MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnglidlmsgrp Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglidlmsgrp 21135
Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a non-unital ring is a semigroup. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption 0𝑈 is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rnglidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
rnglidlabl.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rnglidlmsgrp ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Proof of Theorem rnglidlmsgrp
Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rnglidlabl.l . . 3 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2 rnglidlabl.i . . 3 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
3 rnglidlabl.z . . 3 0 = (0g𝑅)
41, 2, 3rnglidlmmgm 21134 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
5 eqid 2728 . . . . . . 7 (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
65rngmgp 20090 . . . . . 6 (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
763ad2ant1 1131 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
81, 2lidlssbas 21103 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
98sseld 3978 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
108sseld 3978 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
118sseld 3978 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
129, 10, 113anim123d 1440 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
13123ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
1413imp 406 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
15 eqid 2728 . . . . . . 7 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
165, 15mgpbas 20074 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17 eqid 2728 . . . . . . 7 (.r𝑅) = (.r𝑅)
185, 17mgpplusg 20072 . . . . . 6 (.r𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
1916, 18sgrpass 18679 . . . . 5 (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
207, 14, 19syl2an2r 684 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
212, 17ressmulr 17282 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2221eqcomd 2734 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
2322oveqd 7432 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
24 eqidd 2729 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿𝑐 = 𝑐)
2522, 23, 24oveq123d 7436 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐))
26 eqidd 2729 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿𝑎 = 𝑎)
2722oveqd 7432 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑏(.r𝐼)𝑐) = (𝑏(.r𝑅)𝑐))
2822, 26, 27oveq123d 7436 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐)))
2925, 28eqeq12d 2744 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → (((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
30293ad2ant2 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3130adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r𝑅)𝑏)(.r𝑅)𝑐) = (𝑎(.r𝑅)(𝑏(.r𝑅)𝑐))))
3220, 31mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)))
3332ralrimivvva 3199 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐)))
34 eqid 2728 . . . 4 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
35 eqid 2728 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
3634, 35mgpbas 20074 . . 3 (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
37 eqid 2728 . . . 4 (.r𝐼) = (.r𝐼)
3834, 37mgpplusg 20072 . . 3 (.r𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
3936, 38issgrp 18674 . 2 ((mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ↔ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r𝐼)𝑏)(.r𝐼)𝑐) = (𝑎(.r𝐼)(𝑏(.r𝐼)𝑐))))
404, 33, 39sylanbrc 582 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  wral 3057  cfv 6543  (class class class)co 7415  Basecbs 17174  s cress 17203  .rcmulr 17228  0gc0g 17415  Mgmcmgm 18592  Smgrpcsgrp 18672  mulGrpcmgp 20068  Rngcrng 20086  LIdealclidl 21096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5360  ax-pr 5424  ax-un 7735  ax-cnex 11189  ax-resscn 11190  ax-1cn 11191  ax-icn 11192  ax-addcl 11193  ax-addrcl 11194  ax-mulcl 11195  ax-mulrcl 11196  ax-mulcom 11197  ax-addass 11198  ax-mulass 11199  ax-distr 11200  ax-i2m1 11201  ax-1ne0 11202  ax-1rid 11203  ax-rnegex 11204  ax-rrecex 11205  ax-cnre 11206  ax-pre-lttri 11207  ax-pre-lttrn 11208  ax-pre-ltadd 11209  ax-pre-mulgt0 11210
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-nel 3043  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3964  df-nul 4320  df-if 4526  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4905  df-iun 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5571  df-eprel 5577  df-po 5585  df-so 5586  df-fr 5628  df-we 5630  df-xp 5679  df-rel 5680  df-cnv 5681  df-co 5682  df-dm 5683  df-rn 5684  df-res 5685  df-ima 5686  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7371  df-ov 7418  df-oprab 7419  df-mpo 7420  df-om 7866  df-2nd 7989  df-frecs 8281  df-wrecs 8312  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8719  df-en 8959  df-dom 8960  df-sdom 8961  df-pnf 11275  df-mnf 11276  df-xr 11277  df-ltxr 11278  df-le 11279  df-sub 11471  df-neg 11472  df-nn 12238  df-2 12300  df-3 12301  df-4 12302  df-5 12303  df-6 12304  df-7 12305  df-8 12306  df-sets 17127  df-slot 17145  df-ndx 17157  df-base 17175  df-ress 17204  df-plusg 17240  df-mulr 17241  df-sca 17243  df-vsca 17244  df-ip 17245  df-0g 17417  df-mgm 18594  df-sgrp 18673  df-mnd 18689  df-grp 18887  df-abl 19732  df-mgp 20069  df-rng 20087  df-lss 20810  df-sra 21052  df-rgmod 21053  df-lidl 21098
This theorem is referenced by:  rnglidlrng  21136
  Copyright terms: Public domain W3C validator