MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmulnbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmulnbnd 13584
Description: Exponentiation with a mantissa greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 11699 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 simp1 1128 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 remulcl 10610 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5 simp3 1130 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
6 1re 10629 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7 simp2 1129 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 difrp 12415 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) ∈ ℝ+))
96, 7, 8sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) ∈ ℝ+))
105, 9mpbid 233 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ+)
114, 10rerpdivcld 12450 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
12 expnbnd 13581 . . 3 ((((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))
1311, 7, 5, 12syl3anc 1363 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))
14 2nn0 11902 . . . 4 2 ∈ ℕ0
15 nnnn0 11892 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1615ad2antrl 724 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
17 nn0mulcl 11921 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1814, 16, 17sylancr 587 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
192ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 2nn 11698 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
21 simprl 767 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22 nnmulcl 11649 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2320, 21, 22sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
24 eluznn 12306 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2523, 24sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625nnred 11641 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℝ)
2719, 26remulcld 10659 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
28 0re 10631 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
29 ifcl 4507 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℝ)
3019, 28, 29sylancl 586 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℝ)
31 remulcl 10610 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℝ) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ ℝ)
321, 30, 31sylancr 587 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ ℝ)
33 simplrl 773 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3433nnred 11641 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℝ)
3526, 34resubcld 11056 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℝ)
3632, 35remulcld 10659 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
377ad2antrr 722 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3825nnnn0d 11943 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39 reexpcl 13434 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
41 remulcl 10610 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℝ) → (2 · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
421, 35, 41sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
4338nn0ge0d 11946 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑘)
44 max1 12566 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
4528, 19, 44sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
46 remulcl 10610 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
471, 34, 46sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
48 eluzle 12244 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛)) → (2 · 𝑛) ≤ 𝑘)
4948adantl 482 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑛) ≤ 𝑘)
5047, 26, 26, 49leadd2dd 11243 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (𝑘 + 𝑘))
5126recnd 10657 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52512timesd 11868 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
5350, 52breqtrrd 5085 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (2 · 𝑘))
54 remulcl 10610 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
551, 26, 54sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
56 leaddsub 11104 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (2 · 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛))))
5726, 47, 55, 56syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (2 · 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛))))
5853, 57mpbid 233 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
59 2cnd 11703 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 2 ∈ ℂ)
6034recnd 10657 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℂ)
6159, 51, 60subdid 11084 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
6258, 61breqtrrd 5085 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ≤ (2 · (𝑘𝑛)))
63 max2 12568 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
6428, 19, 63sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐴 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
6526, 42, 19, 30, 43, 45, 62, 64lemul12bd 11571 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘 · 𝐴) ≤ ((2 · (𝑘𝑛)) · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
6619recnd 10657 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℂ)
6766, 51mulcomd 10650 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) = (𝑘 · 𝐴))
6830recnd 10657 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
6935recnd 10657 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
7059, 68, 69mul32d 10838 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) = ((2 · (𝑘𝑛)) · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
7165, 67, 703brtr4d 5089 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) ≤ ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)))
7210ad2antrr 722 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ+)
7372rpred 12419 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
7473, 35remulcld 10659 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
7533nnnn0d 11943 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
76 reexpcl 13434 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
7737, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
7874, 77remulcld 10659 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) ∈ ℝ)
79 simplrr 774 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))
801, 19, 3sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
8180, 77, 72ltdivmuld 12470 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛) ↔ (2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))))
8279, 81mpbid 233 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
