Theorem lidlss 21212

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21190	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2763	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21210	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2763	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20933	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1547   ∈ wcel 2119   ⊆ wss 3890  ‘cfv 6492  Basecbs 17177  LSubSpclss 20928  ringLModcrglmod 21169  LIdealclidl 21206

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2712  ax-rep 5206  ax-sep 5225  ax-nul 5235  ax-pow 5301  ax-pr 5369  ax-un 7685  ax-cnex 11092  ax-resscn 11093  ax-1cn 11094  ax-icn 11095  ax-addcl 11096  ax-addrcl 11097  ax-mulcl 11098  ax-mulrcl 11099  ax-mulcom 11100  ax-addass 11101  ax-mulass 11102  ax-distr 11103  ax-i2m1 11104  ax-1ne0 11105  ax-1rid 11106  ax-rnegex 11107  ax-rrecex 11108  ax-cnre 11109  ax-pre-lttri 11110  ax-pre-lttrn 11111  ax-pre-ltadd 11112  ax-pre-mulgt0 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2719  df-cleq 2732  df-clel 2815  df-nfc 2889  df-ne 2936  df-nel 3040  df-ral 3055  df-rex 3065  df-reu 3346  df-rab 3393  df-v 3434  df-sbc 3731  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4269  df-if 4462  df-pw 4538  df-sn 4563  df-pr 4565  df-op 4569  df-uni 4846  df-iun 4930  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5161  df-tr 5187  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7320  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7814  df-2nd 7939  df-frecs 8228  df-wrecs 8259  df-recs 8308  df-rdg 8346  df-er 8640  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11179  df-mnf 11180  df-xr 11181  df-ltxr 11182  df-le 11183  df-sub 11377  df-neg 11378  df-nn 12173  df-2 12242  df-3 12243  df-4 12244  df-5 12245  df-6 12246  df-7 12247  df-8 12248  df-sets 17132  df-slot 17150  df-ndx 17162  df-base 17178  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-lss 20929  df-sra 21170  df-rgmod 21171  df-lidl 21208

This theorem is referenced by:  lidlbas  21214  lidlsubg  21223  lidl1el  21226  drngnidl  21243  2idlss  21262  2idlcpblrng  21271  rng2idl1cntr  21305  lpigen  21335  zringlpirlem1  21444  zringlpirlem3  21446  zndvds  21531  ig1peu  26165  ig1pdvds  26170  ig1prsp  26171  ply1lpir  26172  rspidlid  33465  ringlsmss1  33486  ringlsmss2  33487  lsmidl  33491  intlidl  33510  0ringidl  33511  elrspunidl  33518  elrspunsn  33519  rhmimaidl  33522  prmidl2  33531  idlmulssprm  33532  ssdifidllem  33546  ssdifidlprm  33548  mxidlprm  33560  ssmxidllem  33563  opprqusmulr  33581  opprqus1r  33582  opprqusdrng  33583  qsdrngilem  33584  qsdrngi  33585  qsdrnglem2  33586  idlsrgmulrcl  33600  idlsrgmulrss1  33601  idlsrgmulrss2  33602  dfufd2  33640  ig1pmindeg  33692  minplycl  33897  irngnminplynz  33903  zarcls1  34060  zarclsun  34061  zarclsiin  34062  zarclsint  34063  zarcmplem  34072  rhmpreimacnlem  34075  rspssbasd  35869  hbtlem2  43570  hbtlem4  43572  hbtlem5  43574  hbtlem6  43575  hbt  43576  lidldomn1  48723