Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpl1 1192 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
2 | | simpl2 1193 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
3 | | simprl 770 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
4 | | simprr 772 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
5 | | atmod.b |
. . . . . 6
β’ π΅ = (BaseβπΎ) |
6 | | atmod.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | atmod.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(pmapβπΎ) =
(pmapβπΎ) |
9 | | eqid 2737 |
. . . . . 6
β’
(+πβπΎ) = (+πβπΎ) |
10 | 5, 6, 7, 8, 9 | pmapjlln1 38321 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ π β π΄ β§ π β π΄)) β ((pmapβπΎ)β(π β¨ (π β¨ π))) = (((pmapβπΎ)βπ)(+πβπΎ)((pmapβπΎ)β(π β¨ π)))) |
11 | 1, 2, 3, 4, 10 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((pmapβπΎ)β(π β¨ (π β¨ π))) = (((pmapβπΎ)βπ)(+πβπΎ)((pmapβπΎ)β(π β¨ π)))) |
12 | 1 | hllatd 37829 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
13 | 5, 7 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
14 | 3, 13 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
15 | 5, 7 | atbase 37754 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β π΅) |
16 | 4, 15 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
17 | 5, 6 | latjcl 18329 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ π β π΅ β§ π β π΅) β (π β¨ π) β π΅) |
18 | 12, 14, 16, 17 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β π΅) |
19 | | simpl3 1194 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΅) |
20 | | atmod.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
21 | | atmod.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
22 | 5, 20, 6, 21, 8, 9 | hlmod1i 38322 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΅ β§ (π β¨ π) β π΅ β§ π β π΅)) β ((π β€ π β§ ((pmapβπΎ)β(π β¨ (π β¨ π))) = (((pmapβπΎ)βπ)(+πβπΎ)((pmapβπΎ)β(π β¨ π)))) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ π) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
23 | 1, 2, 18, 19, 22 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β€ π β§ ((pmapβπΎ)β(π β¨ (π β¨ π))) = (((pmapβπΎ)βπ)(+πβπΎ)((pmapβπΎ)β(π β¨ π)))) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ π) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
24 | 11, 23 | mpan2d 693 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β€ π β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ π) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)))) |
25 | 24 | 3impia 1118 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β€ π) β ((π β¨ (π β¨ π)) β§ π) = (π β¨ ((π β¨ π) β§ π))) |
26 | 25 | eqcomd 2743 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΅ β§ π β π΅) β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ π β€ π) β (π β¨ ((π β¨ π) β§ π)) = ((π β¨ (π β¨ π)) β§ π)) |