MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marepveval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marepveval 22052
Description: An entry of a matrix with a replaced column. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvfval.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvfval.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvfval.q 𝑄 = (𝑁 matRepV 𝑅)
marepvfval.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
Assertion
Ref Expression
marepveval (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾)𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽)))

Proof of Theorem marepveval
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 marepvfval.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 marepvfval.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 marepvfval.q . . . 4 𝑄 = (𝑁 matRepV 𝑅)
4 marepvfval.v . . . 4 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
51, 2, 3, 4marepvval 22051 . . 3 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → ((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
65adantr 482 . 2 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → ((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
7 simprl 770 . . 3 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → 𝐼𝑁)
8 simplrr 777 . . 3 ((((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ 𝑖 = 𝐼) → 𝐽𝑁)
9 fvexd 6903 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐶𝑖) ∈ V)
10 ovexd 7439 . . . . 5 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ V)
119, 10ifcld 4573 . . . 4 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
1211adantr 482 . . 3 ((((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ V)
13 eqeq1 2737 . . . . . 6 (𝑗 = 𝐽 → (𝑗 = 𝐾𝐽 = 𝐾))
1413adantl 483 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (𝑗 = 𝐾𝐽 = 𝐾))
15 fveq2 6888 . . . . . 6 (𝑖 = 𝐼 → (𝐶𝑖) = (𝐶𝐼))
1615adantr 482 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (𝐶𝑖) = (𝐶𝐼))
17 oveq12 7413 . . . . 5 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → (𝑖𝑀𝑗) = (𝐼𝑀𝐽))
1814, 16, 17ifbieq12d 4555 . . . 4 ((𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽)))
1918adantl 483 . . 3 ((((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) ∧ (𝑖 = 𝐼𝑗 = 𝐽)) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽)))
207, 8, 12, 19ovmpodv2 7561 . 2 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))) → (𝐼((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾)𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽))))
216, 20mpd 15 1 (((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) ∧ (𝐼𝑁𝐽𝑁)) → (𝐼((𝑀𝑄𝐶)‘𝐾)𝐽) = if(𝐽 = 𝐾, (𝐶𝐼), (𝐼𝑀𝐽)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  Vcvv 3475  ifcif 4527  cfv 6540  (class class class)co 7404  cmpo 7406  m cmap 8816  Basecbs 17140   Mat cmat 21889   matRepV cmatrepV 22041
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7720  ax-cnex 11162  ax-1cn 11164  ax-addcl 11166
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7851  df-1st 7970  df-2nd 7971  df-frecs 8261  df-wrecs 8292  df-recs 8366  df-rdg 8405  df-nn 12209  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-mat 21890  df-marepv 22043
This theorem is referenced by:  ma1repveval  22055  1marepvsma1  22067
  Copyright terms: Public domain W3C validator