Theorem lidlss 21137

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21115	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21135	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2752	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20857	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3905  ‘cfv 6486  Basecbs 17138  LSubSpclss 20852  ringLModcrglmod 21094  LIdealclidl 21131

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-nn 12147  df-2 12209  df-3 12210  df-4 12211  df-5 12212  df-6 12213  df-7 12214  df-8 12215  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17139  df-sca 17195  df-vsca 17196  df-ip 17197  df-lss 20853  df-sra 21095  df-rgmod 21096  df-lidl 21133

This theorem is referenced by:  lidlbas  21139  lidlsubg  21148  lidl1el  21151  drngnidl  21168  2idlss  21187  2idlcpblrng  21196  rng2idl1cntr  21230  lpigen  21260  zringlpirlem1  21387  zringlpirlem3  21389  zndvds  21474  ig1peu  26096  ig1pdvds  26101  ig1prsp  26102  ply1lpir  26103  rspidlid  33322  ringlsmss1  33343  ringlsmss2  33344  lsmidl  33348  intlidl  33367  0ringidl  33368  elrspunidl  33375  elrspunsn  33376  rhmimaidl  33379  prmidl2  33388  idlmulssprm  33389  ssdifidllem  33403  ssdifidlprm  33405  mxidlprm  33417  ssmxidllem  33420  opprqusmulr  33438  opprqus1r  33439  opprqusdrng  33440  qsdrngilem  33441  qsdrngi  33442  qsdrnglem2  33443  idlsrgmulrcl  33457  idlsrgmulrss1  33458  idlsrgmulrss2  33459  dfufd2  33497  ig1pmindeg  33543  minplycl  33672  irngnminplynz  33678  zarcls1  33835  zarclsun  33836  zarclsiin  33837  zarclsint  33838  zarcmplem  33847  rhmpreimacnlem  33850  rspssbasd  35612  hbtlem2  43097  hbtlem4  43099  hbtlem5  43101  hbtlem6  43102  hbt  43103  lidldomn1  48203