Theorem marepvcl 21918

Description: Closure of the column replacement function for square matrices. (Contributed by AV, 14-Feb-2019.) (Revised by AV, 26-Feb-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
marepvcl.a	⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
marepvcl.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
marepvcl.v	⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)

Assertion

Ref	Expression
marepvcl	⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Proof of Theorem marepvcl

Dummy variables 𝑖 𝑗 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		marepvcl.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (𝑁 Mat 𝑅)
2		marepvcl.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
3		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (𝑁 matRepV 𝑅) = (𝑁 matRepV 𝑅)
4		marepvcl.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁)
5	1, 2, 3, 4	marepvval 21916	. . 3 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
6	5	adantl 482	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) = (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))))
7		eqid 2736	. . 3 ⊢ (Base‘𝑅) = (Base‘𝑅)
8	1, 2	matrcl 21759	. . . . . 6 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → (𝑁 ∈ Fin ∧ 𝑅 ∈ V))
9	8	simpld 495	. . . . 5 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑁 ∈ Fin)
10	9	3ad2ant1 1133	. . . 4 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑁 ∈ Fin)
11	10	adantl 482	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑁 ∈ Fin)
12		simpl 483	. . 3 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑅 ∈ Ring)
13		elmapi 8787	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → 𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅))
14		ffvelcdm 7032	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
15	14	ex 413	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝐶:𝑁⟶(Base‘𝑅) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
16	13, 15	syl 17	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 ∈ ((Base‘𝑅) ↑m 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
17	16, 4	eleq2s 2856	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 ∈ 𝑉 → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
18	17	3ad2ant2 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
19	18	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁 → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅)))
20	19	imp 407	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
21	20	3adant3 1132	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝐶‘𝑖) ∈ (Base‘𝑅))
22		simp2 1137	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑖 ∈ 𝑁)
23		simp3 1138	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑗 ∈ 𝑁)
24	2	eleq2i 2829	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 ↔ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
25	24	biimpi 215	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑀 ∈ 𝐵 → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
26	25	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
27	26	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
28	27	3ad2ant1 1133	. . . . 5 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → 𝑀 ∈ (Base‘𝐴))
29	1, 7	matecl 21774	. . . . 5 ⊢ ((𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁 ∧ 𝑀 ∈ (Base‘𝐴)) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
30	22, 23, 28, 29	syl3anc 1371	. . . 4 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → (𝑖𝑀𝑗) ∈ (Base‘𝑅))
31	21, 30	ifcld 4532	. . 3 ⊢ (((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) ∧ 𝑖 ∈ 𝑁 ∧ 𝑗 ∈ 𝑁) → if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗)) ∈ (Base‘𝑅))
32	1, 7, 2, 11, 12, 31	matbas2d 21772	. 2 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → (𝑖 ∈ 𝑁, 𝑗 ∈ 𝑁 ↦ if(𝑗 = 𝐾, (𝐶‘𝑖), (𝑖𝑀𝑗))) ∈ 𝐵)
33	6, 32	eqeltrd 2838	1 ⊢ ((𝑅 ∈ Ring ∧ (𝑀 ∈ 𝐵 ∧ 𝐶 ∈ 𝑉 ∧ 𝐾 ∈ 𝑁)) → ((𝑀(𝑁 matRepV 𝑅)𝐶)‘𝐾) ∈ 𝐵)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  Vcvv 3445  ifcif 4486  ⟶wf 6492  ‘cfv 6496  (class class class)co 7357   ∈ cmpo 7359   ↑_m cmap 8765  Fincfn 8883  Basecbs 17083  Ringcrg 19964   Mat cmat 21754   matRepV cmatrepV 21906

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-ot 4595  df-uni 4866  df-iun 4956  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-supp 8093  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-ixp 8836  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-fsupp 9306  df-sup 9378  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-7 12221  df-8 12222  df-9 12223  df-n0 12414  df-z 12500  df-dec 12619  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-ip 17151  df-tset 17152  df-ple 17153  df-ds 17155  df-hom 17157  df-cco 17158  df-0g 17323  df-prds 17329  df-pws 17331  df-sra 20633  df-rgmod 20634  df-dsmm 21138  df-frlm 21153  df-mat 21755  df-marepv 21908

This theorem is referenced by:  ma1repvcl  21919