Theorem ltmulnegs1d 28188

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a negative number. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulnegs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltmulnegs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltmulnegs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltmulnegs.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
ltmulnegs1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulnegs.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltmulnegs.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulnegs2d 28173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)))
4		ltmulnegs.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulnegs2d 28173	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶)))
6	3, 5	breq12d 5087	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
7	2	negscld 28049	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
8		neg0s 28038	. . . 4 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
9		ltmulnegs.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )
10		0no 27821	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
12	2, 11	ltnegsd 28059	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 0s ↔ ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶)))
13	9, 12	mpbid 234	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶))
14	8, 13	eqbrtrrid 5110	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s ( -us ‘𝐶))
15	1, 4, 7, 14	ltmuls1d 28185	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶))))
16	4, 2	mulscld 28147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
17	1, 2	mulscld 28147	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
18	16, 17	ltnegsd 28059	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
19	6, 15, 18	3bitr4d 313	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 208   ∈ wcel 2121   class class class wbr 5074  ‘cfv 6488  (class class class)co 7359   No csur 27624   <s clts 27625   0_s c0s 27817   -u_s cnegs 28031   ·_s cmuls 28118

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1975  ax-7 2016  ax-8 2123  ax-9 2131  ax-10 2154  ax-11 2170  ax-12 2191  ax-ext 2713  ax-rep 5201  ax-sep 5220  ax-nul 5230  ax-pow 5296  ax-pr 5364  ax-un 7681

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 398  df-or 855  df-3or 1094  df-3an 1095  df-tru 1551  df-fal 1561  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2075  df-mo 2545  df-eu 2575  df-clab 2720  df-cleq 2733  df-clel 2816  df-nfc 2890  df-ne 2937  df-ral 3056  df-rex 3066  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3394  df-v 3435  df-sbc 3725  df-csb 3833  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3904  df-nul 4264  df-if 4457  df-pw 4533  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4841  df-int 4880  df-iun 4925  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5156  df-tr 5182  df-id 5515  df-eprel 5520  df-po 5528  df-so 5529  df-fr 5573  df-se 5574  df-we 5575  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6255  df-ord 6316  df-on 6317  df-suc 6319  df-iota 6444  df-fun 6490  df-fn 6491  df-f 6492  df-f1 6493  df-fo 6494  df-f1o 6495  df-fv 6496  df-riota 7316  df-ov 7362  df-oprab 7363  df-mpo 7364  df-1st 7933  df-2nd 7934  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-1o 8399  df-2o 8400  df-nadd 8596  df-no 27627  df-lts 27628  df-bday 27629  df-les 27729  df-slts 27770  df-cuts 27772  df-0s 27819  df-made 27839  df-old 27840  df-left 27842  df-right 27843  df-norec 27950  df-norec2 27961  df-adds 27972  df-negs 28033  df-subs 28034  df-muls 28119

This theorem is referenced by:  ltmulnegs2d  28189