Theorem lesubsd 28515

Description: Swap subtrahends in a surreal inequality. (Contributed by Scott Fenton, 29-Jan-2026.)

Hypotheses

Ref	Expression
lesubsd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
lesubsd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
lesubsd.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
lesubsd	⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐵 −s 𝐶) ↔ 𝐶 ≤s (𝐵 −s 𝐴)))

Proof of Theorem lesubsd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lesubsd.2	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
2		lesubsd.1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
3		npcans 28494	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐴 ∈ No) → ((𝐵 −s 𝐴) +s 𝐴) = 𝐵)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −s 𝐴) +s 𝐴) = 𝐵)
5	1, 2	subscld 28482	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −s 𝐴) ∈ No)
6	2, 5	addscomd 28386	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s (𝐵 −s 𝐴)) = ((𝐵 −s 𝐴) +s 𝐴))
7		lesubsd.3	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
8		npcans 28494	. . . . 5 ⊢ ((𝐵 ∈ No ∧ 𝐶 ∈ No) → ((𝐵 −s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐵)
9	1, 7, 8	syl2anc 596	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −s 𝐶) +s 𝐶) = 𝐵)
10	4, 6, 9	3eqtr4rd 2809	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 −s 𝐶) +s 𝐶) = (𝐴 +s (𝐵 −s 𝐴)))
11	10	breq2d 5118	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 +s 𝐶) ≤s ((𝐵 −s 𝐶) +s 𝐶) ↔ (𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐴 +s (𝐵 −s 𝐴))))
12	1, 7	subscld 28482	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 −s 𝐶) ∈ No)
13	2, 12, 7	leadds1d 28414	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐵 −s 𝐶) ↔ (𝐴 +s 𝐶) ≤s ((𝐵 −s 𝐶) +s 𝐶)))
14	7, 5, 2	leadds2d 28415	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐶 ≤s (𝐵 −s 𝐴) ↔ (𝐴 +s 𝐶) ≤s (𝐴 +s (𝐵 −s 𝐴))))
15	11, 13, 14	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ≤s (𝐵 −s 𝐶) ↔ 𝐶 ≤s (𝐵 −s 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446  Nocsur 28030   ≤s cles 28134   +_s cadds 28378   −_s csubs 28439

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-se 5610  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-1o 8507  df-2o 8508  df-nadd 8706  df-no 28033  df-lts 28034  df-bday 28035  df-les 28135  df-slts 28177  df-cuts 28179  df-0s 28226  df-made 28246  df-old 28247  df-left 28249  df-right 28250  df-norec 28357  df-norec2 28368  df-adds 28379  df-negs 28440  df-subs 28441

This theorem is used by:  bdayfinbndlem1  28886  elreno2  28914