Theorem lemul12b 11209

Description: Comparison of product of two nonnegative numbers. (Contributed by NM, 22-Feb-2008.)

Assertion

Ref	Expression
lemul12b	⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Proof of Theorem lemul12b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lemul2a 11207	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷))
2	1	ex 403	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴)) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
3	2	3comr 1161	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
4	3	3expb 1155	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ)) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
5	4	adantrrr 718	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
6	5	adantlr 708	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐶 ≤ 𝐷 → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷)))
7		lemul1a 11206	. . . . . . . 8 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))
8	7	ex 403	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
9	8	3expa 1153	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
10	9	adantllr 712	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
11	10	adantrl 709	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 ≤ 𝐵 → (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
12	6, 11	anim12d 604	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐶 ≤ 𝐷 ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))))
13	12	ancomsd 459	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → ((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷))))
14		remulcl 10336	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
15	14	adantlr 708	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐶 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
16	15	ad2ant2r 755	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ)
17		remulcl 10336	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
18	17	ad2ant2r 755	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
19	18	ad2ant2rl 757	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ)
20		remulcl 10336	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐷 ∈ ℝ) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
21	20	adantrr 710	. . . 4 ⊢ ((𝐵 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷)) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
22	21	ad2ant2l 754	. . 3 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ)
23		letr 10449	. . 3 ⊢ (((𝐴 · 𝐶) ∈ ℝ ∧ (𝐴 · 𝐷) ∈ ℝ ∧ (𝐵 · 𝐷) ∈ ℝ) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
24	16, 19, 22, 23	syl3anc 1496	. 2 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → (((𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐴 · 𝐷) ∧ (𝐴 · 𝐷) ≤ (𝐵 · 𝐷)) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))
25	13, 24	syld 47	1 ⊢ ((((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴) ∧ 𝐵 ∈ ℝ) ∧ (𝐶 ∈ ℝ ∧ (𝐷 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐷))) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐶 ≤ 𝐷) → (𝐴 · 𝐶) ≤ (𝐵 · 𝐷)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4872  (class class class)co 6904  ℝcr 10250  0cc0 10251   · cmul 10256   ≤ cle 10391

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2390  ax-ext 2802  ax-sep 5004  ax-nul 5012  ax-pow 5064  ax-pr 5126  ax-un 7208  ax-resscn 10308  ax-1cn 10309  ax-icn 10310  ax-addcl 10311  ax-addrcl 10312  ax-mulcl 10313  ax-mulrcl 10314  ax-mulcom 10315  ax-addass 10316  ax-mulass 10317  ax-distr 10318  ax-i2m1 10319  ax-1ne0 10320  ax-1rid 10321  ax-rnegex 10322  ax-rrecex 10323  ax-cnre 10324  ax-pre-lttri 10325  ax-pre-lttrn 10326  ax-pre-ltadd 10327  ax-pre-mulgt0 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2604  df-eu 2639  df-clab 2811  df-cleq 2817  df-clel 2820  df-nfc 2957  df-ne 2999  df-nel 3102  df-ral 3121  df-rex 3122  df-reu 3123  df-rab 3125  df-v 3415  df-sbc 3662  df-csb 3757  df-dif 3800  df-un 3802  df-in 3804  df-ss 3811  df-nul 4144  df-if 4306  df-pw 4379  df-sn 4397  df-pr 4399  df-op 4403  df-uni 4658  df-br 4873  df-opab 4935  df-mpt 4952  df-id 5249  df-po 5262  df-so 5263  df-xp 5347  df-rel 5348  df-cnv 5349  df-co 5350  df-dm 5351  df-rn 5352  df-res 5353  df-ima 5354  df-iota 6085  df-fun 6124  df-fn 6125  df-f 6126  df-f1 6127  df-fo 6128  df-f1o 6129  df-fv 6130  df-riota 6865  df-ov 6907  df-oprab 6908  df-mpt2 6909  df-er 8008  df-en 8222  df-dom 8223  df-sdom 8224  df-pnf 10392  df-mnf 10393  df-xr 10394  df-ltxr 10395  df-le 10396  df-sub 10586  df-neg 10587

This theorem is referenced by:  lemul12a  11210  lemul12bd  11296  lo1mul  14734  pntibndlem2  25692