Theorem subscld 28143

Description: Closure law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem subscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		subscl 28142	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
4	1, 2, 3	syl2anc 593	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2141  (class class class)co 7390   No csur 27691   -_s csubs 28100

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-1o 8430  df-2o 8431  df-nadd 8629  df-no 27694  df-lts 27695  df-bday 27696  df-slts 27838  df-cuts 27840  df-0s 27887  df-made 27907  df-old 27908  df-left 27910  df-right 27911  df-norec 28018  df-norec2 28029  df-adds 28040  df-negs 28101  df-subs 28102

This theorem is referenced by:  pncan3s  28153  ltsubsubsbd  28163  ltsubsubs2bd  28164  lesubsubsbd  28166  lesubsubs2bd  28167  lesubsubs3bd  28168  ltsubaddsd  28169  lesubaddsd  28173  subsubs2d  28175  lesubsd  28176  posdifsd  28178  subsge0d  28180  addsubs4d  28181  mulsproplem5  28200  mulsproplem6  28201  mulsproplem7  28202  mulsproplem8  28203  mulsproplem9  28204  mulsproplem12  28207  mulsproplem13  28208  mulsproplem14  28209  lemulsd  28218  sltmuls1  28227  sltmuls2  28228  mulsuniflem  28229  subsdid  28238  subsdird  28239  mulsasslem3  28245  mulsunif2lem  28249  ltmuls2  28251  precsexlem8  28294  precsexlem9  28295  precsexlem11  28297  onmulscl  28358  n0ltsp1le  28445  zmulscld  28477  zcuts  28487  zseo  28502  pw2cut2  28542  bdayfinbndlem1  28547  elreno2  28575