Theorem lidlssbas 21543

Description: The base set of the restriction of the ring to a (left) ideal is a subset of the base set of the ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlssbas.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlssbas.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlssbas	⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))

Proof of Theorem lidlssbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlssbas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
2		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbas 17458	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝐼))
4		inss2 4137	. 2 ⊢ (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅)
5	3, 4	eqsstrrdi 3958	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ⊆ wss 3900   ∩ cin 4092  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Basecbs 17431   ↾_s cress 17452  LIdealclidl 21535

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-cnex 11295  ax-1cn 11297  ax-addcl 11299

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-nn 12376  df-sets 17386  df-slot 17404  df-ndx 17416  df-base 17432  df-ress 17453

This theorem is used by:  rnglidlmmgm  21584  rnglidlmsgrp  21585  rnglidlrng  21586