Theorem lemul12b 12102

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lemul12b	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem lemul12b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul2a 12100	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷))
2	1	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
3	2	3comr 1123	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
4	3	3expb 1118	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
5	4	adantrrr 724	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
6	5	adantlr 714	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
7		lemul1a 12099	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
9	8	ad4ant134 1172	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
10	9	adantrl 715	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
11	6, 10	anim12d 608	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐶 ≤ 𝐷 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))))
12	11	ancomsd 465	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))))
13		remulcl 11224	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 714	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
15	14	ad2ant2r 746	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
16		remulcl 11224	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
17	16	ad2ant2r 746	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
18	17	ad2ant2rl 748	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
19		remulcl 11224	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
20	19	adantrr 716	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
21	20	ad2ant2l 745	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
22		letr 11339	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
23	15, 18, 21, 22	syl3anc 1369	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
24	12, 23	syld 47	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  (class class class)co 7420  ℝcr 11138  0cc0 11139   · cmul 11144   ≤ cle 11280

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478

This theorem is referenced by:  lemul12a  12103  lemul12bd  12188  lo1mul  15605  pntibndlem2  27537