Theorem marepvcl 22917

Description: Closure of the column replacement function for square matrices. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
marepvcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem marepvcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marepvcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		marepvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2763	. . . 4 ⊢ (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
4		marepvcl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	marepvval 22915	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
6	5	adantl 487	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
7		eqid 2763	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	1, 2	matrcl 22760	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 500	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	adantl 487	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
12		simpl 488	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
13		elmapi 8900	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅))
14		ffvelcdm 7108	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
15	14	ex 418	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
16	13, 15	syl 18	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
17	16, 4	eleq2s 2882	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
18	17	3ad2ant2 1152	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
19	18	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
20	19	imp 412	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
21	20	3adant3 1150	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
22		simp2 1155	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
23		simp3 1156	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
24	2	eleq2i 2856	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25	24	biimpi 219	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
27	26	adantl 487	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
28	27	3ad2ant1 1151	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
29	1, 7	matecl 22773	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
30	22, 23, 28, 29	syl3anc 1399	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
31	21, 30	ifcld 4532	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
32	1, 7, 2, 11, 12, 31	matbas2d 22771	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
33	6, 32	eqeltrd 2864	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  Vcvv 3454  ifcif 4485  ⟶wf 6557  ‘cfv 6561  (class class class)co 7446   ∈ cmpo 7448   ↑_m cmap 8878  Fincfn 9004  Basecbs 17419  Ringcrg 20492   Mat cmat 22755   matRepV cmatrepV 22905

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-rep 5236  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-ot 4862  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-1st 8028  df-2nd 8029  df-supp 8208  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-1o 8507  df-er 8748  df-map 8880  df-ixp 8957  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-fin 9008  df-fsupp 9385  df-sup 9464  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-3 12436  df-4 12437  df-5 12438  df-6 12439  df-7 12440  df-8 12441  df-9 12442  df-n0 12637  df-z 12724  df-dec 12845  df-uz 12996  df-fz 13670  df-struct 17357  df-sets 17374  df-slot 17392  df-ndx 17404  df-base 17420  df-ress 17441  df-plusg 17473  df-mulr 17474  df-sca 17476  df-vsca 17477  df-ip 17478  df-tset 17479  df-ple 17480  df-ds 17482  df-hom 17484  df-cco 17485  df-0g 17644  df-prds 17650  df-pws 17652  df-sra 21481  df-rgmod 21482  df-dsmm 22071  df-frlm 22086  df-mat 22756  df-marepv 22907

This theorem is used by:  ma1repvcl  22918