Theorem subscld 27535

Description: Closure law for surreal subtraction. (Contributed by Scott Fenton, 5-Feb-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
subscld.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
subscld.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )

Assertion

Ref	Expression
subscld	⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Proof of Theorem subscld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		subscld.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		subscld.2	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		subscl 27534	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )
4	1, 2, 3	syl2anc 585	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 -s 𝐵) ∈ No )

Syntax hints:   → wi 4   ∈ wcel 2107  (class class class)co 7409   No csur 27143   -_s csubs 27495

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-se 5633  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-1o 8466  df-2o 8467  df-nadd 8665  df-no 27146  df-slt 27147  df-bday 27148  df-sslt 27283  df-scut 27285  df-0s 27325  df-made 27342  df-old 27343  df-left 27345  df-right 27346  df-norec 27422  df-norec2 27433  df-adds 27444  df-negs 27496  df-subs 27497

This theorem is referenced by:  pncan3s  27541  sltsubsubbd  27550  sltsubsub2bd  27551  slesubsubbd  27553  slesubsub2bd  27554  slesubsub3bd  27555  sltsubaddd  27556  posdifsd  27561  mulsproplem5  27576  mulsproplem6  27577  mulsproplem7  27578  mulsproplem8  27579  mulsproplem9  27580  mulsproplem12  27583  mulsproplem13  27584  mulsproplem14  27585  slemuld  27594  ssltmul1  27602  ssltmul2  27603  mulsuniflem  27604  subsdid  27613  subsdird  27614  mulsasslem3  27620  sltmul2  27623  precsexlem8  27660  precsexlem9  27661  precsexlem11  27663