Theorem ltmulnegs1d 28619

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a negative number. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulnegs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
ltmulnegs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
ltmulnegs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
ltmulnegs.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
ltmulnegs1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulnegs.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		ltmulnegs.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
3	1, 2	mulnegs2d 28604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -s‘𝐶)) = ( -s‘(𝐴 ·s 𝐶)))
4		ltmulnegs.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
5	4, 2	mulnegs2d 28604	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s ( -s‘𝐶)) = ( -s‘(𝐵 ·s 𝐶)))
6	3, 5	breq12d 5121	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s ( -s‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -s‘𝐶)) ↔ ( -s‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -s‘(𝐵 ·s 𝐶))))
7	2	negscld 28480	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐶) ∈ No)
8		neg0s 28469	. . . 4 ⊢ ( -s‘ 0s ) = 0s
9		ltmulnegs.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )
10		0no 28252	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No)
12	2, 11	ltnegsd 28490	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 0s ↔ ( -s‘ 0s ) <s ( -s‘𝐶)))
13	9, 12	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -s‘ 0s ) <s ( -s‘𝐶))
14	8, 13	eqbrtrrid 5147	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s ( -s‘𝐶))
15	1, 4, 7, 14	ltmuls1d 28616	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s ( -s‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -s‘𝐶))))
16	4, 2	mulscld 28578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No)
17	1, 2	mulscld 28578	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No)
18	16, 17	ltnegsd 28490	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶) ↔ ( -s‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -s‘(𝐵 ·s 𝐶))))
19	6, 15, 18	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2147   class class class wbr 5108  ‘cfv 6566  (class class class)co 7451  Nocsur 28054   <s clts 28055   0_s c0s 28248   -_scnegs 28462   ·_s cmuls 28549

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5238  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4841  df-ot 4864  df-uni 4873  df-int 4913  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-se 5612  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-riota 7408  df-ov 7454  df-oprab 7455  df-mpo 7456  df-1st 8035  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-1o 8514  df-2o 8515  df-nadd 8713  df-no 28057  df-lts 28058  df-bday 28059  df-les 28159  df-slts 28201  df-cuts 28203  df-0s 28250  df-made 28270  df-old 28271  df-left 28273  df-right 28274  df-norec 28381  df-norec2 28392  df-adds 28403  df-negs 28464  df-subs 28465  df-muls 28550

This theorem is used by:  ltmulnegs2d  28620