
15	14	mptru 1577	. . . . . 6 ⊢ (∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∧ ∃𝑥 ∈ ( -π[,]π)∀𝑦 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑥)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑦)))
16	15	simpli 489	. . . . 5 ⊢ ∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))
17	16	a1i 11	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
18		simpl 488	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
19	11	fourierdlem43 47433	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ 𝐾:( -π[,]π)⟶ℝ
20	19	ffvelcdmi 7115	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ( -π[,]π) → (𝐾‘𝑐) ∈ ℝ)
21	20	adantl 487	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐾‘𝑐) ∈ ℝ)
22	18, 21	remulcld 11378	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾‘𝑐)) ∈ ℝ)
23	22	recnd 11376	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑎 · (𝐾‘𝑐)) ∈ ℂ)
24	23	abscld 15650	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) ∈ ℝ)
25	23	absge0d 15658	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))))
26	24, 25	ge0p1rpd 13234	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
27	26	3ad2antl2 1205	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
28	27	3adant3 1150	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ+)
29		nfv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠𝜑
30		nfv 1949	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑎 ∈ ℝ
31		nfra1 3290	. . . . . . . . 9 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎
32	29, 30, 31	nf3an 1936	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠(𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
33		nfv 1949	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠 𝑐 ∈ ( -π[,]π)
34		nfra1 3290	. . . . . . . 8 ⊢ Ⅎ𝑠∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))
35	32, 33, 34	nf3an 1936	. . . . . . 7 ⊢ Ⅎ𝑠((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
36		simpl11 1267	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝜑)
37		simpl12 1268	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
38	36, 37	jca 521	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ))
39		simpl13 1269	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
40		rspa 3255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
41	39, 40	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
42		simpl2 1211	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑐 ∈ ( -π[,]π))
43	38, 41, 42	jca31 524	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)))
44		rspa 3255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
45	44	3ad2antl3 1206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
46		simpr 490	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
47		simp-5l 797	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝜑)
48		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑠 ∈ ( -π[,]π))
49		fourierdlem77.f	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝐹:ℝ⟶ℝ)
50		fourierdlem77.x	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ ℝ)
51		fourierdlem77.y	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ ℝ)
52		fourierdlem77.w	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ ℝ)
53		fourierdlem77.h	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ 𝐻 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ if(𝑠 = 0, 0, (((𝐹‘(𝑋 + 𝑠)) − if(0 < 𝑠, 𝑌, 𝑊)) / 𝑠)))
54	49, 50, 51, 52, 53	fourierdlem9 47399	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝜑 → 𝐻:( -π[,]π)⟶ℝ)
55	54	ffvelcdmda 7116	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℝ)
56	19	ffvelcdmi 7115	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
57	56	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℝ)
58	55, 57	remulcld 11378	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
59		fourierdlem77.u	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ 𝑈 = (𝑠 ∈ ( -π[,]π) ↦ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
60	59	fvmpt2 7036	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑠 ∈ ( -π[,]π) ∧ ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
61	48, 58, 60	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) = ((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠)))
62	61, 58	eqeltrd 2864	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℝ)
63	62	recnd 11376	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝑈‘𝑠) ∈ ℂ)
64	63	abscld 15650	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
65	47, 64	sylancom 600	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ∈ ℝ)
66		simp-5r 798	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
67		simpllr 788	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑐 ∈ ( -π[,]π))
68	66, 67, 24	syl2anc 596	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) ∈ ℝ)
69		peano2re 11522	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) ∈ ℝ → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
70	68, 69	syl 18	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ)
71	61	fveq2d 6920	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) = (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))))
72	47, 71	sylancom 600	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) = (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))))
73	55	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐻‘𝑠) ∈ ℂ)
74	73	abscld 15650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ∈ ℝ)
75	47, 74	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ∈ ℝ)
76		recn 11329	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
77	76	abscld 15650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
78	66, 77	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
79	56	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℂ)
80	79	abscld 15650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
81	80	adantl 487	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ∈ ℝ)
82	20	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝑐 ∈ ( -π[,]π) → (𝐾‘𝑐) ∈ ℂ)
83	82	abscld 15650	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ( -π[,]π) → (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∈ ℝ)
84	67, 83	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑐)) ∈ ℝ)
85	73	absge0d 15658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻‘𝑠)))
86	47, 85	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐻‘𝑠)))
87	82	absge0d 15658	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝑐 ∈ ( -π[,]π) → 0 ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
88	67, 87	syl 18	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 0 ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
89	74	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ∈ ℝ)
90		simpllr 788	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℝ)
91	77	ad3antlr 744	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘𝑎) ∈ ℝ)
92		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎)
93	90	leabsd 15626	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ≤ (abs‘𝑎))
94	89, 90, 91, 92, 93	letrd 11506	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
95	94	ad4ant14 765	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ (abs‘𝑎))
96		simplr 781	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)))
97	75, 78, 81, 84, 86, 88, 95, 96	lemul12bd 12300	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → ((abs‘(𝐻‘𝑠)) · (abs‘(𝐾‘𝑠))) ≤ ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾‘𝑐))))
98	57	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐾‘𝑠) ∈ ℂ)
99	73, 98	absmuld 15668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) = ((abs‘(𝐻‘𝑠)) · (abs‘(𝐾‘𝑠))))
100	47, 99	sylancom 600	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) = ((abs‘(𝐻‘𝑠)) · (abs‘(𝐾‘𝑠))))
101	76	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → 𝑎 ∈ ℂ)
102	21	recnd 11376	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (𝐾‘𝑐) ∈ ℂ)
103	101, 102	absmuld 15668	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾‘𝑐))))
104	66, 67, 103	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) = ((abs‘𝑎) · (abs‘(𝐾‘𝑐))))
105	97, 100, 104	3brtr4d 5143	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘((𝐻‘𝑠) · (𝐾‘𝑠))) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))))
106	72, 105	eqbrtrd 5133	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))))
107	68	ltp1d 12287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
108	65, 68, 70, 106, 107	lelttrd 11507	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) < ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
109	65, 70, 108	ltled 11497	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ) ∧ (abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π)) ∧ (abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
110	43, 45, 46, 109	syl21anc 851	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) ∧ 𝑠 ∈ ( -π[,]π)) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
111	110	ex 418	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) → (𝑠 ∈ ( -π[,]π) → (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1)))
112	35, 111	ralrimi 3264	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) → ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1))
113		breq2 5112	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) → ((abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ (abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1)))
114	113	ralbidv 3189	. . . . . . 7 ⊢ (𝑏 = ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) → (∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏 ↔ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1)))
115	114	rspcev 3580	. . . . . 6 ⊢ ((((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1) ∈ ℝ+ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ ((abs‘(𝑎 · (𝐾‘𝑐))) + 1)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)
116	28, 112, 115	syl2anc 596	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) ∧ 𝑐 ∈ ( -π[,]π) ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐))) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)
117	116	rexlimdv3a 3171	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) → (∃𝑐 ∈ ( -π[,]π)∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐾‘𝑠)) ≤ (abs‘(𝐾‘𝑐)) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏))
118	17, 117	mpd 16	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑎 ∈ ℝ ∧ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎) → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)
119	118	rexlimdv3a 3171	. 2 ⊢ (𝜑 → (∃𝑎 ∈ ℝ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝐻‘𝑠)) ≤ 𝑎 → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏))
120	1, 119	mpd 16	1 ⊢ (𝜑 → ∃𝑏 ∈ ℝ+ ∀𝑠 ∈ ( -π[,]π)(abs‘(𝑈‘𝑠)) ≤ 𝑏)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ⊤wtru 1571   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080  ∃wrex 3090  ifcif 4485   class class class wbr 5108   ↦ cmpt 5192  ⟶wf 6562  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  ℂcc 11237  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   · cmul 11244   < clt 11382   ≤ cle 11383   − cmin 11580   -cneg 11581   / cdiv 12013  2c2 12437  ℝ⁺crp 13160  [,]cicc 13519  abscabs 15444  sincsin 16273  πcpi 16276  –cn→ccncf 25252

