Theorem marepvcl 22889

Description: Closure of the column replacement function for square matrices. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
marepvcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem marepvcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marepvcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		marepvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2760	. . . 4 ⊢ (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
4		marepvcl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	marepvval 22887	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
7		eqid 2760	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	1, 2	matrcl 22732	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
12		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
13		elmapi 8872	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅))
14		ffvelcdm 7081	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
15	14	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
17	16, 4	eleq2s 2878	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
18	17	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
20	19	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
21	20	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
22		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
23		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
24	2	eleq2i 2852	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25	24	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
27	26	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
28	27	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
29	1, 7	matecl 22745	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
30	22, 23, 28, 29	syl3anc 1398	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
31	21, 30	ifcld 4528	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
32	1, 7, 2, 11, 12, 31	matbas2d 22743	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
33	6, 32	eqeltrd 2860	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144  Vcvv 3450  ifcif 4481  ⟶wf 6534  ‘cfv 6538  (class class class)co 7420   ∈ cmpo 7422   ↑_m cmap 8850  Fincfn 8976  Basecbs 17392  Ringcrg 20464   Mat cmat 22727   matRepV cmatrepV 22877

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7751  ax-cnex 11259  ax-resscn 11260  ax-1cn 11261  ax-icn 11262  ax-addcl 11263  ax-addrcl 11264  ax-mulcl 11265  ax-mulrcl 11266  ax-mulcom 11267  ax-addass 11268  ax-mulass 11269  ax-distr 11270  ax-i2m1 11271  ax-1ne0 11272  ax-1rid 11273  ax-rnegex 11274  ax-rrecex 11275  ax-cnre 11276  ax-pre-lttri 11277  ax-pre-lttrn 11278  ax-pre-ltadd 11279  ax-pre-mulgt0 11280

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3847  df-ss 3896  df-pss 4014  df-dif 4047  df-in 4091  df-un 4151  df-nul 4279  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4835  df-ot 4858  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5545  df-eprel 5550  df-po 5558  df-so 5559  df-fr 5603  df-we 5605  df-xp 5656  df-rel 5657  df-cnv 5658  df-co 5659  df-dm 5660  df-rn 5661  df-res 5662  df-ima 5663  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-1st 8001  df-2nd 8002  df-supp 8180  df-frecs 8302  df-wrecs 8333  df-recs 8382  df-rdg 8421  df-1o 8479  df-er 8720  df-map 8852  df-ixp 8929  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-fsupp 9357  df-sup 9437  df-pnf 11348  df-mnf 11349  df-xr 11350  df-ltxr 11351  df-le 11352  df-sub 11546  df-neg 11547  df-nn 12339  df-2 12408  df-3 12409  df-4 12410  df-5 12411  df-6 12412  df-7 12413  df-8 12414  df-9 12415  df-n0 12610  df-z 12697  df-dec 12818  df-uz 12969  df-fz 13643  df-struct 17330  df-sets 17347  df-slot 17365  df-ndx 17377  df-base 17393  df-ress 17414  df-plusg 17446  df-mulr 17447  df-sca 17449  df-vsca 17450  df-ip 17451  df-tset 17452  df-ple 17453  df-ds 17455  df-hom 17457  df-cco 17458  df-0g 17617  df-prds 17623  df-pws 17625  df-sra 21453  df-rgmod 21454  df-dsmm 22043  df-frlm 22058  df-mat 22728  df-marepv 22879

This theorem is used by:  ma1repvcl  22890