Theorem lidlss 21171

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21149	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21169	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2760	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20891	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ⊆ wss 3902  ‘cfv 6493  Basecbs 17140  LSubSpclss 20886  ringLModcrglmod 21128  LIdealclidl 21165

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5225  ax-sep 5242  ax-nul 5252  ax-pow 5311  ax-pr 5378  ax-un 7682  ax-cnex 11086  ax-resscn 11087  ax-1cn 11088  ax-icn 11089  ax-addcl 11090  ax-addrcl 11091  ax-mulcl 11092  ax-mulrcl 11093  ax-mulcom 11094  ax-addass 11095  ax-mulass 11096  ax-distr 11097  ax-i2m1 11098  ax-1ne0 11099  ax-1rid 11100  ax-rnegex 11101  ax-rrecex 11102  ax-cnre 11103  ax-pre-lttri 11104  ax-pre-lttrn 11105  ax-pre-ltadd 11106  ax-pre-mulgt0 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3062  df-reu 3352  df-rab 3401  df-v 3443  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4287  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4582  df-pr 4584  df-op 4588  df-uni 4865  df-iun 4949  df-br 5100  df-opab 5162  df-mpt 5181  df-tr 5207  df-id 5520  df-eprel 5525  df-po 5533  df-so 5534  df-fr 5578  df-we 5580  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-pred 6260  df-ord 6321  df-on 6322  df-lim 6323  df-suc 6324  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-2nd 7936  df-frecs 8225  df-wrecs 8256  df-recs 8305  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12150  df-2 12212  df-3 12213  df-4 12214  df-5 12215  df-6 12216  df-7 12217  df-8 12218  df-sets 17095  df-slot 17113  df-ndx 17125  df-base 17141  df-sca 17197  df-vsca 17198  df-ip 17199  df-lss 20887  df-sra 21129  df-rgmod 21130  df-lidl 21167

This theorem is referenced by:  lidlbas  21173  lidlsubg  21182  lidl1el  21185  drngnidl  21202  2idlss  21221  2idlcpblrng  21230  rng2idl1cntr  21264  lpigen  21294  zringlpirlem1  21421  zringlpirlem3  21423  zndvds  21508  ig1peu  26140  ig1pdvds  26145  ig1prsp  26146  ply1lpir  26147  rspidlid  33437  ringlsmss1  33458  ringlsmss2  33459  lsmidl  33463  intlidl  33482  0ringidl  33483  elrspunidl  33490  elrspunsn  33491  rhmimaidl  33494  prmidl2  33503  idlmulssprm  33504  ssdifidllem  33518  ssdifidlprm  33520  mxidlprm  33532  ssmxidllem  33535  opprqusmulr  33553  opprqus1r  33554  opprqusdrng  33555  qsdrngilem  33556  qsdrngi  33557  qsdrnglem2  33558  idlsrgmulrcl  33572  idlsrgmulrss1  33573  idlsrgmulrss2  33574  dfufd2  33612  ig1pmindeg  33664  minplycl  33844  irngnminplynz  33850  zarcls1  34007  zarclsun  34008  zarclsiin  34009  zarclsint  34010  zarcmplem  34019  rhmpreimacnlem  34022  rspssbasd  35815  hbtlem2  43402  hbtlem4  43404  hbtlem5  43406  hbtlem6  43407  hbt  43408  lidldomn1  48513