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-inf2 9679  ax-cnex 11295  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315  ax-pre-mulgt0 11316  ax-pre-sup 11317  ax-addf 11318

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-iin 4959  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-isom 6575  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-of 7725  df-om 7912  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-supp 8215  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-1o 8514  df-2o 8515  df-er 8755  df-map 8887  df-pm 8888  df-ixp 8964  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-fin 9015  df-fsupp 9392  df-fi 9440  df-sup 9471  df-inf 9472  df-oi 9541  df-card 10057  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-sub 11582  df-neg 11583  df-div 12014  df-nn 12376  df-2 12445  df-3 12446  df-4 12447  df-5 12448  df-6 12449  df-7 12450  df-8 12451  df-9 12452  df-n0 12647  df-z 12734  df-dec 12855  df-uz 13006  df-q 13116  df-rp 13161  df-xneg 13281  df-xadd 13282  df-xmul 13283  df-ioo 13520  df-ioc 13521  df-ico 13522  df-icc 13523  df-fz 13680  df-fzo 13829  df-fl 13972  df-mod 14050  df-seq 14185  df-exp 14245  df-fac 14459  df-bc 14488  df-hash 14516  df-shft 15263  df-cj 15309  df-re 15310  df-im 15311  df-sqrt 15445  df-abs 15446  df-limsup 15682  df-clim 15699  df-rlim 15700  df-sum 15898  df-ef 16277  df-sin 16279  df-cos 16280  df-pi 16282  df-struct 17369  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453  df-plusg 17486  df-mulr 17487  df-starv 17488  df-sca 17489  df-vsca 17490  df-ip 17491  df-tset 17492  df-ple 17493  df-ds 17495  df-unif 17496  df-hom 17497  df-cco 17498  df-euf 17499  df-rest 17643  df-topn 17644  df-0g 17662  df-gsum 17663  df-topgen 17664  df-pt 17665  df-prds 17668  df-xrs 17724  df-qtop 17729  df-imas 17730  df-xps 17732  df-mre 17806  df-mrc 17807  df-acs 17809  df-mgm 18866  df-sgrp 18958  df-mnd 18974  df-submnd 19029  df-mulg 19328  df-cntz 19582  df-cmn 20047  df-psmet 21721  df-xmet 21722  df-met 21723  df-bl 21724  df-mopn 21725  df-fbas 21726  df-fg 21727  df-cnfld 21730  df-top 23267  df-topon 23284  df-topsp 23306  df-bases 23319  df-cld 23392  df-ntr 23393  df-cls 23394  df-nei 23471  df-lp 23509  df-perf 23510  df-cn 23600  df-cnp 23601  df-t1 23687  df-haus 23688  df-cmp 23760  df-tx 23936  df-hmeo 24129  df-fil 24220  df-fm 24312  df-flim 24313  df-flf 24314  df-xms 24694  df-ms 24695  df-tms 24696  df-cncf 25254  df-limc 26241  df-dv 26242

This theorem is used by:  fourierdlem87  47476