Theorem subscld 28210

Description: Closure law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem subscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		subscl 28209	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
4	1, 2, 3	syl2anc 595	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2145  (class class class)co 7400   No csur 27758   -_s csubs 28167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-1o 8441  df-2o 8442  df-nadd 8640  df-no 27761  df-lts 27762  df-bday 27763  df-slts 27905  df-cuts 27907  df-0s 27954  df-made 27974  df-old 27975  df-left 27977  df-right 27978  df-norec 28085  df-norec2 28096  df-adds 28107  df-negs 28168  df-subs 28169

This theorem is referenced by:  pncan3s  28220  ltsubsubsbd  28230  ltsubsubs2bd  28231  lesubsubsbd  28233  lesubsubs2bd  28234  lesubsubs3bd  28235  ltsubaddsd  28236  lesubaddsd  28240  subsubs2d  28242  lesubsd  28243  posdifsd  28245  subsge0d  28247  addsubs4d  28248  mulsproplem5  28267  mulsproplem6  28268  mulsproplem7  28269  mulsproplem8  28270  mulsproplem9  28271  mulsproplem12  28274  mulsproplem13  28275  mulsproplem14  28276  lemulsd  28285  sltmuls1  28294  sltmuls2  28295  mulsuniflem  28296  subsdid  28305  subsdird  28306  mulsasslem3  28312  mulsunif2lem  28316  ltmuls2  28318  precsexlem8  28361  precsexlem9  28362  precsexlem11  28364  onmulscl  28425  n0ltsp1le  28512  zmulscld  28544  zcuts  28554  zseo  28569  pw2cut2  28609  bdayfinbndlem1  28614  elreno2  28642