Theorem oldbday 28344

Description: A surreal is part of the set older than ordinal 𝐴 iff its birthday is less than 𝐴. Remark in [Conway] p. 29. (Contributed by Scott Fenton, 19-Aug-2024.)

Assertion

Ref	Expression
oldbday	⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ No) → (𝑋 ∈ (O‘𝐴) ↔ (bday‘𝑋) ∈ 𝐴))

Proof of Theorem oldbday

Dummy variables 𝑏 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oldbdayim 28332	. 2 ⊢ (𝑋 ∈ (O‘𝐴) → (bday‘𝑋) ∈ 𝐴)
2		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ No) → 𝐴 ∈ On)
3		onelon 6413	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) → 𝑏 ∈ On)
4		madebday 28343	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ No) → (𝑦 ∈ (M‘𝑏) ↔ (bday‘𝑦) ⊆ 𝑏))
5	4	biimprd 251	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ On ∧ 𝑦 ∈ No) → ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)))
6	3, 5	sylan 592	. . . . . 6 ⊢ (((𝐴 ∈ On ∧ 𝑏 ∈ 𝐴) ∧ 𝑦 ∈ No) → ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)))
7	6	anasss 472	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ (𝑏 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ No)) → ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)))
8	7	ralrimivva 3209	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ On → ∀𝑏 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ No ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)))
9	8	adantr 486	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ No) → ∀𝑏 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ No ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)))
10		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ No) → 𝑋 ∈ No)
11		madebdaylemold 28341	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ ∀𝑏 ∈ 𝐴 ∀𝑦 ∈ No ((bday‘𝑦) ⊆ 𝑏 → 𝑦 ∈ (M‘𝑏)) ∧ 𝑋 ∈ No) → ((bday‘𝑋) ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (O‘𝐴)))
12	2, 9, 10, 11	syl3anc 1399	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ No) → ((bday‘𝑋) ∈ 𝐴 → 𝑋 ∈ (O‘𝐴)))
13	1, 12	impbid2 229	1 ⊢ ((𝐴 ∈ On ∧ 𝑋 ∈ No) → (𝑋 ∈ (O‘𝐴) ↔ (bday‘𝑋) ∈ 𝐴))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   ⊆ wss 3900  Oncon0 6388  ‘cfv 6566  Nocsur 28054  bdaycbday 28056  Mcmade 28265  Ocold 28266

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274

This theorem is used by:  newbday  28345  0elold  28353  cofcutr  28367  lrrecval2  28383  addsproplem2  28413  addsproplem4  28415  addsproplem5  28416  addsproplem6  28417  negsproplem4  28474  negsproplem5  28475  negsproplem6  28476  negleft  28501  negright  28502  mulsproplem12  28570  mulsproplem13  28571  mulsproplem14  28572  ltonold  28704  oncutlt  28707  onnolt  28709  onlts  28710  oniso  28714  n0ssoldg  28796  onsfi  28799  bdayfinbndlem1  28910  dfz12s2  28931