Theorem rnglidlmsgrp 21156

Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a non-unital ring is a semigroup. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption 0 ∈ 𝑈 is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
rnglidlabl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Proof of Theorem rnglidlmsgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlabl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		rnglidlabl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
3		rnglidlabl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	rnglidlmmgm 21155	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
5		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6	5	rngmgp 20065	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
7	6	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
8	1, 2	lidlssbas 21123	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
9	8	sseld 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
10	8	sseld 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
11	8	sseld 3945	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
12	9, 10, 11	3anim123d 1445	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
13	12	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
14	13	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
15		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	5, 15	mgpbas 20054	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		eqid 2729	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	5, 17	mgpplusg 20053	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 18	sgrpass 18652	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
20	7, 14, 19	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
21	2, 17	ressmulr 17270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
22	21	eqcomd 2735	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
23	22	oveqd 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
24		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑐 = 𝑐)
25	22, 23, 24	oveq123d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐))
26		eqidd 2730	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑎 = 𝑎)
27	22	oveqd 7404	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑐))
28	22, 26, 27	oveq123d 7408	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
29	25, 28	eqeq12d 2745	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
30	29	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
32	20, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)))
33	32	ralrimivvva 3183	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)))
34		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
35		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
36	34, 35	mgpbas 20054	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
37		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
38	34, 37	mgpplusg 20053	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
39	36, 38	issgrp 18647	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ↔ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))))
40	4, 33, 39	sylanbrc 583	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044  ‘cfv 6511  (class class class)co 7387  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Mgmcmgm 18565  Smgrpcsgrp 18645  mulGrpcmgp 20049  Rngcrng 20061  LIdealclidl 21116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3354  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18567  df-sgrp 18646  df-mnd 18662  df-grp 18868  df-abl 19713  df-mgp 20050  df-rng 20062  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118

This theorem is referenced by:  rnglidlrng  21157