Theorem subscld 27990

Description: Closure law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem subscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		subscl 27989	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
4	1, 2, 3	syl2anc 584	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2109  (class class class)co 7353   No csur 27567   -_s csubs 27949

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4862  df-int 4900  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-se 5577  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-1o 8395  df-2o 8396  df-nadd 8591  df-no 27570  df-slt 27571  df-bday 27572  df-sslt 27710  df-scut 27712  df-0s 27756  df-made 27775  df-old 27776  df-left 27778  df-right 27779  df-norec 27868  df-norec2 27879  df-adds 27890  df-negs 27950  df-subs 27951

This theorem is referenced by:  pncan3s  28000  sltsubsubbd  28010  sltsubsub2bd  28011  slesubsubbd  28013  slesubsub2bd  28014  slesubsub3bd  28015  sltsubaddd  28016  slesubaddd  28020  subsubs2d  28022  posdifsd  28024  subsge0d  28026  addsubs4d  28027  mulsproplem5  28046  mulsproplem6  28047  mulsproplem7  28048  mulsproplem8  28049  mulsproplem9  28050  mulsproplem12  28053  mulsproplem13  28054  mulsproplem14  28055  slemuld  28064  ssltmul1  28073  ssltmul2  28074  mulsuniflem  28075  subsdid  28084  subsdird  28085  mulsasslem3  28091  mulsunif2lem  28095  sltmul2  28097  precsexlem8  28139  precsexlem9  28140  precsexlem11  28142  onmulscl  28198  n0sltp1le  28278  zmulscld  28308  zscut  28318  zseo  28332