Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  atmod2i1 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem atmod2i1 38720
Description: Version of modular law pmod2iN 38708 that holds in a Hilbert lattice, when one element is an atom. (Contributed by NM, 14-May-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
atmod2i1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑃) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑃)))
Proof of Theorem atmod2i1
StepHypRef Expression
1 hllat 38221 . . . . 5 (𝐾 ∈ HL β†’ 𝐾 ∈ Lat)
213ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp22 1207 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 simp23 1208 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
5 atmod.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
6 atmod.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
75, 6latmcom 18412 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
82, 3, 4, 7syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) = (π‘Œ ∧ 𝑋))
98oveq2d 7421 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)))
10 simp21 1206 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
11 atmod.a . . . . 5 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
125, 11atbase 38147 . . . 4 (𝑃 ∈ 𝐴 β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
1310, 12syl 17 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐡)
145, 6latmcl 18389 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
152, 3, 4, 14syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡)
16 atmod.j . . . 4 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
175, 16latjcom 18396 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ (𝑋 ∧ π‘Œ) ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑃))
182, 13, 15, 17syl3anc 1371 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (𝑋 ∧ π‘Œ)) = ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑃))
195, 16latjcl 18388 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑃 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
202, 13, 4, 19syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡)
215, 6latmcom 18412 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
222, 20, 3, 21syl3anc 1371 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
23 simp1 1136 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
24 simp3 1138 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ≀ 𝑋)
25 atmod.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
265, 25, 16, 6, 11atmod1i1 38716 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
2723, 10, 4, 3, 24, 26syl131anc 1383 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) = ((𝑃 ∨ π‘Œ) ∧ 𝑋))
285, 16latjcom 18396 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ π‘Œ))
292, 4, 13, 28syl3anc 1371 . . . 4 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ 𝑃) = (𝑃 ∨ π‘Œ))
3029oveq2d 7421 . . 3 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑃)) = (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ π‘Œ)))
3122, 27, 303eqtr4d 2782 . 2 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ (π‘Œ ∧ 𝑋)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑃)))
329, 18, 313eqtr3d 2780 1 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ 𝑃 ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ π‘Œ) ∨ 𝑃) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ 𝑃)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5147  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lecple 17200  joincjn 18260  meetcmee 18261  Latclat 18380  Atomscatm 38121  HLchlt 38208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-iin 4999  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-proset 18244  df-poset 18262  df-plt 18279  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-p0 18374  df-lat 18381  df-clat 18448  df-oposet 38034  df-ol 38036  df-oml 38037  df-covers 38124  df-ats 38125  df-atl 38156  df-cvlat 38180  df-hlat 38209  df-psubsp 38362  df-pmap 38363  df-padd 38655
This theorem is referenced by:  lhpmod6i1  38898  trljat1  39025  trljat2  39026  cdlemc1  39050  cdlemc6  39055  cdleme16b  39138  cdleme20c  39170  cdleme20j  39177  cdleme22e  39203  cdleme22eALTN  39204  cdlemkid1  39781  dihmeetlem5  40167
  Copyright terms: Public domain W3C validator