MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  marepvcl Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem marepvcl 21699
Description: Closure of the column replacement function for square matrices. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
marepvcl.a 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
Assertion
Ref Expression
marepvcl ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem marepvcl
Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 marepvcl.a . . . 4 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2 marepvcl.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐴)
3 eqid 2739 . . . 4 (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
4 marepvcl.v . . . 4 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
51, 2, 3, 4marepvval 21697 . . 3 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
65adantl 481 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
7 eqid 2739 . . 3 (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
81, 2matrcl 21540 . . . . . 6 (𝑀𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
98simpld 494 . . . . 5 (𝑀𝐵𝑁 ∈ Fin)
1093ad2ant1 1131 . . . 4 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
1110adantl 481 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
12 simpl 482 . . 3 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
13 elmapi 8611 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅))
14 ffvelrn 6953 . . . . . . . . . . 11 ((𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
1514ex 412 . . . . . . . . . 10 (𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
1613, 15syl 17 . . . . . . . . 9 (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
1716, 4eleq2s 2858 . . . . . . . 8 (𝐶𝑉 → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
18173ad2ant2 1132 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
1918adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → (𝑖𝑁 → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
2019imp 406 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁) → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
21203adant3 1130 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝐶𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
22 simp2 1135 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑖𝑁)
23 simp3 1136 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑗𝑁)
242eleq2i 2831 . . . . . . . . 9 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2524biimpi 215 . . . . . . . 8 (𝑀𝐵𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
26253ad2ant1 1131 . . . . . . 7 ((𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
2726adantl 481 . . . . . 6 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
28273ad2ant1 1131 . . . . 5 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
291, 7matecl 21555 . . . . 5 ((𝑖𝑁𝑗𝑁𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
3022, 23, 28, 29syl3anc 1369 . . . 4 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
3121, 30ifcld 4510 . . 3 (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) ∧ 𝑖𝑁𝑗𝑁) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
321, 7, 2, 11, 12, 31matbas2d 21553 . 2 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → (𝑖𝑁, 𝑗𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶𝑖), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
336, 32eqeltrd 2840 1 ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀𝐵𝐶𝑉𝐾𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1541  wcel 2109  Vcvv 3430  ifcif 4464  wf 6426  cfv 6430  (class class class)co 7268  cmpo 7270  m cmap 8589  Fincfn 8707  Basecbs 16893  Ringcrg 19764   Mat cmat 21535   matRepV cmatrepV 21687
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-rep 5213  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-ot 4575  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-supp 7962  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-1o 8281  df-er 8472  df-map 8591  df-ixp 8660  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-fin 8711  df-fsupp 9090  df-sup 9162  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-nn 11957  df-2 12019  df-3 12020  df-4 12021  df-5 12022  df-6 12023  df-7 12024  df-8 12025  df-9 12026  df-n0 12217  df-z 12303  df-dec 12420  df-uz 12565  df-fz 13222  df-struct 16829  df-sets 16846  df-slot 16864  df-ndx 16876  df-base 16894  df-ress 16923  df-plusg 16956  df-mulr 16957  df-sca 16959  df-vsca 16960  df-ip 16961  df-tset 16962  df-ple 16963  df-ds 16965  df-hom 16967  df-cco 16968  df-0g 17133  df-prds 17139  df-pws 17141  df-sra 20415  df-rgmod 20416  df-dsmm 20920  df-frlm 20935  df-mat 21536  df-marepv 21689
This theorem is referenced by:  ma1repvcl  21700
  Copyright terms: Public domain W3C validator