Theorem addscomd 27911

Description: Surreal addition commutes. Part of Theorem 3 of [Conway] p. 17. (Contributed by Scott Fenton, 20-Aug-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
addscomd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
addscomd.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
addscomd	⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) = (𝐵 +s 𝐴))

Proof of Theorem addscomd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		addscomd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		addscomd.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		addscom 27910	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 +s 𝐵) = (𝐵 +s 𝐴))
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 +s 𝐵) = (𝐵 +s 𝐴))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  (class class class)co 7352   No csur 27579   +_s cadds 27903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5219  ax-sep 5236  ax-nul 5246  ax-pow 5305  ax-pr 5372  ax-un 7674

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4576  df-pr 4578  df-tp 4580  df-op 4582  df-uni 4859  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5094  df-opab 5156  df-mpt 5175  df-tr 5201  df-id 5514  df-eprel 5519  df-po 5527  df-so 5528  df-fr 5572  df-se 5573  df-we 5574  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7309  df-ov 7355  df-oprab 7356  df-mpo 7357  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8297  df-1o 8391  df-2o 8392  df-no 27582  df-slt 27583  df-bday 27584  df-sslt 27722  df-scut 27724  df-made 27789  df-old 27790  df-left 27792  df-right 27793  df-norec2 27893  df-adds 27904

This theorem is referenced by:  addslid  27912  addsproplem2  27914  addsproplem4  27916  addsproplem5  27917  addsproplem6  27918  adds32d  27951  adds12d  27952  adds42d  27954  addsbday  27961  negnegs  27987  npcans  28016  negsubsdi2d  28021  sltsubsubbd  28024  sltsubadd2d  28031  sltaddsub2d  28033  mulsproplem12  28067  mulscom  28079  addsdilem3  28093  addsdilem4  28094  mulsasslem3  28105  mulsunif2lem  28109  elzn0s  28323  zscut  28332  zsoring  28333  halfcut  28379  pw2cut2  28383  zs12addscl  28388