Theorem lidlss 21255

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21233	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2779	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21253	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2779	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20976	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   ⊆ wss 3899  ‘cfv 6510  Basecbs 17221  LSubSpclss 20971  ringLModcrglmod 21212  LIdealclidl 21249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-rep 5221  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-cnex 11119  ax-resscn 11120  ax-1cn 11121  ax-icn 11122  ax-addcl 11123  ax-addrcl 11124  ax-mulcl 11125  ax-mulrcl 11126  ax-mulcom 11127  ax-addass 11128  ax-mulass 11129  ax-distr 11130  ax-i2m1 11131  ax-1ne0 11132  ax-1rid 11133  ax-rnegex 11134  ax-rrecex 11135  ax-cnre 11136  ax-pre-lttri 11137  ax-pre-lttrn 11138  ax-pre-ltadd 11139  ax-pre-mulgt0 11140

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3or 1096  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-reu 3362  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4945  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-tr 5202  df-id 5535  df-eprel 5540  df-po 5548  df-so 5549  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-pred 6277  df-ord 6338  df-on 6339  df-lim 6340  df-suc 6341  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-riota 7342  df-ov 7388  df-oprab 7389  df-mpo 7390  df-om 7836  df-2nd 7960  df-frecs 8250  df-wrecs 8281  df-recs 8330  df-rdg 8369  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212  df-sub 11406  df-neg 11407  df-nn 12201  df-2 12270  df-3 12271  df-4 12272  df-5 12273  df-6 12274  df-7 12275  df-8 12276  df-sets 17176  df-slot 17194  df-ndx 17206  df-base 17222  df-sca 17278  df-vsca 17279  df-ip 17280  df-lss 20972  df-sra 21213  df-rgmod 21214  df-lidl 21251

This theorem is referenced by:  lidlbas  21257  lidlsubg  21266  lidl1el  21269  drngnidl  21286  2idlss  21305  2idlcpblrng  21314  rng2idl1cntr  21348  lpigen  21378  zringlpirlem1  21487  zringlpirlem3  21489  zndvds  21574  ig1peu  26208  ig1pdvds  26213  ig1prsp  26214  ply1lpir  26215  rspidlid  33515  ringlsmss1  33536  ringlsmss2  33537  lsmidl  33541  intlidl  33560  0ringidl  33561  elrspunidl  33568  elrspunsn  33569  rhmimaidl  33572  prmidl2  33581  idlmulssprm  33582  ssdifidllem  33597  ssdifidlprm  33599  mxidlprm  33612  ssmxidllem  33615  opprqusmulr  33633  opprqus1r  33634  opprqusdrng  33635  qsdrngilem  33636  qsdrngi  33637  qsdrnglem2  33638  dflringlem3  33646  dflring3  33647  dflring4  33648  idlsrgmulrcl  33660  idlsrgmulrss1  33661  idlsrgmulrss2  33662  dfufd2  33700  ig1pmindeg  33752  minplycl  33957  irngnminplynz  33963  zarcls1  34120  zarclsun  34121  zarclsiin  34122  zarclsint  34123  zarcmplem  34132  rhmpreimacnlem  34135  rspssbasd  35938  hbtlem2  43649  hbtlem4  43651  hbtlem5  43653  hbtlem6  43654  hbt  43655  lidldomn1  48801