Theorem lesubsd 28243

Description: Swap subtrahends in a surreal inequality. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
lesubsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
lesubsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
lesubsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
lesubsd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐵 -s 𝐶) ↔ 𝐶 ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Proof of Theorem lesubsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lesubsd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
2		lesubsd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
3		npcans 28222	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No ) → ((𝐵 -s 𝐴) +s 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐴) +s 𝐴) = 𝐵)
5	1, 2	subscld 28210	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐴) ∈ No )
6	2, 5	addscomd 28114	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s (𝐵 -s 𝐴)) = ((𝐵 -s 𝐴) +s 𝐴))
7		lesubsd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
8		npcans 28222	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No ) → ((𝐵 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐵)
9	1, 7, 8	syl2anc 595	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐵)
10	4, 6, 9	3eqtr4rd 2811	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 -s 𝐶) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 -s 𝐴)))
11	10	breq2d 5116	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐶) ≤s ((𝐵 -s 𝐶) +s 𝐶) ↔ (𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐴 +s (𝐵 -s 𝐴))))
12	1, 7	subscld 28210	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 -s 𝐶) ∈ No )
13	2, 12, 7	leadds1d 28142	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐵 -s 𝐶) ↔ (𝐴 +s 𝐶) ≤s ((𝐵 -s 𝐶) +s 𝐶)))
14	7, 5, 2	leadds2d 28143	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤s (𝐵 -s 𝐴) ↔ (𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐴 +s (𝐵 -s 𝐴))))
15	11, 13, 14	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐵 -s 𝐶) ↔ 𝐶 ≤s (𝐵 -s 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  (class class class)co 7400   No csur 27758   ≤s cles 27862   +_s cadds 28106   -_s csubs 28167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-1o 8441  df-2o 8442  df-nadd 8640  df-no 27761  df-lts 27762  df-bday 27763  df-les 27863  df-slts 27905  df-cuts 27907  df-0s 27954  df-made 27974  df-old 27975  df-left 27977  df-right 27978  df-norec 28085  df-norec2 28096  df-adds 28107  df-negs 28168  df-subs 28169

This theorem is referenced by:  bdayfinbndlem1  28614  elreno2  28642