Theorem lidlss 21491

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21469	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2783	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21489	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2783	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 21212	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ⊆ wss 3895  ‘cfv 6538  Basecbs 17388  LSubSpclss 21207  ringLModcrglmod 21448  LIdealclidl 21485

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11257  ax-resscn 11258  ax-1cn 11259  ax-icn 11260  ax-addcl 11261  ax-addrcl 11262  ax-mulcl 11263  ax-mulrcl 11264  ax-mulcom 11265  ax-addass 11266  ax-mulass 11267  ax-distr 11268  ax-i2m1 11269  ax-1ne0 11270  ax-1rid 11271  ax-rnegex 11272  ax-rrecex 11273  ax-cnre 11274  ax-pre-lttri 11275  ax-pre-lttrn 11276  ax-pre-ltadd 11277  ax-pre-mulgt0 11278

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4584  df-pr 4586  df-op 4590  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8300  df-wrecs 8331  df-recs 8380  df-rdg 8419  df-er 8718  df-en 8975  df-dom 8976  df-sdom 8977  df-pnf 11346  df-mnf 11347  df-xr 11348  df-ltxr 11349  df-le 11350  df-sub 11544  df-neg 11545  df-nn 12337  df-2 12406  df-3 12407  df-4 12408  df-5 12409  df-6 12410  df-7 12411  df-8 12412  df-sets 17343  df-slot 17361  df-ndx 17373  df-base 17389  df-sca 17445  df-vsca 17446  df-ip 17447  df-lss 21208  df-sra 21449  df-rgmod 21450  df-lidl 21487

This theorem is used by:  lidlbasel  21492  lidlbas  21494  lidlsubg  21503  lidl1el  21506  0ringidl  21515  unichnlidl  21517  drngnidl  21532  lsmidl  21539  2idlss  21557  2idlcpblrng  21566  rng2idl1cntr  21602  prmidl2  21623  idlmulssprm  21624  ssdifidllem  21641  ssdifidlprm  21643  lpigen  21660  zringlpirlem1  21769  zringlpirlem3  21771  zndvds  21856  ig1peu  26494  ig1pdvds  26499  ig1prsp  26500  ply1lpir  26501  rspidlid  33973  ringlsmss1  33992  ringlsmss2  33993  intlidl  34013  elrspunidl  34021  elrspunsn  34022  rhmimaidl  34025  mxidlprm  34038  ssmxidllem  34041  opprqusmulr  34058  opprqus1r  34059  opprqusdrng  34060  qsdrngilem  34061  qsdrngi  34062  qsdrnglem2  34063  dflringlem3  34071  dflring3  34072  dflring4  34073  idlsrgmulrcl  34085  idlsrgmulrss1  34086  idlsrgmulrss2  34087  dfufd2  34125  ig1pmindeg  34177  minplycl  34381  irngnminplynz  34387  zarcls1  34544  zarclsun  34545  zarclsiin  34546  zarclsint  34547  zarcmplem  34556  rhmpreimacnlem  34559  rspssbasd  36474  hbtlem2  44202  hbtlem4  44204  hbtlem5  44206  hbtlem6  44207  hbt  44208  lidldomn1  49404