Theorem lidlss 21305

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21283	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2788	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21303	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2788	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 21026	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1563   ∈ wcel 2145   ⊆ wss 3907  ‘cfv 6525  Basecbs 17259  LSubSpclss 21021  ringLModcrglmod 21262  LIdealclidl 21299

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5232  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5327  ax-pr 5395  ax-un 7722  ax-cnex 11144  ax-resscn 11145  ax-1cn 11146  ax-icn 11147  ax-addcl 11148  ax-addrcl 11149  ax-mulcl 11150  ax-mulrcl 11151  ax-mulcom 11152  ax-addass 11153  ax-mulass 11154  ax-distr 11155  ax-i2m1 11156  ax-1ne0 11157  ax-1rid 11158  ax-rnegex 11159  ax-rrecex 11160  ax-cnre 11161  ax-pre-lttri 11162  ax-pre-lttrn 11163  ax-pre-ltadd 11164  ax-pre-mulgt0 11165

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4869  df-iun 4954  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5547  df-eprel 5552  df-po 5560  df-so 5561  df-fr 5605  df-we 5607  df-xp 5658  df-rel 5659  df-cnv 5660  df-co 5661  df-dm 5662  df-rn 5663  df-res 5664  df-ima 5665  df-pred 6292  df-ord 6353  df-on 6354  df-lim 6355  df-suc 6356  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-om 7851  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-rdg 8385  df-er 8682  df-en 8932  df-dom 8933  df-sdom 8934  df-pnf 11233  df-mnf 11234  df-xr 11235  df-ltxr 11236  df-le 11237  df-sub 11431  df-neg 11432  df-nn 12225  df-2 12294  df-3 12295  df-4 12296  df-5 12297  df-6 12298  df-7 12299  df-8 12300  df-sets 17214  df-slot 17232  df-ndx 17244  df-base 17260  df-sca 17316  df-vsca 17317  df-ip 17318  df-lss 21022  df-sra 21263  df-rgmod 21264  df-lidl 21301

This theorem is referenced by:  lidlbasel  21306  lidlbas  21308  lidlsubg  21317  lidl1el  21320  0ringidl  21329  unichnlidl  21331  drngnidl  21342  lsmidl  21349  2idlss  21363  2idlcpblrng  21372  rng2idl1cntr  21407  prmidl2  21428  idlmulssprm  21429  ssdifidllem  21444  ssdifidlprm  21446  lpigen  21463  zringlpirlem1  21572  zringlpirlem3  21574  zndvds  21659  ig1peu  26293  ig1pdvds  26298  ig1prsp  26299  ply1lpir  26300  rspidlid  33604  ringlsmss1  33623  ringlsmss2  33624  intlidl  33644  elrspunidl  33652  elrspunsn  33653  rhmimaidl  33656  mxidlprm  33670  ssmxidllem  33673  opprqusmulr  33690  opprqus1r  33691  opprqusdrng  33692  qsdrngilem  33693  qsdrngi  33694  qsdrnglem2  33695  dflringlem3  33703  dflring3  33704  dflring4  33705  idlsrgmulrcl  33717  idlsrgmulrss1  33718  idlsrgmulrss2  33719  dfufd2  33757  ig1pmindeg  33809  minplycl  34013  irngnminplynz  34019  zarcls1  34176  zarclsun  34177  zarclsiin  34178  zarclsint  34179  zarcmplem  34188  rhmpreimacnlem  34191  rspssbasd  36003  hbtlem2  43713  hbtlem4  43715  hbtlem5  43717  hbtlem6  43718  hbt  43719  lidldomn1  48851