Theorem llnmod1i2 37011

Description: Version of modular law pmod1i 36999 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnmod1i2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem llnmod1i2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1187	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1188	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 769	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simprr 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		atmod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		atmod.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		atmod.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
9		eqid 2821	. . . . . 6 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
10	5, 6, 7, 8, 9	pmapjlln1 37006	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄))))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄))))
12	1	hllatd 36515	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13	5, 7	atbase 36440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
15	5, 7	atbase 36440	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
16	4, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjcl 17661	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1367	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
19		simpl3 1189	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		atmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		atmod.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
22	5, 20, 6, 21, 8, 9	hlmod1i 37007	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
23	1, 2, 18, 19, 22	syl13anc 1368	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
24	11, 23	mpan2d 692	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
25	24	3impia 1113	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)))
26	25	eqcomd 2827	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∧ w3a 1083   = wceq 1537   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5066  ‘cfv 6355  (class class class)co 7156  Basecbs 16483  lecple 16572  joincjn 17554  meetcmee 17555  Latclat 17655  Atomscatm 36414  HLchlt 36501  pmapcpmap 36648  +_𝑃cpadd 36946

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2793  ax-rep 5190  ax-sep 5203  ax-nul 5210  ax-pow 5266  ax-pr 5330  ax-un 7461

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2654  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3496  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4839  df-iun 4921  df-iin 4922  df-br 5067  df-opab 5129  df-mpt 5147  df-id 5460  df-xp 5561  df-rel 5562  df-cnv 5563  df-co 5564  df-dm 5565  df-rn 5566  df-res 5567  df-ima 5568  df-iota 6314  df-fun 6357  df-fn 6358  df-f 6359  df-f1 6360  df-fo 6361  df-f1o 6362  df-fv 6363  df-riota 7114  df-ov 7159  df-oprab 7160  df-mpo 7161  df-1st 7689  df-2nd 7690  df-proset 17538  df-poset 17556  df-plt 17568  df-lub 17584  df-glb 17585  df-join 17586  df-meet 17587  df-p0 17649  df-lat 17656  df-clat 17718  df-oposet 36327  df-ol 36329  df-oml 36330  df-covers 36417  df-ats 36418  df-atl 36449  df-cvlat 36473  df-hlat 36502  df-psubsp 36654  df-pmap 36655  df-padd 36947

This theorem is referenced by:  llnmod2i2  37014  dalawlem12  37033