MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  expmulnbnd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem expmulnbnd 14271
Description: Exponentiation with a base greater than 1 is not bounded by any linear function. (Contributed by Mario Carneiro, 31-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
expmulnbnd ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
Distinct variable groups:   𝑗,𝑘,𝐴   𝐵,𝑗,𝑘

Proof of Theorem expmulnbnd
Dummy variable 𝑛 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 2re 12338 . . . . 5 2 ∈ ℝ
2 simp1 1135 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ)
3 remulcl 11238 . . . . 5 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
41, 2, 3sylancr 587 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
5 simp3 1137 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 1 < 𝐵)
6 1re 11259 . . . . . 6 1 ∈ ℝ
7 simp2 1136 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ)
8 difrp 13071 . . . . . 6 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) ∈ ℝ+))
96, 7, 8sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (1 < 𝐵 ↔ (𝐵 − 1) ∈ ℝ+))
105, 9mpbid 232 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ+)
114, 10rerpdivcld 13106 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ)
12 expnbnd 14268 . . 3 ((((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))
1311, 7, 5, 12syl3anc 1370 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑛 ∈ ℕ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))
14 2nn0 12541 . . . 4 2 ∈ ℕ0
15 nnnn0 12531 . . . . 5 (𝑛 ∈ ℕ → 𝑛 ∈ ℕ0)
1615ad2antrl 728 . . . 4 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
17 nn0mulcl 12560 . . . 4 ((2 ∈ ℕ0𝑛 ∈ ℕ0) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
1814, 16, 17sylancr 587 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ0)
192ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℝ)
20 2nn 12337 . . . . . . . . 9 2 ∈ ℕ
21 simprl 771 . . . . . . . . 9 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
22 nnmulcl 12288 . . . . . . . . 9 ((2 ∈ ℕ ∧ 𝑛 ∈ ℕ) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
2320, 21, 22sylancr 587 . . . . . . . 8 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → (2 · 𝑛) ∈ ℕ)
24 eluznn 12958 . . . . . . . 8 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2523, 24sylan 580 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℕ)
2625nnred 12279 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℝ)
2719, 26remulcld 11289 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) ∈ ℝ)
28 0re 11261 . . . . . . . 8 0 ∈ ℝ
29 ifcl 4576 . . . . . . . 8 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℝ)
3019, 28, 29sylancl 586 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℝ)
31 remulcl 11238 . . . . . . 7 ((2 ∈ ℝ ∧ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℝ) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ ℝ)
321, 30, 31sylancr 587 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ ℝ)
33 simplrl 777 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ)
3433nnred 12279 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℝ)
3526, 34resubcld 11689 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℝ)
3632, 35remulcld 11289 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
377ad2antrr 726 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℝ)
3825nnnn0d 12585 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℕ0)
39 reexpcl 14116 . . . . . 6 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
4037, 38, 39syl2anc 584 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵𝑘) ∈ ℝ)
41 remulcl 11238 . . . . . . . 8 ((2 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℝ) → (2 · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
421, 35, 41sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
4338nn0ge0d 12588 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝑘)
44 max1 13224 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
4528, 19, 44sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
46 remulcl 11238 . . . . . . . . . . . 12 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℝ) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
471, 34, 46sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑛) ∈ ℝ)
48 eluzle 12889 . . . . . . . . . . . 12 (𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛)) → (2 · 𝑛) ≤ 𝑘)
4948adantl 481 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑛) ≤ 𝑘)
5047, 26, 26, 49leadd2dd 11876 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (𝑘 + 𝑘))
5126recnd 11287 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℂ)
52512timesd 12507 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑘) = (𝑘 + 𝑘))
5350, 52breqtrrd 5176 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (2 · 𝑘))
54 remulcl 11238 . . . . . . . . . . 11 ((2 ∈ ℝ ∧ 𝑘 ∈ ℝ) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
551, 26, 54sylancr 587 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑘) ∈ ℝ)
56 leaddsub 11737 . . . . . . . . . 10 ((𝑘 ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑛) ∈ ℝ ∧ (2 · 𝑘) ∈ ℝ) → ((𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (2 · 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛))))
5726, 47, 55, 56syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝑘 + (2 · 𝑛)) ≤ (2 · 𝑘) ↔ 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛))))
5853, 57mpbid 232 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ≤ ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
