Theorem subscld 28004

Description: Closure law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem subscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		subscl 28003	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2111  (class class class)co 7346   No csur 27579   -_s csubs 27963

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5217  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-tp 4581  df-op 4583  df-uni 4860  df-int 4898  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-se 5570  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-1o 8385  df-2o 8386  df-nadd 8581  df-no 27582  df-slt 27583  df-bday 27584  df-sslt 27722  df-scut 27724  df-0s 27769  df-made 27789  df-old 27790  df-left 27792  df-right 27793  df-norec 27882  df-norec2 27893  df-adds 27904  df-negs 27964  df-subs 27965

This theorem is referenced by:  pncan3s  28014  sltsubsubbd  28024  sltsubsub2bd  28025  slesubsubbd  28027  slesubsub2bd  28028  slesubsub3bd  28029  sltsubaddd  28030  slesubaddd  28034  subsubs2d  28036  posdifsd  28038  subsge0d  28040  addsubs4d  28041  mulsproplem5  28060  mulsproplem6  28061  mulsproplem7  28062  mulsproplem8  28063  mulsproplem9  28064  mulsproplem12  28067  mulsproplem13  28068  mulsproplem14  28069  slemuld  28078  ssltmul1  28087  ssltmul2  28088  mulsuniflem  28089  subsdid  28098  subsdird  28099  mulsasslem3  28105  mulsunif2lem  28109  sltmul2  28111  precsexlem8  28153  precsexlem9  28154  precsexlem11  28156  onmulscl  28212  n0sltp1le  28292  zmulscld  28322  zscut  28332  zseo  28346  pw2cut2  28383