Theorem rnglidlmmgm 21200

Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a non-unital ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption 0 ∈ 𝑈 is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
rnglidlabl.l	⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
rnglidlabl.i	⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
rnglidlabl.z	⊢ 0 = (0g‘𝑅)

Assertion

Ref	Expression
rnglidlmmgm	⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Proof of Theorem rnglidlmmgm

Dummy variables 𝑎 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simp1 1136	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → 𝑅 ∈ Rng)
2		rnglidlabl.l	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐿 = (LIdeal‘𝑅)
3		rnglidlabl.i	. . . . . . . . 9 ⊢ 𝐼 = (𝑅 ↾s 𝑈)
4	2, 3	lidlbas 21169	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) = 𝑈)
5		eleq1a 2831	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((Base‘𝐼) = 𝑈 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿))
6	4, 5	mpd 15	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
7	6	3ad2ant2 1134	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (Base‘𝐼) ∈ 𝐿)
8	4	eqcomd 2742	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → 𝑈 = (Base‘𝐼))
9	8	eleq2d 2822	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ( 0 ∈ 𝑈 ↔ 0 ∈ (Base‘𝐼)))
10	9	biimpa 476	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (Base‘𝐼))
11	10	3adant1 1130	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → 0 ∈ (Base‘𝐼))
12	1, 7, 11	3jca 1128	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ (Base‘𝐼)))
13	2, 3	lidlssbas 21168	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (Base‘𝐼) ⊆ (Base‘𝑅))
14	13	sseld 3932	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
15	14	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) → 𝑎 ∈ (Base‘𝑅)))
16	15	anim1d 611	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))))
17	16	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼)))
18		rnglidlabl.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0g‘𝑅)
19		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
20		eqid 2736	. . . . . 6 ⊢ (.r‘𝑅) = (.r‘𝑅)
21	18, 19, 20, 2	rnglidlmcl 21171	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Base‘𝐼) ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ (Base‘𝐼)) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝑅) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
22	12, 17, 21	syl2an2r 685	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
23	3, 20	ressmulr 17227	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝑅) = (.r‘𝐼))
24	23	eqcomd 2742	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (.r‘𝐼) = (.r‘𝑅))
25	24	oveqd 7375	. . . . . . 7 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) = (𝑎(.r‘𝑅)𝑏))
26	25	eleq1d 2821	. . . . . 6 ⊢ (𝑈 ∈ 𝐿 → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
27	26	3ad2ant2 1134	. . . . 5 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
28	27	adantr 480	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → ((𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼) ↔ (𝑎(.r‘𝑅)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
29	22, 28	mpbird 257	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) ∧ (𝑎 ∈ (Base‘𝐼) ∧ 𝑏 ∈ (Base‘𝐼))) → (𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
30	29	ralrimivva 3179	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼))
31		fvex 6847	. . 3 ⊢ (mulGrp‘𝐼) ∈ V
32		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (mulGrp‘𝐼) = (mulGrp‘𝐼)
33		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘𝐼)
34	32, 33	mgpbas 20080	. . . 4 ⊢ (Base‘𝐼) = (Base‘(mulGrp‘𝐼))
35		eqid 2736	. . . . 5 ⊢ (.r‘𝐼) = (.r‘𝐼)
36	32, 35	mgpplusg 20079	. . . 4 ⊢ (.r‘𝐼) = (+g‘(mulGrp‘𝐼))
37	34, 36	ismgm 18566	. . 3 ⊢ ((mulGrp‘𝐼) ∈ V → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
38	31, 37	mp1i 13	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → ((mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm ↔ ∀𝑎 ∈ (Base‘𝐼)∀𝑏 ∈ (Base‘𝐼)(𝑎(.r‘𝐼)𝑏) ∈ (Base‘𝐼)))
39	30, 38	mpbird 257	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Rng ∧ 𝑈 ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ 𝑈) → (mulGrp‘𝐼) ∈ Mgm)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113  ∀wral 3051  Vcvv 3440  ‘cfv 6492  (class class class)co 7358  Basecbs 17136   ↾_s cress 17157  ._rcmulr 17178  0_gc0g 17359  Mgmcmgm 18563  mulGrpcmgp 20075  Rngcrng 20087  LIdealclidl 21161

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-4 12210  df-5 12211  df-6 12212  df-7 12213  df-8 12214  df-sets 17091  df-slot 17109  df-ndx 17121  df-base 17137  df-ress 17158  df-plusg 17190  df-mulr 17191  df-sca 17193  df-vsca 17194  df-ip 17195  df-0g 17361  df-mgm 18565  df-sgrp 18644  df-mnd 18660  df-grp 18866  df-abl 19712  df-mgp 20076  df-rng 20088  df-lss 20883  df-sra 21125  df-rgmod 21126  df-lidl 21163

This theorem is referenced by:  rnglidlmsgrp  21201