Theorem ltmulnegs1d 28323

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a negative number. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulnegs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
ltmulnegs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
ltmulnegs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
ltmulnegs.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
ltmulnegs1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulnegs.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No )
2		ltmulnegs.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No )
3	1, 2	mulnegs2d 28308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)))
4		ltmulnegs.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No )
5	4, 2	mulnegs2d 28308	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) = ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶)))
6	3, 5	breq12d 5117	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶)) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
7	2	negscld 28184	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘𝐶) ∈ No )
8		neg0s 28173	. . . 4 ⊢ ( -us ‘ 0s ) = 0s
9		ltmulnegs.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )
10		0no 27956	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No )
12	2, 11	ltnegsd 28194	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 0s ↔ ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶)))
13	9, 12	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -us ‘ 0s ) <s ( -us ‘𝐶))
14	8, 13	eqbrtrrid 5140	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s ( -us ‘𝐶))
15	1, 4, 7, 14	ltmuls1d 28320	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s ( -us ‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -us ‘𝐶))))
16	4, 2	mulscld 28282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No )
17	1, 2	mulscld 28282	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No )
18	16, 17	ltnegsd 28194	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶) ↔ ( -us ‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -us ‘(𝐵 ·s 𝐶))))
19	6, 15, 18	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2145   class class class wbr 5104  ‘cfv 6525  (class class class)co 7400   No csur 27758   <s clts 27759   0_s c0s 27952   -u_s cnegs 28166   ·_s cmuls 28253

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1818  ax-4 1832  ax-5 1933  ax-6 1990  ax-7 2031  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2737  ax-rep 5231  ax-sep 5250  ax-nul 5260  ax-pow 5326  ax-pr 5394  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1566  df-fal 1576  df-ex 1803  df-nf 1807  df-sb 2094  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3418  df-v 3459  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3910  df-un 3912  df-in 3914  df-ss 3924  df-pss 3927  df-nul 4289  df-if 4484  df-pw 4560  df-sn 4586  df-pr 4588  df-tp 4590  df-op 4592  df-ot 4594  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-se 5605  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6291  df-ord 6352  df-on 6353  df-suc 6355  df-iota 6481  df-fun 6527  df-fn 6528  df-f 6529  df-f1 6530  df-fo 6531  df-f1o 6532  df-fv 6533  df-riota 7357  df-ov 7403  df-oprab 7404  df-mpo 7405  df-1st 7974  df-2nd 7975  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8346  df-1o 8441  df-2o 8442  df-nadd 8640  df-no 27761  df-lts 27762  df-bday 27763  df-les 27863  df-slts 27905  df-cuts 27907  df-0s 27954  df-made 27974  df-old 27975  df-left 27977  df-right 27978  df-norec 28085  df-norec2 28096  df-adds 28107  df-negs 28168  df-subs 28169  df-muls 28254

This theorem is referenced by:  ltmulnegs2d  28324