Theorem llnmod1i2 35935

Description: Version of modular law pmod1i 35923 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnmod1i2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem llnmod1i2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1248	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1250	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 789	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simprr 791	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		atmod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		atmod.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		atmod.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
9		eqid 2825	. . . . . 6 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
10	5, 6, 7, 8, 9	pmapjlln1 35930	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄))))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1497	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄))))
12	1	hllatd 35439	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13	5, 7	atbase 35364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
15	5, 7	atbase 35364	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
16	4, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjcl 17404	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1496	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
19		simpl3 1252	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		atmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		atmod.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
22	5, 20, 6, 21, 8, 9	hlmod1i 35931	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
23	1, 2, 18, 19, 22	syl13anc 1497	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
24	11, 23	mpan2d 687	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
25	24	3impia 1151	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)))
26	25	eqcomd 2831	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1113   = wceq 1658   ∈ wcel 2166   class class class wbr 4873  ‘cfv 6123  (class class class)co 6905  Basecbs 16222  lecple 16312  joincjn 17297  meetcmee 17298  Latclat 17398  Atomscatm 35338  HLchlt 35425  pmapcpmap 35572  +_𝑃cpadd 35870

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-op 4404  df-uni 4659  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-id 5250  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-lat 17399  df-clat 17461  df-oposet 35251  df-ol 35253  df-oml 35254  df-covers 35341  df-ats 35342  df-atl 35373  df-cvlat 35397  df-hlat 35426  df-psubsp 35578  df-pmap 35579  df-padd 35871

This theorem is referenced by:  llnmod2i2  35938  dalawlem12  35957