Theorem rnglidlmmgm 21206

Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a non-unital ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption 0 ∈ 𝑈 is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
rnglidlabl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmmgm	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Proof of Theorem rnglidlmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Rng)
2		rnglidlabl.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
3		rnglidlabl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
4	2, 3	lidlbas 21175	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
5		eleq1a 2829	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((Base‘𝐼) = 𝑈 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
6	4, 5	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
8	4	eqcomd 2741	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 = (Base‘𝐼))
9	8	eleq2d 2820	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 0 ∈ (Base‘𝐼)))
10	9	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (Base‘𝐼))
11	10	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (Base‘𝐼))
12	1, 7, 11	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ (Base‘𝐼)))
13	2, 3	lidlssbas 21174	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sseld 3957	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
16	15	anim1d 611	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))))
17	16	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)))
18		rnglidlabl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	18, 19, 20, 2	rnglidlmcl 21177	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ (Base‘𝐼)) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
22	12, 17, 21	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
23	3, 20	ressmulr 17321	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
24	23	eqcomd 2741	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
25	24	oveqd 7422	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
26	25	eleq1d 2819	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
27	26	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
29	22, 28	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
30	29	ralrimivva 3187	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
31		fvex 6889	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝐼) ∈ V
32		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
33		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
34	32, 33	mgpbas 20105	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
35		eqid 2735	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
36	32, 35	mgpplusg 20104	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
37	34, 36	ismgm 18619	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝐼) ∈ V → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
38	31, 37	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
39	30, 38	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108  ∀wral 3051  Vcvv 3459  ‘cfv 6531  (class class class)co 7405  Basecbs 17228   ↾_s cress 17251  ._rcmulr 17272  0_gc0g 17453  Mgmcmgm 18616  mulGrpcmgp 20100  Rngcrng 20112  LIdealclidl 21167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-rep 5249  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-cnex 11185  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205  ax-pre-mulgt0 11206

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3359  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7362  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12241  df-2 12303  df-3 12304  df-4 12305  df-5 12306  df-6 12307  df-7 12308  df-8 12309  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17229  df-ress 17252  df-plusg 17284  df-mulr 17285  df-sca 17287  df-vsca 17288  df-ip 17289  df-0g 17455  df-mgm 18618  df-sgrp 18697  df-mnd 18713  df-grp 18919  df-abl 19764  df-mgp 20101  df-rng 20113  df-lss 20889  df-sra 21131  df-rgmod 21132  df-lidl 21169

This theorem is referenced by:  rnglidlmsgrp  21207