Theorem subscld 28455

Description: Closure law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
subscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
subscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) ∈ No)

Proof of Theorem subscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		subscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3		subscl 28454	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 −s 𝐵) ∈ No)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2144  (class class class)co 7421  Nocsur 28003   −_s csubs 28412

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7752

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-uni 4867  df-int 4907  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-se 5604  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6541  df-fn 6542  df-f 6543  df-f1 6544  df-fo 6545  df-f1o 6546  df-fv 6547  df-riota 7378  df-ov 7424  df-oprab 7425  df-mpo 7426  df-1st 8002  df-2nd 8003  df-frecs 8303  df-wrecs 8334  df-recs 8383  df-1o 8480  df-2o 8481  df-nadd 8679  df-no 28006  df-lts 28007  df-bday 28008  df-slts 28150  df-cuts 28152  df-0s 28199  df-made 28219  df-old 28220  df-left 28222  df-right 28223  df-norec 28330  df-norec2 28341  df-adds 28352  df-negs 28413  df-subs 28414

This theorem is used by:  pncan3s  28465  ltsubsubsbd  28475  ltsubsubs2bd  28476  lesubsubsbd  28478  lesubsubs2bd  28479  lesubsubs3bd  28480  ltsubaddsd  28481  lesubaddsd  28485  subsubs2d  28487  lesubsd  28488  posdifsd  28490  subsge0d  28492  addsubs4d  28493  mulsproplem5  28512  mulsproplem6  28513  mulsproplem7  28514  mulsproplem8  28515  mulsproplem9  28516  mulsproplem12  28519  mulsproplem13  28520  mulsproplem14  28521  lemulsd  28530  sltmuls1  28539  sltmuls2  28540  mulsuniflem  28541  subsdid  28550  subsdird  28551  mulsasslem3  28557  mulsunif2lem  28561  ltmuls2  28563  precsexlem8  28606  precsexlem9  28607  precsexlem11  28609  onmulscl  28670  n0ltsp1le  28757  zmulscld  28789  zcuts  28799  zseo  28814  pw2cut2  28854  bdayfinbndlem1  28859  elreno2  28887