59 2cnd 12342 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 2 ∈ ℂ)
6034recnd 11287 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℂ)
6159, 51, 60subdid 11717 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · (𝑘𝑛)) = ((2 · 𝑘) − (2 · 𝑛)))
6258, 61breqtrrd 5176 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ≤ (2 · (𝑘𝑛)))
63 max2 13226 . . . . . . . 8 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
6428, 19, 63sylancr 587 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐴 ≤ if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0))
6526, 42, 19, 30, 43, 45, 62, 64lemul12bd 12209 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘 · 𝐴) ≤ ((2 · (𝑘𝑛)) · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
6619recnd 11287 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐴 ∈ ℂ)
6766, 51mulcomd 11280 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) = (𝑘 · 𝐴))
6830recnd 11287 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) ∈ ℂ)
6935recnd 11287 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℂ)
7059, 68, 69mul32d 11469 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) = ((2 · (𝑘𝑛)) · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
7165, 67, 703brtr4d 5180 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) ≤ ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)))
7210ad2antrr 726 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ+)
7372rpred 13075 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵 − 1) ∈ ℝ)
7473, 35remulcld 11289 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
7533nnnn0d 12585 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℕ0)
76 reexpcl 14116 . . . . . . . 8 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℕ0) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
7737, 75, 76syl2anc 584 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵𝑛) ∈ ℝ)
7874, 77remulcld 11289 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) ∈ ℝ)
79 simplrr 778 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))
801, 19, 3sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝐴) ∈ ℝ)
8180, 77, 72ltdivmuld 13126 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛) ↔ (2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))))
8279, 81mpbid 232 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
835ad2antrr 726 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 1 < 𝐵)
84 posdif 11754 . . . . . . . . . . . 12 ((1 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
856, 37, 84sylancr 587 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (1 < 𝐵 ↔ 0 < (𝐵 − 1)))
8683, 85mpbid 232 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < (𝐵 − 1))
8733nnzd 12638 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑛 ∈ ℤ)
8828a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ∈ ℝ)
896a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 1 ∈ ℝ)
90 0lt1 11783 . . . . . . . . . . . . 13 0 < 1
9190a1i 11 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < 1)
9288, 89, 37, 91, 83lttrd 11420 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < 𝐵)
93 expgt0 14133 . . . . . . . . . . 11 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 0 < 𝐵) → 0 < (𝐵𝑛))
9437, 87, 92, 93syl3anc 1370 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < (𝐵𝑛))
9573, 77, 86, 94mulgt0d 11414 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
96 oveq2 7439 . . . . . . . . . . 11 (𝐴 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (2 · 𝐴) = (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
9796breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (𝐴 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → ((2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))))
98 2t0e0 12433 . . . . . . . . . . . 12 (2 · 0) = 0
99 oveq2 7439 . . . . . . . . . . . 12 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (2 · 0) = (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
10098, 99eqtr3id 2789 . . . . . . . . . . 11 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → 0 = (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)))
101100breq1d 5158 . . . . . . . . . 10 (0 = if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0) → (0 < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))))
10297, 101ifboth 4570 . . . . . . . . 9 (((2 · 𝐴) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ∧ 0 < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛))) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
10382, 95, 102syl2anc 584 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)))
10473, 77remulcld 11289 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ∈ ℝ)
105 simpr 484 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛)))
106602timesd 12507 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (2 · 𝑛) = (𝑛 + 𝑛))
107106fveq2d 6911 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (ℤ‘(2 · 𝑛)) = (ℤ‘(𝑛 + 𝑛)))
108105, 107eleqtrd 2841 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 𝑛)))
109 eluzsub 12906 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(𝑛 + 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ (ℤ𝑛))
11087, 87, 108, 109syl3anc 1370 . . . . . . . . . . 11 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ (ℤ𝑛))
111 eluznn 12958 . . . . . . . . . . 11 ((𝑛 ∈ ℕ ∧ (𝑘𝑛) ∈ (ℤ𝑛)) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ)
11233, 110, 111syl2anc 584 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ)
