Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmod1i2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem llnmod1i2 36878
Description: Version of modular law pmod1i 36866 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
llnmod1i2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌)) = ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌))

Proof of Theorem llnmod1i2
StepHypRef Expression
1 simpl1 1183 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ HL)
2 simpl2 1184 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑋𝐵)
3 simprl 767 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐴)
4 simprr 769 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐴)
5 atmod.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 atmod.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
7 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
8 eqid 2821 . . . . . 6 (pmap‘𝐾) = (pmap‘𝐾)
9 eqid 2821 . . . . . 6 (+𝑃𝐾) = (+𝑃𝐾)
105, 6, 7, 8, 9pmapjlln1 36873 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 (𝑃 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑄))))
111, 2, 3, 4, 10syl13anc 1364 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 (𝑃 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑄))))
121hllatd 36382 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝐾 ∈ Lat)
135, 7atbase 36307 . . . . . . 7 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
143, 13syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑃𝐵)
155, 7atbase 36307 . . . . . . 7 (𝑄𝐴𝑄𝐵)
164, 15syl 17 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑄𝐵)
175, 6latjcl 17651 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑄𝐵) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
1812, 14, 16, 17syl3anc 1363 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵)
19 simpl3 1185 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → 𝑌𝐵)
20 atmod.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
21 atmod.m . . . . . 6 = (meet‘𝐾)
225, 20, 6, 21, 8, 9hlmod1i 36874 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑋𝐵 ∧ (𝑃 𝑄) ∈ 𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 (𝑃 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑄)))) → ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌) = (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌))))
231, 2, 18, 19, 22syl13anc 1364 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → ((𝑋 𝑌 ∧ ((pmap‘𝐾)‘(𝑋 (𝑃 𝑄))) = (((pmap‘𝐾)‘𝑋)(+𝑃𝐾)((pmap‘𝐾)‘(𝑃 𝑄)))) → ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌) = (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌))))
2411, 23mpan2d 690 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴)) → (𝑋 𝑌 → ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌) = (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌))))
25243impia 1109 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 𝑌) → ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌) = (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌)))
2625eqcomd 2827 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ (𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ 𝑋 𝑌) → (𝑋 ((𝑃 𝑄) 𝑌)) = ((𝑋 (𝑃 𝑄)) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105   class class class wbr 5058  cfv 6349  (class class class)co 7145  Basecbs 16473  lecple 16562  joincjn 17544  meetcmee 17545  Latclat 17645  Atomscatm 36281  HLchlt 36368  pmapcpmap 36515  +𝑃cpadd 36813
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2793  ax-rep 5182  ax-sep 5195  ax-nul 5202  ax-pow 5258  ax-pr 5321  ax-un 7450
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-ral 3143  df-rex 3144  df-reu 3145  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3772  df-csb 3883  df-dif 3938  df-un 3940  df-in 3942  df-ss 3951  df-nul 4291  df-if 4466  df-pw 4539  df-sn 4560  df-pr 4562  df-op 4566  df-uni 4833  df-iun 4914  df-iin 4915  df-br 5059  df-opab 5121  df-mpt 5139  df-id 5454  df-xp 5555  df-rel 5556  df-cnv 5557  df-co 5558  df-dm 5559  df-rn 5560  df-res 5561  df-ima 5562  df-iota 6308  df-fun 6351  df-fn 6352  df-f 6353  df-f1 6354  df-fo 6355  df-f1o 6356  df-fv 6357  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-1st 7680  df-2nd 7681  df-proset 17528  df-poset 17546  df-plt 17558  df-lub 17574  df-glb 17575  df-join 17576  df-meet 17577  df-p0 17639  df-lat 17646  df-clat 17708  df-oposet 36194  df-ol 36196  df-oml 36197  df-covers 36284  df-ats 36285  df-atl 36316  df-cvlat 36340  df-hlat 36369  df-psubsp 36521  df-pmap 36522  df-padd 36814
This theorem is referenced by:  llnmod2i2  36881  dalawlem12  36900
  Copyright terms: Public domain W3C validator