MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lemul12b Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lemul12b 12072
Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)
Assertion
Ref Expression
lemul12b ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))

Proof of Theorem lemul12b
StepHypRef Expression
1 lemul2a 12070 . . . . . . . . 9 (((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท))
21ex 412 . . . . . . . 8 ((๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„ โˆง (๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด)) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท)))
323comr 1122 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท)))
433expb 1117 . . . . . 6 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„)) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท)))
54adantrrr 722 . . . . 5 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท)))
65adantlr 712 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ถ โ‰ค ๐ท โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท)))
7 lemul1a 12069 . . . . . . 7 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท))
87ex 412 . . . . . 6 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
98ad4ant134 1171 . . . . 5 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
109adantrl 713 . . . 4 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด โ‰ค ๐ต โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
116, 10anim12d 608 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ ((๐ถ โ‰ค ๐ท โˆง ๐ด โ‰ค ๐ต) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท) โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท))))
1211ancomsd 465 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ ((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท) โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท))))
13 remulcl 11194 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
1413adantlr 712 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ถ โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
1514ad2ant2r 744 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„)
16 remulcl 11194 . . . . 5 ((๐ด โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
1716ad2ant2r 744 . . . 4 (((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
1817ad2ant2rl 746 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
19 remulcl 11194 . . . . 5 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง ๐ท โˆˆ โ„) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
2019adantrr 714 . . . 4 ((๐ต โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท)) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
2120ad2ant2l 743 . . 3 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„)
22 letr 11309 . . 3 (((๐ด ยท ๐ถ) โˆˆ โ„ โˆง (๐ด ยท ๐ท) โˆˆ โ„ โˆง (๐ต ยท ๐ท) โˆˆ โ„) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท) โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
2315, 18, 21, 22syl3anc 1368 . 2 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ (((๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ด ยท ๐ท) โˆง (๐ด ยท ๐ท) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
2412, 23syld 47 1 ((((๐ด โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ด) โˆง ๐ต โˆˆ โ„) โˆง (๐ถ โˆˆ โ„ โˆง (๐ท โˆˆ โ„ โˆง 0 โ‰ค ๐ท))) โ†’ ((๐ด โ‰ค ๐ต โˆง ๐ถ โ‰ค ๐ท) โ†’ (๐ด ยท ๐ถ) โ‰ค (๐ต ยท ๐ท)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†’ wi 4   โˆง wa 395   โˆง w3a 1084   โˆˆ wcel 2098   class class class wbr 5141  (class class class)co 7404  โ„cr 11108  0cc0 11109   ยท cmul 11114   โ‰ค cle 11250
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448
This theorem is referenced by:  lemul12a  12073  lemul12bd  12158  lo1mul  15575  pntibndlem2  27474
  Copyright terms: Public domain W3C validator