Theorem lidlss 21208

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21186	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2764	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21206	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2764	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 20929	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1548   ∈ wcel 2121   ⊆ wss 3884  ‘cfv 6488  Basecbs 17174  LSubSpclss 20924  ringLModcrglmod 21165  LIdealclidl 21202

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681  ax-cnex 11090  ax-resscn 11091  ax-1cn 11092  ax-icn 11093  ax-addcl 11094  ax-addrcl 11095  ax-mulcl 11096  ax-mulrcl 11097  ax-mulcom 11098  ax-addass 11099  ax-mulass 11100  ax-distr 11101  ax-i2m1 11102  ax-1ne0 11103  ax-1rid 11104  ax-rnegex 11105  ax-rrecex 11106  ax-cnre 11107  ax-pre-lttri 11108  ax-pre-lttrn 11109  ax-pre-ltadd 11110  ax-pre-mulgt0 11111

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3066  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-op 4564  df-uni 4841  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-lim 6318  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-om 7810  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8343  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11177  df-mnf 11178  df-xr 11179  df-ltxr 11180  df-le 11181  df-sub 11375  df-neg 11376  df-nn 12170  df-2 12239  df-3 12240  df-4 12241  df-5 12242  df-6 12243  df-7 12244  df-8 12245  df-sets 17129  df-slot 17147  df-ndx 17159  df-base 17175  df-sca 17231  df-vsca 17232  df-ip 17233  df-lss 20925  df-sra 21166  df-rgmod 21167  df-lidl 21204

This theorem is referenced by:  lidlbas  21210  lidlsubg  21219  lidl1el  21222  drngnidl  21239  2idlss  21258  2idlcpblrng  21267  rng2idl1cntr  21301  lpigen  21331  zringlpirlem1  21440  zringlpirlem3  21442  zndvds  21527  ig1peu  26161  ig1pdvds  26166  ig1prsp  26167  ply1lpir  26168  rspidlid  33460  ringlsmss1  33481  ringlsmss2  33482  lsmidl  33486  intlidl  33505  0ringidl  33506  elrspunidl  33513  elrspunsn  33514  rhmimaidl  33517  prmidl2  33526  idlmulssprm  33527  ssdifidllem  33541  ssdifidlprm  33543  mxidlprm  33555  ssmxidllem  33558  opprqusmulr  33576  opprqus1r  33577  opprqusdrng  33578  qsdrngilem  33579  qsdrngi  33580  qsdrnglem2  33581  dflringlem3  33589  dflring3  33590  dflring4  33591  idlsrgmulrcl  33603  idlsrgmulrss1  33604  idlsrgmulrss2  33605  dfufd2  33643  ig1pmindeg  33695  minplycl  33900  irngnminplynz  33906  zarcls1  34063  zarclsun  34064  zarclsiin  34065  zarclsint  34066  zarcmplem  34075  rhmpreimacnlem  34078  rspssbasd  35881  hbtlem2  43582  hbtlem4  43584  hbtlem5  43586  hbtlem6  43587  hbt  43588  lidldomn1  48734