MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnglidlmmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglidlmmgm 21255
Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a non-unital ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption 0𝑈 is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rnglidlabl.l 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidlabl.i 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
rnglidlabl.z 0 = (0g𝑅)
Assertion
Ref Expression
rnglidlmmgm ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Proof of Theorem rnglidlmmgm
Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1137 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → 𝑅 ∈ Rng)
2 rnglidlabl.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
3 rnglidlabl.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑅s 𝑈)
42, 3lidlbas 21224 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
5 eleq1a 2836 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ((Base‘𝐼) = 𝑈 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
64, 5mpd 15 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
763ad2ant2 1135 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
84eqcomd 2743 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿𝑈 = (Base‘𝐼))
98eleq2d 2827 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → ( 0𝑈0 ∈ (Base‘𝐼)))
109biimpa 476 . . . . . . 7 ((𝑈𝐿0𝑈) → 0 ∈ (Base‘𝐼))
11103adant1 1131 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → 0 ∈ (Base‘𝐼))
121, 7, 113jca 1129 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿0 ∈ (Base‘𝐼)))
132, 3lidlssbas 21223 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
1413sseld 3982 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
15143ad2ant2 1135 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
1615anim1d 611 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))))
1716imp 406 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)))
18 rnglidlabl.z . . . . . 6 0 = (0g𝑅)
19 eqid 2737 . . . . . 6 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20 eqid 2737 . . . . . 6 (.r𝑅) = (.r𝑅)
2118, 19, 20, 2rnglidlmcl 21226 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿0 ∈ (Base‘𝐼)) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
2212, 17, 21syl2an2r 685 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
233, 20ressmulr 17351 . . . . . . . . 9 (𝑈𝐿 → (.r𝑅) = (.r𝐼))
2423eqcomd 2743 . . . . . . . 8 (𝑈𝐿 → (.r𝐼) = (.r𝑅))
2524oveqd 7448 . . . . . . 7 (𝑈𝐿 → (𝑎(.r𝐼)𝑏) = (𝑎(.r𝑅)𝑏))
2625eleq1d 2826 . . . . . 6 (𝑈𝐿 → ((𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
27263ad2ant2 1135 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → ((𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
2827adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
2922, 28mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
3029ralrimivva 3202 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
31 fvex 6919 . . 3 (mulGrp‘𝐼) ∈ V
32 eqid 2737 . . . . 5 (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
33 eqid 2737 . . . . 5 (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
3432, 33mgpbas 20142 . . . 4 (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
35 eqid 2737 . . . . 5 (.r𝐼) = (.r𝐼)
3632, 35mgpplusg 20141 . . . 4 (.r𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
3734, 36ismgm 18654 . . 3 ((mulGrp‘𝐼) ∈ V → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
3831, 37mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
3930, 38mpbird 257 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈𝐿0𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061  Vcvv 3480  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  s cress 17274  .rcmulr 17298  0gc0g 17484  Mgmcmgm 18651  mulGrpcmgp 20137  Rngcrng 20149  LIdealclidl 21216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-mulcom 11219  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301  df-sub 11494  df-neg 11495  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-4 12331  df-5 12332  df-6 12333  df-7 12334  df-8 12335  df-sets 17201  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-ress 17275  df-plusg 17310  df-mulr 17311  df-sca 17313  df-vsca 17314  df-ip 17315  df-0g 17486  df-mgm 18653  df-sgrp 18732  df-mnd 18748  df-grp 18954  df-abl 19801  df-mgp 20138  df-rng 20150  df-lss 20930  df-sra 21172  df-rgmod 21173  df-lidl 21218
This theorem is referenced by:  rnglidlmsgrp  21256
  Copyright terms: Public domain W3C validator