Theorem llnmod1i2 39899

Description: Version of modular law pmod1i 39887 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnmod1i2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem llnmod1i2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1193	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 770	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simprr 772	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		atmod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		atmod.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		atmod.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
9		eqid 2731	. . . . . 6 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
10	5, 6, 7, 8, 9	pmapjlln1 39894	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄))))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄))))
12	1	hllatd 39403	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13	5, 7	atbase 39328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
15	5, 7	atbase 39328	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
16	4, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjcl 18340	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1373	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
19		simpl3 1194	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		atmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		atmod.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
22	5, 20, 6, 21, 8, 9	hlmod1i 39895	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
23	1, 2, 18, 19, 22	syl13anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
24	11, 23	mpan2d 694	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
25	24	3impia 1117	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)))
26	25	eqcomd 2737	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   class class class wbr 5086  ‘cfv 6476  (class class class)co 7341  Basecbs 17115  lecple 17163  joincjn 18212  meetcmee 18213  Latclat 18332  Atomscatm 39302  HLchlt 39389  pmapcpmap 39536  +_𝑃cpadd 39834

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-iun 4938  df-iin 4939  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5506  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-1st 7916  df-2nd 7917  df-proset 18195  df-poset 18214  df-plt 18229  df-lub 18245  df-glb 18246  df-join 18247  df-meet 18248  df-p0 18324  df-lat 18333  df-clat 18400  df-oposet 39215  df-ol 39217  df-oml 39218  df-covers 39305  df-ats 39306  df-atl 39337  df-cvlat 39361  df-hlat 39390  df-psubsp 39542  df-pmap 39543  df-padd 39835

This theorem is referenced by:  llnmod2i2  39902  dalawlem12  39921