Theorem subscld 28506

Description: Closure law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
subscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)

Assertion

Ref	Expression
subscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) ∈ No)

Proof of Theorem subscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		subscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
3		subscl 28505	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 −s 𝐵) ∈ No)
4	1, 2, 3	syl2anc 596	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 −s 𝐵) ∈ No)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∈ wcel 2147  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   −_s csubs 28463

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-nadd 8713  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec 28381  df-norec2 28392  df-adds 28403  df-negs 28464  df-subs 28465

This theorem is used by:  pncan3s  28516  ltsubsubsbd  28526  ltsubsubs2bd  28527  lesubsubsbd  28529  lesubsubs2bd  28530  lesubsubs3bd  28531  ltsubaddsd  28532  lesubaddsd  28536  subsubs2d  28538  lesubsd  28539  posdifsd  28541  subsge0d  28543  addsubs4d  28544  mulsproplem5  28563  mulsproplem6  28564  mulsproplem7  28565  mulsproplem8  28566  mulsproplem9  28567  mulsproplem12  28570  mulsproplem13  28571  mulsproplem14  28572  lemulsd  28581  sltmuls1  28590  sltmuls2  28591  mulsuniflem  28592  subsdid  28601  subsdird  28602  mulsasslem3  28608  mulsunif2lem  28612  ltmuls2  28614  precsexlem8  28657  precsexlem9  28658  precsexlem11  28660  onmulscl  28721  n0ltsp1le  28808  zmulscld  28840  zcuts  28850  zseo  28865  pw2cut2  28905  bdayfinbndlem1  28910  elreno2  28938