MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marepveval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marepveval 22574
Description: An entry of a matrix with a replaced column. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvfval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvfval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvfval.q 𝑄 = (𝑁 matRepV 𝑅)
marepvfval.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
Assertion
Ref Expression
marepveval (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾)𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽)))

Proof of Theorem marepveval
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 marepvfval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 marepvfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 marepvfval.q . . . 4 𝑄 = (𝑁 matRepV 𝑅)
4 marepvfval.v . . . 4 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
51, 2, 3, 4marepvval 22573 . . 3 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → ((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
65adantr 480 . 2 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
7 simprl 771 . . 3 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
8 simplrr 778 . . 3 ((((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐽𝑁)
9 fvexd 6921 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ V)
10 ovexd 7466 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ V)
119, 10ifcld 4572 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
1211adantr 480 . . 3 ((((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
13 eqeq1 2741 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 = 𝐾𝐽 = 𝐾))
1413adantl 481 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (𝑗 = 𝐾𝐽 = 𝐾))
15 fveq2 6906 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝐼))
1615adantr 480 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (𝐶𝑖) = (𝐶𝐼))
17 oveq12 7440 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
1814, 16, 17ifbieq12d 4554 . . . 4 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽)))
1918adantl 481 . . 3 ((((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽)))
207, 8, 12, 19ovmpodv2 7591 . 2 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))) → (𝐼((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾)𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽))))
216, 20mpd 15 1 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾)𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  Vcvv 3480  ifcif 4525  cfv 6561  (class class class)co 7431  cmpo 7433  m cmap 8866  Basecbs 17247   Mat cmat 22411   matRepV cmatrepV 22563
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-cnex 11211  ax-1cn 11213  ax-addcl 11215
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-1st 8014  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-nn 12267  df-slot 17219  df-ndx 17231  df-base 17248  df-mat 22412  df-marepv 22565
This theorem is referenced by:  ma1repveval  22577  1marepvsma1  22589
  Copyright terms: Public domain W3C validator