Theorem lidlss 21347

Description: An ideal is a subset of the base set. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lidlss.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
lidlss.i	⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)

Assertion

Ref	Expression
lidlss	⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

Proof of Theorem lidlss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lidlss.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑊)
2		rlmbas 21325	. . 3 ⊢ (Base‘𝑊) = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
3	1, 2	eqtri 2785	. 2 ⊢ 𝐵 = (Base‘(ringLMod‘𝑊))
4		lidlss.i	. . 3 ⊢ 𝐼 = (LIdeal‘𝑊)
5		lidlval 21345	. . 3 ⊢ (LIdeal‘𝑊) = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
6	4, 5	eqtri 2785	. 2 ⊢ 𝐼 = (LSubSp‘(ringLMod‘𝑊))
7	3, 6	lssss 21068	1 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐼 → 𝑈 ⊆ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   = wceq 1569   ∈ wcel 2142   ⊆ wss 3904  ‘cfv 6536  Basecbs 17275  LSubSpclss 21063  ringLModcrglmod 21304  LIdealclidl 21341

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1824  ax-4 1838  ax-5 1939  ax-6 1996  ax-7 2037  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-rep 5237  ax-sep 5256  ax-nul 5268  ax-pow 5335  ax-pr 5403  ax-un 7734  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1103  df-3an 1104  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1809  df-nf 1813  df-sb 2096  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3456  df-sbc 3744  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4487  df-pw 4563  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4595  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5109  df-opab 5173  df-mpt 5192  df-tr 5218  df-id 5555  df-eprel 5560  df-po 5568  df-so 5569  df-fr 5613  df-we 5615  df-xp 5666  df-rel 5667  df-cnv 5668  df-co 5669  df-dm 5670  df-rn 5671  df-res 5672  df-ima 5673  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7861  df-2nd 7985  df-frecs 8276  df-wrecs 8307  df-recs 8356  df-rdg 8395  df-er 8692  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11449  df-neg 11450  df-nn 12240  df-2 12309  df-3 12310  df-4 12311  df-5 12312  df-6 12313  df-7 12314  df-8 12315  df-sets 17230  df-slot 17248  df-ndx 17260  df-base 17276  df-sca 17332  df-vsca 17333  df-ip 17334  df-lss 21064  df-sra 21305  df-rgmod 21306  df-lidl 21343

This theorem is used by:  lidlbasel  21348  lidlbas  21350  lidlsubg  21359  lidl1el  21362  0ringidl  21371  unichnlidl  21373  drngnidl  21388  lsmidl  21395  2idlss  21412  2idlcpblrng  21421  rng2idl1cntr  21456  prmidl2  21477  idlmulssprm  21478  ssdifidllem  21495  ssdifidlprm  21497  lpigen  21514  zringlpirlem1  21623  zringlpirlem3  21625  zndvds  21710  ig1peu  26343  ig1pdvds  26348  ig1prsp  26349  ply1lpir  26350  rspidlid  33698  ringlsmss1  33716  ringlsmss2  33717  intlidl  33737  elrspunidl  33745  elrspunsn  33746  rhmimaidl  33749  mxidlprm  33762  ssmxidllem  33765  opprqusmulr  33782  opprqus1r  33783  opprqusdrng  33784  qsdrngilem  33785  qsdrngi  33786  qsdrnglem2  33787  dflringlem3  33795  dflring3  33796  dflring4  33797  idlsrgmulrcl  33809  idlsrgmulrss1  33810  idlsrgmulrss2  33811  dfufd2  33849  ig1pmindeg  33901  minplycl  34105  irngnminplynz  34111  zarcls1  34268  zarclsun  34269  zarclsiin  34270  zarclsint  34271  zarcmplem  34280  rhmpreimacnlem  34283  rspssbasd  36140  hbtlem2  43879  hbtlem4  43881  hbtlem5  43883  hbtlem6  43884  hbt  43885  lidldomn1  49024