Theorem ltmulnegs1d 28256

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a negative number. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulnegs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltmulnegs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltmulnegs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltmulnegs.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
ltmulnegs1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulnegs.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltmulnegs.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulnegs2d 28241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)))
4		ltmulnegs.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulnegs2d 28241	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶)))
6	3, 5	breq12d 5110	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
7	2	negscld 28117	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
8		neg0s 28106	. . . 4 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
9		ltmulnegs.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )
10		0no 27889	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
12	2, 11	ltnegsd 28127	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 0s ↔ ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶)))
13	9, 12	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶))
14	8, 13	eqbrtrrid 5133	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s ( -us ‘𝐶))
15	1, 4, 7, 14	ltmuls1d 28253	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶))))
16	4, 2	mulscld 28215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
17	1, 2	mulscld 28215	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
18	16, 17	ltnegsd 28127	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
19	6, 15, 18	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2141   class class class wbr 5097  ‘cfv 6515  (class class class)co 7390   No csur 27691   <s clts 27692   0_s c0s 27885   -u_s cnegs 28099   ·_s cmuls 28186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1814  ax-4 1828  ax-5 1929  ax-6 1986  ax-7 2027  ax-8 2143  ax-9 2151  ax-10 2174  ax-11 2190  ax-12 2211  ax-ext 2733  ax-rep 5224  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5319  ax-pr 5387  ax-un 7712

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1098  df-3an 1099  df-tru 1562  df-fal 1572  df-ex 1799  df-nf 1803  df-sb 2090  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-ral 3076  df-rex 3086  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4580  df-pr 4582  df-tp 4584  df-op 4586  df-ot 4588  df-uni 4863  df-int 4903  df-iun 4948  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-tr 5205  df-id 5538  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5596  df-se 5597  df-we 5598  df-xp 5649  df-rel 5650  df-cnv 5651  df-co 5652  df-dm 5653  df-rn 5654  df-res 5655  df-ima 5656  df-pred 6282  df-ord 6343  df-on 6344  df-suc 6346  df-iota 6471  df-fun 6517  df-fn 6518  df-f 6519  df-f1 6520  df-fo 6521  df-f1o 6522  df-fv 6523  df-riota 7347  df-ov 7393  df-oprab 7394  df-mpo 7395  df-1st 7964  df-2nd 7965  df-frecs 8255  df-wrecs 8286  df-recs 8335  df-1o 8430  df-2o 8431  df-nadd 8629  df-no 27694  df-lts 27695  df-bday 27696  df-les 27796  df-slts 27838  df-cuts 27840  df-0s 27887  df-made 27907  df-old 27908  df-left 27910  df-right 27911  df-norec 28018  df-norec2 28029  df-adds 28040  df-negs 28101  df-subs 28102  df-muls 28187

This theorem is referenced by:  ltmulnegs2d  28257