Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod2i1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem atmod2i1 37884
Description: Version of modular law pmod2iN 37872 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
atmod.l = (le‘𝐾)
atmod.j = (join‘𝐾)
atmod.m = (meet‘𝐾)
atmod.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
atmod2i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = (𝑋 (𝑌 𝑃)))

Proof of Theorem atmod2i1
StepHypRef Expression
1 hllat 37386 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL → 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1132 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ Lat)
3 simp22 1206 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑋𝐵)
4 simp23 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑌𝐵)
5 atmod.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 atmod.m . . . . 5 = (meet‘𝐾)
75, 6latmcom 18192 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
82, 3, 4, 7syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 𝑌) = (𝑌 𝑋))
98oveq2d 7288 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = (𝑃 (𝑌 𝑋)))
10 simp21 1205 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐴)
11 atmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
125, 11atbase 37312 . . . 4 (𝑃𝐴𝑃𝐵)
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃𝐵)
145, 6latmcl 18169 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
152, 3, 4, 14syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
16 atmod.j . . . 4 = (join‘𝐾)
175, 16latjcom 18176 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵 ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑋 𝑌) 𝑃))
182, 13, 15, 17syl3anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑋 𝑌)) = ((𝑋 𝑌) 𝑃))
195, 16latjcl 18168 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃𝐵𝑌𝐵) → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
202, 13, 4, 19syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵)
215, 6latmcom 18192 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑃 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))
222, 20, 3, 21syl3anc 1370 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → ((𝑃 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))
23 simp1 1135 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝐾 ∈ HL)
24 simp3 1137 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → 𝑃 𝑋)
25 atmod.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
265, 25, 16, 6, 11atmod1i1 37880 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑌𝐵𝑋𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑌 𝑋)) = ((𝑃 𝑌) 𝑋))
2723, 10, 4, 3, 24, 26syl131anc 1382 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑌 𝑋)) = ((𝑃 𝑌) 𝑋))
285, 16latjcom 18176 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑃𝐵) → (𝑌 𝑃) = (𝑃 𝑌))
292, 4, 13, 28syl3anc 1370 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑌 𝑃) = (𝑃 𝑌))
3029oveq2d 7288 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑋 (𝑌 𝑃)) = (𝑋 (𝑃 𝑌)))
3122, 27, 303eqtr4d 2790 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → (𝑃 (𝑌 𝑋)) = (𝑋 (𝑌 𝑃)))
329, 18, 313eqtr3d 2788 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑋𝐵𝑌𝐵) ∧ 𝑃 𝑋) → ((𝑋 𝑌) 𝑃) = (𝑋 (𝑌 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1086   = wceq 1542  wcel 2110   class class class wbr 5079  cfv 6432  (class class class)co 7272  Basecbs 16923  lecple 16980  joincjn 18040  meetcmee 18041  Latclat 18160  Atomscatm 37286  HLchlt 37373
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-rep 5214  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7583
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-iun 4932  df-iin 4933  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5490  df-xp 5596  df-rel 5597  df-cnv 5598  df-co 5599  df-dm 5600  df-rn 5601  df-res 5602  df-ima 5603  df-iota 6390  df-fun 6434  df-fn 6435  df-f 6436  df-f1 6437  df-fo 6438  df-f1o 6439  df-fv 6440  df-riota 7229  df-ov 7275  df-oprab 7276  df-mpo 7277  df-1st 7825  df-2nd 7826  df-proset 18024  df-poset 18042  df-plt 18059  df-lub 18075  df-glb 18076  df-join 18077  df-meet 18078  df-p0 18154  df-lat 18161  df-clat 18228  df-oposet 37199  df-ol 37201  df-oml 37202  df-covers 37289  df-ats 37290  df-atl 37321  df-cvlat 37345  df-hlat 37374  df-psubsp 37526  df-pmap 37527  df-padd 37819
This theorem is referenced by:  lhpmod6i1  38062  trljat1  38189  trljat2  38190  cdlemc1  38214  cdlemc6  38219  cdleme16b  38302  cdleme20c  38334  cdleme20j  38341  cdleme22e  38367  cdleme22eALTN  38368  cdlemkid1  38945  dihmeetlem5  39331
  Copyright terms: Public domain W3C validator