MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmulnbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmulnbnd 14194
Description: Exponentiation with a base greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(๐ด ยท ๐‘˜) < (๐ตโ†‘๐‘˜))
Distinct variable groups:   ๐‘—,๐‘˜,๐ด   ๐ต,๐‘—,๐‘˜

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable ๐‘› is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12282 . . . . 5 2 โˆˆ โ„
2 simp1 1133 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
3 remulcl 11190 . . . . 5 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
41, 2, 3sylancr 586 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
5 simp3 1135 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ 1 < ๐ต)
6 1re 11210 . . . . . 6 1 โˆˆ โ„
7 simp2 1134 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
8 difrp 13008 . . . . . 6 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ต โ†” (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
96, 7, 8sylancr 586 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (1 < ๐ต โ†” (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„+))
105, 9mpbid 231 . . . 4 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
114, 10rerpdivcld 13043 . . 3 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„)
12 expnbnd 14191 . . 3 ((((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))
1311, 7, 5, 12syl3anc 1368 . 2 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘› โˆˆ โ„• ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))
14 2nn0 12485 . . . 4 2 โˆˆ โ„•0
15 nnnn0 12475 . . . . 5 (๐‘› โˆˆ โ„• โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
1615ad2antrl 725 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
17 nn0mulcl 12504 . . . 4 ((2 โˆˆ โ„•0 โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
1814, 16, 17sylancr 586 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
192ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„)
20 2nn 12281 . . . . . . . . 9 2 โˆˆ โ„•
21 simprl 768 . . . . . . . . 9 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
22 nnmulcl 12232 . . . . . . . . 9 ((2 โˆˆ โ„• โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
2320, 21, 22sylancr 586 . . . . . . . 8 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•)
24 eluznn 12898 . . . . . . . 8 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„• โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2523, 24sylan 579 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•)
2625nnred 12223 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„)
2719, 26remulcld 11240 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
28 0re 11212 . . . . . . . 8 0 โˆˆ โ„
29 ifcl 4565 . . . . . . . 8 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โˆˆ โ„) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0) โˆˆ โ„)
3019, 28, 29sylancl 585 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0) โˆˆ โ„)
31 remulcl 11190 . . . . . . 7 ((2 โˆˆ โ„ โˆง if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) โˆˆ โ„)
321, 30, 31sylancr 586 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) โˆˆ โ„)
33 simplrl 774 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•)
3433nnred 12223 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„)
3526, 34resubcld 11638 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„)
3632, 35remulcld 11240 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) โˆˆ โ„)
377ad2antrr 723 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„)
3825nnnn0d 12528 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„•0)
39 reexpcl 14040 . . . . . 6 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
4037, 38, 39syl2anc 583 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„)
41 remulcl 11190 . . . . . . . 8 ((2 โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) โˆˆ โ„)
421, 35, 41sylancr 586 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) โˆˆ โ„)
4338nn0ge0d 12531 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 โ‰ค ๐‘˜)
44 max1 13160 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0))
4528, 19, 44sylancr 586 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0))
46 remulcl 11190 . . . . . . . . . . . 12 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
471, 34, 46sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„)
48 eluzle 12831 . . . . . . . . . . . 12 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›)) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โ‰ค ๐‘˜)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) โ‰ค ๐‘˜)
5047, 26, 26, 49leadd2dd 11825 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐‘˜ + (2 ยท ๐‘›)) โ‰ค (๐‘˜ + ๐‘˜))
5126recnd 11238 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„‚)
