Theorem lidlss 21113

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21091	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21111	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2753	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20825	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ⊆ wss 3945  ‘cfv 6547  Basecbs 17180  LSubSpclss 20820  ringLModcrglmod 21062  LIdealclidl 21107

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7739  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3775  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-pss 3965  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6499  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7373  df-ov 7420  df-oprab 7421  df-mpo 7422  df-om 7870  df-2nd 7993  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12243  df-2 12305  df-3 12306  df-4 12307  df-5 12308  df-6 12309  df-7 12310  df-8 12311  df-sets 17133  df-slot 17151  df-ndx 17163  df-base 17181  df-sca 17249  df-vsca 17250  df-ip 17251  df-lss 20821  df-sra 21063  df-rgmod 21064  df-lidl 21109

This theorem is referenced by:  lidlbas  21115  lidlsubg  21124  lidl1el  21127  drngnidl  21143  2idlss  21161  2idlcpblrng  21170  rng2idl1cntr  21200  lpigen  21230  zringlpirlem1  21393  zringlpirlem3  21395  zndvds  21488  ig1peu  26140  ig1pdvds  26145  ig1prsp  26146  ply1lpir  26147  rspidlid  33158  ringlsmss1  33179  ringlsmss2  33180  lsmidl  33184  intlidl  33206  0ringidl  33210  elrspunidl  33218  elrspunsn  33219  rhmimaidl  33222  prmidl2  33231  idlmulssprm  33232  mxidlprm  33257  ssmxidllem  33260  opprqusmulr  33276  opprqus1r  33277  opprqusdrng  33278  qsdrngilem  33279  qsdrngi  33280  qsdrnglem2  33281  idlsrgmulrcl  33295  idlsrgmulrss1  33296  idlsrgmulrss2  33297  ig1pmindeg  33359  minplycl  33464  irngnminplynz  33469  zarcls1  33557  zarclsun  33558  zarclsiin  33559  zarclsint  33560  zarcmplem  33569  rhmpreimacnlem  33572  hbtlem2  42630  hbtlem4  42632  hbtlem5  42634  hbtlem6  42635  hbt  42636  lidldomn1  47421