Theorem lidlss 21178

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21156	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2759	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21176	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2759	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20898	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3931  ‘cfv 6536  Basecbs 17233  LSubSpclss 20893  ringLModcrglmod 21135  LIdealclidl 21172

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2708  ax-rep 5254  ax-sep 5271  ax-nul 5281  ax-pow 5340  ax-pr 5407  ax-un 7734  ax-cnex 11190  ax-resscn 11191  ax-1cn 11192  ax-icn 11193  ax-addcl 11194  ax-addrcl 11195  ax-mulcl 11196  ax-mulrcl 11197  ax-mulcom 11198  ax-addass 11199  ax-mulass 11200  ax-distr 11201  ax-i2m1 11202  ax-1ne0 11203  ax-1rid 11204  ax-rnegex 11205  ax-rrecex 11206  ax-cnre 11207  ax-pre-lttri 11208  ax-pre-lttrn 11209  ax-pre-ltadd 11210  ax-pre-mulgt0 11211

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2810  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3365  df-rab 3421  df-v 3466  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-op 4613  df-uni 4889  df-iun 4974  df-br 5125  df-opab 5187  df-mpt 5207  df-tr 5235  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-pred 6295  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6489  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7367  df-ov 7413  df-oprab 7414  df-mpo 7415  df-om 7867  df-2nd 7994  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8724  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11276  df-mnf 11277  df-xr 11278  df-ltxr 11279  df-le 11280  df-sub 11473  df-neg 11474  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-7 12313  df-8 12314  df-sets 17188  df-slot 17206  df-ndx 17218  df-base 17234  df-sca 17292  df-vsca 17293  df-ip 17294  df-lss 20894  df-sra 21136  df-rgmod 21137  df-lidl 21174

This theorem is referenced by:  lidlbas  21180  lidlsubg  21189  lidl1el  21192  drngnidl  21209  2idlss  21228  2idlcpblrng  21237  rng2idl1cntr  21271  lpigen  21301  zringlpirlem1  21428  zringlpirlem3  21430  zndvds  21515  ig1peu  26137  ig1pdvds  26142  ig1prsp  26143  ply1lpir  26144  rspidlid  33395  ringlsmss1  33416  ringlsmss2  33417  lsmidl  33421  intlidl  33440  0ringidl  33441  elrspunidl  33448  elrspunsn  33449  rhmimaidl  33452  prmidl2  33461  idlmulssprm  33462  ssdifidllem  33476  ssdifidlprm  33478  mxidlprm  33490  ssmxidllem  33493  opprqusmulr  33511  opprqus1r  33512  opprqusdrng  33513  qsdrngilem  33514  qsdrngi  33515  qsdrnglem2  33516  idlsrgmulrcl  33530  idlsrgmulrss1  33531  idlsrgmulrss2  33532  dfufd2  33570  ig1pmindeg  33616  minplycl  33745  irngnminplynz  33751  zarcls1  33905  zarclsun  33906  zarclsiin  33907  zarclsint  33908  zarcmplem  33917  rhmpreimacnlem  33920  rspssbasd  35667  hbtlem2  43115  hbtlem4  43117  hbtlem5  43119  hbtlem6  43120  hbt  43121  lidldomn1  48173