Theorem lrrecval2 28383

Description: Next, we establish an alternate expression for 𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lrrec.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ ((L‘𝑦) ∪ (R‘𝑦))}

Assertion

Ref	Expression
lrrecval2	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem lrrecval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lrrec.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ ((L‘𝑦) ∪ (R‘𝑦))}
2	1	lrrecval 28382	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴 ∈ ((L‘𝐵) ∪ (R‘𝐵))))
3		lrold 28340	. . . 4 ⊢ ((L‘𝐵) ∪ (R‘𝐵)) = (O‘(bday‘𝐵))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → ((L‘𝐵) ∪ (R‘𝐵)) = (O‘(bday‘𝐵)))
5	4	eleq2d 2850	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ∈ ((L‘𝐵) ∪ (R‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵))))
6		bdayon 28195	. . . 4 ⊢ (bday‘𝐵) ∈ On
7		oldbday 28344	. . . 4 ⊢ (((bday‘𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ No) → (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))
8	6, 7	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))
9	8	adantr 486	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴 ∈ (O‘(bday‘𝐵)) ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))
10	2, 5, 9	3bitrd 308	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ (bday‘𝐴) ∈ (bday‘𝐵)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ∪ cun 4152   class class class wbr 5108  {copab 5173  Oncon0 6388  ‘cfv 6566  Nocsur 28054  bdaycbday 28056  Ocold 28266  Lcleft 28268  Rcright 28269

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274

This theorem is used by:  lrrecpo  28384  lrrecfr  28386