Theorem lidlssbas 21256

Description: The base set of the restriction of the ring to a (left) ideal is a subset of the base set of the ring. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlssbas.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
lidlssbas.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)

Assertion

Ref	Expression
lidlssbas	⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))

Proof of Theorem lidlssbas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlssbas.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
2		eqid 2756	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
3	1, 2	ressbas 17248	. 2 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) = (Base‘𝐼))
4		inss2 4184	. 2 ⊢ (𝑈 ∩ (Base‘𝑅)) ⊆ (Base‘𝑅)
5	3, 4	eqsstrrdi 3976	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ∩ cin 3898   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6510  (class class class)co 7385  Basecbs 17221   ↾_s cress 17242  LIdealclidl 21249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-1cn 11121  ax-addcl 11123

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-nn 12201  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-ress 17243

This theorem is referenced by:  rnglidlmmgm  21288  rnglidlmsgrp  21289  rnglidlrng  21290