Theorem lrrecval2 27988

Description: Next, we establish an alternate expression for 𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lrrec.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}

Assertion

Ref	Expression
lrrecval2	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lrrecval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lrrec.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}
2	1	lrrecval 27987	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (( L ‘𝐵) ∪ ( R ‘𝐵))))
3		lrold 27950	. . . 4 ⊢ (( L ‘𝐵) ∪ ( R ‘𝐵)) = ( O ‘( bday ‘𝐵))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( L ‘𝐵) ∪ ( R ‘𝐵)) = ( O ‘( bday ‘𝐵)))
5	4	eleq2d 2825	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ∈ (( L ‘𝐵) ∪ ( R ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵))))
6		bdayelon 27836	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
7		oldbday 27954	. . . 4 ⊢ ((( bday ‘𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
8	6, 7	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
10	2, 5, 9	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ∪ cun 3961   class class class wbr 5148  {copab 5210  Oncon0 6386  ‘cfv 6563   No csur 27699   bday cbday 27701   O cold 27897   L cleft 27899   R cright 27900

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-rep 5285  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-pss 3983  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-tp 4636  df-op 4638  df-uni 4913  df-int 4952  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5583  df-eprel 5589  df-po 5597  df-so 5598  df-fr 5641  df-we 5643  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-pred 6323  df-ord 6389  df-on 6390  df-suc 6392  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-2nd 8014  df-frecs 8305  df-wrecs 8336  df-recs 8410  df-1o 8505  df-2o 8506  df-no 27702  df-slt 27703  df-bday 27704  df-sslt 27841  df-scut 27843  df-made 27901  df-old 27902  df-left 27904  df-right 27905

This theorem is referenced by:  lrrecpo  27989  lrrecfr  27991