Theorem rnglidlmsgrp 21244

Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a non-unital ring is a semigroup. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption 0 ∈ 𝑈 is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
rnglidlabl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmsgrp	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Proof of Theorem rnglidlmsgrp

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		rnglidlabl.l	. . 3 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
2		rnglidlabl.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
3		rnglidlabl.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
4	1, 2, 3	rnglidlmmgm 21243	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
5		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (mulGrp‘𝑅) = (mulGrp‘𝑅)
6	5	rngmgp 20137	. . . . . 6 ⊢ (𝑅 ∈ Rng → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
7	6	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp)
8	1, 2	lidlssbas 21211	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
9	8	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
10	8	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑏 ∈ (Base‘𝑅)))
11	8	sseld 3920	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑐 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
12	9, 10, 11	3anim123d 1446	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
13	12	3ad2ant2 1135	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))))
14	13	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅)))
15		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
16	5, 15	mgpbas 20126	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘(mulGrp‘𝑅))
17		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
18	5, 17	mgpplusg 20125	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (+g‘(mulGrp‘𝑅))
19	16, 18	sgrpass 18693	. . . . 5 ⊢ (((mulGrp‘𝑅) ∈ Smgrp ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝑅))) → ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
20	7, 14, 19	syl2an2r 686	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
21	2, 17	ressmulr 17270	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
22	21	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
23	22	oveqd 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
24		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑐 = 𝑐)
25	22, 23, 24	oveq123d 7388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐))
26		eqidd 2737	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑎 = 𝑎)
27	22	oveqd 7384	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑏(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑏(.r‘𝑅)𝑐))
28	22, 26, 27	oveq123d 7388	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐)))
29	25, 28	eqeq12d 2752	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
30	29	3ad2ant2 1135	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
31	30	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → (((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)) ↔ ((𝑎(.r‘𝑅)𝑏)(.r‘𝑅)𝑐) = (𝑎(.r‘𝑅)(𝑏(.r‘𝑅)𝑐))))
32	20, 31	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑐 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)))
33	32	ralrimivvva 3183	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐)))
34		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
35		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
36	34, 35	mgpbas 20126	. . 3 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
37		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
38	34, 37	mgpplusg 20125	. . 3 ⊢ (.r‘𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
39	36, 38	issgrp 18688	. 2 ⊢ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp ↔ ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ∧ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑐 ∈ (Base‘𝐼)((𝑎(.r‘𝐼)𝑏)(.r‘𝐼)𝑐) = (𝑎(.r‘𝐼)(𝑏(.r‘𝐼)𝑐))))
40	4, 33, 39	sylanbrc 584	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Smgrp)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ∀wral 3051  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179   ↾_s cress 17200  ._rcmulr 17221  0_gc0g 17402  Mgmcmgm 18606  Smgrpcsgrp 18686  mulGrpcmgp 20121  Rngcrng 20133  LIdealclidl 21204

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-mpo 7372  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-sub 11379  df-neg 11380  df-nn 12175  df-2 12244  df-3 12245  df-4 12246  df-5 12247  df-6 12248  df-7 12249  df-8 12250  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-ress 17201  df-plusg 17233  df-mulr 17234  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-0g 17404  df-mgm 18608  df-sgrp 18687  df-mnd 18703  df-grp 18912  df-abl 19758  df-mgp 20122  df-rng 20134  df-lss 20927  df-sra 21168  df-rgmod 21169  df-lidl 21206

This theorem is referenced by:  rnglidlrng  21245