Theorem llnmod1i2 39843

Description: Version of modular law pmod1i 39831 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
atmod.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
atmod.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)
atmod.m	⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
atmod.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
llnmod1i2	⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌))

Proof of Theorem llnmod1i2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		simpl1 1190	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2		simpl2 1191	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑋 ∈ 𝐵)
3		simprl 771	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐴)
4		simprr 773	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐴)
5		atmod.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
6		atmod.j	. . . . . 6 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
7		atmod.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
9		eqid 2735	. . . . . 6 ⊢ (+𝑃‘𝐾) = (+𝑃‘𝐾)
10	5, 6, 7, 8, 9	pmapjlln1 39838	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄))))
11	1, 2, 3, 4, 10	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄))))
12	1	hllatd 39346	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
13	5, 7	atbase 39271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → 𝑃 ∈ 𝐵)
14	3, 13	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑃 ∈ 𝐵)
15	5, 7	atbase 39271	. . . . . . 7 ⊢ (𝑄 ∈ 𝐴 → 𝑄 ∈ 𝐵)
16	4, 15	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑄 ∈ 𝐵)
17	5, 6	latjcl 18497	. . . . . 6 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐵 ∧ 𝑄 ∈ 𝐵) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
18	12, 14, 16, 17	syl3anc 1370	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵)
19		simpl3 1192	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → 𝑌 ∈ 𝐵)
20		atmod.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
21		atmod.m	. . . . . 6 ⊢ ∧ = (meet‘𝐾)
22	5, 20, 6, 21, 8, 9	hlmod1i 39839	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋 ∈ 𝐵 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
23	1, 2, 18, 19, 22	syl13anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → ((𝑋 ≤ 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃‘𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 ∨ 𝑄)))) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
24	11, 23	mpan2d 694	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴)) → (𝑋 ≤ 𝑌 → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌))))
25	24	3impia 1116	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌) = (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)))
26	25	eqcomd 2741	1 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑌 ∈ 𝐵) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑌) → (𝑋 ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑌)) = ((𝑋 ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑌))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245  lecple 17305  joincjn 18369  meetcmee 18370  Latclat 18489  Atomscatm 39245  HLchlt 39332  pmapcpmap 39480  +_𝑃cpadd 39778

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-proset 18352  df-poset 18371  df-plt 18388  df-lub 18404  df-glb 18405  df-join 18406  df-meet 18407  df-p0 18483  df-lat 18490  df-clat 18557  df-oposet 39158  df-ol 39160  df-oml 39161  df-covers 39248  df-ats 39249  df-atl 39280  df-cvlat 39304  df-hlat 39333  df-psubsp 39486  df-pmap 39487  df-padd 39779

This theorem is referenced by:  llnmod2i2  39846  dalawlem12  39865