MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  rnglidlmmgm Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem rnglidlmmgm 21122
Description: The multiplicative group of a (left) ideal of a non-unital ring is a magma. (Contributed by AV, 17-Feb-2020.) Generalization for non-unital rings. The assumption 0 ∈ π‘ˆ is required because a left ideal of a non-unital ring does not have to be a subgroup. (Revised by AV, 11-Mar-2025.)
Hypotheses
Ref Expression
rnglidlabl.l 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
rnglidlabl.i 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
rnglidlabl.z 0 = (0gβ€˜π‘…)
Assertion
Ref Expression
rnglidlmmgm ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ (mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Mgm)

Proof of Theorem rnglidlmmgm
Dummy variables π‘Ž 𝑏 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp1 1134 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ 𝑅 ∈ Rng)
2 rnglidlabl.l . . . . . . . . 9 𝐿 = (LIdealβ€˜π‘…)
3 rnglidlabl.i . . . . . . . . 9 𝐼 = (𝑅 β†Ύs π‘ˆ)
42, 3lidlbas 21092 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (Baseβ€˜πΌ) = π‘ˆ)
5 eleq1a 2823 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((Baseβ€˜πΌ) = π‘ˆ β†’ (Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿))
64, 5mpd 15 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿)
763ad2ant2 1132 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ (Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿)
84eqcomd 2733 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ π‘ˆ = (Baseβ€˜πΌ))
98eleq2d 2814 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ( 0 ∈ π‘ˆ ↔ 0 ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
109biimpa 476 . . . . . . 7 ((π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΌ))
11103adant1 1128 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ 0 ∈ (Baseβ€˜πΌ))
121, 7, 113jca 1126 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ (𝑅 ∈ Rng ∧ (Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
132, 3lidlssbas 21091 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (Baseβ€˜πΌ) βŠ† (Baseβ€˜π‘…))
1413sseld 3977 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
15143ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) β†’ π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…)))
1615anim1d 610 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ)) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ))))
1716imp 406 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
18 rnglidlabl.z . . . . . 6 0 = (0gβ€˜π‘…)
19 eqid 2727 . . . . . 6 (Baseβ€˜π‘…) = (Baseβ€˜π‘…)
20 eqid 2727 . . . . . 6 (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜π‘…)
2118, 19, 20, 2rnglidlmcl 21094 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Rng ∧ (Baseβ€˜πΌ) ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ (Baseβ€˜πΌ)) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜π‘…) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ))
2212, 17, 21syl2an2r 684 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ))
233, 20ressmulr 17273 . . . . . . . . 9 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜π‘…) = (.rβ€˜πΌ))
2423eqcomd 2733 . . . . . . . 8 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜π‘…))
2524oveqd 7431 . . . . . . 7 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) = (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏))
2625eleq1d 2813 . . . . . 6 (π‘ˆ ∈ 𝐿 β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ↔ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
27263ad2ant2 1132 . . . . 5 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ↔ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
2827adantr 480 . . . 4 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ ((π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ) ↔ (π‘Ž(.rβ€˜π‘…)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
2922, 28mpbird 257 . . 3 (((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) ∧ (π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ) ∧ 𝑏 ∈ (Baseβ€˜πΌ))) β†’ (π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ))
3029ralrimivva 3195 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ))
31 fvex 6904 . . 3 (mulGrpβ€˜πΌ) ∈ V
32 eqid 2727 . . . . 5 (mulGrpβ€˜πΌ) = (mulGrpβ€˜πΌ)
33 eqid 2727 . . . . 5 (Baseβ€˜πΌ) = (Baseβ€˜πΌ)
3432, 33mgpbas 20064 . . . 4 (Baseβ€˜πΌ) = (Baseβ€˜(mulGrpβ€˜πΌ))
35 eqid 2727 . . . . 5 (.rβ€˜πΌ) = (.rβ€˜πΌ)
3632, 35mgpplusg 20062 . . . 4 (.rβ€˜πΌ) = (+gβ€˜(mulGrpβ€˜πΌ))
3734, 36ismgm 18586 . . 3 ((mulGrpβ€˜πΌ) ∈ V β†’ ((mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
3831, 37mp1i 13 . 2 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ ((mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Mgm ↔ βˆ€π‘Ž ∈ (Baseβ€˜πΌ)βˆ€π‘ ∈ (Baseβ€˜πΌ)(π‘Ž(.rβ€˜πΌ)𝑏) ∈ (Baseβ€˜πΌ)))
3930, 38mpbird 257 1 ((𝑅 ∈ Rng ∧ π‘ˆ ∈ 𝐿 ∧ 0 ∈ π‘ˆ) β†’ (mulGrpβ€˜πΌ) ∈ Mgm)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099  βˆ€wral 3056  Vcvv 3469  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17165   β†Ύs cress 17194  .rcmulr 17219  0gc0g 17406  Mgmcmgm 18583  mulGrpcmgp 20058  Rngcrng 20076  LIdealclidl 21084
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7732  ax-cnex 11180  ax-resscn 11181  ax-1cn 11182  ax-icn 11183  ax-addcl 11184  ax-addrcl 11185  ax-mulcl 11186  ax-mulrcl 11187  ax-mulcom 11188  ax-addass 11189  ax-mulass 11190  ax-distr 11191  ax-i2m1 11192  ax-1ne0 11193  ax-1rid 11194  ax-rnegex 11195  ax-rrecex 11196  ax-cnre 11197  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199  ax-pre-ltadd 11200  ax-pre-mulgt0 11201
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7863  df-2nd 7986  df-frecs 8278  df-wrecs 8309  df-recs 8383  df-rdg 8422  df-er 8716  df-en 8954  df-dom 8955  df-sdom 8956  df-pnf 11266  df-mnf 11267  df-xr 11268  df-ltxr 11269  df-le 11270  df-sub 11462  df-neg 11463  df-nn 12229  df-2 12291  df-3 12292  df-4 12293  df-5 12294  df-6 12295  df-7 12296  df-8 12297  df-sets 17118  df-slot 17136  df-ndx 17148  df-base 17166  df-ress 17195  df-plusg 17231  df-mulr 17232  df-sca 17234  df-vsca 17235  df-ip 17236  df-0g 17408  df-mgm 18585  df-sgrp 18664  df-mnd 18680  df-grp 18878  df-abl 19722  df-mgp 20059  df-rng 20077  df-lss 20798  df-sra 21040  df-rgmod 21041  df-lidl 21086
This theorem is referenced by:  rnglidlmsgrp  21123
  Copyright terms: Public domain W3C validator