Theorem lemul12b 12046

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lemul12b	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem lemul12b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul2a 12044	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷))
2	1	ex 412	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
3	2	3comr 1125	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
4	3	3expb 1120	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
5	4	adantrrr 725	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
6	5	adantlr 715	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
7		lemul1a 12043	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))
8	7	ex 412	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
9	8	ad4ant134 1175	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
10	9	adantrl 716	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
11	6, 10	anim12d 609	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐶 ≤ 𝐷 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))))
12	11	ancomsd 465	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))))
13		remulcl 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
14	13	adantlr 715	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
15	14	ad2ant2r 747	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
16		remulcl 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
17	16	ad2ant2r 747	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
18	17	ad2ant2rl 749	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
19		remulcl 11160	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
20	19	adantrr 717	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
21	20	ad2ant2l 746	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
22		letr 11275	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
23	15, 18, 21, 22	syl3anc 1373	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
24	12, 23	syld 47	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2109   class class class wbr 5110  (class class class)co 7390  ℝcr 11074  0cc0 11075   · cmul 11080   ≤ cle 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2702  ax-sep 5254  ax-nul 5264  ax-pow 5323  ax-pr 5390  ax-un 7714  ax-resscn 11132  ax-1cn 11133  ax-icn 11134  ax-addcl 11135  ax-addrcl 11136  ax-mulcl 11137  ax-mulrcl 11138  ax-mulcom 11139  ax-addass 11140  ax-mulass 11141  ax-distr 11142  ax-i2m1 11143  ax-1ne0 11144  ax-1rid 11145  ax-rnegex 11146  ax-rrecex 11147  ax-cnre 11148  ax-pre-lttri 11149  ax-pre-lttrn 11150  ax-pre-ltadd 11151  ax-pre-mulgt0 11152

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2709  df-cleq 2722  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2927  df-nel 3031  df-ral 3046  df-rex 3055  df-reu 3357  df-rab 3409  df-v 3452  df-sbc 3757  df-csb 3866  df-dif 3920  df-un 3922  df-in 3924  df-ss 3934  df-nul 4300  df-if 4492  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-id 5536  df-po 5549  df-so 5550  df-xp 5647  df-rel 5648  df-cnv 5649  df-co 5650  df-dm 5651  df-rn 5652  df-res 5653  df-ima 5654  df-iota 6467  df-fun 6516  df-fn 6517  df-f 6518  df-f1 6519  df-fo 6520  df-f1o 6521  df-fv 6522  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-er 8674  df-en 8922  df-dom 8923  df-sdom 8924  df-pnf 11217  df-mnf 11218  df-xr 11219  df-ltxr 11220  df-le 11221  df-sub 11414  df-neg 11415

This theorem is referenced by:  lemul12a  12047  lemul12bd  12133  lo1mul  15601  pntibndlem2  27509