Theorem lidlss 21097

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21075	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2755	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21095	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2755	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20809	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ⊆ wss 3944  ‘cfv 6542  Basecbs 17171  LSubSpclss 20804  ringLModcrglmod 21046  LIdealclidl 21091

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-2nd 7988  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8718  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-7 12302  df-8 12303  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-ip 17242  df-lss 20805  df-sra 21047  df-rgmod 21048  df-lidl 21093

This theorem is referenced by:  lidlbas  21099  lidlsubg  21108  lidl1el  21111  drngnidl  21127  2idlss  21145  2idlcpblrng  21154  rng2idl1cntr  21184  lpigen  21214  zringlpirlem1  21375  zringlpirlem3  21377  zndvds  21470  ig1peu  26096  ig1pdvds  26101  ig1prsp  26102  ply1lpir  26103  rspidlid  33026  ringlsmss1  33045  ringlsmss2  33046  lsmidl  33050  intlidl  33069  0ringidl  33072  elrspunidl  33079  elrspunsn  33080  rhmimaidl  33083  prmidl2  33092  idlmulssprm  33093  mxidlprm  33119  ssmxidllem  33122  opprqusmulr  33138  opprqus1r  33139  opprqusdrng  33140  qsdrngilem  33141  qsdrngi  33142  qsdrnglem2  33143  idlsrgmulrcl  33157  idlsrgmulrss1  33158  idlsrgmulrss2  33159  ig1pmindeg  33204  minplycl  33313  irngnminplynz  33318  zarcls1  33406  zarclsun  33407  zarclsiin  33408  zarclsint  33409  zarcmplem  33418  rhmpreimacnlem  33421  hbtlem2  42470  hbtlem4  42472  hbtlem5  42474  hbtlem6  42475  hbt  42476  lidldomn1  47216