Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmod1i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnmod1i2 38326
Description: Version of modular law pmod1i 38314 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnmod1i2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ π‘Œ))

Proof of Theorem llnmod1i2
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
3 simprl 770 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
4 simprr 772 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
5 atmod.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 atmod.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
7 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
8 eqid 2737 . . . . . 6 (pmapβ€˜πΎ) = (pmapβ€˜πΎ)
9 eqid 2737 . . . . . 6 (+π‘ƒβ€˜πΎ) = (+π‘ƒβ€˜πΎ)
105, 6, 7, 8, 9pmapjlln1 38321 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(+π‘ƒβ€˜πΎ)((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑃 ∨ 𝑄))))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(+π‘ƒβ€˜πΎ)((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑃 ∨ 𝑄))))
121hllatd 37829 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
135, 7atbase 37754 . . . . . . 7 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
143, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
155, 7atbase 37754 . . . . . . 7 (𝑄 ∈ 𝐴 β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
164, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ 𝑄 ∈ 𝐡)
175, 6latjcl 18329 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ 𝑄 ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
1812, 14, 16, 17syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
19 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
20 atmod.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
21 atmod.m . . . . . 6 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
225, 20, 6, 21, 8, 9hlmod1i 38322 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(+π‘ƒβ€˜πΎ)((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Œ))))
231, 2, 18, 19, 22syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ ((𝑋 ≀ π‘Œ ∧ ((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmapβ€˜πΎ)β€˜π‘‹)(+π‘ƒβ€˜πΎ)((pmapβ€˜πΎ)β€˜(𝑃 ∨ 𝑄)))) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Œ))))
2411, 23mpan2d 693 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) β†’ (𝑋 ≀ π‘Œ β†’ ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Œ))))
25243impia 1118 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ π‘Œ) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Œ)))
2625eqcomd 2743 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≀ π‘Œ) β†’ (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   class class class wbr 5106  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17084  lecple 17141  joincjn 18201  meetcmee 18202  Latclat 18321  Atomscatm 37728  HLchlt 37815  pmapcpmap 37963  +𝑃cpadd 38261
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-ral 3066  df-rex 3075  df-reu 3355  df-rab 3409  df-v 3448  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-iin 4958  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7922  df-2nd 7923  df-proset 18185  df-poset 18203  df-plt 18220  df-lub 18236  df-glb 18237  df-join 18238  df-meet 18239  df-p0 18315  df-lat 18322  df-clat 18389  df-oposet 37641  df-ol 37643  df-oml 37644  df-covers 37731  df-ats 37732  df-atl 37763  df-cvlat 37787  df-hlat 37816  df-psubsp 37969  df-pmap 37970  df-padd 38262
This theorem is referenced by:  llnmod2i2  38329  dalawlem12  38348
  Copyright terms: Public domain W3C validator