MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marepvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marepvcl 21106
Description: Closure of the column replacement function for square matrices. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
Assertion
Ref Expression
marepvcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem marepvcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 marepvcl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 marepvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2818 . . . 4 (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
4 marepvcl.v . . . 4 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
51, 2, 3, 4marepvval 21104 . . 3 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
65adantl 482 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
7 eqid 2818 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
81, 2matrcl 20949 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 495 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
1093ad2ant1 1125 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
1110adantl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
12 simpl 483 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
13 elmapi 8417 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅))
14 ffvelrn 6841 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
1514ex 413 . . . . . . . . . 10 (𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
1716, 4eleq2s 2928 . . . . . . . 8 (𝐶𝑉 → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
18173ad2ant2 1126 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
1918adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
2019imp 407 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
21203adant3 1124 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
22 simp2 1129 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
23 simp3 1130 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
242eleq2i 2901 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2524biimpi 217 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
26253ad2ant1 1125 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2726adantl 482 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
28273ad2ant1 1125 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
291, 7matecl 20962 . . . . 5 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
3022, 23, 28, 29syl3anc 1363 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
3121, 30ifcld 4508 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
321, 7, 2, 11, 12, 31matbas2d 20960 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
336, 32eqeltrd 2910 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  w3a 1079   = wceq 1528  wcel 2105  Vcvv 3492  ifcif 4463  wf 6344  cfv 6348  (class class class)co 7145  cmpo 7147  m cmap 8395  Fincfn 8497  Basecbs 16471  Ringcrg 19226   Mat cmat 20944   matRepV cmatrepV 21094
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-ot 4566  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-supp 7820  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-ixp 8450  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-fsupp 8822  df-sup 8894  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-7 11693  df-8 11694  df-9 11695  df-n0 11886  df-z 11970  df-dec 12087  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-ip 16571  df-tset 16572  df-ple 16573  df-ds 16575  df-hom 16577  df-cco 16578  df-0g 16703  df-prds 16709  df-pws 16711  df-sra 19873  df-rgmod 19874  df-dsmm 20804  df-frlm 20819  df-mat 20945  df-marepv 21096
This theorem is referenced by:  ma1repvcl  21107
  Copyright terms: Public domain W3C validator