Theorem lrrecval2 27812

Description: Next, we establish an alternate expression for 𝑅. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Hypothesis

Ref	Expression
lrrec.1	⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}

Assertion

Ref	Expression
lrrecval2	⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴,𝑦   𝑥,𝐵,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑅(𝑥,𝑦)

Proof of Theorem lrrecval2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lrrec.1	. . 3 ⊢ 𝑅 = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝑥 ∈ (( L ‘𝑦) ∪ ( R ‘𝑦))}
2	1	lrrecval 27811	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ 𝐴 ∈ (( L ‘𝐵) ∪ ( R ‘𝐵))))
3		lrold 27778	. . . 4 ⊢ (( L ‘𝐵) ∪ ( R ‘𝐵)) = ( O ‘( bday ‘𝐵))
4	3	a1i 11	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (( L ‘𝐵) ∪ ( R ‘𝐵)) = ( O ‘( bday ‘𝐵)))
5	4	eleq2d 2813	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ∈ (( L ‘𝐵) ∪ ( R ‘𝐵)) ↔ 𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵))))
6		bdayelon 27664	. . . 4 ⊢ ( bday ‘𝐵) ∈ On
7		oldbday 27782	. . . 4 ⊢ ((( bday ‘𝐵) ∈ On ∧ 𝐴 ∈ No ) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
8	6, 7	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ No → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
9	8	adantr 480	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴 ∈ ( O ‘( bday ‘𝐵)) ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))
10	2, 5, 9	3bitrd 305	1 ⊢ ((𝐴 ∈ No ∧ 𝐵 ∈ No ) → (𝐴𝑅𝐵 ↔ ( bday ‘𝐴) ∈ ( bday ‘𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ∪ cun 3941   class class class wbr 5141  {copab 5203  Oncon0 6358  ‘cfv 6537   No csur 27528   bday cbday 27530   O cold 27725   L cleft 27727   R cright 27728

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-tp 4628  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-1o 8467  df-2o 8468  df-no 27531  df-slt 27532  df-bday 27533  df-sslt 27669  df-scut 27671  df-made 27729  df-old 27730  df-left 27732  df-right 27733

This theorem is referenced by:  lrrecpo  27813  lrrecfr  27815