Theorem lidlss 21120

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21098	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21118	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20832	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  LSubSpclss 20827  ringLModcrglmod 21069  LIdealclidl 21114

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-ip 17254  df-lss 20828  df-sra 21070  df-rgmod 21071  df-lidl 21116

This theorem is referenced by:  lidlbas  21122  lidlsubg  21131  lidl1el  21134  drngnidl  21150  2idlss  21169  2idlcpblrng  21178  rng2idl1cntr  21212  lpigen  21242  zringlpirlem1  21405  zringlpirlem3  21407  zndvds  21500  ig1peu  26154  ig1pdvds  26159  ig1prsp  26160  ply1lpir  26161  rspidlid  33187  ringlsmss1  33208  ringlsmss2  33209  lsmidl  33213  intlidl  33232  0ringidl  33233  elrspunidl  33240  elrspunsn  33241  rhmimaidl  33244  prmidl2  33253  idlmulssprm  33254  ssdifidllem  33268  ssdifidlprm  33270  mxidlprm  33282  ssmxidllem  33285  opprqusmulr  33303  opprqus1r  33304  opprqusdrng  33305  qsdrngilem  33306  qsdrngi  33307  qsdrnglem2  33308  idlsrgmulrcl  33322  idlsrgmulrss1  33323  idlsrgmulrss2  33324  dfufd2  33365  ig1pmindeg  33403  minplycl  33508  irngnminplynz  33513  zarcls1  33601  zarclsun  33602  zarclsiin  33603  zarclsint  33604  zarcmplem  33613  rhmpreimacnlem  33616  hbtlem2  42690  hbtlem4  42692  hbtlem5  42694  hbtlem6  42695  hbt  42696  lidldomn1  47479