Theorem ltmulnegs2d 28173

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a negative number. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulnegs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltmulnegs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltmulnegs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltmulnegs.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
ltmulnegs2d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))

Proof of Theorem ltmulnegs2d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulnegs.1	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltmulnegs.2	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
3		ltmulnegs.3	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
4		ltmulnegs.4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )
5	1, 2, 3, 4	ltmulnegs1d 28172	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))
6	2, 3	mulscomd 28136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐵))
7	1, 3	mulscomd 28136	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) = (𝐶 ·s 𝐴))
8	6, 7	breq12d 5111	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶) ↔ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))
9	5, 8	bitrd 279	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐶 ·s 𝐵) <s (𝐶 ·s 𝐴)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∈ wcel 2113   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   No csur 27607   <s clts 27608   0_s c0s 27801   ·_s cmuls 28102

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-rep 5224  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-tp 4585  df-op 4587  df-ot 4589  df-uni 4864  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-se 5578  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-1o 8397  df-2o 8398  df-nadd 8594  df-no 27610  df-lts 27611  df-bday 27612  df-les 27713  df-slts 27754  df-cuts 27756  df-0s 27803  df-made 27823  df-old 27824  df-left 27826  df-right 27827  df-norec 27934  df-norec2 27945  df-adds 27956  df-negs 28017  df-subs 28018  df-muls 28103

This theorem is referenced by: (None)