Theorem lidlss 21172

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21150	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21170	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20892	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  Basecbs 17141  LSubSpclss 20887  ringLModcrglmod 21129  LIdealclidl 21166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7683  ax-cnex 11087  ax-resscn 11088  ax-1cn 11089  ax-icn 11090  ax-addcl 11091  ax-addrcl 11092  ax-mulcl 11093  ax-mulrcl 11094  ax-mulcom 11095  ax-addass 11096  ax-mulass 11097  ax-distr 11098  ax-i2m1 11099  ax-1ne0 11100  ax-1rid 11101  ax-rnegex 11102  ax-rrecex 11103  ax-cnre 11104  ax-pre-lttri 11105  ax-pre-lttrn 11106  ax-pre-ltadd 11107  ax-pre-mulgt0 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7318  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-om 7812  df-2nd 7937  df-frecs 8226  df-wrecs 8257  df-recs 8306  df-rdg 8344  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11173  df-mnf 11174  df-xr 11175  df-ltxr 11176  df-le 11177  df-sub 11371  df-neg 11372  df-nn 12151  df-2 12213  df-3 12214  df-4 12215  df-5 12216  df-6 12217  df-7 12218  df-8 12219  df-sets 17096  df-slot 17114  df-ndx 17126  df-base 17142  df-sca 17198  df-vsca 17199  df-ip 17200  df-lss 20888  df-sra 21130  df-rgmod 21131  df-lidl 21168

This theorem is referenced by:  lidlbas  21174  lidlsubg  21183  lidl1el  21186  drngnidl  21203  2idlss  21222  2idlcpblrng  21231  rng2idl1cntr  21265  lpigen  21295  zringlpirlem1  21422  zringlpirlem3  21424  zndvds  21509  ig1peu  26141  ig1pdvds  26146  ig1prsp  26147  ply1lpir  26148  rspidlid  33460  ringlsmss1  33481  ringlsmss2  33482  lsmidl  33486  intlidl  33505  0ringidl  33506  elrspunidl  33513  elrspunsn  33514  rhmimaidl  33517  prmidl2  33526  idlmulssprm  33527  ssdifidllem  33541  ssdifidlprm  33543  mxidlprm  33555  ssmxidllem  33558  opprqusmulr  33576  opprqus1r  33577  opprqusdrng  33578  qsdrngilem  33579  qsdrngi  33580  qsdrnglem2  33581  idlsrgmulrcl  33595  idlsrgmulrss1  33596  idlsrgmulrss2  33597  dfufd2  33635  ig1pmindeg  33687  minplycl  33876  irngnminplynz  33882  zarcls1  34039  zarclsun  34040  zarclsiin  34041  zarclsint  34042  zarcmplem  34051  rhmpreimacnlem  34054  rspssbasd  35847  hbtlem2  43444  hbtlem4  43446  hbtlem5  43448  hbtlem6  43449  hbt  43450  lidldomn1  48554