Theorem ltmulnegs1d 28574

Description: Multiplication of both sides of surreal less-than by a negative number. (Contributed by Scott Fenton, 14-Mar-2025.)

Hypotheses

Ref	Expression
ltmulnegs.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
ltmulnegs.2	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
ltmulnegs.3	⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
ltmulnegs.4	⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )

Assertion

Ref	Expression
ltmulnegs1d	⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

Proof of Theorem ltmulnegs1d

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltmulnegs.1	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ No)
2		ltmulnegs.3	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ No)
3	1, 2	mulnegs2d 28559	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s ( -s‘𝐶)) = ( -s‘(𝐴 ·s 𝐶)))
4		ltmulnegs.2	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ No)
5	4, 2	mulnegs2d 28559	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s ( -s‘𝐶)) = ( -s‘(𝐵 ·s 𝐶)))
6	3, 5	breq12d 5118	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐴 ·s ( -s‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -s‘𝐶)) ↔ ( -s‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -s‘(𝐵 ·s 𝐶))))
7	2	negscld 28435	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( -s‘𝐶) ∈ No)
8		neg0s 28424	. . . 4 ⊢ ( -s‘ 0s ) = 0s
9		ltmulnegs.4	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐶 <s 0s )
10		0no 28207	. . . . . . 7 ⊢ 0s ∈ No
11	10	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 0s ∈ No)
12	2, 11	ltnegsd 28445	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐶 <s 0s ↔ ( -s‘ 0s ) <s ( -s‘𝐶)))
13	9, 12	mpbid 235	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( -s‘ 0s ) <s ( -s‘𝐶))
14	8, 13	eqbrtrrid 5143	. . 3 ⊢ (𝜑 → 0s <s ( -s‘𝐶))
15	1, 4, 7, 14	ltmuls1d 28571	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐴 ·s ( -s‘𝐶)) <s (𝐵 ·s ( -s‘𝐶))))
16	4, 2	mulscld 28533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐵 ·s 𝐶) ∈ No)
17	1, 2	mulscld 28533	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐴 ·s 𝐶) ∈ No)
18	16, 17	ltnegsd 28445	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶) ↔ ( -s‘(𝐴 ·s 𝐶)) <s ( -s‘(𝐵 ·s 𝐶))))
19	6, 15, 18	3bitr4d 314	1 ⊢ (𝜑 → (𝐴 <s 𝐵 ↔ (𝐵 ·s 𝐶) <s (𝐴 ·s 𝐶)))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∈ wcel 2146   class class class wbr 5105  ‘cfv 6546  (class class class)co 7427  Nocsur 28009   <s clts 28010   0_s c0s 28203   -_scnegs 28417   ·_s cmuls 28504

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5234  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-pss 4016  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-tp 4592  df-op 4838  df-ot 4861  df-uni 4870  df-int 4910  df-iun 4955  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5549  df-eprel 5554  df-po 5562  df-so 5563  df-fr 5607  df-se 5608  df-we 5609  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6310  df-ord 6371  df-on 6372  df-suc 6374  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-riota 7384  df-ov 7430  df-oprab 7431  df-mpo 7432  df-1st 8008  df-2nd 8009  df-frecs 8310  df-wrecs 8341  df-recs 8390  df-1o 8487  df-2o 8488  df-nadd 8686  df-no 28012  df-lts 28013  df-bday 28014  df-les 28114  df-slts 28156  df-cuts 28158  df-0s 28205  df-made 28225  df-old 28226  df-left 28228  df-right 28229  df-norec 28336  df-norec2 28347  df-adds 28358  df-negs 28419  df-subs 28420  df-muls 28505

This theorem is used by:  ltmulnegs2d  28575