Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmod1i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnmod1i2 37530
Description: Version of modular law pmod1i 37518 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnmod1i2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌)) = ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌))

Proof of Theorem llnmod1i2
StepHypRef Expression
1 simpl1 1192 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1193 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑋𝐵)
3 simprl 771 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 simprr 773 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐴)
5 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 atmod.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
7 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 eqid 2739 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
9 eqid 2739 . . . . . 6 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
105, 6, 7, 8, 9pmapjlln1 37525 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 (𝑃 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑄))))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 (𝑃 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑄))))
121hllatd 37034 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
135, 7atbase 36959 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
143, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐵)
155, 7atbase 36959 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
164, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐵)
175, 6latjcl 17790 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
1812, 14, 16, 17syl3anc 1372 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
19 simpl3 1194 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑌𝐵)
20 atmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
21 atmod.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
225, 20, 6, 21, 8, 9hlmod1i 37526 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 (𝑃 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑄)))) → ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌) = (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌))))
231, 2, 18, 19, 22syl13anc 1373 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 (𝑃 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑄)))) → ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌) = (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌))))
2411, 23mpan2d 694 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋 𝑌 → ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌) = (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌))))
25243impia 1118 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌) = (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌)))
2625eqcomd 2745 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌)) = ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2114   class class class wbr 5040  cfv 6350  (class class class)co 7183  Basecbs 16599  lecple 16688  joincjn 17683  meetcmee 17684  Latclat 17784  Atomscatm 36933  HLchlt 37020  pmapcpmap 37167  +𝑃cpadd 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2020  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2711  ax-rep 5164  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5242  ax-pr 5306  ax-un 7492
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2075  df-mo 2541  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2812  df-nfc 2882  df-ne 2936  df-ral 3059  df-rex 3060  df-reu 3061  df-rab 3063  df-v 3402  df-sbc 3686  df-csb 3801  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-nul 4222  df-if 4425  df-pw 4500  df-sn 4527  df-pr 4529  df-op 4533  df-uni 4807  df-iun 4893  df-iin 4894  df-br 5041  df-opab 5103  df-mpt 5121  df-id 5439  df-xp 5541  df-rel 5542  df-cnv 5543  df-co 5544  df-dm 5545  df-rn 5546  df-res 5547  df-ima 5548  df-iota 6308  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-riota 7140  df-ov 7186  df-oprab 7187  df-mpo 7188  df-1st 7727  df-2nd 7728  df-proset 17667  df-poset 17685  df-plt 17697  df-lub 17713  df-glb 17714  df-join 17715  df-meet 17716  df-p0 17778  df-lat 17785  df-clat 17847  df-oposet 36846  df-ol 36848  df-oml 36849  df-covers 36936  df-ats 36937  df-atl 36968  df-cvlat 36992  df-hlat 37021  df-psubsp 37173  df-pmap 37174  df-padd 37466
This theorem is referenced by:  llnmod2i2  37533  dalawlem12  37552
  Copyright terms: Public domain W3C validator