Theorem marepvcl 22544

Description: Closure of the column replacement function for square matrices. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
marepvcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem marepvcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marepvcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		marepvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
4		marepvcl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	marepvval 22542	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
6	5	adantl 481	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
7		eqid 2737	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	1, 2	matrcl 22387	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 494	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	3ad2ant1 1134	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	adantl 481	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
12		simpl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
13		elmapi 8789	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅))
14		ffvelcdm 7027	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
15	14	ex 412	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
17	16, 4	eleq2s 2855	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
18	17	3ad2ant2 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
19	18	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
20	19	imp 406	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
21	20	3adant3 1133	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
22		simp2 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
23		simp3 1139	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
24	2	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25	24	biimpi 216	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
26	25	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
27	26	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
28	27	3ad2ant1 1134	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
29	1, 7	matecl 22400	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
30	22, 23, 28, 29	syl3anc 1374	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
31	21, 30	ifcld 4514	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
32	1, 7, 2, 11, 12, 31	matbas2d 22398	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
33	6, 32	eqeltrd 2837	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  Vcvv 3430  ifcif 4467  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360   ∈ cmpo 7362   ↑_m cmap 8766  Fincfn 8886  Basecbs 17170  Ringcrg 20205   Mat cmat 22382   matRepV cmatrepV 22532

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682  ax-cnex 11085  ax-resscn 11086  ax-1cn 11087  ax-icn 11088  ax-addcl 11089  ax-addrcl 11090  ax-mulcl 11091  ax-mulrcl 11092  ax-mulcom 11093  ax-addass 11094  ax-mulass 11095  ax-distr 11096  ax-i2m1 11097  ax-1ne0 11098  ax-1rid 11099  ax-rnegex 11100  ax-rrecex 11101  ax-cnre 11102  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104  ax-pre-ltadd 11105  ax-pre-mulgt0 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3344  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-pss 3910  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-tp 4573  df-op 4575  df-ot 4577  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7317  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-om 7811  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-supp 8104  df-frecs 8224  df-wrecs 8255  df-recs 8304  df-rdg 8342  df-1o 8398  df-er 8636  df-map 8768  df-ixp 8839  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-fin 8890  df-fsupp 9268  df-sup 9348  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-xr 11174  df-ltxr 11175  df-le 11176  df-sub 11370  df-neg 11371  df-nn 12166  df-2 12235  df-3 12236  df-4 12237  df-5 12238  df-6 12239  df-7 12240  df-8 12241  df-9 12242  df-n0 12429  df-z 12516  df-dec 12636  df-uz 12780  df-fz 13453  df-struct 17108  df-sets 17125  df-slot 17143  df-ndx 17155  df-base 17171  df-ress 17192  df-plusg 17224  df-mulr 17225  df-sca 17227  df-vsca 17228  df-ip 17229  df-tset 17230  df-ple 17231  df-ds 17233  df-hom 17235  df-cco 17236  df-0g 17395  df-prds 17401  df-pws 17403  df-sra 21160  df-rgmod 21161  df-dsmm 21722  df-frlm 21737  df-mat 22383  df-marepv 22534

This theorem is referenced by:  ma1repvcl  22545