Theorem lemul12ad 12202

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by Mario Carneiro, 28-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltp1d.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
divgt0d.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
lemul1ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
ltmul12ad.3	⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
lemul12ad.4	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
lemul12ad.5	⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
lemul12ad.6	⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
lemul12ad.7	⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)

Assertion

Ref	Expression
lemul12ad	⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))

Proof of Theorem lemul12ad

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul12ad.6	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ≤ 𝐵)
2		lemul12ad.7	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ≤ 𝐷)
3		ltp1d.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
4		lemul12ad.4	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐴)
5	3, 4	jca 510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴))
6		divgt0d.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ ℝ)
7		lemul1ad.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ ℝ)
8		lemul12ad.5	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 0 ≤ 𝐶)
9	7, 8	jca 510	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶))
10		ltmul12ad.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ ℝ)
11		lemul12a 12117	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐶) ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
12	5, 6, 9, 10, 11	syl22anc 837	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
13	1, 2, 12	mp2and 697	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5145  (class class class)co 7416  ℝcr 11148  0cc0 11149   · cmul 11154   ≤ cle 11290

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-sep 5296  ax-nul 5303  ax-pow 5361  ax-pr 5425  ax-un 7738  ax-resscn 11206  ax-1cn 11207  ax-icn 11208  ax-addcl 11209  ax-addrcl 11210  ax-mulcl 11211  ax-mulrcl 11212  ax-mulcom 11213  ax-addass 11214  ax-mulass 11215  ax-distr 11216  ax-i2m1 11217  ax-1ne0 11218  ax-1rid 11219  ax-rnegex 11220  ax-rrecex 11221  ax-cnre 11222  ax-pre-lttri 11223  ax-pre-lttrn 11224  ax-pre-ltadd 11225  ax-pre-mulgt0 11226

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3776  df-csb 3892  df-dif 3949  df-un 3951  df-in 3953  df-ss 3963  df-nul 4323  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4906  df-br 5146  df-opab 5208  df-mpt 5229  df-id 5572  df-po 5586  df-so 5587  df-xp 5680  df-rel 5681  df-cnv 5682  df-co 5683  df-dm 5684  df-rn 5685  df-res 5686  df-ima 5687  df-iota 6498  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-er 8726  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11291  df-mnf 11292  df-xr 11293  df-ltxr 11294  df-le 11295  df-sub 11487  df-neg 11488

This theorem is referenced by:  supmullem1  12230  faclbnd  14302  o1mul  15612  fprodge1  15992  lgamgulmlem2  27055  lgamgulmlem3  27056  dchrmusum2  27520  dchrvmasumlem3  27525  dchrisum0lem2a  27543  mudivsum  27556  mulogsumlem  27557  selberg2b  27578  selberg3lem2  27584  pntrlog2bndlem3  27605  pntrlog2bndlem4  27606  pntrlog2bnd  27610  smcnlem  30627  hgt750lemf  34512  aks6d1c2lem4  41839  dvdivbd  45580  dvbdfbdioolem1  45585  stoweidlem16  45673  fourierdlem39  45803  etransclem23  45914