Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  llnmod2i2 Structured version   Visualization version   GIF version
Theorem llnmod2i2 39392
Description: Version of modular law pmod1i 39377 that holds in a Hilbert lattice, when one element is a lattice line (expressed as the join 𝑃 ∨ 𝑄). (Contributed by NM, 16-Sep-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 10-May-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
atmod.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
atmod.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
atmod.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
atmod.m ∧ = (meetβ€˜πΎ)
atmod.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
llnmod2i2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)))
Proof of Theorem llnmod2i2
StepHypRef Expression
1 simp11 1200 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ HL)
21hllatd 38892 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
3 simp13 1202 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
4 simp2l 1196 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑃 ∈ 𝐴)
5 simp2r 1197 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑄 ∈ 𝐴)
6 atmod.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
7 atmod.j . . . . . 6 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
8 atmod.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
96, 7, 8hlatjcl 38895 . . . . 5 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
101, 4, 5, 9syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡)
11 simp12 1201 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
12 atmod.m . . . . 5 ∧ = (meetβ€˜πΎ)
136, 12latmcl 18431 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
142, 10, 11, 13syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐡)
156, 7latjcom 18438 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
162, 3, 14, 15syl3anc 1368 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
176, 7latjcl 18430 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐡)
182, 3, 10, 17syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐡)
196, 12latmcom 18454 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
202, 11, 18, 19syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
216, 7latjcom 18438 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
222, 10, 3, 21syl3anc 1368 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ) = (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)))
2322oveq2d 7432 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)) = (𝑋 ∧ (π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄))))
24 simp3 1135 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ π‘Œ ≀ 𝑋)
25 atmod.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
266, 25, 7, 12, 8llnmod1i2 39389 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
271, 3, 11, 4, 5, 24, 26syl321anc 1389 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)) = ((π‘Œ ∨ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∧ 𝑋))
2820, 23, 273eqtr4d 2775 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)) = (π‘Œ ∨ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋)))
296, 12latmcom 18454 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄) ∈ 𝐡) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋))
302, 11, 10, 29syl3anc 1368 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ (𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) = ((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋))
3130oveq1d 7431 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ π‘Œ) = (((𝑃 ∨ 𝑄) ∧ 𝑋) ∨ π‘Œ))
3216, 28, 313eqtr4rd 2776 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡) ∧ (𝑃 ∈ 𝐴 ∧ 𝑄 ∈ 𝐴) ∧ π‘Œ ≀ 𝑋) β†’ ((𝑋 ∧ (𝑃 ∨ 𝑄)) ∨ π‘Œ) = (𝑋 ∧ ((𝑃 ∨ 𝑄) ∨ π‘Œ)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5143  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  Basecbs 17179  lecple 17239  joincjn 18302  meetcmee 18303  Latclat 18422  Atomscatm 38791  HLchlt 38878
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5280  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-proset 18286  df-poset 18304  df-plt 18321  df-lub 18337  df-glb 18338  df-join 18339  df-meet 18340  df-p0 18416  df-lat 18423  df-clat 18490  df-oposet 38704  df-ol 38706  df-oml 38707  df-covers 38794  df-ats 38795  df-atl 38826  df-cvlat 38850  df-hlat 38879  df-psubsp 39032  df-pmap 39033  df-padd 39325
This theorem is referenced by:  dalawlem11  39410
  Copyright terms: Public domain W3C validator