52512timesd 12451 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) = (๐‘˜ + ๐‘˜))
5350, 52breqtrrd 5166 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐‘˜ + (2 ยท ๐‘›)) โ‰ค (2 ยท ๐‘˜))
54 remulcl 11190 . . . . . . . . . . 11 ((2 โˆˆ โ„ โˆง ๐‘˜ โˆˆ โ„) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
551, 26, 54sylancr 586 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„)
56 leaddsub 11686 . . . . . . . . . 10 ((๐‘˜ โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง (2 ยท ๐‘˜) โˆˆ โ„) โ†’ ((๐‘˜ + (2 ยท ๐‘›)) โ‰ค (2 ยท ๐‘˜) โ†” ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›))))
5726, 47, 55, 56syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((๐‘˜ + (2 ยท ๐‘›)) โ‰ค (2 ยท ๐‘˜) โ†” ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›))))
5853, 57mpbid 231 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)))
59 2cnd 12286 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 2 โˆˆ โ„‚)
6034recnd 11238 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„‚)
6159, 51, 60subdid 11666 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = ((2 ยท ๐‘˜) โˆ’ (2 ยท ๐‘›)))
6258, 61breqtrrd 5166 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โ‰ค (2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)))
63 max2 13162 . . . . . . . 8 ((0 โˆˆ โ„ โˆง ๐ด โˆˆ โ„) โ†’ ๐ด โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0))
6428, 19, 63sylancr 586 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐ด โ‰ค if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0))
6526, 42, 19, 30, 43, 45, 62, 64lemul12bd 12153 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐‘˜ ยท ๐ด) โ‰ค ((2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)))
6619recnd 11238 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐ด โˆˆ โ„‚)
6766, 51mulcomd 11231 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) = (๐‘˜ ยท ๐ด))
6830recnd 11238 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0) โˆˆ โ„‚)
6935recnd 11238 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„‚)
7059, 68, 69mul32d 11420 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = ((2 ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)))
7165, 67, 703brtr4d 5170 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) โ‰ค ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)))
7210ad2antrr 723 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„+)
7372rpred 13012 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„)
7473, 35remulcld 11240 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) โˆˆ โ„)
7533nnnn0d 12528 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„•0)
76 reexpcl 14040 . . . . . . . 8 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
7737, 75, 76syl2anc 583 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„)
7874, 77remulcld 11240 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
79 simplrr 775 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))
801, 19, 3sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท ๐ด) โˆˆ โ„)
8180, 77, 72ltdivmuld 13063 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›) โ†” (2 ยท ๐ด) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›))))
8279, 81mpbid 231 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท ๐ด) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)))
835ad2antrr 723 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 1 < ๐ต)
84 posdif 11703 . . . . . . . . . . . 12 ((1 โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โ†’ (1 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
856, 37, 84sylancr 586 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (1 < ๐ต โ†” 0 < (๐ต โˆ’ 1)))
8683, 85mpbid 231 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 < (๐ต โˆ’ 1))
8733nnzd 12581 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘› โˆˆ โ„ค)
8828a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 โˆˆ โ„)
896a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 1 โˆˆ โ„)
90 0lt1 11732 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 < 1)
9288, 89, 37, 91, 83lttrd 11371 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 < ๐ต)
93 expgt0 14057 . . . . . . . . . . 11 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง 0 < ๐ต) โ†’ 0 < (๐ตโ†‘๐‘›))
9437, 87, 92, 93syl3anc 1368 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 < (๐ตโ†‘๐‘›))
9573, 77, 86, 94mulgt0d 11365 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)))
96 oveq2 7409 . . . . . . . . . . 11 (๐ด = if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0) โ†’ (2 ยท ๐ด) = (2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)))
