Theorem rnglidlmsgrp 21239

Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a non-unital ring is a semigroup. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption 0 ∈ 𝑈 is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
rnglidlabl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Proof of Theorem rnglidlmsgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlabl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		rnglidlabl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
3		rnglidlabl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	rnglidlmmgm 21238	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
5		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6	5	rngmgp 20128	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
7	6	3ad2ant1 1139	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
8	1, 2	lidlssbas 21206	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
9	8	sseld 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
10	8	sseld 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
11	8	sseld 3914	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
12	9, 10, 11	3anim123d 1451	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
13	12	3ad2ant2 1140	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
14	13	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
15		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	5, 15	mgpbas 20117	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		eqid 2739	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	5, 17	mgpplusg 20116	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 18	sgrpass 18684	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
20	7, 14, 19	syl2an2r 691	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
21	2, 17	ressmulr 17261	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
22	21	eqcomd 2745	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
23	22	oveqd 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
24		eqidd 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑐 = 𝑐)
25	22, 23, 24	oveq123d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐))
26		eqidd 2740	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑎 = 𝑎)
27	22	oveqd 7373	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑐))
28	22, 26, 27	oveq123d 7377	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
29	25, 28	eqeq12d 2755	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
30	29	3ad2ant2 1140	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
31	30	adantr 481	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
32	20, 31	mpbird 258	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)))
33	32	ralrimivvva 3185	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)))
34		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
35		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
36	34, 35	mgpbas 20117	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
37		eqid 2739	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
38	34, 37	mgpplusg 20116	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
39	36, 38	issgrp 18679	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ↔ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))))
40	4, 33, 39	sylanbrc 589	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 207   ∧ wa 396   ∧ w3a 1092   = wceq 1547   ∈ wcel 2119  ∀wral 3053  ‘cfv 6485  (class class class)co 7356  Basecbs 17170   ↾_s cress 17191  ._rcmulr 17212  0_gc0g 17393  Mgmcmgm 18597  Smgrpcsgrp 18677  mulGrpcmgp 20112  Rngcrng 20124  LIdealclidl 21199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-rep 5199  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rmo 3344  df-reu 3345  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3903  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-iun 4923  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-tr 5180  df-id 5513  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5571  df-we 5573  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-pred 6252  df-ord 6313  df-on 6314  df-lim 6315  df-suc 6316  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-riota 7313  df-ov 7359  df-oprab 7360  df-mpo 7361  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-0g 17395  df-mgm 18599  df-sgrp 18678  df-mnd 18694  df-grp 18903  df-abl 19749  df-mgp 20113  df-rng 20125  df-lss 20922  df-sra 21163  df-rgmod 21164  df-lidl 21201

This theorem is referenced by:  rnglidlrng  21240