835ad2antrr 722 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 1 < 𝐵)
84 posdif 11121 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
856, 37, 84sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
8683, 85mpbid 233 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < (𝐵 − 1))
8733nnzd 12074 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℤ)
8828a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ∈ ℝ)
896a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 1 ∈ ℝ)
90 0lt1 11150 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < 1)
9288, 89, 37, 91, 83lttrd 10789 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < 𝐵)
93 expgt0 13450 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝑛))
9437, 87, 92, 93syl3anc 1363 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < (𝐵𝑛))
9573, 77, 86, 94mulgt0d 10783 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
96 oveq2 7153 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (2 · 𝐴) = (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
9796breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → ((2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))))
98 2t0e0 11794 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
99 oveq2 7153 . . . . . . . . . . . 12 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (2 · 0) = (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
10098, 99syl5eqr 2867 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → 0 = (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
101100breq1d 5067 . . . . . . . . . 10 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (0 < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))))
10297, 101ifboth 4501 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ∧ 0 < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
10382, 95, 102syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
10473, 77remulcld 10659 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ∈ ℝ)
105 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛)))
106602timesd 11868 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
107106fveq2d 6667 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (ℤ‘(2 · 𝑛)) = (ℤ‘(𝑛 + 𝑛)))
108105, 107eleqtrd 2912 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 𝑛)))
109 eluzsub 12262 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ (ℤ𝑛))
11087, 87, 108, 109syl3anc 1363 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ (ℤ𝑛))
111 eluznn 12306 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑘𝑛) ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ)
11233, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ)
113112nngt0d 11674 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < (𝑘𝑛))
114 ltmul1 11478 . . . . . . . . 9 (((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛))))
11532, 104, 35, 113, 114syl112anc 1366 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛))))
116103, 115mpbid 233 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛)))
11773recnd 10657 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵 − 1) ∈ ℂ)
11877recnd 10657 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
119117, 118, 69mul32d 10838 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛)) = (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)))
120116, 119breqtrd 5083 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)))
121 peano2re 10801 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
12274, 121syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
123112nnnn0d 11943 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ0)
124 reexpcl 13434 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
12537, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
12674ltp1d 11558 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1))
12788, 37, 92ltled 10776 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝐵)
128 bernneq2 13579 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ≤ (𝐵↑(𝑘𝑛)))
12937, 123, 127, 128syl3anc 1363 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ≤ (𝐵↑(𝑘𝑛)))
13074, 122, 125, 126, 129ltletrd 10788 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < (𝐵↑(𝑘𝑛)))
13137recnd 10657 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℂ)
13292gt0ne0d 11192 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐵 ≠ 0)
133 eluzelz 12241 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
134133adantl 482 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℤ)
135 expsub 13465 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) = ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛)))
136131, 132, 134, 87, 135syl22anc 834 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) = ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛)))
137130, 136breqtrd 5083 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛)))
138 ltmuldiv 11501 . . . . . . . 8 ((((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑛))) → ((((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛))))
13974, 40, 77, 94, 138syl112anc 1366 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛))))
140137, 139mpbird 258 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) < (𝐵𝑘))
14136, 78, 40, 120, 140lttrd 10789 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (𝐵𝑘))
14227, 36, 40, 71, 141lelttrd 10786 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
143142ralrimiva 3179 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
144 fveq2 6663 . . . . 5 (𝑗 = (2 · 𝑛) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(2 · 𝑛)))
145144raleqdv 3413 . . . 4 (𝑗 = (2 · 𝑛) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘)))
146145rspcev 3620 . . 3 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
14718, 143, 146syl2anc 584 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
14813, 147rexlimddv 3288 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  wral 3135  wrex 3136  ifcif 4463   class class class wbr 5057  cfv 6348  (class class class)co 7145  cc 10523  cr 10524  0cc0 10525  1c1 10526   + caddc 10528   · cmul 10530   < clt 10663  cle 10664  cmin 10858   / cdiv 11285  cn 11626  2c2 11680  0cn0 11885  cz 11969  cuz 12231  +crp 12377  cexp 13417
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-pre-sup 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-2nd 7679  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-div 11286  df-nn 11627  df-2 11688  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-rp 12378  df-fl 13150  df-seq 13358  df-exp 13418
This theorem is referenced by:  geomulcvg  15220
  Copyright terms: Public domain W3C validator