Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmod2i2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem llnmod2i2 38729
Description: Version of modular law pmod1i 38714 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnmod2i2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem llnmod2i2
StepHypRef Expression
1 simp11 1203 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38229 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp13 1205 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simp2l 1199 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp2r 1200 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
6 atmod.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atmod.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 8hlatjcl 38232 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
101, 4, 5, 9syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
11 simp12 1204 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 atmod.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
136, 12latmcl 18392 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
142, 10, 11, 13syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
156, 7latjcom 18399 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
162, 3, 14, 15syl3anc 1371 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
176, 7latjcl 18391 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐡)
182, 3, 10, 17syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐡)
196, 12latmcom 18415 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
202, 11, 18, 19syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
216, 7latjcom 18399 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
222, 10, 3, 21syl3anc 1371 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
2322oveq2d 7424 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))))
24 simp3 1138 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
25 atmod.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
266, 25, 7, 12, 8llnmod1i2 38726 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
271, 3, 11, 4, 5, 24, 26syl321anc 1392 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
2820, 23, 273eqtr4d 2782 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)) = (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)))
296, 12latmcom 18415 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋))
302, 11, 10, 29syl3anc 1371 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋))
3130oveq1d 7423 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ π‘Œ) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
3216, 28, 313eqtr4rd 2783 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7408  Basecbs 17143  lecple 17203  joincjn 18263  meetcmee 18264  Latclat 18383  Atomscatm 38128  HLchlt 38215
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18247  df-poset 18265  df-plt 18282  df-lub 18298  df-glb 18299  df-join 18300  df-meet 18301  df-p0 18377  df-lat 18384  df-clat 18451  df-oposet 38041  df-ol 38043  df-oml 38044  df-covers 38131  df-ats 38132  df-atl 38163  df-cvlat 38187  df-hlat 38216  df-psubsp 38369  df-pmap 38370  df-padd 38662
This theorem is referenced by:  dalawlem11  38747
  Copyright terms: Public domain W3C validator