Theorem lidlss 21103

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21081	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21101	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20823	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6476  Basecbs 17107  LSubSpclss 20818  ringLModcrglmod 21060  LIdealclidl 21097

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5214  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5300  ax-pr 5367  ax-un 7662  ax-cnex 11053  ax-resscn 11054  ax-1cn 11055  ax-icn 11056  ax-addcl 11057  ax-addrcl 11058  ax-mulcl 11059  ax-mulrcl 11060  ax-mulcom 11061  ax-addass 11062  ax-mulass 11063  ax-distr 11064  ax-i2m1 11065  ax-1ne0 11066  ax-1rid 11067  ax-rnegex 11068  ax-rrecex 11069  ax-cnre 11070  ax-pre-lttri 11071  ax-pre-lttrn 11072  ax-pre-ltadd 11073  ax-pre-mulgt0 11074

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3344  df-rab 3393  df-v 3435  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4940  df-br 5089  df-opab 5151  df-mpt 5170  df-tr 5196  df-id 5508  df-eprel 5513  df-po 5521  df-so 5522  df-fr 5566  df-we 5568  df-xp 5619  df-rel 5620  df-cnv 5621  df-co 5622  df-dm 5623  df-rn 5624  df-res 5625  df-ima 5626  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7297  df-ov 7343  df-oprab 7344  df-mpo 7345  df-om 7791  df-2nd 7916  df-frecs 8205  df-wrecs 8236  df-recs 8285  df-rdg 8323  df-er 8616  df-en 8864  df-dom 8865  df-sdom 8866  df-pnf 11139  df-mnf 11140  df-xr 11141  df-ltxr 11142  df-le 11143  df-sub 11337  df-neg 11338  df-nn 12117  df-2 12179  df-3 12180  df-4 12181  df-5 12182  df-6 12183  df-7 12184  df-8 12185  df-sets 17062  df-slot 17080  df-ndx 17092  df-base 17108  df-sca 17164  df-vsca 17165  df-ip 17166  df-lss 20819  df-sra 21061  df-rgmod 21062  df-lidl 21099

This theorem is referenced by:  lidlbas  21105  lidlsubg  21114  lidl1el  21117  drngnidl  21134  2idlss  21153  2idlcpblrng  21162  rng2idl1cntr  21196  lpigen  21226  zringlpirlem1  21353  zringlpirlem3  21355  zndvds  21440  ig1peu  26061  ig1pdvds  26066  ig1prsp  26067  ply1lpir  26068  rspidlid  33308  ringlsmss1  33329  ringlsmss2  33330  lsmidl  33334  intlidl  33353  0ringidl  33354  elrspunidl  33361  elrspunsn  33362  rhmimaidl  33365  prmidl2  33374  idlmulssprm  33375  ssdifidllem  33389  ssdifidlprm  33391  mxidlprm  33403  ssmxidllem  33406  opprqusmulr  33424  opprqus1r  33425  opprqusdrng  33426  qsdrngilem  33427  qsdrngi  33428  qsdrnglem2  33429  idlsrgmulrcl  33443  idlsrgmulrss1  33444  idlsrgmulrss2  33445  dfufd2  33483  ig1pmindeg  33530  minplycl  33687  irngnminplynz  33693  zarcls1  33850  zarclsun  33851  zarclsiin  33852  zarclsint  33853  zarcmplem  33862  rhmpreimacnlem  33865  rspssbasd  35630  hbtlem2  43114  hbtlem4  43116  hbtlem5  43118  hbtlem6  43119  hbt  43120  lidldomn1  48229