9796breq1d 5148 . . . . . . . . . 10 (๐ด = if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0) โ†’ ((2 ยท ๐ด) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†” (2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›))))
98 2t0e0 12377 . . . . . . . . . . . 12 (2 ยท 0) = 0
99 oveq2 7409 . . . . . . . . . . . 12 (0 = if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0) โ†’ (2 ยท 0) = (2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)))
10098, 99eqtr3id 2778 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0) โ†’ 0 = (2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)))
101100breq1d 5148 . . . . . . . . . 10 (0 = if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0) โ†’ (0 < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†” (2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›))))
10297, 101ifboth 4559 . . . . . . . . 9 (((2 ยท ๐ด) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) โˆง 0 < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›))) โ†’ (2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)))
10382, 95, 102syl2anc 583 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)))
10473, 77remulcld 11240 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„)
105 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›)))
106602timesd 12451 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (2 ยท ๐‘›) = (๐‘› + ๐‘›))
107106fveq2d 6885 . . . . . . . . . . . . 13 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›)) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + ๐‘›)))
108105, 107eleqtrd 2827 . . . . . . . . . . . 12 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + ๐‘›)))
109 eluzsub 12848 . . . . . . . . . . . 12 ((๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(๐‘› + ๐‘›))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
11087, 87, 108, 109syl3anc 1368 . . . . . . . . . . 11 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›))
111 eluznn 12898 . . . . . . . . . . 11 ((๐‘› โˆˆ โ„• โˆง (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘›)) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„•)
11233, 110, 111syl2anc 583 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„•)
113112nngt0d 12257 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 < (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›))
114 ltmul1 12060 . . . . . . . . 9 (((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง ((๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›))) โ†’ ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†” ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›))))
11532, 104, 35, 113, 114syl112anc 1371 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) < ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) โ†” ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›))))
116103, 115mpbid 231 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)))
11773recnd 11238 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ต โˆ’ 1) โˆˆ โ„‚)
11877recnd 11238 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ตโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„‚)
119117, 118, 69mul32d 11420 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)))
120116, 119breqtrd 5164 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)))
121 peano2re 11383 . . . . . . . . . 10 (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) โˆˆ โ„ โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) + 1) โˆˆ โ„)
12274, 121syl 17 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) + 1) โˆˆ โ„)
123112nnnn0d 12528 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„•0)
124 reexpcl 14040 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„•0) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) โˆˆ โ„)
12537, 123, 124syl2anc 583 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) โˆˆ โ„)
12674ltp1d 12140 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) + 1))
12788, 37, 92ltled 11358 . . . . . . . . . 10 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ 0 โ‰ค ๐ต)
128 bernneq2 14189 . . . . . . . . . 10 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง 0 โ‰ค ๐ต) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)))
12937, 123, 127, 128syl3anc 1368 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) + 1) โ‰ค (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)))
13074, 122, 125, 126, 129ltletrd 11370 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)))
13137recnd 11238 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐ต โˆˆ โ„‚)
13292gt0ne0d 11774 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐ต โ‰  0)
133 eluzelz 12828 . . . . . . . . . 10 (๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›)) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
