Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmod2i2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem llnmod2i2 39247
Description: Version of modular law pmod1i 39232 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnmod2i2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem llnmod2i2
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38747 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp13 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
6 atmod.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atmod.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 8hlatjcl 38750 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
101, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
11 simp12 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 atmod.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
136, 12latmcl 18405 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
142, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
156, 7latjcom 18412 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
162, 3, 14, 15syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
176, 7latjcl 18404 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐡)
182, 3, 10, 17syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐡)
196, 12latmcom 18428 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
202, 11, 18, 19syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
216, 7latjcom 18412 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
222, 10, 3, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
2322oveq2d 7421 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))))
24 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
25 atmod.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
266, 25, 7, 12, 8llnmod1i2 39244 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
271, 3, 11, 4, 5, 24, 26syl321anc 1389 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
2820, 23, 273eqtr4d 2776 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)) = (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)))
296, 12latmcom 18428 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋))
302, 11, 10, 29syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋))
3130oveq1d 7420 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ π‘Œ) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
3216, 28, 313eqtr4rd 2777 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5141  β€˜cfv 6537  (class class class)co 7405  Basecbs 17153  lecple 17213  joincjn 18276  meetcmee 18277  Latclat 18396  Atomscatm 38646  HLchlt 38733
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-iin 4993  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-proset 18260  df-poset 18278  df-plt 18295  df-lub 18311  df-glb 18312  df-join 18313  df-meet 18314  df-p0 18390  df-lat 18397  df-clat 18464  df-oposet 38559  df-ol 38561  df-oml 38562  df-covers 38649  df-ats 38650  df-atl 38681  df-cvlat 38705  df-hlat 38734  df-psubsp 38887  df-pmap 38888  df-padd 39180
This theorem is referenced by:  dalawlem11  39265
  Copyright terms: Public domain W3C validator