Theorem lidlss 21452

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21430	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2783	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21450	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2783	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 21173	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3898  ‘cfv 6527  Basecbs 17349  LSubSpclss 21168  ringLModcrglmod 21409  LIdealclidl 21446

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7734  ax-cnex 11228  ax-resscn 11229  ax-1cn 11230  ax-icn 11231  ax-addcl 11232  ax-addrcl 11233  ax-mulcl 11234  ax-mulrcl 11235  ax-mulcom 11236  ax-addass 11237  ax-mulass 11238  ax-distr 11239  ax-i2m1 11240  ax-1ne0 11241  ax-1rid 11242  ax-rnegex 11243  ax-rrecex 11244  ax-cnre 11245  ax-pre-lttri 11246  ax-pre-lttrn 11247  ax-pre-ltadd 11248  ax-pre-mulgt0 11249

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6293  df-ord 6354  df-on 6355  df-lim 6356  df-suc 6357  df-iota 6483  df-fun 6529  df-fn 6530  df-f 6531  df-f1 6532  df-fo 6533  df-f1o 6534  df-fv 6535  df-riota 7365  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8277  df-wrecs 8308  df-recs 8357  df-rdg 8396  df-er 8695  df-en 8952  df-dom 8953  df-sdom 8954  df-pnf 11317  df-mnf 11318  df-xr 11319  df-ltxr 11320  df-le 11321  df-sub 11515  df-neg 11516  df-nn 12306  df-2 12375  df-3 12376  df-4 12377  df-5 12378  df-6 12379  df-7 12380  df-8 12381  df-sets 17304  df-slot 17322  df-ndx 17334  df-base 17350  df-sca 17406  df-vsca 17407  df-ip 17408  df-lss 21169  df-sra 21410  df-rgmod 21411  df-lidl 21448

This theorem is used by:  lidlbasel  21453  lidlbas  21455  lidlsubg  21464  lidl1el  21467  0ringidl  21476  unichnlidl  21478  drngnidl  21493  lsmidl  21500  2idlss  21518  2idlcpblrng  21527  rng2idl1cntr  21563  prmidl2  21584  idlmulssprm  21585  ssdifidllem  21602  ssdifidlprm  21604  lpigen  21621  zringlpirlem1  21730  zringlpirlem3  21732  zndvds  21817  ig1peu  26455  ig1pdvds  26460  ig1prsp  26461  ply1lpir  26462  rspidlid  33864  ringlsmss1  33883  ringlsmss2  33884  intlidl  33904  elrspunidl  33912  elrspunsn  33913  rhmimaidl  33916  mxidlprm  33929  ssmxidllem  33932  opprqusmulr  33949  opprqus1r  33950  opprqusdrng  33951  qsdrngilem  33952  qsdrngi  33953  qsdrnglem2  33954  dflringlem3  33962  dflring3  33963  dflring4  33964  idlsrgmulrcl  33976  idlsrgmulrss1  33977  idlsrgmulrss2  33978  dfufd2  34016  ig1pmindeg  34068  minplycl  34272  irngnminplynz  34278  zarcls1  34435  zarclsun  34436  zarclsiin  34437  zarclsint  34438  zarcmplem  34447  rhmpreimacnlem  34450  rspssbasd  36326  hbtlem2  44069  hbtlem4  44071  hbtlem5  44073  hbtlem6  44074  hbt  44075  lidldomn1  49250