134133adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ๐‘˜ โˆˆ โ„ค)
135 expsub 14072 . . . . . . . . 9 (((๐ต โˆˆ โ„‚ โˆง ๐ต โ‰  0) โˆง (๐‘˜ โˆˆ โ„ค โˆง ๐‘› โˆˆ โ„ค)) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (๐ตโ†‘๐‘›)))
136131, 132, 134, 87, 135syl22anc 836 . . . . . . . 8 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ตโ†‘(๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) = ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (๐ตโ†‘๐‘›)))
137130, 136breqtrd 5164 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (๐ตโ†‘๐‘›)))
138 ltmuldiv 12083 . . . . . . . 8 ((((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) โˆˆ โ„ โˆง (๐ตโ†‘๐‘˜) โˆˆ โ„ โˆง ((๐ตโ†‘๐‘›) โˆˆ โ„ โˆง 0 < (๐ตโ†‘๐‘›))) โ†’ ((((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) < (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (๐ตโ†‘๐‘›))))
13974, 40, 77, 94, 138syl112anc 1371 . . . . . . 7 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) < (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” ((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < ((๐ตโ†‘๐‘˜) / (๐ตโ†‘๐‘›))))
140137, 139mpbird 257 . . . . . 6 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (((๐ต โˆ’ 1) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) ยท (๐ตโ†‘๐‘›)) < (๐ตโ†‘๐‘˜))
14136, 78, 40, 120, 140lttrd 11371 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ ((2 ยท if(0 โ‰ค ๐ด, ๐ด, 0)) ยท (๐‘˜ โˆ’ ๐‘›)) < (๐ตโ†‘๐‘˜))
14227, 36, 40, 71, 141lelttrd 11368 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โˆง ๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))) โ†’ (๐ด ยท ๐‘˜) < (๐ตโ†‘๐‘˜))
143142ralrimiva 3138 . . 3 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โ†’ โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))(๐ด ยท ๐‘˜) < (๐ตโ†‘๐‘˜))
144 fveq2 6881 . . . . 5 (๐‘— = (2 ยท ๐‘›) โ†’ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—) = (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›)))
145144raleqdv 3317 . . . 4 (๐‘— = (2 ยท ๐‘›) โ†’ (โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(๐ด ยท ๐‘˜) < (๐ตโ†‘๐‘˜) โ†” โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))(๐ด ยท ๐‘˜) < (๐ตโ†‘๐‘˜)))
146145rspcev 3604 . . 3 (((2 ยท ๐‘›) โˆˆ โ„•0 โˆง โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜(2 ยท ๐‘›))(๐ด ยท ๐‘˜) < (๐ตโ†‘๐‘˜)) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(๐ด ยท ๐‘˜) < (๐ตโ†‘๐‘˜))
14718, 143, 146syl2anc 583 . 2 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โˆง (๐‘› โˆˆ โ„• โˆง ((2 ยท ๐ด) / (๐ต โˆ’ 1)) < (๐ตโ†‘๐‘›))) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(๐ด ยท ๐‘˜) < (๐ตโ†‘๐‘˜))
14813, 147rexlimddv 3153 1 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง 1 < ๐ต) โ†’ โˆƒ๐‘— โˆˆ โ„•0 โˆ€๐‘˜ โˆˆ (โ„คโ‰ฅโ€˜๐‘—)(๐ด ยท ๐‘˜) < (๐ตโ†‘๐‘˜))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   = wceq 1533   โˆˆ wcel 2098   โ‰  wne 2932  โˆ€wral 3053  โˆƒwrex 3062  ifcif 4520   class class class wbr 5138  โ€˜cfv 6533  (class class class)co 7401  โ„‚cc 11103  โ„cr 11104  0cc0 11105  1c1 11106   + caddc 11108   ยท cmul 11110   < clt 11244   โ‰ค cle 11245   โˆ’ cmin 11440   / cdiv 11867  โ„•cn 12208  2c2 12263  โ„•0cn0 12468  โ„คcz 12554  โ„คโ‰ฅcuz 12818  โ„+crp 12970  โ†‘cexp 14023
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-sep 5289  ax-nul 5296  ax-pow 5353  ax-pr 5417  ax-un 7718  ax-cnex 11161  ax-resscn 11162  ax-1cn 11163  ax-icn 11164  ax-addcl 11165  ax-addrcl 11166  ax-mulcl 11167  ax-mulrcl 11168  ax-mulcom 11169  ax-addass 11170  ax-mulass 11171  ax-distr 11172  ax-i2m1 11173  ax-1ne0 11174  ax-1rid 11175  ax-rnegex 11176  ax-rrecex 11177  ax-cnre 11178  ax-pre-lttri 11179  ax-pre-lttrn 11180  ax-pre-ltadd 11181  ax-pre-mulgt0 11182  ax-pre-sup 11183
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3770  df-csb 3886  df-dif 3943  df-un 3945  df-in 3947  df-ss 3957  df-pss 3959  df-nul 4315  df-if 4521  df-pw 4596  df-sn 4621  df-pr 4623  df-op 4627  df-uni 4900  df-iun 4989  df-br 5139  df-opab 5201  df-mpt 5222  df-tr 5256  df-id 5564  df-eprel 5570  df-po 5578  df-so 5579  df-fr 5621  df-we 5623  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6290  df-ord 6357  df-on 6358  df-lim 6359  df-suc 6360  df-iota 6485  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-riota 7357  df-ov 7404  df-oprab 7405  df-mpo 7406  df-om 7849  df-2nd 7969  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-er 8698  df-en 8935  df-dom 8936  df-sdom 8937  df-sup 9432  df-inf 9433  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-div 11868  df-nn 12209  df-2 12271  df-n0 12469  df-z 12555  df-uz 12819  df-rp 12971  df-fl 13753  df-seq 13963  df-exp 14024
This theorem is referenced by:  geomulcvg  15818
  Copyright terms: Public domain W3C validator