Theorem lidlss 21122

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21100	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21120	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20842	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3914  ‘cfv 6511  Basecbs 17179  LSubSpclss 20837  ringLModcrglmod 21079  LIdealclidl 21116

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-cnex 11124  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144  ax-pre-mulgt0 11145

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-riota 7344  df-ov 7390  df-oprab 7391  df-mpo 7392  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-sub 11407  df-neg 11408  df-nn 12187  df-2 12249  df-3 12250  df-4 12251  df-5 12252  df-6 12253  df-7 12254  df-8 12255  df-sets 17134  df-slot 17152  df-ndx 17164  df-base 17180  df-sca 17236  df-vsca 17237  df-ip 17238  df-lss 20838  df-sra 21080  df-rgmod 21081  df-lidl 21118

This theorem is referenced by:  lidlbas  21124  lidlsubg  21133  lidl1el  21136  drngnidl  21153  2idlss  21172  2idlcpblrng  21181  rng2idl1cntr  21215  lpigen  21245  zringlpirlem1  21372  zringlpirlem3  21374  zndvds  21459  ig1peu  26080  ig1pdvds  26085  ig1prsp  26086  ply1lpir  26087  rspidlid  33346  ringlsmss1  33367  ringlsmss2  33368  lsmidl  33372  intlidl  33391  0ringidl  33392  elrspunidl  33399  elrspunsn  33400  rhmimaidl  33403  prmidl2  33412  idlmulssprm  33413  ssdifidllem  33427  ssdifidlprm  33429  mxidlprm  33441  ssmxidllem  33444  opprqusmulr  33462  opprqus1r  33463  opprqusdrng  33464  qsdrngilem  33465  qsdrngi  33466  qsdrnglem2  33467  idlsrgmulrcl  33481  idlsrgmulrss1  33482  idlsrgmulrss2  33483  dfufd2  33521  ig1pmindeg  33567  minplycl  33696  irngnminplynz  33702  zarcls1  33859  zarclsun  33860  zarclsiin  33861  zarclsint  33862  zarcmplem  33871  rhmpreimacnlem  33874  rspssbasd  35627  hbtlem2  43113  hbtlem4  43115  hbtlem5  43117  hbtlem6  43118  hbt  43119  lidldomn1  48219