Theorem subscld 28067

Description: Closure law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem subscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		subscl 28066	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2114  (class class class)co 7358   No csur 27615   -_s csubs 28024

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5368  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3343  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-uni 4852  df-int 4891  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5517  df-eprel 5522  df-po 5530  df-so 5531  df-fr 5575  df-se 5576  df-we 5577  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-pred 6257  df-ord 6318  df-on 6319  df-suc 6321  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8222  df-wrecs 8253  df-recs 8302  df-1o 8396  df-2o 8397  df-nadd 8593  df-no 27618  df-lts 27619  df-bday 27620  df-slts 27762  df-cuts 27764  df-0s 27811  df-made 27831  df-old 27832  df-left 27834  df-right 27835  df-norec 27942  df-norec2 27953  df-adds 27964  df-negs 28025  df-subs 28026

This theorem is referenced by:  pncan3s  28077  ltsubsubsbd  28087  ltsubsubs2bd  28088  lesubsubsbd  28090  lesubsubs2bd  28091  lesubsubs3bd  28092  ltsubaddsd  28093  lesubaddsd  28097  subsubs2d  28099  lesubsd  28100  posdifsd  28102  subsge0d  28104  addsubs4d  28105  mulsproplem5  28124  mulsproplem6  28125  mulsproplem7  28126  mulsproplem8  28127  mulsproplem9  28128  mulsproplem12  28131  mulsproplem13  28132  mulsproplem14  28133  lemulsd  28142  sltmuls1  28151  sltmuls2  28152  mulsuniflem  28153  subsdid  28162  subsdird  28163  mulsasslem3  28169  mulsunif2lem  28173  ltmuls2  28175  precsexlem8  28218  precsexlem9  28219  precsexlem11  28221  onmulscl  28282  n0ltsp1le  28369  zmulscld  28401  zcuts  28411  zseo  28426  pw2cut2  28466  bdayfinbndlem1  28471  elreno2  28499