113112nngt0d 12313 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 < (𝑘𝑛))
114 ltmul1 12115 . . . . . . . . 9 (((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) ∈ ℝ ∧ ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ∈ ℝ ∧ ((𝑘𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝑘𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛))))
11532, 104, 35, 113, 114syl112anc 1373 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) < ((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) ↔ ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛))))
116103, 115mpbid 232 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛)))
11773recnd 11287 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵 − 1) ∈ ℂ)
11877recnd 11287 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵𝑛) ∈ ℂ)
119117, 118, 69mul32d 11469 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝐵𝑛)) · (𝑘𝑛)) = (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)))
120116, 119breqtrd 5174 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)))
121 peano2re 11432 . . . . . . . . . 10 (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
12274, 121syl 17 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ∈ ℝ)
123112nnnn0d 12585 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝑘𝑛) ∈ ℕ0)
124 reexpcl 14116 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
12537, 123, 124syl2anc 584 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) ∈ ℝ)
12674ltp1d 12196 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1))
12788, 37, 92ltled 11407 . . . . . . . . . 10 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 0 ≤ 𝐵)
128 bernneq2 14266 . . . . . . . . . 10 ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝑘𝑛) ∈ ℕ0 ∧ 0 ≤ 𝐵) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ≤ (𝐵↑(𝑘𝑛)))
12937, 123, 127, 128syl3anc 1370 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) + 1) ≤ (𝐵↑(𝑘𝑛)))
13074, 122, 125, 126, 129ltletrd 11419 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < (𝐵↑(𝑘𝑛)))
13137recnd 11287 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐵 ∈ ℂ)
13292gt0ne0d 11825 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝐵 ≠ 0)
133 eluzelz 12886 . . . . . . . . . 10 (𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛)) → 𝑘 ∈ ℤ)
134133adantl 481 . . . . . . . . 9 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → 𝑘 ∈ ℤ)
135 expsub 14148 . . . . . . . . 9 (((𝐵 ∈ ℂ ∧ 𝐵 ≠ 0) ∧ (𝑘 ∈ ℤ ∧ 𝑛 ∈ ℤ)) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) = ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛)))
136131, 132, 134, 87, 135syl22anc 839 . . . . . . . 8 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐵↑(𝑘𝑛)) = ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛)))
137130, 136breqtrd 5174 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛)))
138 ltmuldiv 12139 . . . . . . . 8 ((((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) ∈ ℝ ∧ (𝐵𝑘) ∈ ℝ ∧ ((𝐵𝑛) ∈ ℝ ∧ 0 < (𝐵𝑛))) → ((((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛))))
13974, 40, 77, 94, 138syl112anc 1373 . . . . . . 7 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) < (𝐵𝑘) ↔ ((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) < ((𝐵𝑘) / (𝐵𝑛))))
140137, 139mpbird 257 . . . . . 6 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (((𝐵 − 1) · (𝑘𝑛)) · (𝐵𝑛)) < (𝐵𝑘))
14136, 78, 40, 120, 140lttrd 11420 . . . . 5 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → ((2 · if(0 ≤ 𝐴, 𝐴, 0)) · (𝑘𝑛)) < (𝐵𝑘))
14227, 36, 40, 71, 141lelttrd 11417 . . . 4 ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) ∧ 𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))) → (𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
143142ralrimiva 3144 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
144 fveq2 6907 . . . . 5 (𝑗 = (2 · 𝑛) → (ℤ𝑗) = (ℤ‘(2 · 𝑛)))
145144raleqdv 3324 . . . 4 (𝑗 = (2 · 𝑛) → (∀𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘) ↔ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘)))
146145rspcev 3622 . . 3 (((2 · 𝑛) ∈ ℕ0 ∧ ∀𝑘 ∈ (ℤ‘(2 · 𝑛))(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘)) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
14718, 143, 146syl2anc 584 . 2 (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) ∧ (𝑛 ∈ ℕ ∧ ((2 · 𝐴) / (𝐵 − 1)) < (𝐵𝑛))) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
14813, 147rexlimddv 3159 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 1 < 𝐵) → ∃𝑗 ∈ ℕ0𝑘 ∈ (ℤ𝑗)(𝐴 · 𝑘) < (𝐵𝑘))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wne 2938  wral 3059  wrex 3068  ifcif 4531   class class class wbr 5148  cfv 6563  (class class class)co 7431  cc 11151  cr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   + caddc 11156   · cmul 11158   < clt 11293  cle 11294  cmin 11490   / cdiv 11918  cn 12264  2c2 12319  0cn0 12524  cz 12611  cuz 12876  +crp 13032  cexp 14099
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-cnex 11209  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-mulcom 11217  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230  ax-pre-sup 11231
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-lim 6391  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-sup 9480  df-inf 9481  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299  df-sub 11492  df-neg 11493  df-div 11919  df-nn 12265  df-2 12327  df-n0 12525  df-z 12612  df-uz 12877  df-rp 13033  df-fl 13829  df-seq 14040  df-exp 14100
This theorem is referenced by:  geomulcvg  15909
  Copyright terms: Public domain W3C validator