Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod2i1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atmod2i1 39366
Description: Version of modular law pmod2iN 39354 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod2i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑃) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑃)))
Proof of Theorem atmod2i1
StepHypRef Expression
1 hllat 38867 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1130 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp22 1204 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp23 1205 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 atmod.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 atmod.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
75, 6latmcom 18462 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
82, 3, 4, 7syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
98oveq2d 7442 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)))
10 simp21 1203 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11 atmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
125, 11atbase 38793 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
145, 6latmcl 18439 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
152, 3, 4, 14syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
16 atmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
175, 16latjcom 18446 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑃))
182, 13, 15, 17syl3anc 1368 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑃))
195, 16latjcl 18438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
202, 13, 4, 19syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
215, 6latmcom 18462 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
222, 20, 3, 21syl3anc 1368 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
23 simp1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
24 simp3 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
25 atmod.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
265, 25, 16, 6, 11atmod1i1 39362 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
2723, 10, 4, 3, 24, 26syl131anc 1380 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
285, 16latjcom 18446 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ π‘Œ))
292, 4, 13, 28syl3anc 1368 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ π‘Œ))
3029oveq2d 7442 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑃)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
3122, 27, 303eqtr4d 2778 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑃)))
329, 18, 313eqtr3d 2776 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑃) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5152  β€˜cfv 6553  (class class class)co 7426  Basecbs 17187  lecple 17247  joincjn 18310  meetcmee 18311  Latclat 18430  Atomscatm 38767  HLchlt 38854
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2699  ax-rep 5289  ax-sep 5303  ax-nul 5310  ax-pow 5369  ax-pr 5433  ax-un 7746
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3374  df-reu 3375  df-rab 3431  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4327  df-if 4533  df-pw 4608  df-sn 4633  df-pr 4635  df-op 4639  df-uni 4913  df-iun 5002  df-iin 5003  df-br 5153  df-opab 5215  df-mpt 5236  df-id 5580  df-xp 5688  df-rel 5689  df-cnv 5690  df-co 5691  df-dm 5692  df-rn 5693  df-res 5694  df-ima 5695  df-iota 6505  df-fun 6555  df-fn 6556  df-f 6557  df-f1 6558  df-fo 6559  df-f1o 6560  df-fv 6561  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-1st 7999  df-2nd 8000  df-proset 18294  df-poset 18312  df-plt 18329  df-lub 18345  df-glb 18346  df-join 18347  df-meet 18348  df-p0 18424  df-lat 18431  df-clat 18498  df-oposet 38680  df-ol 38682  df-oml 38683  df-covers 38770  df-ats 38771  df-atl 38802  df-cvlat 38826  df-hlat 38855  df-psubsp 39008  df-pmap 39009  df-padd 39301
This theorem is referenced by:  lhpmod6i1  39544  trljat1  39671  trljat2  39672  cdlemc1  39696  cdlemc6  39701  cdleme16b  39784  cdleme20c  39816  cdleme20j  39823  cdleme22e  39849  cdleme22eALTN  39850  cdlemkid1  40427  dihmeetlem5  40813
  Copyright terms: Public domain W3C validator